O colecție progresivă de 20 de exerciții rezolvate despre ecuații exponențiale, concepută nu doar pentru a găsi rezultatul, ci mai ales pentru a recunoaște metoda potrivită de aplicat. În fiecare exercițiu vom analiza structura ecuației, vom înțelege ce transformare este convenabilă și vom efectua toți pașii fără a omite etapele intermediare.
Reamintim principiul fundamental: dacă \(a>0\) și \(a\ne1\), atunci:
\[ a^u=a^v \quad \Longleftrightarrow \quad u=v \]
Această proprietate înseamnă că, atunci când două puteri au aceeași bază pozitivă și diferită de \(1\), egalitatea dintre puteri este echivalentă cu egalitatea dintre exponenți. Din acest motiv, în multe exerciții primul obiectiv va fi transformarea ambilor membri în puteri cu aceeași bază.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvă ecuația:
\[ 2^x=16 \]
Rezultat
\[ S=\{4\} \]
Rezolvare
Ecuația este exponențială deoarece necunoscuta \(x\) apare la exponent:
\[ 2^x=16 \]
Membrul stâng este deja o putere cu baza \(2\). Pentru a putea compara exponenții, trebuie să scriem și membrul drept ca putere a lui \(2\).
Observăm că:
\[ 16=2^4 \]
într-adevăr:
\[ 2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16 \]
Înlocuind \(16\) cu \(2^4\), ecuația devine:
\[ 2^x=2^4 \]
Acum ambii membri sunt puteri cu aceeași bază \(2\). Deoarece:
\[ 2>0 \quad \text{și} \quad 2\ne1 \]
putem aplica injectivitatea funcției exponențiale și egaliza exponenții:
\[ x=4 \]
Prin urmare:
\[ S=\{4\} \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvă ecuația:
\[ 3^x=81 \]
Rezultat
\[ S=\{4\} \]
Rezolvare
Și aceasta este o ecuație exponențială, deoarece necunoscuta \(x\) se află la exponent.
Membrul stâng este o putere cu baza \(3\):
\[ 3^x \]
Pentru a folosi metoda bazei comune, trebuie să rescriem și membrul drept ca putere a lui \(3\).
Calculăm puterile succesive ale lui \(3\):
\[ 3^1=3,\qquad 3^2=9,\qquad 3^3=27,\qquad 3^4=81 \]
Deci:
\[ 81=3^4 \]
Ecuația poate fi rescrisă astfel:
\[ 3^x=3^4 \]
Acum bazele sunt egale. Nu eliminăm mecanic baza \(3\): utilizăm faptul că funcția exponențială cu baza \(3\) este injectivă.
Prin urmare, exponenții trebuie să fie egali:
\[ x=4 \]
Soluția este:
\[ S=\{4\} \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvă ecuația:
\[ 5^{x-1}=25 \]
Rezultat
\[ S=\{3\} \]
Rezolvare
Membrul stâng este o putere cu baza \(5\), dar exponentul nu este pur și simplu \(x\): este \(x-1\).
Aceasta nu schimbă metoda. Trebuie totuși să scriem membrul drept ca putere a aceleiași baze.
Deoarece:
\[ 25=5^2 \]
putem rescrie ecuația în forma:
\[ 5^{x-1}=5^2 \]
Acum avem două puteri cu aceeași bază \(5\). Deoarece:
\[ 5>0 \quad \text{și} \quad 5\ne1 \]
putem egaliza exponenții:
\[ x-1=2 \]
Aceasta nu mai este o ecuație exponențială, ci o simplă ecuație liniară. Adăugăm \(1\) la ambii membri:
\[ x=2+1 \]
deci:
\[ x=3 \]
Prin urmare:
\[ S=\{3\} \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvă ecuația:
\[ 2^{2x+1}=32 \]
Rezultat
\[ S=\{2\} \]
Rezolvare
Ecuația conține o putere cu baza \(2\):
\[ 2^{2x+1} \]
Membrul drept este numărul \(32\). Înainte de a putea compara exponenții, trebuie să scriem \(32\) ca putere a lui \(2\).
