Inecuațiile cu parametru sunt inecuații în care, pe lângă necunoscută, apare o literă ce reprezintă un număr real fix, dar nespecificat. Dificultatea principală nu constă doar în rezolvarea inecuației în raport cu necunoscuta, ci și în înțelegerea modului în care mulțimea soluțiilor se modifică pe măsură ce parametrul variază.
Din acest motiv, o inecuație cu parametru nu produce, în general, un singur răspuns: necesită o discuție pe cazuri, în cadrul căreia se disting valorile parametrului care modifică semnul, gradul inecuației sau numărul soluțiilor.
Cuprins
- Necunoscuta și parametrul
- De ce este necesară discuția pe cazuri
- Inecuații de gradul întâi cu parametru
- Inecuații de gradul al doilea cu parametru
- Discriminantul și numărul rădăcinilor reale
- Concavitatea și semnul trinomului
- Cazuri degenerate
- Exemplu liniar ghidat
- Exemplu pătratic complet
- Schemă recapitulativă
- Cele mai frecvente greșeli
- Procedura generală
Necunoscuta și parametrul
Într-o inecuație cu parametru trebuie să se distingă cu precizie rolul fiecărei litere prezente.
Necunoscuta este variabila față de care se rezolvă inecuația. Parametrul, în schimb, este tratat ca un număr real fix, dar necunoscut.
De exemplu:
\[ (k-1)x+2>0 \]
este o inecuație în necunoscuta \(x\), iar \(k\) este parametrul.
În cursul rezolvării, \(k\) se comportă ca o constantă; totuși, rezultatul final trebuie să țină cont de toate valorile reale posibile ale lui \(k\).
Aceasta înseamnă că mulțimea soluțiilor nu va fi exprimată exclusiv în funcție de \(x\), ci va fi descrisă prin distingerea cazurilor parametrului.
De ce este necesară discuția pe cazuri
Discuția pe cazuri apare din faptul că anumite operații algebrice depind de semnul unor expresii ce conțin parametrul.
Considerăm inecuația:
\[ (k-1)x>2 \]
Pentru a izola \(x\), ar trebui să împărțim ambii membri prin \(k-1\). Semnul lui \(k-1\) nu este însă cunoscut a priori.
Dacă:
\[ k-1>0 \]
adică \(k>1\), putem împărți fără a schimba sensul inecuației:
\[ x>\frac{2}{k-1} \]
Dacă în schimb:
\[ k-1<0 \]
adică \(k<1\), împărțind la o cantitate negativă trebuie să inversăm sensul inecuației:
\[ x<\frac{2}{k-1} \]
Rămâne în final cazul:
\[ k-1=0 \]
adică:
\[ k=1 \]
În acest caz, inecuația devine:
\[ 0\cdot x>2 \]
adică:
\[ 0>2 \]
care este o propoziție falsă. Prin urmare, pentru \(k=1\), inecuația nu are soluții.
Soluția completă este:
\[ \begin{cases} x>\dfrac{2}{k-1}, & k>1,\\[6pt] x<\dfrac{2}{k-1}, & k<1,\\[6pt] S=\emptyset, & k=1. \end{cases} \]
Acest exemplu simplu ilustrează principiul fundamental: atunci când se operează cu cantități dependente de parametru, trebuie să se știe dacă acestea sunt pozitive, negative sau nule.
Inecuații de gradul întâi cu parametru
O inecuație de gradul întâi cu parametru are, în general, forma:
\[ a(k)x+b(k)>0 \]
unde \(a(k)\) și \(b(k)\) sunt expresii dependente de parametru.
Elementul esențial este coeficientul necunoscutei:
\[ a(k) \]
Dacă \(a(k)>0\), se poate împărți prin \(a(k)\) fără a schimba sensul. Dacă \(a(k)<0\), sensul trebuie inversat. Dacă \(a(k)=0\), inecuația pierde necunoscuta și devine o inecuație numerică.
În formă generală:
\[ a(k)x+b(k)>0 \]
este echivalentă, când \(a(k)\neq0\), cu:
\[ a(k)x>-b(k) \]
Prin urmare:
\[ \begin{cases} x>-\dfrac{b(k)}{a(k)}, & a(k)>0,\\[8pt] x<-\dfrac{b(k)}{a(k)}, & a(k)<0. \end{cases} \]
Cazul \(a(k)=0\) se discută separat, deoarece inecuația devine:
\[ b(k)>0 \]
Dacă această propoziție este adevărată, orice valoare reală a lui \(x\) este soluție; dacă este falsă, nu există nicio soluție.
