O colecție progresivă de 20 de exerciții rezolvate despre inecuații iraționale, concepută pentru a învăța să rezolvi corect inecuații cu radicali, acordând atenție condițiilor de existență, semnului membrilor și eventualelor soluții parazite.
În fiecare exercițiu nu ne vom limita la ridicarea la pătrat, ci vom justifica de ce acest pas este permis. Acesta este punctul central al inecuațiilor iraționale: ridicarea la pătrat nu este întotdeauna o transformare echivalentă dacă nu se verifică mai întâi condițiile corespunzătoare.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Să se rezolve:
\[ \sqrt{x-2}\gt 3. \]
Rezultat
\[ S=(11,+\infty). \]
Rezolvare
Radicalul există dacă:
\[ x-2\ge 0. \]
Deci:
\[ x\ge 2. \]
Deoarece membrul drept este pozitiv, putem ridica la pătrat:
\[ x-2\gt 9. \]
De unde:
\[ x\gt 11. \]
Intersectând cu domeniul de definiție, obținem:
\[ S=(11,+\infty). \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Să se rezolve:
\[ \sqrt{2x+1}\le 5. \]
Rezultat
\[ S=\left[-\frac{1}{2},12\right]. \]
Rezolvare
Condiția de existență este:
\[ 2x+1\ge 0. \]
Deci:
\[ x\ge -\frac{1}{2}. \]
Membrul drept este pozitiv, deci putem ridica la pătrat:
\[ 2x+1\le 25. \]
De unde:
\[ 2x\le 24. \]
Prin urmare:
\[ x\le 12. \]
Intersectând condițiile:
\[ S=\left[-\frac{1}{2},12\right]. \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Să se rezolve:
\[ \sqrt{x+4}\lt 2. \]
Rezultat
\[ S=[-4,0). \]
Rezolvare
Radicalul există dacă:
\[ x+4\ge 0. \]
Deci:
\[ x\ge -4. \]
Membrul drept este pozitiv, deci putem ridica la pătrat:
\[ x+4\lt 4. \]
De unde:
\[ x\lt 0. \]
Intersectând cu domeniul de definiție:
\[ S=[-4,0). \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Să se rezolve:
\[ \sqrt{x+1}\ge x-1. \]
Rezultat
\[ S=[-1,3]. \]
Rezolvare
Radicalul există dacă:
\[ x+1\ge 0. \]
Deci:
\[ x\ge -1. \]
Membrul stâng este întotdeauna nenegativ. Studiem prin urmare semnul membrului drept \(x-1\).
Cazul 1: \(x-1\le 0\)
Dacă:
\[ x-1\le 0, \]
atunci:
\[ x\le 1. \]
În acest caz membrul drept este nepozitiv, iar radicalul este nenegativ. Inecuația este deci verificată pentru:
\[ -1\le x\le 1. \]
Cazul 2: \(x-1\gt 0\)
Dacă:
\[ x-1\gt 0, \]
atunci:
\[ x\gt 1. \]
În acest caz ambii membri sunt nenegativi, deci putem ridica la pătrat:
\[ x+1\ge (x-1)^2. \]
Dezvoltăm:
\[ x+1\ge x^2-2x+1. \]
Mutăm totul în membrul drept:
\[ 0\ge x^2-3x. \]
Echivalent:
\[ x^2-3x\le 0. \]
Factorizăm:
\[ x^2-3x=x(x-3). \]
Rezolvăm:
\[ x(x-3)\le 0. \]
Obținem:
\[ 0\le x\le 3. \]
Intersectând cu \(x\gt 1\), avem:
\[ 1\lt x\le 3. \]
Reunind cele două cazuri:
\[ [-1,1]\cup(1,3]=[-1,3]. \]
Prin urmare:
\[ S=[-1,3]. \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Să se rezolve:
\[ \sqrt{x-2}\lt x-4. \]
Rezultat
\[ S=(6,+\infty). \]
Rezolvare
Radicalul există dacă:
\[ x-2\ge 0. \]
Deci:
\[ x\ge 2. \]
Deoarece membrul stâng este nenegativ, este necesar ca:
\[ x-4\gt 0. \]
Deci:
\[ x\gt 4. \]
Acum putem ridica la pătrat:
\[ x-2\lt (x-4)^2. \]
Dezvoltând:
\[ x-2\lt x^2-8x+16. \]
