O colecție progresivă de 20 de exerciții rezolvate despre inecuații logaritmice, concepută pentru a învăța să tratezi corect domeniul de definiție, monotonia funcției logaritmice, schimbarea sensului și intersecția finală cu condițiile de existență.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvați:
\[\log_2(x-1)>3\]
Rezultat
\[(9,+\infty)\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. Logaritmul este definit doar dacă argumentul este pozitiv:
\(x - 1 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x > 1\).
Prin urmare, domeniul de definiție este \(\mathcal{D} = (1, +\infty)\).
Baza este \(2 > 1\), deci funcția logaritmică este crescătoare. Sensul inecuației rămâne neschimbat:
\(\log_2(x-1) > 3 \quad \Longleftrightarrow \quad x-1 > 2^3 = 8 \quad \Longrightarrow \quad x > 9\).
Intersecția cu domeniul de definiție: \(x > 9\) este deja inclus în \(x > 1\), deci soluția este \((9, +\infty)\).
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvați:
\[\log_3(2x+1)\leq 2\]
Rezultat
\[\left(-\frac{1}{2},4\right]\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. Argumentul trebuie să fie pozitiv:
\(2x + 1 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x > -\frac{1}{2}\).
Prin urmare, \(\mathcal{D} = \left(-\frac{1}{2}, +\infty\right)\).
Baza \(3 > 1\), deci funcție crescătoare, sensul se conservă:
\(\log_3(2x+1) \leq 2 \quad \Longleftrightarrow \quad 2x+1 \leq 3^2 = 9 \quad \Longrightarrow \quad 2x \leq 8 \quad \Longrightarrow \quad x \leq 4\).
Intersecția cu domeniul de definiție: \(x > -\frac{1}{2}\) și \(x \leq 4\), adică \(\left(-\frac{1}{2}, 4\right]\).
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvați:
\[\log_{1/2}(x+4)>-1\]
Rezultat
\[(-4,-2)\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. \(x + 4 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x > -4\).
Prin urmare, \(\mathcal{D} = (-4, +\infty)\).
Baza \(\frac{1}{2} < 1\), deci funcție descrescătoare; sensul inecuației se inversează:
\(\log_{1/2}(x+4) > -1 \quad \Longleftrightarrow \quad x+4 < \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 \quad \Longrightarrow \quad x < -2\).
Intersecția cu domeniul de definiție: \(-4 < x < -2\), adică \((-4, -2)\).
Exercițiul 4 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvați:
\[\log_{1/3}(5-x)\leq 1\]
Rezultat
\[\left(-\infty,\frac{14}{3}\right]\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. \(5 - x > 0 \quad \Longrightarrow \quad x < 5\).
Baza \(\frac{1}{3} < 1\), deci descrescătoare, sensul se inversează:
\(\log_{1/3}(5-x) \leq 1 \quad \Longleftrightarrow \quad 5-x \geq \frac{1}{3}\).
\(-x \geq \frac{1}{3} - 5 = -\frac{14}{3}\). Înmulțind cu \(-1\) (schimbarea sensului): \(x \leq \frac{14}{3}\).
Intersecția cu domeniul de definiție: \(\left(-\infty, \frac{14}{3}\right]\).
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați:
\[\log_2(x-1)+\log_2(x-3)>3\]
Rezultat
\[(5,+\infty)\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. Ambii argumenți trebuie să fie pozitivi: \(x-1>0\) și \(x-3>0\), deci \(x>3\).
Proprietatea produsului logaritmilor: \(\log_2[(x-1)(x-3)] > 3\).
Baza \(2>1\), funcție crescătoare: \((x-1)(x-3) > 8 \iff x^2 - 4x - 5 > 0 \iff (x-5)(x+1) > 0\).
Soluții: \(x < -1\) sau \(x > 5\).
Intersecția cu domeniul (\(x>3\)): \((5, +\infty)\).
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați:
\[\log_3(x+2)-\log_3(x-1)<1\]
Rezultat
\[\left(\frac{5}{2},+\infty\right)\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. \(x+2>0\) și \(x-1>0\), deci \(x>1\).
Proprietatea câtului logaritmilor: \(\log_3\left(\frac{x+2}{x-1}\right) < 1\).
