Un sistem de ecuații este un ansamblu de două sau mai multe ecuații care trebuie satisfăcute simultan.
A rezolva un sistem înseamnă, prin urmare, a determina valorile necunoscutelor care verifică toate ecuațiile sistemului în același timp.
Sistemele reprezintă unul dintre instrumentele fundamentale ale algebrei, deoarece permit modelarea condițiilor simultane și apar în numeroase contexte matematice, geometrice și aplicative.
Din punct de vedere geometric, un sistem liniar cu două necunoscute descrie, în general, intersecția a două drepte în planul cartezian.
Cuprins
- Ce este un sistem de ecuații
- Forma generală a unui sistem liniar
- Sistem determinat, incompatibil și nedeterminat
- Metoda substituției
- Metoda reducerii (sau eliminării)
- Algoritmul eliminării gaussiene
- Sisteme liniare cu trei necunoscute
- Interpretare geometrică
- Determinantul sistemului și Teorema lui Cramer
- Sisteme cu parametru
- Sisteme neliniare
- Greșeli frecvente
Ce este un sistem de ecuații
Să considerăm două ecuații cu aceleași necunoscute:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x-y=1 \end{cases} \]
Niciuna dintre cele două ecuații nu se studiază separat: dorim să găsim valorile lui \(x\) și \(y\) care le satisfac pe amândouă în același timp.
În acest caz:
\[ x=3,\qquad y=2 \]
deoarece:
\[ 3+2=5 \]
și în același timp:
\[ 3-2=1. \]
Perechea:
\[ (3,2) \]
reprezintă, prin urmare, soluția sistemului.
În general, o soluție a unui sistem este o pereche, un triplet sau un ansamblu de valori care verifică simultan toate ecuațiile sistemului.
Forma generală a unui sistem liniar
Un sistem liniar cu două necunoscute are, în general, forma:
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]
unde:
- \(x\) și \(y\) sunt necunoscutele;
- \(a_1,a_2,b_1,b_2\) sunt coeficienții;
- \(c_1,c_2\) sunt termenii liberi.
Sistemul se numește liniar deoarece necunoscutele apar doar la gradul întâi.
De exemplu:
\[ \begin{cases} 2x+3y=7\\ x-y=4 \end{cases} \]
este un sistem liniar.
În schimb:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x^2+y^2=13 \end{cases} \]
nu este liniar, deoarece apare termenul:
\[ x^2. \]
Sistem determinat, incompatibil și nedeterminat
Un sistem poate avea:
- o singură soluție;
- nicio soluție;
- infinit de multe soluții.
Sistem determinat
Un sistem este compatibil determinat atunci când admite o singură soluție.
De exemplu:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x-y=1 \end{cases} \]
are soluția unică:
\[ x=3,\qquad y=2. \]
Sistem incompatibil
Un sistem este incompatibil atunci când nu admite nicio soluție.
De exemplu:
\[ \begin{cases} x+y=2\\ x+y=5 \end{cases} \]
este incompatibil, deoarece aceeași sumă nu poate fi în același timp egală cu \(2\) și cu \(5\).
Sistem nedeterminat
Un sistem este compatibil nedeterminat atunci când admite infinit de multe soluții.
De exemplu:
\[ \begin{cases} x+y=4\\ 2x+2y=8 \end{cases} \]
conține, de fapt, două ecuații echivalente.
Toate perechile care satisfac:
\[ x+y=4 \]
sunt, prin urmare, soluții ale sistemului.
Metoda substituției
Metoda substituției constă în a exprima o necunoscută în funcție de cealaltă dintr-una dintre ecuații și a înlocui expresia obținută în cealaltă ecuație.
Exemplu
Rezolvăm sistemul:
\[ \begin{cases} x-2y=0\\ x+y=6 \end{cases} \]
Din prima ecuație:
\[ x=2y. \]
Substituind în a doua:
\[ 2y+y=6. \]
Obținem:
\[ 3y=6. \]
deci:
\[ y=2. \]
În fine:
\[ x=2\cdot 2=4. \]
Soluția sistemului este:
\[ (x,y)=(4,2). \]
Când este recomandată această metodă
Metoda substituției este deosebit de avantajoasă atunci când una dintre necunoscute are coeficientul \(1\) sau \(-1\), putând fi izolată cu ușurință.
Metoda reducerii (sau eliminării)
Metoda reducerii (numită și metoda eliminării) constă în a face egali sau opuși coeficienții uneia dintre necunoscute, prin aplicarea principiilor de echivalență, astfel încât aceasta să se elimine prin adunarea sau scăderea ecuațiilor membru cu membru.
