O colecție progresivă de 20 de exerciții rezolvate despre sisteme de ecuații de gradul al doilea, concepută pentru a învăța rezolvarea sistemelor neliniare prin substituție, comparare și utilizarea identităților algebrice.
Exercițiile sunt ordonate gradual: se pornește de la sisteme foarte simple și se ajunge la probleme mai complexe cu mai multe soluții, radicali și sisteme incompatibile.
În fiecare rezolvare vor fi prezentați toți pașii esențiali, acordând atenție atât calculelor, cât și verificării finale a soluțiilor obținute.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} y=x^2,\\ y=4. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(-2,4),(2,4)\}. \]
Rezolvare
Ambele ecuații exprimă valoarea lui \(y\). Pentru ca sistemul să fie satisfăcut, cele două valori trebuie să coincidă.
Egalăm, prin urmare, membrii drepți:
\[ x^2=4. \]
Căutăm numerele al căror pătrat este egal cu \(4\). Obținem:
\[ x=2 \qquad \text{sau} \qquad x=-2. \]
Din a doua ecuație știm că:
\[ y=4. \]
Prin urmare, perechile soluție sunt:
\[ (2,4) \qquad \text{și} \qquad (-2,4). \]
Deci:
\[ S=\{(-2,4),(2,4)\}. \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} y=x^2,\\ y=x+2. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(-1,1),(2,4)\}. \]
Rezolvare
Și în acest caz, ambele ecuații furnizează valoarea lui \(y\). Egalăm, prin urmare, membrii drepți:
\[ x^2=x+2. \]
Aducem totul în membrul stâng:
\[ x^2-x-2=0. \]
Factorizăm trinomul:
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]
Obținem, prin urmare:
\[ (x-2)(x+1)=0. \]
Un produs este nul atunci când cel puțin unul dintre factori este nul. Deci:
\[ x=2 \qquad \text{sau} \qquad x=-1. \]
Calculăm acum valoarea lui \(y\) folosind:
\[ y=x+2. \]
Dacă \(x=2\), obținem:
\[ y=2+2=4. \]
Dacă \(x=-1\), obținem:
\[ y=-1+2=1. \]
Prin urmare:
\[ S=\{(-1,1),(2,4)\}. \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} x+y=5,\\ xy=6. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(2,3),(3,2)\}. \]
Rezolvare
Din prima ecuație îl extragem pe \(y\):
\[ y=5-x. \]
Substituim această expresie în a doua ecuație:
\[ x(5-x)=6. \]
Dezvoltăm produsul:
\[ 5x-x^2=6. \]
Aducem totul în membrul stâng:
\[ x^2-5x+6=0. \]
Factorizăm:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Deci:
\[ x=2 \qquad \text{sau} \qquad x=3. \]
Determinăm valorile corespunzătoare ale lui \(y\).
Dacă \(x=2\):
\[ y=5-2=3. \]
Dacă \(x=3\):
\[ y=5-3=2. \]
Prin urmare:
\[ S=\{(2,3),(3,2)\}. \]
Exercițiul 4 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} x-y=1,\\ xy=12. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(-3,-4),(4,3)\}. \]
Rezolvare
Din prima ecuație extragem:
\[ x=y+1. \]
Substituim în a doua ecuație:
\[ (y+1)y=12. \]
Dezvoltând, obținem:
\[ y^2+y=12. \]
Aducem totul în membrul stâng:
\[ y^2+y-12=0. \]
Factorizăm:
\[ y^2+y-12=(y+4)(y-3). \]
Deci:
\[ y=-4 \qquad \text{sau} \qquad y=3. \]
Calculăm acum pe \(x\).