Deoarece:
\[ 32=2^5 \]
ecuația devine:
\[ 2^{2x+1}=2^5 \]
Cele două puteri au aceeași bază pozitivă și diferită de \(1\). Putem deci egaliza exponenții:
\[ 2x+1=5 \]
Acum rezolvăm ecuația liniară obținută. Scădem \(1\) din ambii membri:
\[ 2x=5-1 \]
deci:
\[ 2x=4 \]
Împărțim ambii membri la \(2\):
\[ x=2 \]
Prin urmare:
\[ S=\{2\} \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvă ecuația:
\[ 4^x=64 \]
Rezultat
\[ S=\{3\} \]
Rezolvare
Membrul stâng este o putere cu baza \(4\):
\[ 4^x \]
Pentru a rezolva ecuația prin metoda bazei comune, trebuie să scriem și membrul drept ca putere a lui \(4\).
Observăm că:
\[ 64=4^3 \]
într-adevăr:
\[ 4^3=4\cdot4\cdot4=64 \]
Ecuația devine deci:
\[ 4^x=4^3 \]
Acum cele două puteri au aceeași bază \(4\). Deoarece \(4>0\) și \(4\ne1\), putem egaliza exponenții:
\[ x=3 \]
Prin urmare:
\[ S=\{3\} \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvă ecuația:
\[ 9^x=3^{x+2} \]
Rezultat
\[ S=\{2\} \]
Rezolvare
În această ecuație bazele nu coincid: în membrul stâng apare baza \(9\), iar în membrul drept baza \(3\).
Totuși, numărul \(9\) poate fi scris ca putere a lui \(3\):
\[ 9=3^2 \]
Rescriem deci membrul stâng:
\[ 9^x=(3^2)^x \]
Aplicăm acum proprietatea puterii unei puteri:
\[ (a^m)^n=a^{mn} \]
Obținem astfel:
\[ (3^2)^x=3^{2x} \]
Ecuația inițială devine deci:
\[ 3^{2x}=3^{x+2} \]
Acum ambii membri sunt puteri cu aceeași bază pozitivă și diferită de \(1\). Putem deci egaliza exponenții:
\[ 2x=x+2 \]
Scădem \(x\) din ambii membri:
\[ 2x-x=2 \]
deci:
\[ x=2 \]
Prin urmare:
\[ S=\{2\} \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvă ecuația:
\[ 8^x=4^{x+1} \]
Rezultat
\[ S=\{2\} \]
Rezolvare
În această ecuație apar două baze diferite:
\[ 8 \quad \text{și} \quad 4 \]
Înainte de a compara exponenții, trebuie să căutăm o bază comună.
Observăm că atât \(8\) cât și \(4\) sunt puteri ale lui \(2\):
\[ 8=2^3 \]
și:
\[ 4=2^2 \]
Rescriem deci ambii membri.
Pentru membrul stâng:
\[ 8^x=(2^3)^x \]
Aplicând proprietatea puterii unei puteri obținem:
\[ (2^3)^x=2^{3x} \]
Pentru membrul drept:
\[ 4^{x+1}=(2^2)^{x+1} \]
Aplicând din nou aceeași proprietate:
\[ (2^2)^{x+1}=2^{2(x+1)} \]
Ecuația devine:
\[ 2^{3x}=2^{2(x+1)} \]
Acum bazele coincid, deci putem egaliza exponenții:
\[ 3x=2(x+1) \]
Dezvoltăm membrul drept:
\[ 3x=2x+2 \]
Scădem \(2x\) din ambii membri:
\[ 3x-2x=2 \]
deci:
\[ x=2 \]
Prin urmare:
\[ S=\{2\} \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvă ecuația:
\[ 2^{x+1}\cdot2^{x-2}=8 \]
Rezultat
\[ S=\{2\} \]
Rezolvare
În membrul stâng apare produsul a două puteri cu aceeași bază:
\[ 2^{x+1}\cdot2^{x-2} \]
Când se înmulțesc puteri cu aceeași bază, baza se păstrează și exponenții se adună:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
Aplicând această proprietate obținem:
\[ 2^{x+1}\cdot2^{x-2}=2^{(x+1)+(x-2)} \]
