O colecție progresivă de 20 de exerciții rezolvate despre valoarea absolută, concepută pentru a învăța să utilizăm corect definiția modulului, semnificația sa geometrică și principalele proprietăți operatorii.
În fiecare exercițiu, valoarea absolută nu este tratată ca o simplă regulă mecanică pentru «eliminarea semnului minus», ci ca o cantitate care măsoară o distanță. Din acest motiv, fiecare pas este justificat cu atenție, distingând cazurile în care expresia din interiorul modulului este pozitivă, nulă sau negativă.
Exercițiile pornesc de la calculul direct al valorilor absolute numerice și ajung treptat la expresii literale, distanțe pe dreapta reală, simplificări cu module și primele ecuații cu valoare absolută.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Calculați:
\[ |7| \]
Rezultat
\[ |7|=7 \]
Rezolvare
Valoarea absolută a unui număr real măsoară distanța sa față de \(0\) pe dreapta reală. Deoarece o distanță nu poate fi negativă, valoarea absolută este întotdeauna un număr mai mare sau egal cu zero.
În acest caz, numărul din interiorul valorii absolute este \(7\). Deoarece:
\[ 7>0, \]
trebuie să aplicăm primul caz al definiției:
\[ |x|=x \qquad \text{dacă } x\geq 0. \]
Prin urmare:
\[ |7|=7. \]
Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că numărul \(7\) se află la distanța \(7\) față de \(0\) pe dreapta reală.
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Calculați:
\[ |-9| \]
Rezultat
\[ |-9|=9 \]
Rezolvare
Numărul din interiorul valorii absolute este \(-9\), adică un număr negativ.
În acest caz, trebuie să aplicăm a doua ramură a definiției valorii absolute:
\[ |x|=-x \qquad \text{dacă } x<0. \]
Aici \(x=-9\). Deci:
\[ |-9|=-(-9). \]
Deoarece opusul lui \(-9\) este \(9\), obținem:
\[ |-9|=9. \]
Aceasta nu înseamnă că valoarea absolută «schimbă întotdeauna semnul». Înseamnă mai degrabă că returnează distanța numărului față de \(0\). Numărul \(-9\) se află la \(9\) unități față de \(0\), deci modulul său este \(9\).
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Calculați:
\[ |0| \]
Rezultat
\[ |0|=0 \]
Rezolvare
Valoarea absolută a lui \(0\) este \(0\), deoarece \(0\) se află la distanță nulă față de sine.
Putem verifica aceasta și direct din definiție. Deoarece:
\[ 0\geq 0, \]
se aplică primul caz:
\[ |x|=x \qquad \text{dacă } x\geq 0. \]
Substituind \(x=0\), obținem:
\[ |0|=0. \]
Acest exemplu este important deoarece arată că valoarea absolută nu returnează întotdeauna un număr pozitiv, ci un număr nenegativ. Într-adevăr, \(0\) nu este pozitiv: este nul.
Exercițiul 4 — nivel ★☆☆☆☆
Calculați:
\[ |3-8| \]
Rezultat
\[ |3-8|=5 \]
Rezolvare
Înainte de a aplica valoarea absolută, trebuie să calculăm expresia din interiorul său.
Avem:
\[ 3-8=-5. \]
Astfel, expresia devine:
\[ |3-8|=|-5|. \]
Numărul \(-5\) este negativ. Prin definiție, dacă \(x<0\), atunci:
\[ |x|=-x. \]
Aplicând această regulă pentru \(x=-5\), obținem:
\[ |-5|=-(-5)=5. \]
Prin urmare:
\[ |3-8|=5. \]
Greșeala de evitat este să scriem imediat \(|3-8|=3-8\). Aceasta ar fi incorect, deoarece trebuie mai întâi să verificăm dacă expresia interioară este pozitivă, nulă sau negativă.
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Calculați:
\[ |-4|+|6|-|{-2}| \]
Rezultat
\[ |-4|+|6|-|{-2}|=8 \]
Rezolvare
Expresia conține mai multe valori absolute. Este indicat să le calculăm pe rând, observând semnul numerelor care apar în interiorul modulelor.