Exemplu
Rezolvăm sistemul:
\[ \begin{cases} 3x+2y=12\\ 5x-2y=4 \end{cases} \]
Coeficienții lui \(y\) sunt deja opuși:
\[ 2y \qquad \text{și} \qquad -2y. \]
Adunând membre cu membre:
\[ (3x+2y)+(5x-2y)=12+4. \]
obținem:
\[ 8x=16. \]
De unde:
\[ x=2. \]
Substituind în prima ecuație:
\[ 3\cdot 2+2y=12. \]
adică:
\[ 6+2y=12. \]
Obținem:
\[ y=3. \]
Înmulțirea dublă
Dacă coeficienții nu sunt deja opuși, se pot înmulți ecuațiile cu numere convenabile nenule.
De exemplu:
\[ \begin{cases} 4x+3y=17\\ 5x-2y=4 \end{cases} \]
putem înmulți:
- prima ecuație cu \(2\);
- a doua ecuație cu \(3\).
Obținem:
\[ \begin{cases} 8x+6y=34\\ 15x-6y=12 \end{cases} \]
Adunând:
\[ 23x=46. \]
deci:
\[ x=2. \]
Algoritmul eliminării gaussiene
Atunci când sistemele conțin trei sau mai multe necunoscute, aplicarea nesistematică a reducerii poate deveni dificil de urmărit. Se recurge atunci la algoritmul eliminării gaussiene, o metodă sistematică ce transformă progresiv sistemul într-unul echivalent de formă „triunghiulară" (în trepte), eliminând necunoscutele în ordine.
Sisteme liniare cu trei necunoscute
Un sistem liniar cu trei necunoscute are, în general, forma:
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{cases} \]
În general, algoritmul presupune combinarea ecuațiilor două câte două pentru a elimina aceeași necunoscută și a reduce sistemul la unul mai simplu. Totuși, în cazuri cu simetrii particulare, calculele se pot simplifica considerabil, eliminând mai multe necunoscute simultan.
Exemplu
Considerăm următorul sistem simetric:
\[ \begin{cases} x+y+z=6\\ x-y+z=2\\ x+y-z=0 \end{cases} \]
Scăzând a doua ecuație din prima, necunoscutele \(x\) și \(z\) se elimină reciproc:
\[ (x+y+z) - (x-y+z) = 6 - 2 \implies 2y=4. \]
Prin urmare:
\[ y=2. \]
La fel, scăzând a treia ecuație din prima:
\[ (x+y+z) - (x+y-z) = 6 - 0 \implies 2z=6. \]
De unde:
\[ z=3. \]
Este suficient acum să substituim valorile găsite ale lui \(y\) și \(z\) în prima ecuație originală pentru a determina ultima necunoscută:
\[ x+2+3=6. \]
Obținem:
\[ x=1. \]
Soluția sistemului este tripla ordonată:
\[ (x,y,z)=(1,2,3). \]
Interpretare geometrică
În sistemele liniare cu două necunoscute, fiecare ecuație de gradul întâi reprezintă o dreaptă în planul cartezian. A rezolva sistemul înseamnă a determina intersecția geometrică a acestor drepte.
Drepte secante
Dacă dreptele au pante diferite, ele se intersectează într-un singur punct. Coordonatele acestui punct reprezintă unica soluție comună: sistemul este, prin urmare, compatibil determinat.
Drepte paralele și distincte
Dacă dreptele au aceeași pantă, dar ordonate la origine diferite, sunt paralele și nu au niciun punct comun. Sistemul nu admite soluții și este, prin urmare, incompatibil.
Drepte coincidente
Dacă ecuațiile sunt echivalente, cele două drepte se suprapun, având infinit de multe puncte comune. Sistemul admite infinit de multe soluții și este, prin urmare, compatibil nedeterminat.
Determinantul sistemului și Teorema lui Cramer
Considerăm un sistem liniar scris în formă normală:
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]
Se definește determinantul sistemului (sau determinantul principal \(\Delta\)) ca determinantul asociat matricei coeficienților:
\[ \Delta= \begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} =a_1b_2-a_2b_1. \]
Pentru a analiza complet sistemul fără a proceda prin tatonare, introducem și determinanții parțiali \(\Delta_x\) și \(\Delta_y\), obținuți înlocuind coloana coeficienților necunoscutei corespunzătoare cu coloana termenilor liberi:
\[ \Delta_x= \begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} =c_1b_2-c_2b_1 \qquad \text{și} \qquad \Delta_y= \begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} =a_1c_2-a_2c_1 \]
Teorema lui Cramer permite clasificarea sistemului în funcție de valorile acestor determinanți:
- Dacă \(\Delta \neq 0\): sistemul este întotdeauna compatibil determinat și unica soluție se obține prin formulele: \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \]
- Dacă \(\Delta = 0\) și cel puțin unul dintre \(\Delta_x\) și \(\Delta_y\) este nenul: sistemul este incompatibil (drepte paralele și distincte).
