Împărțirea polinoamelor este una dintre operațiile fundamentale ale algebrei. Ea permite scrierea unui polinom ca produs dintre un alt polinom și un cât, plus un eventual rest.
La prima vedere poate părea o tehnică pur mecanică. În realitate, împărțirea polinoamelor este un instrument teoretic central: permite studiul divizibilității, recunoașterea factorilor, aplicarea teoremei restului, înțelegerea schemei lui Ruffini și legarea rădăcinilor unui polinom de factorizarea sa.
Ideea de bază este similară celei de la împărțirea numerelor întregi: dat un deîmpărțit și un împărțitor, se caută un cât și un rest. În cazul polinoamelor, însă, mărimea care ghidează procedura nu este valoarea numerică, ci gradul.
Cuprins
- Definiție Formală
- Semnificația Câtului și a Restului
- Împărțirea Lungă a Polinoamelor
- Exemplu Rezolvat cu Schemă
- Teorema Împărțirii cu Rest
- Divizibilitatea Polinoamelor
- Teorema Restului
- Regula lui Ruffini
- Schema lui Ruffini Explicată Pas cu Pas
- Greșeli Frecvente
- Exerciții cu Soluții
- Concluzie
Definiție Formală
Fie \(A(x)\) și \(B(x)\) două polinoame, cu \(B(x)\neq 0\). A împărți \(A(x)\) la \(B(x)\) înseamnă a căuta două polinoame \(Q(x)\) și \(R(x)\), numite respectiv cât și rest, astfel încât \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\), cu condiția:
\[ R(x)=0 \quad \text{sau} \quad \deg R(x)<\deg B(x) \]
Polinomul \(A(x)\) se numește deîmpărțit, polinomul \(B(x)\) se numește împărțitor, \(Q(x)\) este câtul, iar \(R(x)\) este restul.
Condiția privind gradul restului este esențială. Dacă restul ar avea grad mai mare sau egal cu gradul împărțitorului, împărțirea ar putea continua. Ea se încheie abia când ceea ce rămâne are grad strict mai mic decât împărțitorul, adică atunci când nu mai poate fi împărțit după același procedeu.
De exemplu, \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)+0\). În această scriere, deîmpărțitul este \(x^2+3x+2\), împărțitorul este \(x+1\), câtul este \(x+2\), iar restul este \(0\). Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.
Semnificația Câtului și a Restului
Identitatea \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\) înseamnă că polinomul \(A(x)\) este descompus în două părți: o parte multiplă a împărțitorului \(B(x)\), adică \(B(x)Q(x)\), și o parte reziduală, adică \(R(x)\).
Câtul \(Q(x)\) reprezintă acea parte a deîmpărțitului care poate fi obținută înmulțind împărțitorul cu un alt polinom. Restul \(R(x)\), în schimb, reprezintă ceea ce rămâne după ce s-au scăzut din deîmpărțit toate contribuțiile posibile construite pornind de la împărțitor.
Analogia cu împărțirea numerelor întregi este utilă. De exemplu, \(17=5\cdot 3+2\). Aici \(17\) este deîmpărțitul, \(5\) este împărțitorul, \(3\) este câtul și \(2\) este restul. Restul trebuie să fie mai mic decât împărțitorul.
La împărțirea polinoamelor se întâmplă ceva analog, dar condiția nu privește valoarea numerică a restului, ci gradul acestuia:
\[ \deg R(x)<\deg B(x) \]
Acesta este principiul care face din împărțirea polinoamelor o adevărată împărțire euclidiană.
Împărțirea Lungă a Polinoamelor
Metoda cea mai generală pentru a împărți două polinoame este împărțirea lungă. Ea se folosește atunci când împărțitorul are grad oarecare, nu neapărat \(1\).
Înainte de a începe, este important să scriem polinoamele ordonate după puterile descrescătoare ale lui \(x\). Dacă lipsește un termen, trebuie inserat cu coeficientul \(0\).
De exemplu, polinomul:
\[ x^4-3x+2 \]
trebuie scris ca:
\[ x^4+0x^3+0x^2-3x+2 \]
Această scriere nu modifică polinomul, dar face schema împărțirii mai clară și previne erorile de aliniere.
