O colecție progresivă de 20 de exerciții rezolvate despre ecuații de grad superior, concepută pentru a învăța să recunoști structura ecuației înainte de a începe calculele. Fiecare exercițiu prezintă nu doar pașii algebrici, ci și motivul pentru care o anumită tehnică poate fi aplicată.
Reamintim că o ecuație de grad superior este o ecuație polinomială de cel puțin gradul 3. În cele mai multe cazuri, aceasta nu se rezolvă aplicând o formulă generală, ci căutând să transformăm polinomul într-un produs de factori mai simpli.
Principiul fundamental este:
\[ A\cdot B=0 \quad \Longleftrightarrow \quad A=0 \ \text{sau} \ B=0 \]
Din acest motiv, obiectivul principal va fi întotdeauna același: descompunerea polinomului în factori, urmată de anularea fiecărui factor în parte.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvați:
\[ x^3-5x^2=0 \]
Rezultat
\[ S=\{0,5\} \]
Rezolvare
Observație inițială
Ecuația este de gradul al treilea, deoarece exponentul maxim al variabilei este \(3\). Nu trebuie să căutăm imediat formule complicate: mai întâi este necesar să observăm structura polinomului.
Avem:
\[ x^3-5x^2=0 \]
Cei doi termeni \(x^3\) și \(-5x^2\) au un factor comun. Într-adevăr:
\[ x^3=x^2\cdot x \]
și:
\[ -5x^2=x^2\cdot(-5) \]
Scoaterea factorului comun
Deoarece ambii termeni conțin \(x^2\), putem scoate \(x^2\) factor comun:
\[ x^3-5x^2=x^2(x-5) \]
Ecuația devine astfel:
\[ x^2(x-5)=0 \]
Aplicarea principiului anulării produsului
Avem acum un produs egal cu zero. Un produs este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factorii săi este egal cu zero.
Prin urmare:
\[ x^2=0 \]
sau:
\[ x-5=0 \]
Rezolvarea ecuațiilor obținute
Din prima ecuație:
\[ x^2=0 \]
rezultă în mod necesar:
\[ x=0 \]
Din a doua ecuație:
\[ x-5=0 \]
obținem:
\[ x=5 \]
Concluzie
Soluțiile ecuației sunt:
\[ S=\{0,5\} \]
Observăm că \(x=0\) provine din factorul \(x^2\). În mulțimea soluțiilor, îl scriem o singură dată.
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvați:
\[ x^4-9x^2=0 \]
Rezultat
\[ S=\{-3,0,3\} \]
Rezolvare
Analiza structurii
Ecuația este:
\[ x^4-9x^2=0 \]
Și în acest caz, cei doi termeni au un factor comun. Într-adevăr:
\[ x^4=x^2\cdot x^2 \]
și:
\[ -9x^2=x^2\cdot(-9) \]
Putem, prin urmare, scoate \(x^2\) factor comun.
Prima factorizare
Scoțând \(x^2\) factor comun, obținem:
\[ x^4-9x^2=x^2(x^2-9) \]
Ecuația devine:
\[ x^2(x^2-9)=0 \]
Descompunere suplimentară
Factorul:
\[ x^2-9 \]
nu este încă complet factorizat. Deoarece \(9=3^2\), avem:
\[ x^2-9=x^2-3^2 \]
Aplicăm formula diferenței de pătrate:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]
În cazul nostru \(a=x\) și \(b=3\), deci:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]
Forma factorizată completă
Ecuația devine:
\[ x^2(x-3)(x+3)=0 \]
Acum polinomul este scris ca produs de factori.
Anularea factorilor
Prin principiul anulării produsului, punem fiecare factor egal cu zero:
\[ x^2=0 \]
sau:
\[ x-3=0 \]
sau:
\[ x+3=0 \]
Rezolvare
Din prima ecuație:
\[ x^2=0 \]
rezultă:
\[ x=0 \]
Din a doua:
\[ x-3=0 \]
rezultă:
\[ x=3 \]
Din a treia:
\[ x+3=0 \]
rezultă:
\[ x=-3 \]
Concluzie
Soluțiile sunt:
\[ S=\{-3,0,3\} \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvați:
\[ x^3-8=0 \]
Rezultat
\[ S=\{2\} \]
Rezolvare
Recunoașterea structurii
Ecuația este:
\[ x^3-8=0 \]
Nu există un factor comun de scos. Totuși, putem recunoaște o diferență de cuburi, deoarece:
\[ 8=2^3 \]
Deci:
\[ x^3-8=x^3-2^3 \]
Formula diferenței de cuburi
Reamintim formula:
\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \]
În cazul nostru:
\[ a=x,\qquad b=2 \]
Prin urmare:
\[ x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4) \]
Ecuația factorizată
Ecuația devine:
\[ (x-2)(x^2+2x+4)=0 \]
Putem acum anula fiecare factor în parte.