Să considerăm prima valoare absolută:
\[ |-4|. \]
Deoarece \(-4\) este negativ, valoarea sa absolută este opusul său:
\[ |-4|=4. \]
Să considerăm acum:
\[ |6|. \]
Deoarece \(6\) este pozitiv, valoarea absolută coincide cu numărul însuși:
\[ |6|=6. \]
În fine:
\[ |{-2}|. \]
Deoarece \(-2\) este negativ, avem:
\[ |{-2}|=2. \]
Substituind aceste valori în expresia inițială:
\[ |-4|+|6|-|{-2}|=4+6-2. \]
Efectuând calculele:
\[ 4+6-2=10-2=8. \]
Deci:
\[ |-4|+|6|-|{-2}|=8. \]
Acest exercițiu arată că valoarea absolută trebuie calculată înaintea operațiilor exterioare. Abia după eliminarea corectă a modulelor putem efectua adunări și scăderi.
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Calculați:
\[ |2-7|+|-3| \]
Rezultat
\[ |2-7|+|-3|=8 \]
Rezolvare
Pentru a calcula corect expresia, trebuie să simplificăm mai întâi ce se află în interiorul valorilor absolute.
Să considerăm primul modul:
\[ |2-7|. \]
Efectuăm scăderea:
\[ 2-7=-5. \]
Deci:
\[ |2-7|=|-5|. \]
Deoarece \(-5\) este negativ, valoarea sa absolută este:
\[ |-5|=5. \]
Să considerăm acum a doua valoare absolută:
\[ |-3|. \]
Și \(-3\) este negativ, prin urmare:
\[ |-3|=3. \]
Substituind aceste rezultate în expresia inițială, obținem:
\[ |2-7|+|-3|=5+3. \]
Efectuând adunarea:
\[ 5+3=8. \]
Deci:
\[ |2-7|+|-3|=8. \]
Din punct de vedere geometric, valorile absolute reprezintă distanțe pe dreapta reală. Distanțele sunt întotdeauna cantități nenegative, de aceea modulele sunt transformate în numere pozitive sau nule.
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Simplificați:
\[ |x| \qquad \text{știind că } x<0 \]
Rezultat
\[ |x|=-x \]
Rezolvare
Expresia conține o variabilă, prin urmare nu putem calcula direct valoarea absolută așa cum am procedat în exercițiile numerice. Trebuie, în schimb, să recurgem la definiție.
Enunțul ne spune că:
\[ x<0. \]
Aceasta înseamnă că \(x\) este un număr negativ.
Prin definiție:
\[ |x|= \begin{cases} x & \text{dacă } x\geq 0,\\ -x & \text{dacă } x<0. \end{cases} \]
Deoarece ne aflăm în cazul \(x<0\), trebuie să aplicăm a doua ramură a definiției:
\[ |x|=-x. \]
Este important să înțelegem semnificația acestei scrieri. Dacă \(x\) este negativ, atunci \(-x\) este pozitiv. De exemplu, dacă:
\[ x=-4, \]
atunci:
\[ |x|=-(-4)=4. \]
Prin urmare:
\[ |x|=-x \qquad \text{când } x<0. \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Simplificați:
\[ |x-3| \qquad \text{știind că } x>3 \]
Rezultat
\[ |x-3|=x-3 \]
Rezolvare
Pentru a elimina valoarea absolută, trebuie să studiem semnul expresiei din interiorul său.
În interiorul modulului apare:
\[ x-3. \]
Enunțul ne spune că:
\[ x>3. \]
Scăzând \(3\) din ambii membri ai inecuației, obținem:
\[ x-3>0. \]
Prin urmare, expresia din interiorul valorii absolute este pozitivă.
Când o cantitate este pozitivă sau nulă, valoarea absolută coincide cu cantitatea însăși:
\[ |a|=a \qquad \text{dacă } a\geq 0. \]
Aplicând această proprietate cu \(a=x-3\), obținem:
\[ |x-3|=x-3. \]
Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că pentru valori ale lui \(x\) mai mari decât \(3\), distanța dintre \(x\) și \(3\) coincide pur și simplu cu \(x-3\).
