Regula lui Ruffini este un procedeu care permite împărțirea rapidă a unui polinom printr-un binom de gradul întâi de forma \(x-a\). La prima vedere poate părea doar un algoritm de calcul prescurtat, însă semnificația sa este mult mai profundă: ea reprezintă o formă compactă a împărțirii polinoamelor și, totodată, un instrument care leagă valoarea unui polinom într-un punct, restul împărțirii și prezența factorilor liniari.
Tocmai din acest motiv, regula lui Ruffini nu trebuie studiată ca o simplă tehnică mecanică. Ea permite înțelegerea concretă a trei idei fundamentale ale algebrei: împărțirea polinoamelor, teorema restului și teorema factorului.
Cuprins
- Împărțirea unui polinom prin \(x-a\)
- Ideea fundamentală a regulii lui Ruffini
- Enunțul regulii lui Ruffini
- Exemplu de aplicare a regulii lui Ruffini
- Demonstrarea regulii lui Ruffini
- Teorema restului
- Teorema factorului
- Utilizarea regulii lui Ruffini pentru descompunerea unui polinom
- Cazul coeficienților lipsă
- Ruffini și rădăcinile raționale
- Ruffini nu găsește toate rădăcinile
- Împărțirea prin \(ax+b\)
- Exemplu cu împărțitor nemonico
Împărțirea unui polinom prin \(x-a\)
Fie \(P(x)\) un polinom cu coeficienți reali, sau mai general cu coeficienți într-un corp, și fie \(a\) un număr fixat. A împărți \(P(x)\) prin \(x-a\) înseamnă a determina un polinom \(Q(x)\) și o constantă \(r\) astfel încât
\[ P(x)=(x-a)Q(x)+r. \]
Deoarece \(x-a\) are gradul \(1\), restul trebuie să aibă gradul mai mic decât \(1\), deci este în mod necesar o constantă. Regula lui Ruffini servește la determinarea rapidă a câtului \(Q(x)\) și a restului \(r\), fără a efectua de fiecare dată împărțirea lungă a polinoamelor, atunci când împărțitorul este un binom de gradul întâi monic.
Ideea fundamentală a regulii lui Ruffini
Considerăm un polinom de gradul \(n\):
\[ P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0, \]
cu \(c_n\neq 0\). Dacă împărțim \(P(x)\) prin \(x-a\), câtul va avea gradul \(n-1\). Îl scriem sub forma
\[ Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0. \]
Înlocuind expresia lui \(Q(x)\) în relația \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\) și dezvoltând produsul, se obține:
\[ \begin{aligned} P(x)= {} & b_{n-1}x^n+(b_{n-2}-ab_{n-1})x^{n-1} \\ & +(b_{n-3}-ab_{n-2})x^{n-2}+\cdots \\ & +(b_0-ab_1)x+(r-ab_0). \end{aligned} \]
Comparând coeficienții cu cei ai lui \(P(x)\), se obține sistemul de relații
\[ \begin{cases} b_{n-1}=c_n,\\ b_{n-2}=c_{n-1}+ab_{n-1},\\ b_{n-3}=c_{n-2}+ab_{n-2},\\ \quad \vdots\\ b_0=c_1+ab_1,\\ r=c_0+ab_0. \end{cases} \]
Aceste relații reprezintă esența regulii lui Ruffini. Procedeul constă în coborârea primului coeficient, iar apoi în înmulțirea fiecărui coeficient obținut cu \(a\) și adăugarea rezultatului la coeficientul următor.
Enunțul regulii lui Ruffini
Fie \(P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0\) un polinom de gradul \(n\). Pentru a împărți \(P(x)\) prin \(x-a\), se iau în ordine coeficienții \(c_n,\ c_{n-1},\ \ldots,\ c_1,\ c_0\) și se construiește șirul
\[ \begin{cases} b_{n-1}=c_n,\\ b_{k-1}=c_k+ab_k \quad \text{pentru } k=n-1,n-2,\ldots,1,\\ r=c_0+ab_0. \end{cases} \]
Atunci \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\), unde
\[ Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0. \]
Numărul \(r\) este restul împărțirii.
Exemplu de aplicare a regulii lui Ruffini
Împărțim \(P(x)=2x^3-3x^2+4x-5\) prin \(x-2\). În acest caz \(a=2\), iar coeficienții polinomului sunt \(2,\ -3,\ 4,\ -5\). Aplicând regula:
\[ \begin{array}{c|rrrr} 2 & 2 & -3 & 4 & -5\\ & & 4 & 2 & 12\\ \hline & 2 & 1 & 6 & 7 \end{array} \]
Primele trei numere din ultimul rând sunt coeficienții câtului, iar ultimul este restul. Deci \(Q(x)=2x^2+x+6\) și \(r=7\), adică
\[ 2x^3-3x^2+4x-5=(x-2)(2x^2+x+6)+7. \]
Demonstrarea regulii lui Ruffini
Regula lui Ruffini nu este un truc: ea reprezintă scrierea prescurtată a comparației coeficienților în împărțirea \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\).