Inecuații de gradul al doilea cu parametru
O inecuație de gradul al doilea cu parametru are forma:
\[ a(k)x^2+b(k)x+c(k)>0 \]
sau, mai general:
\[ a(k)x^2+b(k)x+c(k)\gtrless 0 \]
În acest caz, discuția este mai complexă, deoarece parametrul poate influența trei aspecte distincte:
- gradul inecuației;
- numărul rădăcinilor reale;
- concavitatea parabolei.
Înainte de a aplica teoria inecuațiilor de gradul al doilea, trebuie verificat dacă:
\[ a(k)=0 \]
deoarece, în acest caz, termenul pătratic dispare și inecuația nu mai este de gradul al doilea.
Numai când:
\[ a(k)\neq0 \]
are sens să se studieze discriminantul trinomului.
Discriminantul și numărul rădăcinilor reale
Atunci când inecuația este efectiv de gradul al doilea, discriminantul este:
\[ \Delta(k)=b(k)^2-4a(k)c(k) \]
Discriminantul stabilește câte rădăcini reale are trinomul.
Cazul \(\Delta(k)<0\)
Trinomul nu are rădăcini reale. Parabola nu intersectează axa absciselor.
În acest caz, trinomul păstrează același semn pe întreaga dreaptă reală, semn care coincide cu semnul coeficientului termenului pătratic.
Prin urmare:
- dacă \(a(k)>0\), trinomul este întotdeauna pozitiv;
- dacă \(a(k)<0\), trinomul este întotdeauna negativ.
Cazul \(\Delta(k)=0\)
Trinomul are o rădăcină reală dublă:
\[ x_0=-\frac{b(k)}{2a(k)} \]
Parabola este tangentă la axa absciselor, fără a o traversa.
În acest caz, trinomul are același semn cu \(a(k)\) pentru orice \(x\neq x_0\), iar în \(x=x_0\) se anulează.
Din acest motiv, în inecuațiile stricte rădăcina dublă este exclusă din soluție; în inecuațiile cu semn larg, este inclusă, dacă este compatibilă cu sensul inecuației.
Cazul \(\Delta(k)>0\)
Trinomul are două rădăcini reale distincte:
\[ x_1=\frac{-b(k)-\sqrt{\Delta(k)}}{2a(k)}, \qquad x_2=\frac{-b(k)+\sqrt{\Delta(k)}}{2a(k)} \]
După ce le ordonăm astfel încât:
\[ x_1
semnul trinomului se studiază observând concavitatea parabolei.
Concavitatea și semnul trinomului
Semnul lui \(a(k)\) determină concavitatea parabolei.
Dacă:
\[ a(k)>0 \]
parabola are ramurile îndreptate în sus. Când există două rădăcini reale distincte, trinomul este pozitiv în exteriorul rădăcinilor și negativ între ele:
\[ P(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty) \]
și:
\[ P(x)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(x_1,x_2) \]
Dacă în schimb:
\[ a(k)<0 \]
parabola are ramurile îndreptate în jos. Comportamentul se inversează: trinomul este pozitiv între rădăcini și negativ în exterior.
Prin urmare:
\[ P(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(x_1,x_2) \]
și:
\[ P(x)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty) \]
Aceasta arată de ce discriminantul singur nu este suficient: a ști câte rădăcini există nu este de ajuns. Trebuie știut și dacă parabola are ramurile în sus sau în jos.
Cazuri degenerate
Un caz degenerat apare atunci când coeficientul termenului de grad maxim se anulează.
De exemplu, în inecuația:
\[ (k-2)x^2+x+1>0 \]
coeficientul termenului pătratic este:
\[ k-2 \]
Dacă:
\[ k=2 \]
inecuația devine:
\[ x+1>0 \]
adică o inecuație de gradul întâi.
Dacă în schimb:
\[ k\neq2 \]
inecuația rămâne de gradul al doilea și poate fi studiată prin discriminant și concavitate.
Cazurile degenerate trebuie tratate înaintea studiului discriminantului, deoarece discriminantul privește exclusiv trinomele efectiv pătratice.