Primul factor
Din factorul:
\[ x-2=0 \]
obținem:
\[ x=2 \]
Al doilea factor
Considerăm acum:
\[ x^2+2x+4=0 \]
Aceasta este o ecuație de gradul al doilea. Pentru a determina dacă are soluții reale, calculăm discriminantul:
\[ \Delta=b^2-4ac \]
Aici:
\[ a=1,\qquad b=2,\qquad c=4 \]
deci:
\[ \Delta=2^2-4\cdot1\cdot4 \]
adică:
\[ \Delta=4-16=-12 \]
Deoarece discriminantul este negativ, ecuația nu are soluții reale.
Concluzie
Singura soluție reală a ecuației inițiale este:
\[ S=\{2\} \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați:
\[ x^4-16=0 \]
Rezultat
\[ S=\{-2,2\} \]
Rezolvare
Prima recunoaștere
Ecuația este:
\[ x^4-16=0 \]
Observăm că \(x^4\) poate fi scris ca un pătrat:
\[ x^4=(x^2)^2 \]
De asemenea:
\[ 16=4^2 \]
Prin urmare, polinomul este o diferență de pătrate:
\[ x^4-16=(x^2)^2-4^2 \]
Prima descompunere
Aplicăm:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]
cu:
\[ a=x^2,\qquad b=4 \]
Obținem:
\[ x^4-16=(x^2-4)(x^2+4) \]
Verificarea descompunerii
Nu trebuie să ne oprim prea devreme. Factorul:
\[ x^2-4 \]
este tot o diferență de pătrate, deoarece:
\[ 4=2^2 \]
Prin urmare:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Forma finală
Ecuația devine:
\[ (x-2)(x+2)(x^2+4)=0 \]
Anularea factorilor
Punem fiecare factor egal cu zero.
Din primul factor:
\[ x-2=0 \]
obținem:
\[ x=2 \]
Din al doilea factor:
\[ x+2=0 \]
obținem:
\[ x=-2 \]
Rămâne:
\[ x^2+4=0 \]
adică:
\[ x^2=-4 \]
Această ecuație nu are soluții reale, deoarece pătratul unui număr real nu poate fi negativ.
Concluzie
Soluțiile reale sunt:
\[ S=\{-2,2\} \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați:
\[ x^4-5x^2+4=0 \]
Rezultat
\[ S=\{-2,-1,1,2\} \]
Rezolvare
Recunoașterea ecuației bicuadratice
Ecuația este:
\[ x^4-5x^2+4=0 \]
Observăm că apar doar:
\[ x^4,\qquad x^2,\qquad 1 \]
Nu apar puteri impare ale lui \(x\), cum ar fi \(x^3\) sau \(x\). Aceasta sugerează folosirea unei substituții.
Substituție
Notăm:
\[ y=x^2 \]
Atunci:
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
Înlocuind în ecuația inițială, obținem:
\[ y^2-5y+4=0 \]
Am transformat astfel ecuația de gradul al patrulea într-o ecuație de gradul al doilea în variabila \(y\).
Rezolvarea ecuației în \(y\)
Trebuie să rezolvăm:
\[ y^2-5y+4=0 \]
Căutăm două numere cu produsul \(4\) și suma \(-5\). Aceste numere sunt \(-1\) și \(-4\), deoarece:
\[ (-1)(-4)=4 \]
și:
\[ -1-4=-5 \]
Deci:
\[ y^2-5y+4=(y-1)(y-4) \]
Ecuația devine:
\[ (y-1)(y-4)=0 \]
Prin urmare:
\[ y-1=0 \]
sau:
\[ y-4=0 \]
adică:
\[ y=1 \qquad \text{sau} \qquad y=4 \]
Revenirea la variabila inițială
Trebuie să ne amintim că:
\[ y=x^2 \]
Astfel, cele două valori găsite pentru \(y\) generează două ecuații în \(x\).
Din:
\[ y=1 \]
obținem:
\[ x^2=1 \]
deci:
\[ x=\pm1 \]
Din:
\[ y=4 \]
obținem:
\[ x^2=4 \]
deci:
\[ x=\pm2 \]
Concluzie
Soluțiile sunt:
\[ x=-2,\quad x=-1,\quad x=1,\quad x=2 \]
Prin urmare:
\[ S=\{-2,-1,1,2\} \]
Observație importantă
La ecuațiile bicuadratice trebuie să fim atenți la revenirea de la variabila \(y\) la variabila \(x\). De exemplu, din \(x^2=4\) nu se obține doar \(x=2\), ci și \(x=-2\).