Simplificăm acum exponentul:
\[ (x+1)+(x-2)=x+1+x-2=2x-1 \]
Deci membrul stâng devine:
\[ 2^{2x-1} \]
Ecuația capătă astfel forma:
\[ 2^{2x-1}=8 \]
Scriem acum și \(8\) ca putere a lui \(2\):
\[ 8=2^3 \]
Obținem:
\[ 2^{2x-1}=2^3 \]
Deoarece bazele coincid, egalăm exponenții:
\[ 2x-1=3 \]
Adăugăm \(1\) la ambii membri:
\[ 2x=4 \]
Împărțim ambii membri la \(2\):
\[ x=2 \]
Soluția este:
\[ S=\{2\} \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
Rezolvă ecuația:
\[ \frac{3^{x+2}}{3^{x-1}}=27 \]
Rezultat
\[ S=\mathbb{R} \]
Rezolvare
În membrul stâng apare un raport de puteri cu aceeași bază:
\[ \frac{3^{x+2}}{3^{x-1}} \]
Când se împart puteri cu aceeași bază, baza se păstrează și exponenții se scad:
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \qquad (a\ne0) \]
Aplicăm această proprietate:
\[ \frac{3^{x+2}}{3^{x-1}} = 3^{(x+2)-(x-1)} \]
Simplificăm cu atenție exponentul:
\[ (x+2)-(x-1)=x+2-x+1 \]
deci:
\[ (x+2)-(x-1)=3 \]
Membrul stâng devine deci:
\[ 3^3 \]
Deoarece:
\[ 3^3=27 \]
ecuația inițială se reduce la:
\[ 27=27 \]
Această egalitate este întotdeauna adevărată și nu impune nicio condiție asupra necunoscutei \(x\).
Prin urmare, orice număr real satisface ecuația.
Deci:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
Rezolvă ecuația:
\[ 5^{2x}=125\cdot5^x \]
Rezultat
\[ S=\{3\} \]
Rezolvare
În membrul drept apare numărul \(125\) înmulțit cu o putere a lui \(5\). Pentru a lucra cu o singură bază, rescriem \(125\) ca putere a lui \(5\).
Deoarece:
\[ 125=5^3 \]
obținem:
\[ 125\cdot5^x=5^3\cdot5^x \]
Acum folosim proprietatea produsului de puteri cu aceeași bază:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
Deci:
\[ 5^3\cdot5^x=5^{3+x} \]
adică:
\[ 5^3\cdot5^x=5^{x+3} \]
Ecuația inițială devine:
\[ 5^{2x}=5^{x+3} \]
Acum bazele coincid, deci putem egaliza exponenții:
\[ 2x=x+3 \]
Scădem \(x\) din ambii membri:
\[ 2x-x=3 \]
deci:
\[ x=3 \]
Prin urmare:
\[ S=\{3\} \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Rezolvă ecuația:
\[ 2^{2x}-5\cdot2^x+4=0 \]
Rezultat
\[ S=\{0,2\} \]
Rezolvare
În această ecuație nu putem rezolva direct prin egalizarea bazelor, deoarece necunoscuta apare în mai mulți termeni:
\[ 2^{2x}-5\cdot2^x+4=0 \]
Totuși observăm o structură importantă:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2 \]
Aceasta înseamnă că ecuația poate fi interpretată ca o ecuație de gradul al doilea în cantitatea \(2^x\).
Introducem deci substituția:
\[ t=2^x \]
Deoarece o putere cu bază pozitivă este întotdeauna pozitivă, trebuie să impunem:
\[ t>0 \]
Înlocuind în ecuație obținem:
\[ t^2-5t+4=0 \]
Acum nu mai avem o ecuație exponențială, ci o ecuație de gradul al doilea obișnuită.
Căutăm două numere al căror produs să fie egal cu \(4\) și a căror sumă să fie egală cu \(-5\). Aceste numere sunt \(-1\) și \(-4\).