Prin teorema împărțirii polinoamelor, există un unic cât \(Q(x)\) și un unic rest \(r\) astfel încât \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\). Deoarece împărțitorul are gradul \(1\), câtul are gradul \(n-1\). Scriem deci
\[ Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0. \]
Dezvoltând \((x-a)Q(x)\):
\[ \begin{aligned} (x-a)Q(x) ={}& xQ(x)-aQ(x)\\ ={}& b_{n-1}x^n+b_{n-2}x^{n-1}+\cdots+b_1x^2+b_0x\\ &-ab_{n-1}x^{n-1}-ab_{n-2}x^{n-2}-\cdots-ab_1x-ab_0. \end{aligned} \]
Adăugând restul \(r\), obținem
\[ \begin{aligned} P(x)= {} & b_{n-1}x^n+(b_{n-2}-ab_{n-1})x^{n-1}\\ & +(b_{n-3}-ab_{n-2})x^{n-2}+\cdots\\ & +(b_0-ab_1)x+(r-ab_0). \end{aligned} \]
Deoarece două polinoame sunt egale dacă și numai dacă au aceiași coeficienți, comparând cu \(P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0\) se obține:
\[ \begin{cases} c_n=b_{n-1},\\ c_{n-1}=b_{n-2}-ab_{n-1},\\ c_{n-2}=b_{n-3}-ab_{n-2},\\ \quad \vdots\\ c_1=b_0-ab_1,\\ c_0=r-ab_0. \end{cases} \]
Rezolvând în raport cu \(b_k\), se obțin exact relațiile regulii lui Ruffini.
Teorema restului
Teorema restului afirmă că restul împărțirii lui \(P(x)\) prin \(x-a\) este egal cu \(P(a)\).
Demonstrație. Din \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\), punând \(x=a\) se obține \(P(a)=(a-a)Q(a)+r=r\). Deci restul coincide cu valoarea polinomului în punctul \(a\).
Teorema factorului
Din teorema restului se obține imediat teorema factorului: \(x-a\) divide \(P(x)\) dacă și numai dacă \(P(a)=0\).
\[ x-a \text{ divide } P(x) \quad \Longleftrightarrow \quad P(a)=0. \]
Demonstrație. Din \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\) și din teorema restului știm că \(r=P(a)\). Dacă \(x-a\) divide \(P(x)\), atunci \(r=0\), deci \(P(a)=0\). Reciproc, dacă \(P(a)=0\), atunci \(r=0\) și deci \(P(x)=(x-a)Q(x)\), adică \(x-a\) este un factor al lui \(P(x)\). Cele două implicații demonstrează echivalența.
Utilizarea regulii lui Ruffini pentru descompunerea unui polinom
Una dintre principalele utilizări ale regulii lui Ruffini constă în descompunerea polinoamelor în factori. Dacă se găsește un număr \(a\) astfel încât \(P(a)=0\), atunci prin teorema factorului \(x-a\) divide \(P(x)\). Regula lui Ruffini permite apoi obținerea câtului, adică factorul complementar în factorizare.
Considerăm \(P(x)=x^3-4x^2+x+6\). Verificând \(x=2\):
\[ P(2)=8-16+2+6=0. \]
Deci \(x-2\) este un factor. Aplicăm regula lui Ruffini:
\[ \begin{array}{c|rrrr} 2 & 1 & -4 & 1 & 6\\ & & 2 & -4 & -6\\ \hline & 1 & -2 & -3 & 0 \end{array} \]
Se obține \(P(x)=(x-2)(x^2-2x-3)\). Deoarece \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\), descompunerea completă este
\[ x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x-3)(x+1). \]
Cazul coeficienților lipsă
Când se aplică regula lui Ruffini, este esențial să se scrie toți coeficienții polinomului, inclusiv cei ai termenilor lipsă. Un termen lipsă corespunde unui coeficient nul.
Considerăm polinomul \(P(x)=x^4-3x^2+2x-1\). Din acest polinom lipsește termenul de gradul \(3\). Pentru a aplica corect regula lui Ruffini, trebuie scris
\[ P(x)=x^4+0x^3-3x^2+2x-1, \]
cu coeficienții \(1,\ 0,\ -3,\ 2,\ -1\). Omiterea lui zero ar modifica poziția coeficienților și ar conduce la o împărțire incorectă.
Ruffini și rădăcinile raționale
În practică, regula lui Ruffini este adesea utilizată împreună cu căutarea rădăcinilor raționale ale unui polinom. Dacă un polinom are coeficienți întregi, eventualele rădăcini raționale nu sunt arbitrare: ele sunt determinate de coeficienții polinomului.