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați:
\[ x^6-9x^3=0 \]
Rezultat
\[ S=\left\{0,\sqrt[3]{9}\right\} \]
Rezolvare
Analiză inițială
Ecuația este:
\[ x^6-9x^3=0 \]
Gradul ecuației este \(6\), deoarece exponentul maxim al variabilei este \(6\). Totuși, structura este destul de simplă: ambii termeni conțin o putere comună a lui \(x\).
Într-adevăr:
\[ x^6=x^3\cdot x^3 \]
și:
\[ -9x^3=x^3\cdot(-9) \]
Scoaterea factorului comun
Putem scoate \(x^3\) factor comun:
\[ x^6-9x^3=x^3(x^3-9) \]
Ecuația devine:
\[ x^3(x^3-9)=0 \]
Principiul anulării produsului
Avem acum un produs egal cu zero. Prin urmare, cel puțin unul dintre factori trebuie să fie egal cu zero:
\[ x^3=0 \]
sau:
\[ x^3-9=0 \]
Rezolvarea primului factor
Din prima ecuație:
\[ x^3=0 \]
rezultă:
\[ x=0 \]
Singurul număr real al cărui cub este zero este tocmai \(0\).
Rezolvarea celui de-al doilea factor
Considerăm acum:
\[ x^3-9=0 \]
Trecem \(9\) în membrul drept:
\[ x^3=9 \]
Pentru a-l determina pe \(x\), extragem rădăcina cubică:
\[ x=\sqrt[3]{9} \]
Aceasta este o soluție reală, deoarece orice număr real admite o rădăcină cubică reală.
Concluzie
Soluțiile reale ale ecuației sunt:
\[ S=\left\{0,\sqrt[3]{9}\right\} \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați:
\[ x^4+2x^2-3=0 \]
Rezultat
\[ S=\{-1,1\} \]
Rezolvare
Recunoașterea formei
Ecuația este:
\[ x^4+2x^2-3=0 \]
Observăm că apar doar puteri pare ale variabilei:
\[ x^4,\qquad x^2,\qquad x^0 \]
Aceasta ne sugerează să o tratăm ca pe o ecuație bicuadratică, adică o ecuație de gradul al doilea în raport cu \(x^2\).
Substituție
Notăm:
\[ y=x^2 \]
Atunci:
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
Înlocuind în ecuația inițială, obținem:
\[ y^2+2y-3=0 \]
Rezolvarea ecuației în \(y\)
Trebuie să rezolvăm:
\[ y^2+2y-3=0 \]
Căutăm două numere cu produsul \(-3\) și suma \(2\). Numerele sunt \(3\) și \(-1\), deoarece:
\[ 3\cdot(-1)=-3 \]
și:
\[ 3+(-1)=2 \]
Deci:
\[ y^2+2y-3=(y+3)(y-1) \]
Ecuația devine:
\[ (y+3)(y-1)=0 \]
Prin urmare:
\[ y+3=0 \]
sau:
\[ y-1=0 \]
adică:
\[ y=-3 \qquad \text{sau} \qquad y=1 \]
Revenirea la variabila \(x\)
Reamintim că:
\[ y=x^2 \]
Valoarea \(y=-3\) conduce la:
\[ x^2=-3 \]
Această ecuație nu are soluții reale, deoarece pătratul unui număr real nu poate fi negativ.
Valoarea \(y=1\), în schimb, conduce la:
\[ x^2=1 \]
de unde:
\[ x=\pm1 \]
Concluzie
Soluțiile reale sunt:
\[ S=\{-1,1\} \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați:
\[ x^3+3x^2-4x-12=0 \]
Rezultat
\[ S=\{-3,-2,2\} \]
Rezolvare
Observație inițială
Ecuația este:
\[ x^3+3x^2-4x-12=0 \]
Nu există un factor comun tuturor termenilor. Totuși, termenii pot fi grupați câte doi în mod util.