Putem deci descompune trinomul:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Ecuația devine:
\[ (t-1)(t-4)=0 \]
Un produs este nul atunci când cel puțin unul dintre factori este nul. Obținem deci:
\[ t-1=0 \]
sau:
\[ t-4=0 \]
De unde:
\[ t=1 \]
sau:
\[ t=4 \]
Ambele valori sunt pozitive, deci respectă condiția \(t>0\).
Revenim acum la variabila inițială.
Dacă:
\[ t=1 \]
atunci:
\[ 2^x=1 \]
Reamintim că:
\[ 1=2^0 \]
deci:
\[ 2^x=2^0 \]
de unde:
\[ x=0 \]
Dacă în schimb:
\[ t=4 \]
atunci:
\[ 2^x=4 \]
Deoarece:
\[ 4=2^2 \]
obținem:
\[ 2^x=2^2 \]
deci:
\[ x=2 \]
Soluțiile finale sunt:
\[ S=\{0,2\} \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Rezolvă ecuația:
\[ 3^{2x}-10\cdot3^x+9=0 \]
Rezultat
\[ S=\{0,2\} \]
Rezolvare
Și în această ecuație apare o structură similară celei a unui trinomial de gradul al doilea.
Într-adevăr:
\[ 3^{2x}=(3^x)^2 \]
Introducem deci substituția:
\[ t=3^x \]
Deoarece o putere cu bază pozitivă este întotdeauna pozitivă:
\[ t>0 \]
Înlocuind în ecuație obținem:
\[ t^2-10t+9=0 \]
Căutăm două numere al căror produs să fie egal cu \(9\) și a căror sumă să fie egală cu \(-10\). Aceste numere sunt \(-1\) și \(-9\).
Putem deci descompune:
\[ t^2-10t+9=(t-1)(t-9) \]
Ecuația devine:
\[ (t-1)(t-9)=0 \]
Un produs este nul atunci când cel puțin unul dintre factori este nul. Obținem deci:
\[ t=1 \]
sau:
\[ t=9 \]
Ambele soluții respectă condiția \(t>0\).
Revenim acum la variabila inițială.
Dacă:
\[ t=1 \]
atunci:
\[ 3^x=1 \]
Întrucât:
\[ 1=3^0 \]
obținem:
\[ 3^x=3^0 \]
deci:
\[ x=0 \]
Dacă în schimb:
\[ t=9 \]
atunci:
\[ 3^x=9 \]
Deoarece:
\[ 9=3^2 \]
obținem:
\[ 3^x=3^2 \]
de unde:
\[ x=2 \]
Soluțiile finale sunt:
\[ S=\{0,2\} \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Rezolvă ecuația:
\[ 4^x-6\cdot2^x+8=0 \]
Rezultat
\[ S=\{1,2\} \]
Rezolvare
În această ecuație apar atât \(4^x\) cât și \(2^x\). Pentru a putea folosi o substituție, trebuie mai întâi să exprimăm totul în funcție de aceeași bază.
Observăm că:
\[ 4=2^2 \]
deci:
\[ 4^x=(2^2)^x \]
Aplicând proprietatea puterii unei puteri:
\[ (2^2)^x=2^{2x} \]
Mai mult:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2 \]
Ecuația inițială devine deci:
\[ (2^x)^2-6\cdot2^x+8=0 \]
Introducem acum substituția:
\[ t=2^x \]
cu condiția:
\[ t>0 \]
Obținem astfel:
\[ t^2-6t+8=0 \]
Căutăm două numere al căror produs să fie egal cu \(8\) și a căror sumă să fie egală cu \(-6\). Aceste numere sunt \(-2\) și \(-4\).
Putem deci descompune:
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
Ecuația devine:
\[ (t-2)(t-4)=0 \]
De unde:
\[ t=2 \]
sau:
\[ t=4 \]
Ambele soluții sunt pozitive, deci acceptabile.
Revenim la variabila inițială.