În particular, dacă \(P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0\) are coeficienți întregi și \(\dfrac{p}{q}\), redusă la forma ireductibilă, este o rădăcină rațională a lui \(P(x)\), atunci \(p\) divide termenul liber \(c_0\) și \(q\) divide coeficientul principal \(c_n\). În cazul monic (\(c_n=1\)), orice rădăcină rațională trebuie să fie un divizor întreg al termenului liber.
Demonstrație (Criteriul rădăcinilor raționale). Presupunem că \(P\!\left(\dfrac{p}{q}\right)=0\), cu \(p\) și \(q\) numere întregi prime între ele și \(q\neq 0\). Atunci
\[ c_n\left(\frac{p}{q}\right)^n+c_{n-1}\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+\cdots+c_1\frac{p}{q}+c_0=0. \]
Înmulțind cu \(q^n\):
\[ c_np^n+c_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+c_1pq^{n-1}+c_0q^n=0. \]
Trecând \(c_0q^n\) în membrul drept, membrul stâng este divizibil cu \(p\), deci și \(c_0q^n\) este. Deoarece \(p\) și \(q^n\) sunt prime între ele, rezultă că \(p\mid c_0\). Analogic, izolând \(c_np^n\), se obține că \(q\mid c_n\).
Exemplu complet (Descompunere cu ajutorul regulii lui Ruffini). Descompunem \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\). Deoarece polinomul este monic, eventualele rădăcini întregi sunt divizori ai termenului liber \(-6\):
\[ \pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6. \]
Calculăm \(P(1)=1-6+11-6=0\). Deci \(x-1\) este un factor. Aplicăm regula lui Ruffini:
\[ \begin{array}{c|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6\\ & & 1 & -5 & 6\\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
Se obține \(P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)\). Deoarece \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), descompunerea completă este
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3). \]
Ruffini nu găsește toate rădăcinile
Este important să se evite o confuzie frecventă: regula lui Ruffini nu este o metodă universală de găsire a tuturor rădăcinilor unui polinom. Ea permite împărțirea unui polinom printr-un binom de forma \(x-a\) și descompunerea lui atunci când se cunoaște o rădăcină \(a\), dar nu permite identificarea automată a rădăcinilor iraționale sau complexe.
Dacă un polinom nu are rădăcini raționale, căutarea sistematică printre divizorii termenului liber nu conduce la niciun rezultat. De exemplu, \(x^2+1\) nu are rădăcini reale și nu poate fi descompus în factori liniari reali.
Împărțirea prin \(ax+b\)
Regula lui Ruffini se referă la împărțirea printr-un binom monic \(x-a\). Un binom generic \(ax+b\) cu \(a\neq 0\) poate fi însă rescris ca
\[ ax+b=a\!\left(x-\left(-\frac{b}{a}\right)\right), \]
a cărui rădăcină este \(x=-\dfrac{b}{a}\). Pentru a verifica dacă \(ax+b\) divide \(P(x)\), este suficient să verificăm dacă \(P\!\left(-\dfrac{b}{a}\right)=0\).
Trebuie însă să fim atenți: împărțirea prin \(ax+b\) nu este același lucru cu împărțirea prin \(x+\dfrac{b}{a}\), deoarece cei doi împărțitori diferă prin factorul constant \(a\). Rădăcina este aceeași, dar câtul se modifică în consecință.
Exemplu cu împărțitor nemonico
Împărțim \(P(x)=2x^2-3x-2\) prin \(2x+1\). Împărțitorul se anulează în \(x=-\dfrac{1}{2}\). Verificăm:
\[ P\!\left(-\frac{1}{2}\right)=2\cdot\frac{1}{4}-3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-2=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-2=0. \]
Deci \(2x+1\) divide \(P(x)\). Într-adevăr, \(2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)\). Pentru a aplica regula lui Ruffini, se trece la binomul monic \(x+\dfrac{1}{2}\): împărțirea produce un cât diferit față de cel obținut prin împărțirea cu \(2x+1\), dar verificarea divizibilității are loc în același punct \(x=-\dfrac{1}{2}\).
Regula lui Ruffini este mult mai mult decât o scurtătură de calcul. Ea se naște din împărțirea polinoamelor și sintetizează în formă operativă comparația coeficienților în împărțirea printr-un binom de gradul întâi.
Semnificația sa teoretică se relevă mai ales prin teorema restului și teorema factorului. Împărțirea unui polinom prin \(x-a\), calculul lui \(P(a)\), determinarea dacă \(a\) este o rădăcină și verificarea dacă \(x-a\) este un factor sunt aspecte diferite ale aceleiași structuri algebrice.
Din acest motiv, regula lui Ruffini nu trebuie reținută doar ca o tabelă de completat, ci ca un pod între calcul și teorie: pe de o parte simplifică împărțirea polinoamelor, pe de altă parte permite lectura factorizării unui polinom prin intermediul rădăcinilor sale.