Exemplu liniar ghidat
Considerăm inecuația:
\[ (k+2)x-1\leq0 \]
Necunoscuta este \(x\), iar \(k\) este parametrul.
Trecem termenul liber în membrul drept:
\[ (k+2)x\leq1 \]
De acum înainte, comportamentul depinde de semnul lui \(k+2\).
Cazul \(k+2>0\)
Dacă:
\[ k>-2 \]
putem împărți fără a schimba sensul:
\[ x\leq\frac{1}{k+2} \]
Cazul \(k+2<0\)
Dacă:
\[ k<-2 \]
împărțind la o cantitate negativă trebuie să inversăm sensul:
\[ x\geq\frac{1}{k+2} \]
Cazul \(k+2=0\)
Dacă:
\[ k=-2 \]
inecuația devine:
\[ 0\cdot x-1\leq0 \]
adică:
\[ -1\leq0 \]
care este adevărată pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).
Soluția completă este:
\[ \begin{cases} x\leq\dfrac{1}{k+2}, & k>-2,\\[8pt] x\geq\dfrac{1}{k+2}, & k<-2,\\[8pt] S=\mathbb{R}, & k=-2. \end{cases} \]
Exemplu pătratic complet
Considerăm inecuația:
\[ (k-1)x^2+2x+1\geq0 \]
În acest exemplu, parametrul apare în coeficientul termenului pătratic. Trebuie, prin urmare, să verificăm mai întâi dacă inecuația rămâne efectiv de gradul al doilea.
Cazul degenerat: \(k=1\)
Dacă:
\[ k=1 \]
termenul pătratic se anulează și inecuația devine:
\[ 2x+1\geq0 \]
Rezolvând:
\[ 2x\geq-1 \]
deci:
\[ x\geq-\frac12 \]
Prin urmare, pentru \(k=1\):
\[ S=\left[-\frac12,+\infty\right) \]
Cazul pătratic: \(k\neq1\)
Dacă \(k\neq1\), inecuația este de gradul al doilea. Coeficientul termenului pătratic este:
\[ a=k-1 \]
Discriminantul este:
\[ \Delta=2^2-4(k-1)\cdot1 \]
adică:
\[ \Delta=4-4k+4=8-4k \]
Studiem semnul discriminantului:
\[ \Delta>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 8-4k>0 \quad\Longleftrightarrow\quad k<2 \]
\[ \Delta=0 \quad\Longleftrightarrow\quad k=2 \]
\[ \Delta<0 \quad\Longleftrightarrow\quad k>2 \]
Concavitatea depinde de semnul lui \(k-1\):
\[ k-1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad k>1 \]
și:
\[ k-1<0 \quad\Longleftrightarrow\quad k<1 \]
Valorile critice ale parametrului sunt deci:
\[ k=1,\qquad k=2 \]
Trebuie să distingem cazurile:
\[ k<1,\qquad k=1,\qquad 1
Cazul \(k<1\)
În acest caz:
\[ k-1<0 \]
deci parabola are ramurile îndreptate în jos.
În plus, deoarece \(k<1<2\), avem:
\[ \Delta>0 \]
Trinomul are două rădăcini reale distincte. Deoarece concavitatea este în jos, trinomul este pozitiv între rădăcini și negativ în exterior.
Întrucât inecuația este:
\[ (k-1)x^2+2x+1\geq0 \]
soluția este:
\[ S=[x_1,x_2] \]
Cazul \(1<k<2\)
În acest caz:
\[ k-1>0 \]
deci parabola are ramurile îndreptate în sus.
Mai mult:
\[ \Delta>0 \]
deoarece \(k<2\). Trinomul are deci două rădăcini reale distincte.
Cu concavitatea în sus, trinomul este pozitiv în exteriorul rădăcinilor și negativ între ele. Deoarece inecuația este cu semn larg, rădăcinile trebuie incluse în soluție.
Prin urmare:
\[ S=(-\infty,x_1]\cup[x_2,+\infty) \]
Cazul \(k=2\)
Pentru \(k=2\), discriminantul este nul:
\[ \Delta=0 \]
Mai mult:
\[ k-1=1>0 \]
deci parabola are ramurile îndreptate în sus.
Trinomul are o rădăcină dublă. Deoarece parabola are concavitatea în sus, trinomul este întotdeauna mai mare sau egal cu zero.