Scriem:
\[ x^3+3x^2-4x-12=(x^3+3x^2)+(-4x-12) \]
Factorizare prin grupare
În primul grup:
\[ x^3+3x^2 \]
putem scoate \(x^2\) factor comun:
\[ x^3+3x^2=x^2(x+3) \]
În al doilea grup:
\[ -4x-12 \]
putem scoate \(-4\) factor comun:
\[ -4x-12=-4(x+3) \]
Deci:
\[ x^3+3x^2-4x-12=x^2(x+3)-4(x+3) \]
Scoaterea factorului comun binomial
Acum apare același factor \((x+3)\) în ambii termeni:
\[ x^2(x+3)-4(x+3) \]
Scoțând \((x+3)\) factor comun:
\[ x^2(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x^2-4) \]
Descompunere suplimentară
Factorul:
\[ x^2-4 \]
este o diferență de pătrate:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Prin urmare:
\[ x^3+3x^2-4x-12=(x+3)(x-2)(x+2) \]
Ecuația factorizată
Ecuația devine:
\[ (x+3)(x-2)(x+2)=0 \]
Anularea factorilor
Punem fiecare factor egal cu zero:
\[ x+3=0 \]
sau:
\[ x-2=0 \]
sau:
\[ x+2=0 \]
Obținem respectiv:
\[ x=-3,\qquad x=2,\qquad x=-2 \]
Concluzie
Soluțiile sunt:
\[ S=\{-3,-2,2\} \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați:
\[ x^3-6x^2+11x-6=0 \]
Rezultat
\[ S=\{1,2,3\} \]
Rezolvare
Observație inițială
Ecuația este:
\[ x^3-6x^2+11x-6=0 \]
Nu este imediat descompozabilă prin factor comun sau produse remarcabile. În aceste cazuri, pentru un polinom cu coeficienți întregi, o strategie firească este să căutăm eventuale rădăcini raționale.
Căutarea unei rădăcini raționale
Dacă un polinom cu coeficienți întregi admite o rădăcină întreagă, aceasta trebuie să fie un divizor al termenului liber. Termenul liber este \(-6\), deci încercăm printre divizorii lui \(6\):
\[ \pm1,\quad \pm2,\quad \pm3,\quad \pm6 \]
Notăm:
\[ P(x)=x^3-6x^2+11x-6 \]
Calculăm \(P(1)\):
\[ P(1)=1^3-6\cdot1^2+11\cdot1-6 \]
adică:
\[ P(1)=1-6+11-6=0 \]
Deci \(x=1\) este o rădăcină a polinomului.
Semnificația rădăcinii găsite
Dacă \(x=1\) este o rădăcină, atunci polinomul este divizibil cu:
\[ x-1 \]
Aceasta înseamnă că putem scrie:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)Q(x) \]
unde \(Q(x)\) este un polinom de gradul al doilea.
Împărțirea prin schema lui Horner
Împărțim polinomul la \(x-1\). Coeficienții polinomului sunt:
\[ 1,\quad -6,\quad 11,\quad -6 \]
Aplicând schema lui Horner cu rădăcina \(1\), obținem câtul:
\[ x^2-5x+6 \]
Deci:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6) \]
Descompunerea trinomului de gradul al doilea
Trebuie acum să descompunem:
\[ x^2-5x+6 \]
Căutăm două numere cu produsul \(6\) și suma \(-5\). Numerele sunt \(-2\) și \(-3\), deoarece:
\[ (-2)(-3)=6 \]
și:
\[ -2-3=-5 \]
Deci:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Forma complet factorizată
Ecuația inițială devine:
\[ (x-1)(x-2)(x-3)=0 \]
Aplicarea principiului anulării produsului
Un produs este nul dacă cel puțin unul dintre factori este nul. Prin urmare:
\[ x-1=0 \]
sau:
\[ x-2=0 \]
sau:
\[ x-3=0 \]
De unde:
\[ x=1,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
Concluzie
Soluțiile ecuației sunt:
\[ S=\{1,2,3\} \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați:
\[ x^6-13x^3+36=0 \]
Rezultat
\[ S=\left\{\sqrt[3]{4},\sqrt[3]{9}\right\} \]
Rezolvare
Recunoașterea structurii trinomiale
Ecuația este:
\[ x^6-13x^3+36=0 \]
Observăm că exponenții prezenți sunt \(6\), \(3\) și \(0\). În particular:
\[ x^6=(x^3)^2 \]
Aceasta sugerează o substituție similară celei folosite pentru ecuațiile de gradul al doilea.