Mutăm totul în membrul drept:
\[ 0\lt x^2-9x+18. \]
Factorizăm:
\[ x^2-9x+18=(x-3)(x-6). \]
Deci:
\[ (x-3)(x-6)\gt 0. \]
Obținem:
\[ x\lt 3 \quad \text{sau} \quad x\gt 6. \]
Intersectând cu \(x\gt 4\), rămâne:
\[ S=(6,+\infty). \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Să se rezolve:
\[ \sqrt{2x-1}\le x+1. \]
Rezultat
\[ S=\left[\frac{1}{2},+\infty\right). \]
Rezolvare
Condiția de existență este:
\[ 2x-1\ge 0. \]
Deci:
\[ x\ge \frac{1}{2}. \]
Pe domeniul găsit, \(x+1\gt 0\). Putem deci ridica la pătrat:
\[ 2x-1\le (x+1)^2. \]
Dezvoltăm:
\[ 2x-1\le x^2+2x+1. \]
Scăzând \(2x-1\) din ambii membri:
\[ 0\le x^2+2. \]
Această inecuație este întotdeauna adevărată. Rămâne doar domeniul de definiție:
\[ S=\left[\frac{1}{2},+\infty\right). \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Să se rezolve:
\[ \sqrt{x+3}\ge 2x-1. \]
Rezultat
\[ S=\left[-3,\frac{5+\sqrt{57}}{8}\right]. \]
Rezolvare
Radicalul există dacă:
\[ x+3\ge 0. \]
Deci:
\[ x\ge -3. \]
Dacă \(2x-1\le 0\), adică \(x\le \frac{1}{2}\), inecuația este automat verificată pe domeniu:
\[ -3\le x\le \frac{1}{2}. \]
Dacă în schimb \(2x-1\gt 0\), adică \(x\gt \frac{1}{2}\), putem ridica la pătrat:
\[ x+3\ge (2x-1)^2. \]
Dezvoltăm:
\[ x+3\ge 4x^2-4x+1. \]
Mutând totul în membrul drept:
\[ 4x^2-5x-2\le 0. \]
Rezolvăm ecuația asociată:
\[ 4x^2-5x-2=0. \]
Discriminantul este:
\[ \Delta=57. \]
Rădăcinile sunt:
\[ x=\frac{5-\sqrt{57}}{8} \quad \text{și} \quad x=\frac{5+\sqrt{57}}{8}. \]
Deci:
\[ \frac{5-\sqrt{57}}{8}\le x\le \frac{5+\sqrt{57}}{8}. \]
Intersectând cu \(x\gt \frac{1}{2}\), obținem:
\[ \frac{1}{2}\lt x\le \frac{5+\sqrt{57}}{8}. \]
Reunind cele două cazuri:
\[ S=\left[-3,\frac{5+\sqrt{57}}{8}\right]. \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Să se rezolve:
\[ \sqrt{x+5}\gt \sqrt{2x-1}. \]
Rezultat
\[ S=\left[\frac{1}{2},6\right). \]
Rezolvare
Condițiile de existență sunt:
\[ \begin{cases} x+5\ge 0,\\ 2x-1\ge 0. \end{cases} \]
Deci:
\[ x\ge \frac{1}{2}. \]
Ambii membri sunt radicali nenegativi, deci putem ridica la pătrat:
\[ x+5\gt 2x-1. \]
De unde:
\[ x\lt 6. \]
Intersectând cu domeniul de definiție:
\[ S=\left[\frac{1}{2},6\right). \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
Să se rezolve:
\[ \sqrt{x^2-1}\le 2. \]
Rezultat
\[ S=[-\sqrt{5},-1]\cup[1,\sqrt{5}]. \]
Rezolvare
Radicalul există dacă:
\[ x^2-1\ge 0. \]
Adică:
\[ x\le -1 \quad \text{sau} \quad x\ge 1. \]
Putem ridica la pătrat:
\[ x^2-1\le 4. \]
Deci:
\[ x^2\le 5. \]
De unde:
\[ -\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5}. \]
Intersectând cu domeniul de definiție:
\[ S=[-\sqrt{5},-1]\cup[1,\sqrt{5}]. \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
Să se rezolve:
\[ \sqrt{x^2-4x}\ge x-2. \]
Rezultat
\[ S=(-\infty,0]. \]
Rezolvare
Radicalul există dacă:
\[ x^2-4x\ge 0. \]
Factorizăm:
\[ x^2-4x=x(x-4). \]
Deci:
\[ x\le 0 \quad \text{sau} \quad x\ge 4. \]
Dacă \(x\le 0\), atunci \(x-2\lt 0\), în timp ce radicalul este nenegativ. Prin urmare, toate aceste valori sunt soluții.