Ideea împărțirii lungi este de a elimina progresiv termenul de grad maxim al deîmpărțitului. La fiecare pas se privește termenul principal al polinomului rămas și se împarte la termenul principal al împărțitorului.
Dacă \(\deg A(x)<\deg B(x)\), împărțirea s-a terminat deja: \(Q(x)=0\) și \(R(x)=A(x)\). Dacă în schimb \(\deg A(x)\geq \deg B(x)\), se procedează împărțind termenul principal al deîmpărțitului la termenul principal al împărțitorului. Rezultatul obținut devine primul termen al câtului. Apoi se înmulțește împărțitorul cu acest termen și se scade produsul din deîmpărțit.
Exemplu Rezolvat cu Schemă
Împărțim \(2x^3+3x^2-5x+1\) la \(x-2\). Deîmpărțitul este deja scris în formă completă față de puterile descrescătoare ale lui \(x\):
\[ 2x^3+3x^2-5x+1 \]
Căutăm două polinoame \(Q(x)\) și \(R(x)\) astfel încât:
\[ 2x^3+3x^2-5x+1=(x-2)Q(x)+R(x) \]
Primul pas
Împărțim termenul principal al deîmpărțitului la termenul principal al împărțitorului:
\[ \frac{2x^3}{x}=2x^2 \]
Primul termen al câtului este \(2x^2\). Înmulțim împărțitorul cu \(2x^2\):
\[ 2x^2(x-2)=2x^3-4x^2 \]
Pentru a scădea acest polinom din deîmpărțit, schimbăm semnele tuturor termenilor și adunăm:
\[ -(2x^3-4x^2)=-2x^3+4x^2 \]
Scriem și termenii lipsă, pentru a păstra alinierea:
\[ -2x^3+4x^2+0x+0 \]
| \(2x^3\) | \(+3x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | \(x-2\) |
| \(-2x^3\) | \(+4x^2\) | \(0x\) | \(0\) | \(2x^2\) |
| \(0x^3\) | \(+7x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) |
După adunare, termenul \(2x^3\) se anulează și rămâne restul parțial:
\[ 7x^2-5x+1 \]
Al doilea pas
Repetăm procedeul pe restul parțial. Împărțim termenul său principal la termenul principal al împărțitorului:
\[ \frac{7x^2}{x}=7x \]
Al doilea termen al câtului este \(7x\), deci câtul parțial devine:
\[ 2x^2+7x \]
Înmulțim împărțitorul cu \(7x\):
\[ 7x(x-2)=7x^2-14x \]
Pentru a scădea, schimbăm semnele tuturor termenilor:
\[ -(7x^2-14x)=-7x^2+14x \]
Completăm cu termenul liber lipsă:
\[ -7x^2+14x+0 \]
| \(2x^3\) | \(+3x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | \(x-2\) |
| \(-2x^3\) | \(+4x^2\) | \(0x\) | \(0\) | \(2x^2+7x\) |
| \(0x^3\) | \(+7x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | |
| \(-7x^2\) | \(+14x\) | \(0\) | ||
| \(0x^2\) | \(+9x\) | \(+1\) |
După adunare rămâne noul rest parțial:
\[ 9x+1 \]
Al treilea pas
Împărțim termenul principal al noului rest parțial la termenul principal al împărțitorului:
\[ \frac{9x}{x}=9 \]
Al treilea termen al câtului este \(9\), deci câtul devine:
\[ 2x^2+7x+9 \]
Înmulțim împărțitorul cu \(9\):
\[ 9(x-2)=9x-18 \]
Pentru a scădea, schimbăm semnele:
\[ -(9x-18)=-9x+18 \]
| \(2x^3\) | \(+3x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | \(x-2\) |
| \(-2x^3\) | \(+4x^2\) | \(0x\) | \(0\) | \(2x^2+7x+9\) |
| \(0x^3\) | \(+7x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | |
| \(-7x^2\) | \(+14x\) | \(0\) | ||
| \(0x^2\) | \(+9x\) | \(+1\) | ||
| \(-9x\) | \(+18\) | |||
| \(0x\) | \(+19\) |
Restul final este:
\[ R(x)=19 \]
Deoarece împărțitorul \(x-2\) are gradul \(1\) și restul \(19\) are gradul \(0\), avem:
\[ \deg 19=0<1=\deg(x-2) \]
Împărțirea s-a încheiat.