Substituție
Notăm:
\[ y=x^3 \]
Atunci:
\[ x^6=(x^3)^2=y^2 \]
Înlocuind în ecuație, obținem:
\[ y^2-13y+36=0 \]
Rezolvarea ecuației în \(y\)
Descompunem trinomul:
\[ y^2-13y+36 \]
Căutăm două numere cu produsul \(36\) și suma \(-13\). Numerele sunt \(-4\) și \(-9\), deoarece:
\[ (-4)(-9)=36 \]
și:
\[ -4-9=-13 \]
Deci:
\[ y^2-13y+36=(y-4)(y-9) \]
Ecuația devine:
\[ (y-4)(y-9)=0 \]
Prin urmare:
\[ y=4 \qquad \text{sau} \qquad y=9 \]
Revenirea la variabila inițială
Deoarece am notat:
\[ y=x^3 \]
trebuie să rezolvăm:
\[ x^3=4 \]
sau:
\[ x^3=9 \]
În mulțimea numerelor reale, orice ecuație de forma \(x^3=a\) are o singură soluție reală:
\[ x=\sqrt[3]{a} \]
Prin urmare obținem:
\[ x=\sqrt[3]{4} \]
sau:
\[ x=\sqrt[3]{9} \]
Concluzie
Soluțiile reale sunt:
\[ S=\left\{\sqrt[3]{4},\sqrt[3]{9}\right\} \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați:
\[ x^5-4x^3=0 \]
Rezultat
\[ S=\{-2,0,2\} \]
Rezolvare
Analiză inițială
Ecuația este:
\[ x^5-4x^3=0 \]
Exponentul maxim este \(5\), deci este vorba de o ecuație de gradul al cincilea. Totuși, nu trebuie să ne lăsăm intimidați de grad: polinomul are un factor comun evident.
Într-adevăr:
\[ x^5=x^3\cdot x^2 \]
și:
\[ -4x^3=x^3\cdot(-4) \]
Scoaterea factorului comun
Scoțând \(x^3\) factor comun:
\[ x^5-4x^3=x^3(x^2-4) \]
Ecuația devine:
\[ x^3(x^2-4)=0 \]
Descompunerea celui de-al doilea factor
Factorul:
\[ x^2-4 \]
este o diferență de pătrate, deoarece \(4=2^2\). Deci:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Prin urmare:
\[ x^5-4x^3=x^3(x-2)(x+2) \]
Forma factorizată a ecuației
Ecuația se rescrie astfel:
\[ x^3(x-2)(x+2)=0 \]
Anularea factorilor
Punem fiecare factor egal cu zero:
\[ x^3=0 \]
sau:
\[ x-2=0 \]
sau:
\[ x+2=0 \]
Din prima ecuație obținem:
\[ x=0 \]
Din a doua:
\[ x=2 \]
Din a treia:
\[ x=-2 \]
Concluzie
Soluțiile sunt:
\[ S=\{-2,0,2\} \]
Chiar dacă \(x=0\) provine din factorul \(x^3\), în mulțimea soluțiilor se scrie o singură dată.
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați:
\[ x^4-10x^2+9=0 \]
Rezultat
\[ S=\{-3,-1,1,3\} \]
Rezolvare
Recunoașterea structurii
Ecuația este:
\[ x^4-10x^2+9=0 \]
Apar doar puteri pare ale lui \(x\): \(x^4\), \(x^2\) și termenul liber. Aceasta indică faptul că ecuația este bicuadratică.
Substituție
Notăm:
\[ y=x^2 \]
Atunci:
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
Prin substituție obținem:
\[ y^2-10y+9=0 \]
Rezolvarea ecuației în \(y\)
Căutăm două numere cu produsul \(9\) și suma \(-10\). Numerele sunt \(-1\) și \(-9\), deoarece:
\[ (-1)(-9)=9 \]
și:
\[ -1-9=-10 \]
Deci:
\[ y^2-10y+9=(y-1)(y-9) \]
Ecuația devine:
\[ (y-1)(y-9)=0 \]
De unde:
\[ y=1 \qquad \text{sau} \qquad y=9 \]
Revenirea la variabila inițială
Deoarece \(y=x^2\), trebuie să rezolvăm:
\[ x^2=1 \]
sau:
\[ x^2=9 \]
Din prima ecuație:
\[ x=\pm1 \]
Din a doua:
\[ x=\pm3 \]
Concluzie
Soluțiile sunt:
\[ S=\{-3,-1,1,3\} \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați:
\[ x^3+x^2-4x-4=0 \]
Rezultat
\[ S=\{-2,-1,2\} \]
Rezolvare
Observație inițială
Ecuația este:
\[ x^3+x^2-4x-4=0 \]
Nu există un factor comun tuturor celor patru termeni. În aceste cazuri poate fi utilă o factorizare prin grupare, prin regruparea termenilor astfel încât să apară același factor.
