Fie \( a \neq 0 \) și \( n \in \mathbb{N} \). Puterea a \( n \)-a a lui \( a \), notată cu simbolul \( a^n \), este definită ca produsul lui \( a \) cu sine însuși de \( n \) ori. În formule, acest produs se exprimă astfel:
\[ a^n := \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ ori}} \]
Numărul \( a \) se numește baza puterii, iar \( n \) se numește exponentul puterii.
Cuprins
- Proprietățile puterilor
- Puterea cu exponent zero
- Puteri cu exponent negativ
- Puteri cu exponent fracționar
- Exerciții privind proprietățile puterilor
Proprietățile puterilor
Fie \( a \) și \( b \) numere reale nenule și \( m,n \in \mathbb{N} \). Puterile satisfac următoarele proprietăți fundamentale:
Produsul puterilor cu aceeași bază:
Produsul a două puteri cu aceeași bază este o putere care are aceeași bază, iar ca exponent suma exponenților:
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
Prin definiție:
\[ a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ ori}} \quad , \quad a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ ori}} \]
Prin urmare, înmulțind cele două puteri:
\[ a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ ori}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ ori}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m+n \text{ ori}} = a^{m+n} \]
Împărțirea puterilor cu aceeași bază:
Rezultatul împărțirii a două puteri cu aceeași bază este o putere care are aceeași bază, iar ca exponent diferența exponenților.
\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad \text{cu } a \neq 0 \]
Prin definiție:
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ ori}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ ori}}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{(m-n) \text{ ori}} = a^{m-n}. \]
Puterea unei puteri:
Puterea unei puteri este o putere cu aceeași bază, iar exponentul ei este produsul exponenților:
\[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \]
Prin definiție:
\[ (a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \dots \cdot a^m}_{n \text{ ori}} = \underbrace{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}_{m \cdot n \text{ ori}} = a^{m \cdot n}. \]
Produsul puterilor cu baze diferite dar același exponent:
Puterea unui produs este egală cu produsul puterilor factorilor:
\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]
Prin definiție:
\[ (a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot \dots \cdot (a \cdot b)}_{n \text{ ori}} = (\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ ori}}) \cdot (\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ ori}}) = a^n \cdot b^n. \]
Împărțirea puterilor cu baze diferite dar același exponent:
Puterea unui cât este egală cu câtul puterilor numărătorului și numitorului:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad \text{cu } b \neq 0 \]
Prin definiție:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \dots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ ori}} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ ori}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ ori}}} = \frac{a^n}{b^n}. \]
Puterea cu exponent zero
Atunci când extindem definiția puterilor la cazuri noi, dorim ca toate proprietățile deja valabile să rămână coerente.
Pentru \(a \neq 0\) și orice număr natural \(m\), știm că:
\[ \frac{a^m}{a^m}=a^{m-m}=a^0 \]
Dar orice număr nenul împărțit la el însuși este egal cu \(1\), deci:
\[ \frac{a^m}{a^m}=1 \]
Prin urmare:
\[ a^0=1 \]
Această definiție nu este arbitrară, ci este singura care păstrează valabile toate proprietățile puterilor. De exemplu:
\[ a^m \cdot a^0 = a^{m+0}=a^m \]
și:
\[ \frac{a^m}{a^m}=a^{m-m}=a^0=1 \]
Puteri cu exponent negativ
Un număr ridicat la un exponent negativ este egal cu inversul puterii cu exponent pozitiv:
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{cu } a \neq 0 \]
Această definiție decurge din necesitatea de a menține coerența cu proprietatea împărțirii puterilor. Dacă dorim ca relația \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) să fie valabilă în orice situație, atunci pentru \(m < n\) obținem un exponent negativ ca rezultat.
Prin definiția împărțirii:
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}} = \frac{1}{a^{-(m-n)}} = a^{-(n-m)} = a^{m-n} \]
Această definiție garantează că toate proprietățile puterilor se extind în mod coerent la exponenții negativi. De exemplu:
\[ a^m \cdot a^{-n} = a^m \cdot \frac{1}{a^n} = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} = a^{m+(-n)} \]
Puteri cu exponent fracționar
Pentru a extinde definiția puterii la exponenții fracționari, trebuie să menținem coerența cu proprietățile deja stabilite pentru exponenții întregi.