Rezultatul final
Din schemă citim câtul:
\[ Q(x)=2x^2+7x+9 \]
și restul:
\[ R(x)=19 \]
Prin urmare:
\[ 2x^3+3x^2-5x+1=(x-2)(2x^2+7x+9)+19 \]
Verificăm rezultatul dezvoltând membrul drept:
\[ (x-2)(2x^2+7x+9)+19 \]
\[ =2x^3+7x^2+9x-4x^2-14x-18+19 \]
\[ =2x^3+3x^2-5x+1 \]
Împărțirea este deci corectă.
Teorema Împărțirii cu Rest
Teoremă. Fie \(A(x)\) și \(B(x)\) două polinoame, cu \(B(x)\neq 0\). Atunci există și sunt unice două polinoame \(Q(x)\) și \(R(x)\) astfel încât \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\), cu:
\[ R(x)=0 \quad \text{sau} \quad \deg R(x)<\deg B(x) \]
Acest rezultat se numește teorema împărțirii euclidiene a polinoamelor. Existența este garantată de algoritmul împărțirii lungi; unicitatea înseamnă că, fixate deîmpărțitul și împărțitorul, nu pot exista două câturi sau două resturi diferite care să satisfacă condițiile teoremei.
Ideea demonstrației unicității
Presupunem că există două scrieri:
\[ A(x)=B(x)Q_1(x)+R_1(x) \]
și:
\[ A(x)=B(x)Q_2(x)+R_2(x) \]
cu \(\deg R_1(x)<\deg B(x)\) și \(\deg R_2(x)<\deg B(x)\). Scăzând membru cu membru, obținem:
\[ B(x)(Q_1(x)-Q_2(x))=R_2(x)-R_1(x) \]
Dacă \(Q_1(x)\neq Q_2(x)\), membrul stâng ar avea gradul cel puțin \(\deg B(x)\), în timp ce membrul drept ar avea gradul strict mai mic decât \(\deg B(x)\), ceea ce este imposibil. Deci \(Q_1(x)=Q_2(x)\) și, în consecință, \(R_1(x)=R_2(x)\).
Divizibilitatea Polinoamelor
Împărțirea permite definirea riguroasă a divizibilității polinoamelor. Se spune că \(B(x)\) divide \(A(x)\), și se notează \(B(x)\mid A(x)\), dacă există un polinom \(Q(x)\) astfel încât:
\[ A(x)=B(x)Q(x) \]
În termeni de împărțire:
\[ B(x)\mid A(x) \quad \iff \quad R(x)=0 \]
Când restul este zero, împărțirea se numește exactă. În acest caz, \(B(x)\) este un factor al lui \(A(x)\), iar \(A(x)\) este un multiplu al lui \(B(x)\).
Teorema Restului
Teorema restului. Dacă un polinom \(P(x)\) este împărțit la \(x-a\), atunci restul împărțirii este \(P(a)\).
Într-adevăr, prin teorema împărțirii cu rest, putem scrie:
\[ P(x)=(x-a)Q(x)+R(x) \]
Deoarece împărțitorul \(x-a\) are gradul \(1\), restul este o constantă \(r\). Prin urmare:
\[ P(x)=(x-a)Q(x)+r \]
Înlocuind \(x=a\), obținem:
\[ P(a)=(a-a)Q(a)+r=r \]
Deci restul împărțirii la \(x-a\) este \(P(a)\). Ca urmare:
\[ x-a\mid P(x) \quad \iff \quad P(a)=0 \]
Regula lui Ruffini
Regula lui Ruffini este o metodă prescurtată pentru a efectua împărțirea unui polinom la un binom de gradul întâi de forma:
\[ x-a \]
Nu este o tehnică diferită de împărțirea lungă: schema lui Ruffini este pur și simplu o scriere mai compactă a aceluiași procedeu. În loc să lucrăm direct cu toți monomii, se folosesc doar coeficienții polinomului.