Dat fiind că inecuația impune:
\[ \geq0 \]
soluția este întreaga dreaptă reală:
\[ S=\mathbb{R} \]
Cazul \(k>2\)
În acest caz:
\[ \Delta<0 \]
și:
\[ k-1>0 \]
Parabola are ramurile îndreptate în sus și nu intersectează axa absciselor.
Prin urmare, trinomul este întotdeauna pozitiv:
\[ (k-1)x^2+2x+1>0 \quad \forall x\in\mathbb{R} \]
Cu atât mai mult, satisface inecuația cu semn larg:
\[ (k-1)x^2+2x+1\geq0 \]
Prin urmare:
\[ S=\mathbb{R} \]
Rezultatul final
Rezumând:
\[ \begin{cases} S=[x_1,x_2], & k<1,\\[6pt] S=\left[-\dfrac12,+\infty\right), & k=1,\\[8pt] S=(-\infty,x_1]\cup[x_2,+\infty), & 1
În cazurile în care există două rădăcini distincte, \(x_1\) și \(x_2\) desemnează rădăcinile trinomului ordonate astfel încât:
\[ x_1
Schemă recapitulativă
Pentru inecuațiile pătratice cu parametru, odată excluse eventualele cazuri degenerate, comportamentul trinomului se rezumă în schema de mai jos.
| Condiție | Consecință |
|---|---|
| \(\Delta<0,\ a>0\) | Trinomul este întotdeauna pozitiv |
| \(\Delta<0,\ a<0\) | Trinomul este întotdeauna negativ |
| \(\Delta=0\) | Există o rădăcină dublă |
| \(\Delta>0,\ a>0\) | Pozitiv în exteriorul rădăcinilor, negativ între ele |
| \(\Delta>0,\ a<0\) | Pozitiv între rădăcini, negativ în exterior |
Cele mai frecvente greșeli
Împărțirea la o expresie ce conține parametrul fără a studia în prealabil semnul acesteia
Dacă se împarte la o cantitate care poate fi pozitivă, negativă sau nulă, trebuie distinse toate cazurile. În caz contrar, se riscă fie neinversarea sensului atunci când este necesar, fie împărțirea la zero.
Omiterea cazurilor degenerate
Atunci când coeficientul termenului de grad maxim se anulează, inecuația își schimbă natura. O inecuație pătratică poate deveni de gradul întâi, iar una de gradul întâi poate deveni o inecuație numerică.
Studierea exclusiv a discriminantului
Discriminantul stabilește numărul rădăcinilor reale, dar nu determină singur semnul trinomului. Trebuie întotdeauna luată în considerare și concavitatea parabolei.
Confundarea inecuațiilor stricte cu cele cu semn larg
În inecuațiile cu \(>\) sau \(<\), zerourile nu se includ. În inecuațiile cu \(\geq\) sau \(\leq\), zerourile se includ, cu excepția eventualelor valori inadmisibile.
Neordonarea corectă a cazurilor parametrului
Când apar mai multe valori critice ale parametrului, acestea trebuie așezate pe dreapta reală și discutate în ordinea corectă. Aceasta evită suprapunerile, omisiunile și cazurile duplicate.
Procedura generală
Pentru a rezolva o inecuație cu parametru este recomandabilă urmarea unei proceduri ordonate.
- Se identifică necunoscuta și se distinge parametrul.
- Se determină valorile parametrului care anulează coeficienți importanți.
- Se tratează separat eventualele cazuri degenerate.
- Dacă inecuația este de gradul întâi, se discută semnul coeficientului necunoscutei.
- Dacă inecuația este de gradul al doilea, se studiază discriminantul ca funcție de parametru.
- Se analizează concavitatea parabolei prin semnul coeficientului termenului pătratic.
- Se determină semnul expresiei în fiecare caz.
- Se scrie mulțimea soluțiilor distingând toate valorile sau intervalele parametrului.
Inecuațiile cu parametru cer ordine și atenție, deoarece fiecare valoare particulară a parametrului poate modifica însăși natura problemei.
O discuție corectă nu constă în multiplicarea calculelor, ci în recunoașterea valorilor parametrului care schimbă gradul inecuației, sensul operațiilor, numărul rădăcinilor reale sau concavitatea parabolei.
În acest sens, inecuațiile cu parametru reprezintă o etapă importantă: ne învață să nu rezolvăm mecanic, ci să controlăm întreaga structură a problemei.