Dacă:
\[ t=2 \]
atunci:
\[ 2^x=2 \]
adică:
\[ 2^x=2^1 \]
de unde:
\[ x=1 \]
Dacă în schimb:
\[ t=4 \]
atunci:
\[ 2^x=4 \]
Deoarece:
\[ 4=2^2 \]
obținem:
\[ 2^x=2^2 \]
deci:
\[ x=2 \]
Soluțiile finale sunt:
\[ S=\{1,2\} \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
Rezolvă ecuația:
\[ 2^{x+1}+2^x=24 \]
Rezultat
\[ S=\{3\} \]
Rezolvare
În această ecuație apar două puteri cu aceeași bază \(2\), dar cu exponenți diferiți:
\[ 2^{x+1} \quad \text{și} \quad 2^x \]
Ideea este de a rescrie ambele puteri în funcție de aceeași cantitate, adică \(2^x\).
Observăm că:
\[ 2^{x+1}=2^x\cdot2^1 \]
Deoarece:
\[ 2^1=2 \]
obținem:
\[ 2^{x+1}=2\cdot2^x \]
Înlocuim această expresie în ecuația inițială:
\[ 2\cdot2^x+2^x=24 \]
Acum cei doi termeni ai membrului stâng au factorul comun \(2^x\). Îl scoatem deci factor comun:
\[ 2^x(2+1)=24 \]
Calculăm suma din paranteză:
\[ 2+1=3 \]
Ecuația devine:
\[ 3\cdot2^x=24 \]
Împărțim ambii membri la \(3\):
\[ 2^x=8 \]
Scriem acum \(8\) ca putere a lui \(2\):
\[ 8=2^3 \]
Obținem:
\[ 2^x=2^3 \]
Deoarece bazele coincid, egalăm exponenții:
\[ x=3 \]
Soluția este:
\[ S=\{3\} \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
Rezolvă ecuația:
\[ 3^{x+2}-3^x=72 \]
Rezultat
\[ S=\{2\} \]
Rezolvare
În această ecuație apar două puteri cu aceeași bază \(3\), dar cu exponenți diferiți:
\[ 3^{x+2} \quad \text{și} \quad 3^x \]
Ideea este de a rescrie \(3^{x+2}\) astfel încât să scoatem în evidență factorul comun \(3^x\).
Folosind proprietatea:
\[ a^{m+n}=a^m\cdot a^n \]
putem scrie:
\[ 3^{x+2}=3^x\cdot3^2 \]
Deoarece:
\[ 3^2=9 \]
rezultă:
\[ 3^{x+2}=9\cdot3^x \]
Înlocuim în ecuația inițială:
\[ 9\cdot3^x-3^x=72 \]
Cei doi termeni ai membrului stâng au factorul comun \(3^x\). Scoatem factor comun:
\[ 3^x(9-1)=72 \]
Calculăm:
\[ 9-1=8 \]
Deci:
\[ 8\cdot3^x=72 \]
Împărțim ambii membri la \(8\):
\[ 3^x=9 \]
Acum scriem \(9\) ca putere a lui \(3\):
\[ 9=3^2 \]
Obținem:
\[ 3^x=3^2 \]
Deoarece bazele coincid, egalăm exponenții:
\[ x=2 \]
Prin urmare:
\[ S=\{2\} \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Rezolvă ecuația:
\[ 2^{x+2}-2^{x+1}=8 \]
Rezultat
\[ S=\{2\} \]
Rezolvare
În această ecuație apar două puteri cu baza \(2\):
\[ 2^{x+2} \quad \text{și} \quad 2^{x+1} \]
Pentru a simplifica expresia, este convenabil să rescriem ambele în funcție de \(2^x\).