Înainte de a aplica schema lui Ruffini, polinomul trebuie scris în formă completă față de puterile descrescătoare ale lui \(x\). Dacă lipsește vreun termen, trebuie introdus coeficientul \(0\).
De exemplu:
\[ x^3-4x+1=x^3+0x^2-4x+1 \]
Coeficienții de utilizat sunt:
\[ 1,\ 0,\ -4,\ 1 \]
Dacă împărțitorul este \(x-a\), în schemă se folosește numărul \(a\). De exemplu \(x-3\Rightarrow 3\), iar \(x+3=x-(-3)\Rightarrow -3\).
Schema lui Ruffini Explicată Pas cu Pas
Împărțim \( P(x)=x^3-6x^2+11x-6 \) la \( x-1 \).
Deoarece împărțitorul este \(x-1\), numărul de scris în stânga schemei este \(1\). Polinomul este complet și coeficienții sunt:
\[ 1,\ -6,\ 11,\ -6 \]
Schema inițială
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array} \]
Primul pas
Primul coeficient coboară fără modificări:
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & & & \\ \hline & 1 & & & \end{array} \]
Al doilea pas
Înmulțim \(1\cdot 1=1\), scriem rezultatul sub coeficientul următor și adunăm:
\[ -6+1=-5 \]
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & & \\ \hline & 1 & -5 & & \end{array} \]
Al treilea pas
Înmulțim \(1\cdot(-5)=-5\), scriem rezultatul sub coeficientul următor și adunăm:
\[ 11+(-5)=6 \]
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & \\ \hline & 1 & -5 & 6 & \end{array} \]
Al patrulea pas
Înmulțim \(1\cdot 6=6\), scriem rezultatul sub ultimul coeficient și adunăm:
\[ -6+6=0 \]
Schema completă este:
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
Interpretarea rezultatului
Valorile obținute pe rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât:
\[ Q(x)=x^2-5x+6 \]
Ultima valoare este restul împărțirii:
\[ R=0 \]
Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6) \]
Greșeli Frecvente
1. Uitarea termenilor lipsă
Când se folosește împărțirea lungă sau schema lui Ruffini, polinomul trebuie să fie complet. Dacă lipsește o putere a lui \(x\), trebuie introdus coeficientul \(0\).
2. Greșirea semnului în împărțitor
Dacă împărțitorul este \(x-a\), în schema lui Ruffini se folosește \(a\). Prin urmare \(x-3\Rightarrow 3\), iar \(x+3=x-(-3)\Rightarrow -3\).
3. Oprirea prematură
La împărțirea lungă trebuie continuat până când restul are grad strict mai mic decât al împărțitorului.
4. Confundarea restului cu un termen al câtului
În schema lui Ruffini, ultimul număr din rândul inferior este restul, nu un coeficient al câtului. De aceea, în schemă, este util să fie separat printr-o linie verticală.
5. Aplicarea schemei lui Ruffini la împărțitori nepotriviți
Regula lui Ruffini, în forma sa standard, se aplică direct doar la împărțitori de forma \(x-a\). Pentru împărțitori de tipul \(x^2+1\), trebuie folosită împărțirea lungă.
Exerciții cu Soluții
Exercițiul 1. Împărțiți \(x^2+5x+6\) la \(x+2\).
Soluție. Deoarece \(x+2=x-(-2)\), folosim schema lui Ruffini cu \(-2\):
\[ \begin{array}{r|rr|r} -2 & 1 & 5 & 6 \\ & & -2 & -6 \\ \hline & 1 & 3 & 0 \end{array} \]
Deci \(Q(x)=x+3\) și \(R=0\). Prin urmare \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\).
Exercițiul 2. Împărțiți \(x^2+1\) la \(x-1\).
Soluție. Completăm polinomul: \(x^2+1=x^2+0x+1\). Folosim schema lui Ruffini cu \(1\):
\[ \begin{array}{r|rr|r} 1 & 1 & 0 & 1 \\ & & 1 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 2 \end{array} \]
Deci \(Q(x)=x+1\) și \(R=2\). Într-adevăr \(x^2+1=(x-1)(x+1)+2\).