Gruparea termenilor
Scriem:
\[ x^3+x^2-4x-4=(x^3+x^2)+(-4x-4) \]
Din primul grup putem scoate \(x^2\) factor comun:
\[ x^3+x^2=x^2(x+1) \]
Din al doilea grup putem scoate \(-4\) factor comun:
\[ -4x-4=-4(x+1) \]
Deci:
\[ x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1) \]
Scoaterea factorului comun
Acum ambii termeni conțin factorul \((x+1)\):
\[ x^2(x+1)-4(x+1) \]
Scoțând \((x+1)\) factor comun, obținem:
\[ x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^2-4) \]
Descompunerea diferenței de pătrate
Factorul:
\[ x^2-4 \]
este o diferență de pătrate:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Prin urmare:
\[ x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x-2)(x+2) \]
Ecuația factorizată
Ecuația devine:
\[ (x+1)(x-2)(x+2)=0 \]
Anularea factorilor
Punem fiecare factor egal cu zero:
\[ x+1=0 \]
sau:
\[ x-2=0 \]
sau:
\[ x+2=0 \]
Obținem:
\[ x=-1,\qquad x=2,\qquad x=-2 \]
Concluzie
Soluțiile sunt:
\[ S=\{-2,-1,2\} \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
Rezolvați:
\[ x^3-3x^2-4x+12=0 \]
Rezultat
\[ S=\{-2,2,3\} \]
Rezolvare
Analiza polinomului
Ecuația este:
\[ x^3-3x^2-4x+12=0 \]
Nici aici nu există un factor comun tuturor termenilor. Încercăm, prin urmare, să grupăm termenii astfel încât să obținem un factor binomial comun.
Factorizare prin grupare
Grupăm astfel:
\[ x^3-3x^2-4x+12=(x^3-3x^2)+(-4x+12) \]
Din primul grup scoatem \(x^2\) factor comun:
\[ x^3-3x^2=x^2(x-3) \]
Din al doilea grup scoatem \(-4\) factor comun:
\[ -4x+12=-4(x-3) \]
Deci:
\[ x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3) \]
Scoaterea factorului comun
Factorul comun este \((x-3)\). Scoțându-l:
\[ x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4) \]
Descompunere completă
Deoarece:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
obținem:
\[ x^3-3x^2-4x+12=(x-3)(x-2)(x+2) \]
Rezolvare
Ecuația devine:
\[ (x-3)(x-2)(x+2)=0 \]
Prin principiul anulării produsului:
\[ x-3=0 \]
sau:
\[ x-2=0 \]
sau:
\[ x+2=0 \]
Deci:
\[ x=3,\qquad x=2,\qquad x=-2 \]
Concluzie
Scriind soluțiile în ordine crescătoare:
\[ S=\{-2,2,3\} \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
Rezolvați:
\[ x^4+x^2-6=0 \]
Rezultat
\[ S=\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\} \]
Rezolvare
Recunoașterea formei bicuadratice
Ecuația este:
\[ x^4+x^2-6=0 \]
Apar doar \(x^4\), \(x^2\) și termenul liber. Putem introduce, prin urmare, o nouă variabilă:
\[ y=x^2 \]
Din această substituție rezultă:
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
Ecuația în noua variabilă
Înlocuind \(x^2\) cu \(y\) și \(x^4\) cu \(y^2\), ecuația devine:
\[ y^2+y-6=0 \]
Am transformat astfel o ecuație de gradul al patrulea într-o ecuație de gradul al doilea.
Descompunerea trinomului
Căutăm două numere cu produsul \(-6\) și suma \(1\). Numerele sunt \(3\) și \(-2\), deoarece:
\[ 3\cdot(-2)=-6 \]
și:
\[ 3+(-2)=1 \]
Deci:
\[ y^2+y-6=(y+3)(y-2) \]
Ecuația devine:
\[ (y+3)(y-2)=0 \]
Soluțiile în \(y\)
Prin principiul anulării produsului:
\[ y+3=0 \]
sau:
\[ y-2=0 \]
Deci:
\[ y=-3 \qquad \text{sau} \qquad y=2 \]
Revenirea la variabila \(x\)
Reamintim că:
\[ y=x^2 \]
Valoarea \(y=-3\) produce:
\[ x^2=-3 \]
Această ecuație nu are soluții reale, deoarece pătratul unui număr real este întotdeauna mai mare sau egal cu zero.