Dacă \(y=-4\):
\[ x=-4+1=-3. \]
Dacă \(y=3\):
\[ x=3+1=4. \]
Prin urmare:
\[ S=\{(-3,-4),(4,3)\}. \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ x+y=7. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(3,4),(4,3)\}. \]
Rezolvare
Din a doua ecuație extragem:
\[ y=7-x. \]
Substituim în prima:
\[ x^2+(7-x)^2=25. \]
Dezvoltăm pătratul:
\[ (7-x)^2=x^2-14x+49. \]
Obținem, prin urmare:
\[ x^2+x^2-14x+49=25. \]
Reducem termenii asemănători:
\[ 2x^2-14x+49=25. \]
Aducem totul în membrul stâng:
\[ 2x^2-14x+24=0. \]
Împărțim prin \(2\):
\[ x^2-7x+12=0. \]
Factorizăm:
\[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4). \]
De unde:
\[ x=3 \qquad \text{sau} \qquad x=4. \]
Determinăm valorile lui \(y\).
Dacă \(x=3\):
\[ y=7-3=4. \]
Dacă \(x=4\):
\[ y=7-4=3. \]
Prin urmare:
\[ S=\{(3,4),(4,3)\}. \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} x^2+y=12,\\ x+y=6. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(-2,8),(3,3)\}. \]
Rezolvare
Din a doua ecuație extragem pe \(y\):
\[ y=6-x. \]
Substituim în prima ecuație:
\[ x^2+(6-x)=12. \]
Simplificând:
\[ x^2-x+6=12. \]
Aducem totul în membrul stâng:
\[ x^2-x-6=0. \]
Factorizăm:
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]
Deci:
\[ x=3 \qquad \text{sau} \qquad x=-2. \]
Calculăm valorile corespunzătoare ale lui \(y\).
Dacă \(x=3\):
\[ y=6-3=3. \]
Dacă \(x=-2\):
\[ y=6-(-2)=8. \]
Prin urmare:
\[ S=\{(-2,8),(3,3)\}. \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} y=x^2-1,\\ y=2x+2. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(-1,0),(3,8)\}. \]
Rezolvare
Ambele ecuații exprimă \(y\). Egalăm, prin urmare, membrii drepți:
\[ x^2-1=2x+2. \]
Aducem totul în membrul stâng:
\[ x^2-2x-3=0. \]
Factorizăm:
\[ x^2-2x-3=(x-3)(x+1). \]
Deci:
\[ x=3 \qquad \text{sau} \qquad x=-1. \]
Calculăm \(y\) folosind ecuația liniară:
\[ y=2x+2. \]
Dacă \(x=3\):
\[ y=2\cdot 3+2=8. \]
Dacă \(x=-1\):
\[ y=2\cdot(-1)+2=0. \]
Prin urmare:
\[ S=\{(-1,0),(3,8)\}. \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=13,\\ x-y=1. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(-2,-3),(3,2)\}. \]
Rezolvare
Din a doua ecuație extragem:
\[ x=y+1. \]
Substituim în prima ecuație:
\[ (y+1)^2+y^2=13. \]
Dezvoltăm:
\[ y^2+2y+1+y^2=13. \]
Reducem termenii asemănători:
\[ 2y^2+2y+1=13. \]
Aducem totul în membrul stâng:
\[ 2y^2+2y-12=0. \]
Împărțim prin \(2\):
\[ y^2+y-6=0. \]
Factorizăm:
\[ y^2+y-6=(y+3)(y-2). \]
Deci:
\[ y=-3 \qquad \text{sau} \qquad y=2. \]
Calculăm \(x\) din \(x=y+1\).
Dacă \(y=-3\):
\[ x=-3+1=-2. \]
Dacă \(y=2\):
\[ x=2+1=3. \]
Prin urmare:
\[ S=\{(-2,-3),(3,2)\}. \]
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} x^2-y=8,\\ x+y=4. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(-4,8),(3,1)\}. \]
Rezolvare
Din a doua ecuație obținem:
\[ y=4-x. \]
Substituim în prima ecuație:
\[ x^2-(4-x)=8. \]
Acordăm atenție semnului minus din fața parantezei:
\[ x^2-4+x=8. \]
Aducem totul în membrul stâng:
\[ x^2+x-12=0. \]
Factorizăm:
\[ x^2+x-12=(x+4)(x-3). \]
Deci:
\[ x=-4 \qquad \text{sau} \qquad x=3. \]
Calculăm \(y\) folosind \(y=4-x\).