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Simplificați:
\[ |x-3| \qquad \text{știind că } x<3 \]
Rezultat
\[ |x-3|=3-x \]
Rezolvare
Și în acest exercițiu trebuie să studiem semnul expresiei care apare în interiorul modulului.
Expresia este:
\[ x-3. \]
Enunțul ne spune că:
\[ x<3. \]
Scăzând \(3\) din ambii membri, obținem:
\[ x-3<0. \]
Deci expresia din interiorul valorii absolute este negativă.
Când o cantitate este negativă, valoarea absolută este egală cu opusul său:
\[ |a|=-a \qquad \text{dacă } a<0. \]
Aplicând această regulă pentru \(a=x-3\), obținem:
\[ |x-3|=-(x-3). \]
Acum eliminăm paranteza schimbând semnul tuturor termenilor:
\[ -(x-3)=-x+3. \]
Putem scrie și:
\[ -x+3=3-x. \]
Prin urmare:
\[ |x-3|=3-x. \]
Acest rezultat este coerent cu interpretarea geometrică a valorii absolute. Dacă \(x\) se află la stânga lui \(3\) pe dreapta reală, distanța dintre \(x\) și \(3\) este dată de \(3-x\).
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
Calculați:
\[ |{-3}\cdot 4| \]
Rezultat
\[ |{-3}\cdot 4|=12 \]
Rezolvare
Putem rezolva exercițiul în două moduri diferite.
Prima metodă constă în calcularea mai întâi a produsului din interiorul valorii absolute.
Avem:
\[ -3\cdot 4=-12. \]
Deci:
\[ |{-3}\cdot 4|=|-12|. \]
Deoarece \(-12\) este negativ:
\[ |-12|=12. \]
Obținem astfel:
\[ |{-3}\cdot 4|=12. \]
Putem folosi însă și proprietatea valorii absolute a produsului:
\[ |ab|=|a|\cdot |b|. \]
Aplicând-o, obținem:
\[ |{-3}\cdot 4|=|{-3}|\cdot |4|. \]
Acum:
\[ |{-3}|=3 \qquad \text{și} \qquad |4|=4. \]
Deci:
\[ |{-3}\cdot 4|=3\cdot 4=12. \]
Cele două metode conduc la același rezultat:
\[ |{-3}\cdot 4|=12. \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Calculați:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right| \]
Rezultat
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=4 \]
Rezolvare
Și în acest exercițiu putem proceda în două moduri diferite.
Prima metodă constă în calcularea mai întâi a împărțirii care apare în interiorul valorii absolute.
Avem:
\[ \frac{-12}{3}=-4. \]
Expresia devine astfel:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=|-4|. \]
Deoarece \(-4\) este negativ, valoarea sa absolută este opusul său:
\[ |-4|=4. \]
Deci:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=4. \]
Putem folosi însă și proprietatea valorii absolute a câtului:
\[ \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|} \qquad \text{cu } b\neq 0. \]
Aplicând această proprietate, obținem:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right| = \frac{|-12|}{|3|}. \]
Acum:
\[ |-12|=12 \qquad \text{și} \qquad |3|=3. \]
Deci:
\[ \frac{|-12|}{|3|} = \frac{12}{3}=4. \]
Și cu această metodă obținem:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=4. \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Simplificați:
\[ \sqrt{(-5)^2} \]
Rezultat
\[ \sqrt{(-5)^2}=5 \]
Rezolvare
Acest exercițiu este foarte important deoarece permite clarificarea uneia dintre proprietățile fundamentale ale valorii absolute:
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
Mulți elevi scriu eronat:
\[ \sqrt{x^2}=x, \]
însă această egalitate nu este adevărată pentru toate numerele reale. Rădăcina pătrată principală returnează întotdeauna un număr nenegativ.
În cazul nostru:
\[ \sqrt{(-5)^2}=|-5|. \]
Calculăm acum valoarea absolută:
\[ |-5|=5. \]
Deci:
\[ \sqrt{(-5)^2}=5. \]
Putem verifica rezultatul și direct:
\[ (-5)^2=25. \]
Prin urmare:
\[ \sqrt{25}=5. \]
Rezultatul este \(5\), nu \(-5\), deoarece rădăcina pătrată principală este întotdeauna nenegativă.