Valoarea \(y=2\) produce în schimb:
\[ x^2=2 \]
de unde:
\[ x=\pm\sqrt{2} \]
Concluzie
Soluțiile reale ale ecuației inițiale sunt:
\[ S=\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\} \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Rezolvați:
\[ x^3-2x^2-x+2=0 \]
Rezultat
\[ S=\{-1,1,2\} \]
Rezolvare
Observație inițială
Ecuația este:
\[ x^3-2x^2-x+2=0 \]
Nu putem scoate un factor comun tuturor termenilor. Încercăm, prin urmare, să grupăm termenii:
\[ x^3-2x^2-x+2=(x^3-2x^2)+(-x+2) \]
Factorizare prin grupare
Din primul grup scoatem \(x^2\) factor comun:
\[ x^3-2x^2=x^2(x-2) \]
Din al doilea grup scoatem \(-1\) factor comun:
\[ -x+2=-(x-2) \]
Deci:
\[ x^3-2x^2-x+2=x^2(x-2)-(x-2) \]
Scoaterea binomului comun
Ambii termeni conțin factorul \((x-2)\). Scoțându-l, obținem:
\[ x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1) \]
Descompunerea diferenței de pătrate
Factorul:
\[ x^2-1 \]
este o diferență de pătrate, deoarece:
\[ 1=1^2 \]
Deci:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Prin urmare:
\[ x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1) \]
Ecuația factorizată
Ecuația devine:
\[ (x-2)(x-1)(x+1)=0 \]
Anularea factorilor
Punem fiecare factor egal cu zero:
\[ x-2=0 \]
sau:
\[ x-1=0 \]
sau:
\[ x+1=0 \]
Obținem:
\[ x=2,\qquad x=1,\qquad x=-1 \]
Concluzie
Scriind soluțiile în ordine crescătoare:
\[ S=\{-1,1,2\} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Rezolvați:
\[ x^4-2x^3-7x^2+8x+12=0 \]
Rezultat
\[ S=\{-2,-1,2,3\} \]
Rezolvare
Alegerea strategiei
Polinomul:
\[ x^4-2x^3-7x^2+8x+12 \]
nu prezintă un factor comun evident și nu se reduce imediat la un produs remarcabil. În aceste cazuri putem căuta rădăcini raționale.
Notăm:
\[ P(x)=x^4-2x^3-7x^2+8x+12 \]
Căutarea unei rădăcini întregi
Deoarece termenul liber este \(12\), eventualele rădăcini întregi se caută printre divizorii lui \(12\):
\[ \pm1,\quad \pm2,\quad \pm3,\quad \pm4,\quad \pm6,\quad \pm12 \]
Încercăm \(x=2\):
\[ P(2)=2^4-2\cdot2^3-7\cdot2^2+8\cdot2+12 \]
Calculăm fiecare termen:
\[ 2^4=16,\qquad -2\cdot2^3=-16,\qquad -7\cdot2^2=-28,\qquad 8\cdot2=16 \]
Deci:
\[ P(2)=16-16-28+16+12=0 \]
Prin urmare \(x=2\) este o rădăcină și polinomul este divizibil cu \(x-2\).
Prima împărțire prin schema lui Horner
Împărțind:
\[ x^4-2x^3-7x^2+8x+12 \]
la \(x-2\), obținem:
\[ x^3-7x-6 \]
Deci:
\[ P(x)=(x-2)(x^3-7x-6) \]
Descompunerea polinomului cubic
Trebuie acum să descompunem:
\[ x^3-7x-6 \]
Căutăm o altă rădăcină întreagă. Încercăm \(x=3\):
\[ 3^3-7\cdot3-6=27-21-6=0 \]
Deci \(x=3\) este o rădăcină a polinomului cubic și putem împărți la \(x-3\).
A doua împărțire prin schema lui Horner
Împărțind:
\[ x^3-7x-6 \]
la \(x-3\), obținem:
\[ x^2+3x+2 \]
Deci:
\[ x^3-7x-6=(x-3)(x^2+3x+2) \]
Descompunerea finală
Descompunem:
\[ x^2+3x+2 \]
Căutăm două numere cu produsul \(2\) și suma \(3\). Acestea sunt \(1\) și \(2\), deci:
\[ x^2+3x+2=(x+1)(x+2) \]
Polinomul inițial este, prin urmare:
\[ P(x)=(x-2)(x-3)(x+1)(x+2) \]
Rezolvarea ecuației
Ecuația devine:
\[ (x-2)(x-3)(x+1)(x+2)=0 \]
Prin urmare:
\[ x=2,\qquad x=3,\qquad x=-1,\qquad x=-2 \]
Concluzie
În ordine crescătoare:
\[ S=\{-2,-1,2,3\} \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
Rezolvați:
\[ x^6-7x^3-8=0 \]
Rezultat
\[ S=\{-1,2\} \]
Rezolvare
Recunoașterea structurii
Ecuația este:
\[ x^6-7x^3-8=0 \]
Exponenții prezenți sunt \(6\), \(3\) și \(0\). Deoarece:
\[ x^6=(x^3)^2 \]
putem trata ecuația ca pe o ecuație de gradul al doilea în cantitatea \(x^3\).