Dacă \(x\ge 4\), putem ridica la pătrat:
\[ x^2-4x\ge (x-2)^2. \]
Dezvoltând:
\[ x^2-4x\ge x^2-4x+4. \]
De unde:
\[ 0\ge 4, \]
ceea ce este fals. Prin urmare:
\[ S=(-\infty,0]. \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Să se rezolve:
\[ \sqrt{x^2-4x}\le x-2. \]
Rezultat
\[ S=[4,+\infty). \]
Rezolvare
Din condiția de domeniu:
\[ x^2-4x\ge 0 \]
obținem:
\[ x\le 0 \quad \text{sau} \quad x\ge 4. \]
Mai mult, deoarece membrul stâng este nenegativ, este necesar ca:
\[ x-2\ge 0. \]
Deci:
\[ x\ge 2. \]
Intersectând, rămâne:
\[ x\ge 4. \]
Ridicăm la pătrat:
\[ x^2-4x\le (x-2)^2. \]
Deci:
\[ x^2-4x\le x^2-4x+4. \]
De unde:
\[ 0\le 4. \]
Întotdeauna adevărat. Prin urmare:
\[ S=[4,+\infty). \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Să se rezolve:
\[ \sqrt{3x+1}\gt x+1. \]
Rezultat
\[ S=(0,1). \]
Rezolvare
Radicalul există dacă:
\[ 3x+1\ge 0. \]
Deci:
\[ x\ge -\frac{1}{3}. \]
Pe domeniu, \(x+1\gt 0\). Putem ridica la pătrat:
\[ 3x+1\gt (x+1)^2. \]
Dezvoltăm:
\[ 3x+1\gt x^2+2x+1. \]
Mutăm totul în membrul drept:
\[ x^2-x\lt 0. \]
Factorizăm:
\[ x(x-1)\lt 0. \]
Deci:
\[ 0\lt x\lt 1. \]
Prin urmare:
\[ S=(0,1). \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★★☆
Să se rezolve:
\[ \sqrt{x+2}+1\gt x. \]
Rezultat
\[ S=\left[-2,\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right). \]
Rezolvare
Radicalul există dacă:
\[ x+2\ge 0. \]
Deci:
\[ x\ge -2. \]
Mutăm \(1\) în membrul drept:
\[ \sqrt{x+2}\gt x-1. \]
Dacă \(x-1\lt 0\), adică \(x\lt 1\), inecuația este verificată pentru:
\[ -2\le x\lt 1. \]
Dacă \(x\ge 1\), ridicăm la pătrat:
\[ x+2\gt (x-1)^2. \]
Deci:
\[ x+2\gt x^2-2x+1. \]
Mutăm totul în membrul drept:
\[ x^2-3x-1\lt 0. \]
Rădăcinile sunt:
\[ x=\frac{3-\sqrt{13}}{2} \quad \text{și} \quad x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}. \]
Deci:
\[ \frac{3-\sqrt{13}}{2}\lt x\lt \frac{3+\sqrt{13}}{2}. \]
Intersectând cu \(x\ge 1\), obținem:
\[ 1\le x\lt \frac{3+\sqrt{13}}{2}. \]
Reunind cele două cazuri:
\[ S=\left[-2,\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right). \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
Să se rezolve:
\[ \sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}\gt 5. \]
Rezultat
\[ S=(5,+\infty). \]
Rezolvare
Condițiile de existență sunt:
\[ \begin{cases} x+4\ge 0,\\ x-1\ge 0. \end{cases} \]
Deci:
\[ x\ge 1. \]
Funcția:
\[ f(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1} \]
este crescătoare pe domeniu. Rezolvăm ecuația:
\[ \sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}=5. \]
Izolăm:
\[ \sqrt{x+4}=5-\sqrt{x-1}. \]
Ridicând la pătrat:
\[ x+4=25-10\sqrt{x-1}+x-1. \]
Deci:
\[ x+4=x+24-10\sqrt{x-1}. \]
De unde:
\[ \sqrt{x-1}=2. \]
Deci:
\[ x=5. \]
Deoarece funcția este crescătoare și inecuația este strictă:
\[ S=(5,+\infty). \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
Să se rezolve:
\[ \sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}\le 1. \]
Rezultat
\[ S=[5,+\infty). \]
Rezolvare
Domeniul de definiție este:
\[ x\ge 1. \]
Mutăm al doilea radical în membrul drept:
\[ \sqrt{x+4}\le 1+\sqrt{x-1}. \]
Membrul drept este pozitiv, deci putem ridica la pătrat:
\[ x+4\le \left(1+\sqrt{x-1}\right)^2. \]
Dezvoltăm:
\[ x+4\le x+2\sqrt{x-1}. \]
Scăzând \(x\):
\[ 4\le 2\sqrt{x-1}. \]
Deci:
\[ 2\le \sqrt{x-1}. \]
Ridicând la pătrat:
\[ 4\le x-1. \]
De unde:
\[ x\ge 5. \]
Prin urmare:
\[ S=[5,+\infty). \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Să se rezolve:
\[ \sqrt{2x+3}\ge \sqrt{x+1}+1. \]
Rezultat
\[ S=\{-1\}\cup[3,+\infty). \]
Rezolvare
Domeniul de definiție este:
\[ x\ge -1. \]
Ridicăm la pătrat:
\[ 2x+3\ge \left(\sqrt{x+1}+1\right)^2. \]
Deci:
\[ 2x+3\ge x+2+2\sqrt{x+1}. \]
De unde:
\[ x+1\ge 2\sqrt{x+1}. \]
Notăm:
\[ t=\sqrt{x+1}. \]
Atunci \(t\ge 0\) și:
\[ t^2\ge 2t. \]
Deci:
\[ t(t-2)\ge 0. \]
Deoarece \(t\ge 0\), obținem:
\[ t=0 \quad \text{sau} \quad t\ge 2. \]
Deci:
\[ x=-1 \quad \text{sau} \quad x\ge 3. \]
Prin urmare:
\[ S=\{-1\}\cup[3,+\infty). \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Să se rezolve:
\[ \sqrt{x+6}\gt x. \]
Rezultat
\[ S=[-6,3). \]
Rezolvare
Domeniul de definiție este:
\[ x\ge -6. \]
Dacă \(x\lt 0\), inecuația este verificată:
\[ -6\le x\lt 0. \]
Dacă \(x\ge 0\), ridicăm la pătrat:
\[ x+6\gt x^2. \]
Deci:
\[ x^2-x-6\lt 0. \]
Factorizăm:
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]
Obținem:
\[ -2\lt x\lt 3. \]
Intersectând cu \(x\ge 0\):
\[ 0\le x\lt 3. \]
Reunind:
\[ S=[-6,3). \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
Să se rezolve:
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}\le 5. \]
Rezultat
\[ S=\left[-1,\frac{96}{25}\right]. \]
Rezolvare
Domeniul de definiție este:
\[ x\ge -1. \]
Funcția:
\[ f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{x+4} \]
este crescătoare pe domeniu. Rezolvăm ecuația:
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}=5. \]
Izolăm:
\[ \sqrt{x+4}=5-\sqrt{x+1}. \]
Ridicând la pătrat:
\[ x+4=25-10\sqrt{x+1}+x+1. \]
Deci:
\[ x+4=x+26-10\sqrt{x+1}. \]
De unde:
\[ \sqrt{x+1}=\frac{11}{5}. \]
Ridicând la pătrat:
\[ x+1=\frac{121}{25}. \]
Deci:
\[ x=\frac{96}{25}. \]
Deoarece \(f\) este crescătoare:
\[ S=\left[-1,\frac{96}{25}\right]. \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
Să se rezolve:
\[ \sqrt{x+2}\ge x. \]
Rezultat
\[ S=[-2,2]. \]
Rezolvare
Domeniul de definiție este:
\[ x\ge -2. \]
Dacă \(x\lt 0\), inecuația este verificată:
\[ -2\le x\lt 0. \]
Dacă \(x\ge 0\), ridicăm la pătrat:
\[ x+2\ge x^2. \]
Deci:
\[ x^2-x-2\le 0. \]
Factorizăm:
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]
Obținem:
\[ -1\le x\le 2. \]
Intersectând cu \(x\ge 0\):
\[ 0\le x\le 2. \]
Reunind:
\[ S=[-2,2]. \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Să se rezolve:
\[ \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}\ge 1. \]
Rezultat
\[ S=\left[1,\frac{13}{4}\right]. \]
Rezolvare
Domeniul de definiție este:
\[ x\ge 1. \]
Mutăm al doilea radical în membrul drept:
\[ \sqrt{x+3}\ge 1+\sqrt{x-1}. \]
Ridicăm la pătrat:
\[ x+3\ge \left(1+\sqrt{x-1}\right)^2. \]
Dezvoltăm:
\[ x+3\ge x+2\sqrt{x-1}. \]
Scăzând \(x\):
\[ 3\ge 2\sqrt{x-1}. \]
Deci:
\[ \sqrt{x-1}\le \frac{3}{2}. \]
Ridicând la pătrat:
\[ x-1\le \frac{9}{4}. \]
De unde:
\[ x\le \frac{13}{4}. \]
Intersectând cu domeniul de definiție:
\[ S=\left[1,\frac{13}{4}\right]. \]