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Calculați distanța dintre numerele:
\[ -2 \qquad \text{și} \qquad 5 \]
Rezultat
\[ 7 \]
Rezolvare
Distanța dintre două numere reale \(a\) și \(b\) se calculează prin valoarea absolută a diferenței lor:
\[ |a-b|. \]
În acest exercițiu, cele două numere sunt:
\[ a=-2 \qquad \text{și} \qquad b=5. \]
Putem deci scrie:
\[ |-2-5|. \]
Efectuăm scăderea:
\[ -2-5=-7. \]
Obținem:
\[ |-7|. \]
Deoarece \(-7\) este negativ:
\[ |-7|=7. \]
Deci distanța dintre \(-2\) și \(5\) este:
\[ 7. \]
Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că pe dreapta reală sunt necesare \(7\) unități pentru a merge de la \(-2\) la \(5\).
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Simplificați:
\[ |x|^2 \]
Rezultat
\[ |x|^2=x^2 \]
Rezolvare
O proprietate fundamentală a valorii absolute afirmă că:
\[ |x|^2=x^2. \]
Această egalitate este adevărată pentru orice număr real \(x\).
Pentru a înțelege de ce, trebuie să distingem două cazuri.
Primul caz: \(x\geq 0\).
În acest caz:
\[ |x|=x. \]
Ridicând la pătrat:
\[ |x|^2=x^2. \]
Al doilea caz: \(x<0\).
În acest caz:
\[ |x|=-x. \]
Ridicând la pătrat:
\[ |x|^2=(-x)^2. \]
Dar pătratul unui număr și pătratul opusului său coincid:
\[ (-x)^2=x^2. \]
Deci și în acest caz:
\[ |x|^2=x^2. \]
Putem, prin urmare, concluziona că:
\[ |x|^2=x^2 \]
pentru orice număr real \(x\).
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
Rezolvați:
\[ |x|=4 \]
Rezultat
\[ S=\{-4,4\} \]
Rezolvare
Ecuația:
\[ |x|=4 \]
cere să găsim toate numerele care au distanța \(4\) față de \(0\) pe dreapta reală.
Există două numere cu această proprietate:
\[ 4 \qquad \text{și} \qquad -4. \]
Într-adevăr:
\[ |4|=4 \]
și:
\[ |-4|=4. \]
Putem deci scrie:
\[ x=4 \qquad \text{sau} \qquad x=-4. \]
Mulțimea soluțiilor este, prin urmare:
\[ S=\{-4,4\}. \]
În general, când:
\[ |x|=a \qquad \text{cu } a>0, \]
soluțiile sunt:
\[ x=\pm a. \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Rezolvați:
\[ |x|=0 \]
Rezultat
\[ S=\{0\} \]
Rezolvare
Valoarea absolută a unui număr reprezintă distanța sa față de \(0\) pe dreapta reală.
Ecuația:
\[ |x|=0 \]
cere, prin urmare, să găsim toate numerele a căror distanță față de \(0\) este nulă.
Există un singur număr cu această proprietate:
\[ x=0. \]
Într-adevăr:
\[ |0|=0. \]
Niciun alt număr nu satisface ecuația, deoarece valoarea absolută a unui număr diferit de zero este întotdeauna strict pozitivă.
Putem, prin urmare, concluziona că:
\[ S=\{0\}. \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Rezolvați:
\[ |x|=-3 \]
Rezultat
\[ S=\varnothing \]
Rezolvare
Valoarea absolută a unui număr real este întotdeauna mai mare sau egală cu zero. Într-adevăr:
\[ |x|\geq 0 \]
pentru orice număr real \(x\).
În ecuația:
\[ |x|=-3 \]
al doilea membru este negativ.
Aceasta este imposibil, deoarece o distanță nu poate fi negativă.
Nu există, prin urmare, niciun număr real al cărui modul să fie egal cu \(-3\).
