Ecuațiile parametrice sunt ecuații în care, pe lângă necunoscută, apar una sau mai multe litere ce reprezintă valori nefixate. Aceste litere se numesc parametri.
De exemplu:
\[ (a-1)x=2 \]
este o ecuație parametrică în necunoscuta \(x\), cu parametrul \(a\).
Prezența parametrului schimbă profund modul de rezolvare a ecuației. Într-adevăr, nu se urmărește determinarea unei singure soluții numerice, ci se studiază cum se modifică mulțimea soluțiilor în funcție de valorile parametrului.
Cu alte cuvinte, o ecuație parametrică nu pune doar întrebarea:
„care este valoarea necunoscutei?"
ci și:
„pentru ce valori ale parametrului ecuația are o soluție, nicio soluție sau infinit de soluții?"
Ce este un parametru
Un parametru este o literă care apare într-o ecuație, dar nu este tratată drept necunoscuta principală.
În ecuația:
\[ ax+1=0 \]
necunoscuta este \(x\), iar \(a\) este un parametru.
Aceasta înseamnă că \(a\) poate lua diferite valori reale și, pentru fiecare valoare a lui \(a\), se obține o ecuație diferită.
De exemplu:
dacă \(a=2\), ecuația devine:
\[ 2x+1=0 \]
dacă \(a=-1\), devine:
\[ -x+1=0 \]
dacă \(a=0\), devine:
\[ 1=0 \]
Acest ultim caz arată imediat de ce parametrii trebuie tratați cu atenție: anumite valori pot schimba complet natura ecuației.
Ecuații parametrice de gradul întâi
Să considerăm forma generală:
\[ A(a)x=B(a) \]
unde \(A(a)\) și \(B(a)\) sunt expresii ce depind de parametrul \(a\).
Rezolvarea depinde de coeficientul necunoscutei \(x\), adică de \(A(a)\).
Dacă:
\[ A(a)\ne0 \]
atunci putem împărți ambii membri prin \(A(a)\), obținând:
\[ x=\frac{B(a)}{A(a)} \]
Dacă în schimb:
\[ A(a)=0 \]
nu putem împărți prin \(A(a)\). În acest caz trebuie să substituim valoarea parametrului în ecuație și să verificăm ce rămâne.
Regula esențială: nu se împarte niciodată printr-o expresie care poate fi zero
Greșeala cea mai frecventă în cazul ecuațiilor parametrice constă în a împărți printr-o expresie ce depinde de parametru fără a verifica în prealabil când aceasta se anulează.
De exemplu, din ecuația:
\[ (a-1)x=2 \]
ar fi incorect să scriem imediat:
\[ x=\frac{2}{a-1} \]
fără a observa mai întâi că:
\[ a-1=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=1 \]
Într-adevăr, dacă \(a=1\), ecuația devine:
\[ 0\cdot x=2 \]
adică:
\[ 0=2 \]
imposibil.
Prin urmare, formula:
\[ x=\frac{2}{a-1} \]
este valabilă doar pentru:
\[ a\ne1 \]
Discuția cazurilor
Rezolvarea unei ecuații parametrice presupune adesea o discuție, adică separarea valorilor parametrului în cazuri distincte.
Discuția servește la stabilirea:
- pentru ce valori ale parametrului ecuația este determinată;
- pentru ce valori este imposibilă;
- pentru ce valori este nedeterminată.
În cazul unei ecuații de gradul întâi:
\[ A(a)x=B(a) \]
avem trei posibilități.
Cazul \(A(a)\ne0\)
Ecuația admite o soluție unică:
\[ x=\frac{B(a)}{A(a)} \]
Cazul \(A(a)=0\) și \(B(a)\ne0\)
Ecuația devine:
\[ 0\cdot x=B(a) \]
cu \(B(a)\ne0\). Se obține astfel o egalitate falsă:
\[ 0=B(a) \]
și ecuația este imposibilă.