Pentru prima putere:
\[ 2^{x+2}=2^x\cdot2^2 \]
Deoarece:
\[ 2^2=4 \]
obținem:
\[ 2^{x+2}=4\cdot2^x \]
Pentru a doua putere:
\[ 2^{x+1}=2^x\cdot2^1 \]
deci:
\[ 2^{x+1}=2\cdot2^x \]
Înlocuim aceste expresii în ecuația inițială:
\[ 4\cdot2^x-2\cdot2^x=8 \]
Scoatem factorul comun \(2^x\):
\[ 2^x(4-2)=8 \]
Calculăm:
\[ 4-2=2 \]
Deci:
\[ 2\cdot2^x=8 \]
Împărțim ambii membri la \(2\):
\[ 2^x=4 \]
Scriem \(4\) ca putere a lui \(2\):
\[ 4=2^2 \]
Deci:
\[ 2^x=2^2 \]
Egalizând exponenții:
\[ x=2 \]
Soluția este:
\[ S=\{2\} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Rezolvă ecuația:
\[ 2^x+2^{-x}=\frac{5}{2} \]
Rezultat
\[ S=\{-1,1\} \]
Rezolvare
În această ecuație apar două puteri legate între ele:
\[ 2^x \quad \text{și} \quad 2^{-x} \]
Prezența exponentului negativ sugerează utilizarea proprietății:
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n} \]
Aplicând-o obținem:
\[ 2^{-x}=\frac{1}{2^x} \]
Ecuația devine deci:
\[ 2^x+\frac{1}{2^x}=\frac{5}{2} \]
În acest punct apare în mod repetat cantitatea \(2^x\). Introducem deci substituția:
\[ t=2^x \]
Deoarece o putere cu bază pozitivă este întotdeauna pozitivă, trebuie să reținem că:
\[ t>0 \]
Mai mult:
\[ \frac{1}{2^x}=\frac{1}{t} \]
Ecuația se transformă în:
\[ t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2} \]
Pentru a elimina numitorul, înmulțim ambii membri cu \(2t\).
Această operație este permisă deoarece \(t>0\), deci:
\[ 2t\ne0 \]
Obținem:
\[ 2t\left(t+\frac{1}{t}\right)=2t\cdot\frac{5}{2} \]
Dezvoltăm membrul stâng:
\[ 2t\cdot t+2t\cdot\frac{1}{t}=5t \]
adică:
\[ 2t^2+2=5t \]
Aducem toți termenii în membrul stâng:
\[ 2t^2-5t+2=0 \]
Descompunem trinomul:
\[ 2t^2-5t+2=(2t-1)(t-2) \]
Ecuația devine:
\[ (2t-1)(t-2)=0 \]
Prin regula anulării produsului:
\[ 2t-1=0 \]
sau:
\[ t-2=0 \]
În primul caz:
\[ 2t=1 \]
deci:
\[ t=\frac{1}{2} \]
În al doilea caz:
\[ t=2 \]
Ambele valori respectă condiția \(t>0\).
Revenim acum la variabila inițială.
Dacă:
\[ t=\frac{1}{2} \]
atunci:
\[ 2^x=\frac{1}{2} \]
Deoarece:
\[ \frac{1}{2}=2^{-1} \]
obținem:
\[ 2^x=2^{-1} \]
deci:
\[ x=-1 \]
Dacă în schimb:
\[ t=2 \]
atunci:
\[ 2^x=2 \]
adică:
\[ 2^x=2^1 \]
de unde:
\[ x=1 \]
Soluțiile finale sunt:
\[ S=\{-1,1\} \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Rezolvă ecuația:
\[ 3^x=7 \]
Rezultat
\[ S=\{\log_3 7\} \]
Rezolvare
În această ecuație necunoscuta \(x\) apare la exponent:
\[ 3^x=7 \]
Membrul stâng este o putere cu baza \(3\). Pentru a folosi metoda bazei comune, ar trebui să scriem și \(7\) ca putere a lui \(3\).
Totuși, \(7\) nu este o putere întreagă a lui \(3\). Într-adevăr:
\[ 3^1=3 \]
în timp ce:
\[ 3^2=9 \]
Numărul \(7\) se află între \(3\) și \(9\), dar nu coincide cu nicio putere întreagă a lui \(3\).
Aceasta nu înseamnă că ecuația este imposibilă. Înseamnă doar că soluția nu se obține cu un exponent întreg simplu.
Pentru a determina exponentul la care trebuie ridicat \(3\) pentru a obține \(7\), folosim logaritmul în baza \(3\).
Prin definiție:
\[ \log_3 7 \]
este tocmai exponentul la care trebuie ridicat \(3\) pentru a obține \(7\).