Prin urmare, ecuația nu are soluții:
\[ S=\varnothing. \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Rezolvați:
\[ |x-2|=5 \]
Rezultat
\[ S=\{-3,7\} \]
Rezolvare
Ecuația:
\[ |x-2|=5 \]
exprimă o distanță. În particular, \(|x-2|\) reprezintă distanța dintre \(x\) și \(2\) pe dreapta reală.
Ecuația cere, prin urmare, să găsim toate numerele situate la \(5\) unități față de \(2\).
Pe dreapta reală există două posibilități:
- numărul se află la \(5\) unități la dreapta lui \(2\);
- numărul se află la \(5\) unități la stânga lui \(2\).
Din punct de vedere algebric, aceasta înseamnă să rezolvăm cele două ecuații:
\[ x-2=5 \]
sau:
\[ x-2=-5. \]
Rezolvăm prima:
\[ x-2=5. \]
Adunând \(2\) la ambii membri:
\[ x=7. \]
Rezolvăm acum a doua:
\[ x-2=-5. \]
Adunând \(2\) la ambii membri:
\[ x=-3. \]
Soluțiile ecuației sunt, prin urmare:
\[ x=-3 \qquad \text{sau} \qquad x=7. \]
Deci:
\[ S=\{-3,7\}. \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
Rezolvați:
\[ |2x-1|=7 \]
Rezultat
\[ S=\left\{-3,4\right\} \]
Rezolvare
Când o ecuație are forma:
\[ |A|=k \qquad \text{cu } k>0, \]
trebuie să considerăm două posibilități:
\[ A=k \]
sau:
\[ A=-k. \]
În cazul nostru:
\[ A=2x-1 \qquad \text{și} \qquad k=7. \]
Trebuie, prin urmare, să rezolvăm cele două ecuații:
\[ 2x-1=7 \]
sau:
\[ 2x-1=-7. \]
Rezolvăm prima:
\[ 2x-1=7. \]
Adunăm \(1\) la ambii membri:
\[ 2x=8. \]
Împărțind la \(2\):
\[ x=4. \]
Trecem acum la a doua ecuație:
\[ 2x-1=-7. \]
Adunăm \(1\):
\[ 2x=-6. \]
Împărțind la \(2\):
\[ x=-3. \]
Soluțiile ecuației sunt, prin urmare:
\[ x=-3 \qquad \text{sau} \qquad x=4. \]
Deci:
\[ S=\left\{-3,4\right\}. \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Rezolvați:
\[ |x+4|=|x-2| \]
Rezultat
\[ S=\{-1\} \]
Rezolvare
Ecuația:
\[ |x+4|=|x-2| \]
compară două distanțe.
Termenul:
\[ |x+4|=|x-(-4)| \]
reprezintă distanța dintre \(x\) și \(-4\).
Termenul:
\[ |x-2| \]
reprezintă, în schimb, distanța dintre \(x\) și \(2\).
Ecuația cere, prin urmare, să găsim punctul de pe dreapta reală care are aceeași distanță față de \(-4\) și față de \(2\).
Intuitiv, acest punct este mijlocul segmentului dintre \(-4\) și \(2\).
Să calculăm acum soluția în mod algebric.
Ridicăm la pătrat ambii membri:
\[ |x+4|^2=|x-2|^2. \]
Deoarece:
\[ |a|^2=a^2, \]
obținem:
\[ (x+4)^2=(x-2)^2. \]
Dezvoltăm ambele pătrate:
\[ x^2+8x+16=x^2-4x+4. \]
Eliminăm \(x^2\) din ambii membri:
\[ 8x+16=-4x+4. \]
Aducem termenii cu \(x\) în primul membru și termenii liberi în al doilea:
\[ 8x+4x=4-16. \]
Obținem:
\[ 12x=-12. \]
Împărțind la \(12\):
\[ x=-1. \]
Verificăm:
\[ |-1+4|=|3|=3 \]
și:
\[ |-1-2|=|-3|=3. \]
Cei doi membri coincid, deci soluția este corectă.
Prin urmare:
\[ S=\{-1\}. \]