Cazul \(A(a)=0\) și \(B(a)=0\)
Ecuația devine:
\[ 0\cdot x=0 \]
adică:
\[ 0=0 \]
Această egalitate este întotdeauna adevărată, deci orice număr real este soluție.
În acest caz ecuația este nedeterminată:
\[ S=\mathbb{R} \]
Primul exemplu rezolvat
Rezolvăm și discutăm ecuația:
\[ ax=4 \]
Necunoscuta este \(x\), iar \(a\) este un parametru real.
Coeficientul lui \(x\) este \(a\). Distingem două cazuri.
Cazul \(a\ne0\)
Dacă \(a\ne0\), putem împărți ambii membri prin \(a\):
\[ x=\frac{4}{a} \]
Prin urmare, pentru \(a\ne0\), ecuația are o soluție unică:
\[ S=\left\{\frac{4}{a}\right\} \]
Cazul \(a=0\)
Dacă \(a=0\), ecuația devine:
\[ 0\cdot x=4 \]
adică:
\[ 0=4 \]
Această egalitate este falsă. Deci ecuația nu are soluții:
\[ S=\varnothing \]
În concluzie:
\[ \begin{cases} a\ne0 & \Rightarrow S=\left\{\frac{4}{a}\right\} \\ a=0 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Al doilea exemplu rezolvat
Rezolvăm și discutăm:
\[ (a-2)x=a-2 \]
Coeficientul necunoscutei este:
\[ a-2 \]
Înainte de a împărți prin \(a-2\), trebuie să stabilim când acest coeficient se anulează:
\[ a-2=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=2 \]
Cazul \(a\ne2\)
Dacă \(a\ne2\), atunci \(a-2\ne0\). Putem împărți ambii membri prin \(a-2\):
\[ x=\frac{a-2}{a-2} \]
Deoarece \(a-2\ne0\), fracția este egală cu:
\[ x=1 \]
Prin urmare:
\[ S=\{1\} \]
Cazul \(a=2\)
Dacă \(a=2\), substituim în ecuația inițială:
\[ (2-2)x=2-2 \]
adică:
\[ 0\cdot x=0 \]
deci:
\[ 0=0 \]
Această egalitate este adevărată pentru orice valoare a lui \(x\). Prin urmare:
\[ S=\mathbb{R} \]
În concluzie:
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\{1\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Al treilea exemplu rezolvat
Rezolvăm și discutăm:
\[ (a+1)x=a^2-1 \]
Coeficientul necunoscutei este:
\[ a+1 \]
Trebuie să distingem cazul în care acest coeficient este nenul de cazul în care se anulează.
Rezolvăm:
\[ a+1=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=-1 \]
Cazul \(a\ne-1\)
Dacă \(a\ne-1\), atunci \(a+1\ne0\). Putem împărți ambii membri prin \(a+1\):
\[ x=\frac{a^2-1}{a+1} \]
Descompunem numărătorul:
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
Astfel:
\[ x=\frac{(a-1)(a+1)}{a+1} \]
Deoarece ne aflăm în cazul \(a\ne-1\), avem \(a+1\ne0\), deci putem simplifica:
\[ x=a-1 \]
Prin urmare:
\[ S=\{a-1\} \]
Cazul \(a=-1\)
Dacă \(a=-1\), substituim în ecuația inițială:
\[ (-1+1)x=(-1)^2-1 \]
adică:
\[ 0\cdot x=1-1 \]
deci:
\[ 0=0 \]
Ecuația este adevărată pentru orice valoare reală a lui \(x\). Prin urmare:
\[ S=\mathbb{R} \]
În concluzie:
\[ \begin{cases} a\ne-1 & \Rightarrow S=\{a-1\} \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Ecuații parametrice cu parametrul la numitor
În unele ecuații parametrul apare la numitor. În aceste cazuri, primul pas nu este rezolvarea ecuației, ci stabilirea pentru ce valori ale parametrului ecuația are sens.