Exercițiul 3. Folosiți teorema restului pentru a determina restul împărțirii lui \(P(x)=x^3-4x+7\) la \(x-2\).
Soluție. Restul este \(P(2)\). Deoarece \(P(x)=x^3+0x^2-4x+7\), avem:
\[ P(2)=2^3+0\cdot 2^2-4\cdot 2+7=8-8+7=7 \]
Deci restul este \(7\).
Exercițiul 4. Stabiliți dacă \(x-3\) divide \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\).
Soluție. Prin teorema restului, \(x-3\) divide \(P(x)\) dacă și numai dacă \(P(3)=0\). Calculăm:
\[ P(3)=27-54+33-6=0 \]
Deci \(x-3\mid P(x)\).
Exercițiul 5. Împărțiți \(2x^3-x^2+4x-3\) la \(x+1\).
Soluție. Deoarece \(x+1=x-(-1)\), folosim schema lui Ruffini cu \(-1\):
\[ \begin{array}{r|rrr|r} -1 & 2 & -1 & 4 & -3 \\ & & -2 & 3 & -7 \\ \hline & 2 & -3 & 7 & -10 \end{array} \]
Deci \(Q(x)=2x^2-3x+7\) și \(R=-10\). Prin urmare:
\[ 2x^3-x^2+4x-3=(x+1)(2x^2-3x+7)-10 \]
Exercițiul 6. Determinați valoarea lui \(k\) astfel încât \(x-2\) să dividă \(P(x)=x^3+kx^2-4x+4\).
Soluție. Trebuie să fie \(P(2)=0\). Calculăm:
\[ P(2)=8+4k-8+4=4k+4 \]
Deci \(4k+4=0\), de unde \(k=-1\).
Exercițiul 7. Împărțiți \(x^4-1\) la \(x^2+1\).
Soluție. Folosim împărțirea lungă, deoarece schema lui Ruffini nu este aplicabilă direct. Completăm deîmpărțitul:
\[ x^4-1=x^4+0x^3+0x^2+0x-1 \]
Se obține:
\[ Q(x)=x^2-1,\qquad R(x)=0 \]
Prin urmare:
\[ x^4-1=(x^2+1)(x^2-1) \]
Exercițiul 8. Împărțiți \(x^3-4x+1\) la \(x+2\) folosind schema lui Ruffini.
Soluție. Completăm:
\[ x^3-4x+1=x^3+0x^2-4x+1 \]
Deoarece \(x+2=x-(-2)\), folosim schema lui Ruffini cu \(-2\):
\[ \begin{array}{r|rrr|r} -2 & 1 & 0 & -4 & 1 \\ & & -2 & 4 & 0 \\ \hline & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array} \]
Deci \(Q(x)=x^2-2x\) și \(R=1\). Prin urmare:
\[ x^3-4x+1=(x+2)(x^2-2x)+1 \]
Exercițiul 9. Fie \(P(x)\) un polinom. Demonstrați că \(x-a\) divide \(P(x)-P(a)\).
Soluție. Considerăm \(H(x)=P(x)-P(a)\). Prin teorema restului, \(x-a\) divide \(H(x)\) dacă și numai dacă \(H(a)=0\). Dar:
\[ H(a)=P(a)-P(a)=0 \]
Deci:
\[ x-a\mid P(x)-P(a) \]
Concluzie
Împărțirea polinoamelor este mult mai mult decât o procedură de calcul. Prin împărțirea lungă se înțelege cum un polinom poate fi redus progresiv prin eliminarea termenilor de grad mai ridicat; prin schema lui Ruffini se vede cum același procedeu poate fi prescurtat atunci când împărțitorul este de forma \(x-a\).
Teorema împărțirii cu rest garantează că un cât și un rest există și sunt unice. Teorema restului arată că, la împărțirea la \(x-a\), restul este pur și simplu \(P(a)\). De aici se naște legătura fundamentală dintre rădăcini, factori și divizibilitate.
Din acest motiv, a învăța corect împărțirea polinoamelor înseamnă a înțelege unul dintre mecanismele centrale ale algebrei: posibilitatea de a descompune, analiza și reconstrui polinoamele pornind de la structura lor internă.