- Dacă \(\Delta = 0\), \(\Delta_x = 0\) și \(\Delta_y = 0\): sistemul este compatibil nedeterminat (drepte coincidente).
Sisteme cu parametru
În unele sisteme apare un parametru, adică o literă care reprezintă un număr real arbitrar și nespecificat. A discuta un sistem literal înseamnă a stabili cum variază natura sistemului în funcție de valoarea parametrului.
De exemplu:
\[ \begin{cases} x+y=6\\ 2x+ky=12 \end{cases} \]
Izolând \(x\) din prima ecuație:
\[ x=6-y. \]
Substituind în a doua:
\[ 2(6-y)+ky=12. \]
Efectuând calculele:
\[ 12-2y+ky=12. \]
Grupând termenii în funcție de necunoscuta \(y\):
\[ (k-2)y=0. \]
Realizăm acum discuția matematică:
- dacă \(k\neq 2\), coeficientul lui \(y\) este nenul, deci putem împărți ambii membri și obținem o soluție unică. Sistemul este compatibil determinat;
- dacă \(k=2\), ecuația devine \(0y=0\), care este întotdeauna adevărată (\(0=0\)). Sistemul admite infinit de multe soluții și este, prin urmare, compatibil nedeterminat.
Sisteme neliniare
Un sistem se numește neliniar atunci când cel puțin una dintre ecuațiile sale nu este de gradul întâi (adică prezintă necunoscute înmulțite între ele sau ridicate la puteri superioare lui unu).
De exemplu:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x^2+y^2=13 \end{cases} \]
În astfel de cazuri, metoda substituției se dovedește aproape întotdeauna cea mai directă și sigură abordare.
Din prima ecuație obținem:
\[ y=5-x. \]
Substituind această expresie în ecuația de gradul al doilea:
\[ x^2+(5-x)^2=13. \]
Dezvoltând pătratul binomului:
\[ x^2+25-10x+x^2=13. \]
Reducând termenii asemănători și aducând ecuația la forma normală:
\[ 2x^2-10x+12=0. \]
Împărțind toți termenii prin factorul comun \(2\):
\[ x^2-5x+6=0. \]
Factorizând trinomul de gradul doi (căutând două numere a căror sumă să fie \(-5\) și al căror produs să fie \(6\)):
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Prin proprietatea produsului nul obținem două valori distincte pentru \(x\):
\[ x=2 \qquad \text{sau} \qquad x=3. \]
Substituind fiecare valoare în expresia \(y=5-x\), determinăm ordonatele corespunzătoare. Soluțiile distincte ale sistemului sunt perechile:
\[ (2,3) \qquad \text{și} \qquad (3,2). \]
Greșeli frecvente
Greșeli de semn
Cele mai frecvente erori apar în timpul mutării termenilor dintr-un membru în altul sau în gestionarea semnului minus din fața parantezelor la substituție.
Eliminare incompletă (Principiul egalității)
Când se aplică al doilea principiu de echivalență pentru a înmulți o întreagă ecuație, se uită adesea să se înmulțească și termenul liber din membrul drept al egalității.
Substituție incorectă fără paranteze
Atunci când se substituie o expresie compusă (un binom sau trinom) în locul unei necunoscute, este esențial să fie inclusă provizoriu între paranteze pentru a evita erorile de calcul cu coeficienții exteriori.
De exemplu, dacă:
\[ x=2y+1, \]
întreaga expresie trebuie introdusă protejată în acest mod:
\[ (2y+1). \]
Verificarea finală omisă
La încheierea calculelor, este întotdeauna recomandat să se efectueze o probă substituind valorile numerice găsite în ambele ecuații de plecare, pentru a verifica corectitudinea identităților obținute.
Sisteme incompatibile sau nedeterminate nerecunoscute
Dacă în cursul calculelor algebrice necunoscutele se anulează complet și se ajunge la o egalitate vădit falsă de tipul:
\[ 0=5, \]
sistemul nu admite soluții și este incompatibil.
Dacă, în schimb, se ajunge la o identitate mereu adevărată de tipul:
\[ 0=0, \]
sistemul admite infinit de multe soluții și este compatibil nedeterminat.
În concluzie, sistemele de ecuații constituie unul dintre instrumentele fundamentale ale algebrei, deoarece permit descrierea condițiilor simultane și interpretarea geometrică a intersecțiilor dintre drepte, plane și curbe. Stăpânirea metodelor de substituție, reducere și a abordărilor sistematice ale lui Gauss și Cramer este esențială atât în studiul școlar, cât și în dezvoltările ulterioare ale algebrei liniare și ale analizei matematice.