Să considerăm:
\[ \frac{x}{a-1}=3 \]
Numitorul nu poate fi nul, deci trebuie să impunem condiția:
\[ a-1\ne0 \]
adică:
\[ a\ne1 \]
Numai pentru \(a\ne1\) ecuația este definită. În acest caz putem înmulți ambii membri cu \(a-1\):
\[ x=3(a-1) \]
deci:
\[ x=3a-3 \]
În concluzie:
\[ a\ne1 \quad \Rightarrow \quad S=\{3a-3\} \]
Pentru:
\[ a=1 \]
ecuația nu este definită, deoarece numitorul ar fi nul.
Ecuații parametrice de gradul al doilea
Ecuațiile parametrice pot fi și de gradul al doilea. În acest caz parametrul poate influența discriminantul și, prin urmare, numărul soluțiilor reale.
Să considerăm forma generală:
\[ Ax^2+Bx+C=0 \]
unde cel puțin unul dintre \(A\), \(B\), \(C\) depinde de un parametru.
Dacă \(A\ne0\), ecuația este de gradul al doilea și se studiază discriminantul:
\[ \Delta=B^2-4AC \]
În funcție de semnul lui \(\Delta\), avem trei cazuri:
- dacă \(\Delta>0\), ecuația are două soluții reale distincte;
- dacă \(\Delta=0\), ecuația are două soluții reale egale;
- dacă \(\Delta<0\), ecuația nu are soluții reale.
Dacă în schimb \(A=0\), ecuația nu mai este de gradul al doilea și trebuie studiată ca ecuație de gradul întâi.
Exemplu de ecuație parametrică de gradul al doilea
Discutăm ecuația:
\[ x^2-2x+a=0 \]
În acest caz parametrul \(a\) apare în termenul liber.
Coeficientul lui \(x^2\) este \(1\), deci ecuația este întotdeauna de gradul al doilea.
Calculăm discriminantul:
\[ \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot a \]
adică:
\[ \Delta=4-4a \]
Scoatem factor comun pe \(4\):
\[ \Delta=4(1-a) \]
Numărul soluțiilor reale depinde de semnul expresiei \(1-a\).
Cazul \(\Delta>0\)
Avem:
\[ 4(1-a)>0 \]
Deoarece \(4>0\), semnul depinde de \(1-a\):
\[ 1-a>0 \]
deci:
\[ a<1 \]
Pentru \(a<1\), ecuația are două soluții reale distincte.
Cazul \(\Delta=0\)
Avem:
\[ 4(1-a)=0 \]
adică:
\[ 1-a=0 \]
deci:
\[ a=1 \]
Pentru \(a=1\), ecuația are două soluții reale egale.
Cazul \(\Delta<0\)
Avem:
\[ 4(1-a)<0 \]
deci:
\[ 1-a<0 \]
de unde:
\[ a>1 \]
Pentru \(a>1\), ecuația nu are soluții reale.
În concluzie:
\[ \begin{cases} a<1 & \text{două soluții reale distincte} \\ a=1 & \text{două soluții reale egale} \\ a>1 & \text{nicio soluție reală} \end{cases} \]
Observație finală
Ecuațiile parametrice impun un mod de gândire mai riguros față de ecuațiile numerice obișnuite. Parametrul nu este un simplu simbol decorativ: el poate modifica gradul ecuației, poate anula coeficienți, poate face imposibilă o împărțire sau poate schimba numărul soluțiilor.
De aceea, metoda corectă nu constă în a rezolva mecanic, ci în a discuta cazurile.
În particular, ori de câte ori o expresie depinde de parametru, trebuie să ne întrebăm dacă se poate anula. Numai după această verificare este permis să împărțim, să simplificăm sau să aplicăm formulele de rezolvare în mod riguros.
A înțelege ecuațiile parametrice înseamnă, prin urmare, a învăța să citim o ecuație nu ca pe o problemă unică, ci ca pe o familie de probleme — câte una pentru fiecare valoare a parametrului.