Baza \(3>1\), funcție crescătoare: \(\frac{x+2}{x-1} < 3\).
Deoarece \(x-1>0\), înmulțim fără a schimba sensul: \(x+2 < 3(x-1) \iff x > \frac{5}{2}\).
Intersecția cu domeniul de definiție: \(\left(\frac{5}{2}, +\infty\right)\).
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați:
\[\log_5(2x+1)\geq \log_5(x+4)\]
Rezultat
\[[3,+\infty)\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. \(x > -\frac{1}{2}\).
Baza \(5>1\), funcție crescătoare, sensul se conservă: \(2x+1 \geq x+4 \iff x \geq 3\).
Intersecția cu domeniul de definiție: \([3, +\infty)\).
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați:
\[\log_{1/2}(x+5) < \log_{1/2}(3x-1)\]
Rezultat
\[\left(\frac{1}{3},3\right)\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. \(x+5>0\) și \(3x-1>0\), deci \(x > \frac{1}{3}\).
Baza \(\frac{1}{2} < 1\), funcție descrescătoare: sensul se inversează.
\(x+5 > 3x-1 \iff 6 > 2x \iff x < 3\).
Intersecția cu domeniul de definiție: \(\left(\frac{1}{3}, 3\right)\).
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați:
\[\log_2 x + \log_4 x \geq 6\]
Rezultat
\[[16,+\infty)\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. \(x > 0\).
\(\log_4 x = \frac{\log_2 x}{2}\). Notând \(t = \log_2 x\):
\(t + \frac{t}{2} \geq 6 \iff \frac{3t}{2} \geq 6 \iff t \geq 4 \iff x \geq 16\).
Intersecția cu domeniul de definiție: \([16, +\infty)\).
Exercițiul 10 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați:
\[\log_3 x - \log_9 x < 2\]
Rezultat
\[(0,81)\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. \(x > 0\).
\(\log_9 x = \frac{\log_3 x}{2}\). Notând \(t = \log_3 x\):
\(t - \frac{t}{2} < 2 \iff \frac{t}{2} < 2 \iff t < 4 \iff x < 81\).
Intersecția cu domeniul de definiție: \((0, 81)\).
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați:
\[(\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 \leq 0\]
Rezultat
\[[4,8]\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. \(x > 0\).
Notând \(t = \log_2 x\): \(t^2 - 5t + 6 = (t-2)(t-3) \leq 0\).
Produsul este negativ sau nul între rădăcini: \(2 \leq t \leq 3\).
Prin urmare \(4 \leq x \leq 8\).
Intersecția cu domeniul de definiție: \([4, 8]\).
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați:
\[(\log_3 x)^2 - 1 > 0\]
Rezultat
\[\left(0,\frac{1}{3}\right)\cup(3,+\infty)\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. \(x > 0\).
Notând \(t = \log_3 x\): \(t^2 - 1 > 0 \iff (t-1)(t+1) > 0\).
Soluții: \(t < -1\) sau \(t > 1\).
Prin urmare \(x < \frac{1}{3}\) sau \(x > 3\).
Intersecția cu domeniul de definiție: \(\left(0,\frac{1}{3}\right)\cup(3,+\infty)\).
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați:
\[2(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x - 2 \geq 0\]
Rezultat
\[\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\cup[4,+\infty)\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. \(x > 0\).
Notând \(t = \log_2 x\): \(2t^2 - 3t - 2 = (2t+1)(t-2) \geq 0\).
Soluții: \(t \leq -\frac{1}{2}\) sau \(t \geq 2\).
Prin urmare \(x \leq 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) sau \(x \geq 4\).
Intersecția cu domeniul de definiție: \(\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\cup[4,+\infty)\).
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați:
\[\log_2(x^2-5x+6)\geq 1\]
Rezultat
\[(-\infty,1]\cup[4,+\infty)\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. \(x^2-5x+6 > 0 \iff (x-2)(x-3)>0 \iff (-\infty,2)\cup(3,+\infty)\).
Baza \(2>1\), funcție crescătoare: \(x^2-5x+6 \geq 2 \iff x^2-5x+4 \geq 0 \iff (x-1)(x-4)\geq 0\).