Prin urmare:
\[ 3^x=7 \quad \Longleftrightarrow \quad x=\log_3 7 \]
Soluția este:
\[ S=\{\log_3 7\} \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
Rezolvă ecuația:
\[ 2^{3x-1}=5 \]
Rezultat
\[ S=\left\{\frac{1+\log_2 5}{3}\right\} \]
Rezolvare
Ecuația este exponențială deoarece necunoscuta apare la exponent:
\[ 2^{3x-1}=5 \]
Membrul stâng este o putere cu baza \(2\). Dacă membrul drept ar fi o putere a lui \(2\), am putea egaliza direct exponenții.
Totuși, \(5\) nu este o putere întreagă a lui \(2\). Într-adevăr:
\[ 2^2=4 \]
în timp ce:
\[ 2^3=8 \]
Numărul \(5\) se află între \(4\) și \(8\), deci soluția există, dar nu este un număr întreg.
Pentru a izola exponentul \(3x-1\), aplicăm logaritmul în baza \(2\) ambilor membri:
\[ \log_2\left(2^{3x-1}\right)=\log_2 5 \]
Logaritmul în baza \(2\) și exponențiala de baza \(2\) sunt operații inverse. De aceea:
\[ \log_2\left(2^{3x-1}\right)=3x-1 \]
Ecuația devine deci:
\[ 3x-1=\log_2 5 \]
Acum nu mai avem o ecuație exponențială, ci o simplă ecuație liniară în necunoscuta \(x\).
Adăugăm \(1\) la ambii membri:
\[ 3x=1+\log_2 5 \]
Împărțim ambii membri la \(3\):
\[ x=\frac{1+\log_2 5}{3} \]
Soluția este:
\[ S=\left\{\frac{1+\log_2 5}{3}\right\} \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Rezolvă ecuația:
\[ 4^x+2^x-6=0 \]
Rezultat
\[ S=\{1\} \]
Rezolvare
În această ecuație apar două puteri diferite:
\[ 4^x \quad \text{și} \quad 2^x \]
Prezența lui \(4^x\) și \(2^x\) sugerează rescrierea totului în funcție de aceeași cantitate.
Deoarece:
\[ 4=2^2 \]
putem transforma \(4^x\) în felul următor:
\[ 4^x=(2^2)^x \]
Aplicând proprietatea puterii unei puteri:
\[ (2^2)^x=2^{2x} \]
Mai mult:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2 \]
Deci:
\[ 4^x=(2^x)^2 \]
Ecuația inițială:
\[ 4^x+2^x-6=0 \]
devine:
\[ (2^x)^2+2^x-6=0 \]
Acum structura este similară celei a unei ecuații de gradul al doilea. Introducem deci substituția:
\[ t=2^x \]
Deoarece o putere cu bază pozitivă este întotdeauna pozitivă, trebuie să impunem:
\[ t>0 \]
Înlocuind obținem:
\[ t^2+t-6=0 \]
Căutăm două numere al căror produs să fie egal cu \(-6\) și a căror sumă să fie egală cu \(1\). Aceste numere sunt \(3\) și \(-2\).
Putem deci descompune:
\[ t^2+t-6=(t+3)(t-2) \]
Ecuația devine:
\[ (t+3)(t-2)=0 \]
Prin regula anulării produsului, cel puțin unul dintre cei doi factori trebuie să fie nul. Obținem:
\[ t+3=0 \]
sau:
\[ t-2=0 \]
În primul caz:
\[ t=-3 \]
În al doilea caz:
\[ t=2 \]
Ne amintim însă condiția substituției:
\[ t>0 \]
Valoarea:
\[ t=-3 \]
trebuie eliminată, deoarece nu există niciun număr real \(x\) astfel încât:
\[ 2^x=-3 \]
Rămâne deci doar:
\[ t=2 \]
Revenim la variabila inițială. Deoarece:
\[ t=2^x \]
din condiția \(t=2\) obținem:
\[ 2^x=2 \]
adică:
\[ 2^x=2^1 \]
Deoarece bazele coincid, egalăm exponenții:
\[ x=1 \]
Soluția finală este:
\[ S=\{1\} \]