Prin definiție, expresia \(a^{\frac{n}{m}}\) desemnează radicalul de ordin \(m\) din \(a^n\), adică:
\[ a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} \quad \text{cu } a \geq 0, \, m > 0 \]
Această definiție poate fi scrisă în mod echivalent ca:
\[ a^{\frac{n}{m}} = (\sqrt[m]{a})^n \]
Definiția nu este arbitrară, ci decurge din necesitatea de a păstra proprietatea fundamentală a puterilor. Dacă dorim ca relația \(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\) să rămână valabilă, atunci pentru exponentul \(\displaystyle \frac{1}{m}\) trebuie să aibă loc în mod necesar:
\[ (a^{\frac{1}{m}})^m = a^{\frac{1}{m} \cdot m} = a^1 = a \]
Aceasta înseamnă că \(a^{\frac{1}{m}}\) este acel număr care, ridicat la puterea \(m\), dă \(a\). Prin definiția radicalului, acesta este exact \(\sqrt[m]{a}\).
Toate proprietățile puterilor se extind în mod natural la exponenții fracționari:
\[ a^{\frac{p}{q}} \cdot a^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{p}{q} + \frac{r}{s}} = a^{\frac{ps + qr}{qs}} \]
Definiția garantează că proprietatea generală a puterilor este respectată și menține coerența întregii structuri algebrice.
Exerciții privind proprietățile puterilor
Exercițiul 1. Simplifică: \( a^5 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot b^4 \)
Soluție. Aplicăm proprietatea produsului puterilor cu aceeași bază, adunând exponenții:
\begin{align} a^5 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot b^4 &= a^{5+3} \cdot b^{2+4} \\ &= a^8 \cdot b^6 \end{align}
Rezultat: \( a^8 \cdot b^6 \).
Exercițiul 2. Simplifică \( (a^3 \cdot b^2)^4 \).
Soluție. Aplicăm proprietatea puterii unui produs, ridicând fiecare factor la noul exponent:
\[ \begin{align*} (a^3 \cdot b^2)^4 &= (a^3)^4 \cdot (b^2)^4 \\ &= a^{3 \cdot 4} \cdot b^{2 \cdot 4} \\ &= a^{12} \cdot b^8 \end{align*} \]
Rezultat: \( a^{12} \cdot b^8 \).
Exercițiul 3. Simplifică:
\[ \frac{a^6 \cdot b^8}{a^2 \cdot b^3} \]
Soluție. Utilizăm proprietatea împărțirii puterilor cu aceeași bază, scăzând exponenții:
\begin{align} \frac{a^6 \cdot b^8}{a^2 \cdot b^3} &= \frac{a^6}{a^2} \cdot \frac{b^8}{b^3} \\ &= a^{6-2} \cdot b^{8-3} \\ &= a^4 \cdot b^5 \end{align}
Rezultat: \( a^4 \cdot b^5 \).
Exercițiul 4. Simplifică:
\[ \left(\frac{a^3 \cdot b^5}{a \cdot b^2}\right)^2 \]
Soluție. Începem prin simplificarea termenilor din interiorul parantezelor, apoi aplicăm puterea asupra rezultatului:
\[ \begin{align} \frac{a^3 \cdot b^5}{a \cdot b^2} &= \frac{a^3}{a} \cdot \frac{b^5}{b^2} \\ &= a^{3-1} \cdot b^{5-2} \\ &= a^2 \cdot b^3 \end{align} \]
Acum aplicăm puterea asupra expresiei simplificate:
\[ \begin{align} \left(a^2 \cdot b^3\right)^2 &= (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 \\ &= a^{2 \cdot 2} \cdot b^{3 \cdot 2} \\ &= a^4 \cdot b^6 \end{align} \]
Rezultat: \( a^4 \cdot b^6 \).
Exercițiul 5. Simplifică:
\[ \frac{(a^3 \cdot b^2)^2 \cdot b^4}{a^4 \cdot b^5} \]
Soluție. Începem prin calcularea puterii din numărător:
\[ \begin{align} (a^3 \cdot b^2)^2 &= (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 \\ &= a^{3 \cdot 2} \cdot b^{2 \cdot 2} \\ &= a^6 \cdot b^4 \end{align} \]
Adăugăm termenul \( b^4 \) la numărător:
\begin{align} a^6 \cdot b^4 \cdot b^4 &= a^6 \cdot b^{4+4} \\ &= a^6 \cdot b^8 \end{align}
Simplificăm acum câtul:
\begin{align} \frac{a^6 \cdot b^8}{a^4 \cdot b^5} &= \frac{a^6}{a^4} \cdot \frac{b^8}{b^5} \\ &= a^{6-4} \cdot b^{8-5} \\ &= a^2 \cdot b^3 \end{align}
Rezultat: \( a^2 \cdot b^3 \).