Soluții: \(x\leq 1\) sau \(x\geq 4\).
Intersecția cu domeniul de definiție: \((-\infty,1]\cup[4,+\infty)\).
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați:
\[\log_3(x^2-4)<2\]
Rezultat
\[(-\sqrt{13},-2)\cup(2,\sqrt{13})\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. \(x^2-4 > 0 \iff (-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\).
Baza \(3>1\), funcție crescătoare: \(x^2-4 < 9 \iff x^2 < 13 \iff -\sqrt{13} < x < \sqrt{13}\).
Intersecția cu domeniul de definiție: \((-\sqrt{13},-2)\cup(2,\sqrt{13})\).
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Rezolvați:
\[\log_2(x+1)+\log_2(x-2)\leq \log_2(2x+3)\]
Rezultat
\[\left(2,\dfrac{3+\sqrt{29}}{2}\right]\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. \(x+1>0\), \(x-2>0\), \(2x+3>0\); condiția cea mai restrictivă este \(x>2\).
Proprietatea produsului logaritmilor: \(\log_2[(x+1)(x-2)] \leq \log_2(2x+3)\).
Baza \(2>1\), funcție crescătoare: \((x+1)(x-2) \leq 2x+3 \iff x^2 - 3x - 5 \leq 0\).
Rădăcinile trinomului: \(\frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\). Soluția este intervalul dintre rădăcini.
Intersecția cu domeniul (\(x>2\)): \(\left(2, \frac{3+\sqrt{29}}{2}\right]\).
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Rezolvați:
\[\log_{1/2}(x^2-1)\geq -2\]
Rezultat
\[[-\sqrt{5},-1)\cup(1,\sqrt{5}]\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. \(x^2-1 > 0 \iff x \in (-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\).
Baza \(\frac{1}{2} < 1\), funcție descrescătoare, sensul se inversează:
\[x^2-1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4 \iff x^2 \leq 5 \iff -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}.\]
Intersecția cu domeniul de definiție: valorile \(\pm 1\) sunt excluse deoarece argumentul se anulează în aceste puncte, în timp ce \(x = -\sqrt{5}\) și \(x = \sqrt{5}\) aparțin domeniului (argumentul ia valoarea 4) și satisfac inecuația cu egalitate. Mulțimea soluțiilor este deci \([-\sqrt{5},-1)\cup(1,\sqrt{5}]\).
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Rezolvați:
\[\log_2(x-1)<\log_4(3x+1)\]
Rezultat
\[(1,5)\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. \(x>1\).
\(\log_4(3x+1) = \frac{1}{2}\log_2(3x+1)\).
Se obține: \((x-1)^2 < 3x+1 \iff x^2 - 5x < 0 \iff x(x-5) < 0 \iff 0 < x < 5\).
Intersecția cu domeniul de definiție: \((1,5)\).
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
Rezolvați:
\[\log_3(x+1)+\log_3(5-x)\geq 1\]
Rezultat
\[[2-\sqrt{6},\ 2+\sqrt{6}]\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. \(-1 < x < 5\).
Proprietatea produsului logaritmilor: \(\log_3[(x+1)(5-x)] \geq 1 \iff (x+1)(5-x) \geq 3\).
\(-x^2 + 4x + 2 \geq 0 \iff x^2 - 4x - 2 \leq 0\).
Rădăcinile trinomului: \(2 \pm \sqrt{6}\). Soluția este intervalul dintre rădăcini, complet inclus în domeniu.
Prin urmare \([2-\sqrt{6}, 2+\sqrt{6}]\).
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Rezolvați:
\[\log_2(x^2-4x+3)\leq \log_2(2x+3)\]
Rezultat
\[[0,1)\cup(3,6]\]
Rezolvare
Domeniu de definiție. \(x^2-4x+3 > 0\) și \(2x+3 > 0\) \(\implies\) \(\left(-\frac{3}{2},1\right)\cup(3,+\infty)\).
Baza \(2>1\), funcție crescătoare: \(x^2-4x+3 \leq 2x+3 \iff x^2-6x \leq 0 \iff x(x-6)\leq 0\).
Soluție: \(0 \leq x \leq 6\).
Intersecția cu domeniul de definiție: \([0,1)\cup(3,6]\).