Substituție
Notăm:
\[ y=x^3 \]
Atunci:
\[ x^6=y^2 \]
Ecuația devine:
\[ y^2-7y-8=0 \]
Rezolvarea ecuației în \(y\)
Descompunem:
\[ y^2-7y-8 \]
Căutăm două numere cu produsul \(-8\) și suma \(-7\). Numerele sunt \(-8\) și \(1\), deoarece:
\[ (-8)\cdot1=-8 \]
și:
\[ -8+1=-7 \]
Deci:
\[ y^2-7y-8=(y-8)(y+1) \]
Ecuația devine:
\[ (y-8)(y+1)=0 \]
Prin urmare:
\[ y=8 \]
sau:
\[ y=-1 \]
Revenirea la variabila \(x\)
Deoarece:
\[ y=x^3 \]
obținem două ecuații:
\[ x^3=8 \]
sau:
\[ x^3=-1 \]
Din prima:
\[ x=\sqrt[3]{8}=2 \]
Din a doua:
\[ x=\sqrt[3]{-1}=-1 \]
Concluzie
Soluțiile reale sunt:
\[ S=\{-1,2\} \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
Rezolvați:
\[ (x-1)^2(x+2)=0 \]
Rezultat
\[ S=\{-2,1\} \]
Rezolvare
Ecuație deja factorizată
Ecuația este:
\[ (x-1)^2(x+2)=0 \]
În acest caz, polinomul este deja scris ca produs de factori. Nu mai este necesară nicio descompunere suplimentară: putem aplica direct principiul anulării produsului.
Anularea factorilor
Produsul este nul dacă cel puțin unul dintre factori este nul. Deci:
\[ (x-1)^2=0 \]
sau:
\[ x+2=0 \]
Primul factor
Din prima ecuație:
\[ (x-1)^2=0 \]
rezultă că:
\[ x-1=0 \]
și deci:
\[ x=1 \]
Puterea la pătrat indică faptul că rădăcina \(x=1\) apare de două ori în factorizare. Spunem atunci că \(x=1\) este o rădăcină dublă.
Al doilea factor
Din a doua ecuație:
\[ x+2=0 \]
obținem:
\[ x=-2 \]
Concluzie
Ca mulțime a soluțiilor, scriem fiecare valoare o singură dată:
\[ S=\{-2,1\} \]
Multiplicitatea rădăcinii \(1\) este importantă în studiul graficului polinomului, dar nu modifică mulțimea soluțiilor.
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Rezolvați:
\[ x^4-4x^3+4x^2=0 \]
Rezultat
\[ S=\{0,2\} \]
Rezolvare
Analiză inițială
Ecuația este:
\[ x^4-4x^3+4x^2=0 \]
Toți termenii conțin cel puțin factorul \(x^2\). Într-adevăr:
\[ x^4=x^2\cdot x^2 \]
\[ -4x^3=x^2\cdot(-4x) \]
\[ 4x^2=x^2\cdot4 \]
Scoaterea factorului comun
Scoțând \(x^2\) factor comun:
\[ x^4-4x^3+4x^2=x^2(x^2-4x+4) \]
Ecuația devine:
\[ x^2(x^2-4x+4)=0 \]
Recunoașterea pătratului unui binom
Considerăm trinomul:
\[ x^2-4x+4 \]
Acesta este un pătrat perfect, deoarece:
\[ x^2-4x+4=x^2-2\cdot x\cdot2+2^2 \]
deci:
\[ x^2-4x+4=(x-2)^2 \]
Forma factorizată completă
Ecuația devine:
\[ x^2(x-2)^2=0 \]
Anularea factorilor
Punem factorii egali cu zero:
\[ x^2=0 \]
sau:
\[ (x-2)^2=0 \]
Din prima ecuație:
\[ x=0 \]
Din a doua:
\[ x-2=0 \]
deci:
\[ x=2 \]
Concluzie
Soluțiile sunt:
\[ S=\{0,2\} \]
Ambele rădăcini au multiplicitatea \(2\), deoarece apar factorii pătratici \(x^2\) și \((x-2)^2\).