Dacă \(x=-4\):
\[ y=4-(-4)=8. \]
Dacă \(x=3\):
\[ y=4-3=1. \]
Prin urmare:
\[ S=\{(-4,8),(3,1)\}. \]
Exercițiul 10 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=10,\\ y=x+2. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(-3,-1),(1,3)\}. \]
Rezolvare
A doua ecuație exprimă deja \(y\) în funcție de \(x\):
\[ y=x+2. \]
Substituim în prima:
\[ x^2+(x+2)^2=10. \]
Dezvoltăm pătratul:
\[ (x+2)^2=x^2+4x+4. \]
Deci:
\[ x^2+x^2+4x+4=10. \]
Reducem termenii asemănători:
\[ 2x^2+4x+4=10. \]
Aducem totul în membrul stâng:
\[ 2x^2+4x-6=0. \]
Împărțim prin \(2\):
\[ x^2+2x-3=0. \]
Factorizăm:
\[ x^2+2x-3=(x+3)(x-1). \]
Deci:
\[ x=-3 \qquad \text{sau} \qquad x=1. \]
Determinăm \(y\).
Dacă \(x=-3\):
\[ y=-3+2=-1. \]
Dacă \(x=1\):
\[ y=1+2=3. \]
Prin urmare:
\[ S=\{(-3,-1),(1,3)\}. \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=20,\\ x-y=2. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(-2,-4),(4,2)\}. \]
Rezolvare
Din a doua ecuație extragem:
\[ x=y+2. \]
Substituim în prima ecuație:
\[ (y+2)^2+y^2=20. \]
Dezvoltăm pătratul:
\[ (y+2)^2=y^2+4y+4. \]
Deci:
\[ y^2+4y+4+y^2=20. \]
Reducem termenii asemănători:
\[ 2y^2+4y+4=20. \]
Aducem totul în membrul stâng:
\[ 2y^2+4y-16=0. \]
Împărțim prin \(2\):
\[ y^2+2y-8=0. \]
Factorizăm:
\[ y^2+2y-8=(y+4)(y-2). \]
De unde:
\[ y=-4 \qquad \text{sau} \qquad y=2. \]
Extragem \(x\) folosind \(x=y+2\).
Dacă \(y=-4\):
\[ x=-4+2=-2. \]
Dacă \(y=2\):
\[ x=2+2=4. \]
Prin urmare:
\[ S=\{(-2,-4),(4,2)\}. \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} x+y=1,\\ x^2+y^2=13. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(-2,3),(3,-2)\}. \]
Rezolvare
Din prima ecuație extragem:
\[ y=1-x. \]
Substituim în a doua ecuație:
\[ x^2+(1-x)^2=13. \]
Dezvoltăm:
\[ (1-x)^2=x^2-2x+1. \]
Deci:
\[ x^2+x^2-2x+1=13. \]
Reducem termenii asemănători:
\[ 2x^2-2x+1=13. \]
Aducem totul în membrul stâng:
\[ 2x^2-2x-12=0. \]
Împărțim prin \(2\):
\[ x^2-x-6=0. \]
Factorizăm:
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]
De unde:
\[ x=3 \qquad \text{sau} \qquad x=-2. \]
Calculăm \(y\) folosind \(y=1-x\).
Dacă \(x=3\):
\[ y=1-3=-2. \]
Dacă \(x=-2\):
\[ y=1-(-2)=3. \]
Prin urmare:
\[ S=\{(-2,3),(3,-2)\}. \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} y=x^2-4x,\\ y=-3. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(1,-3),(3,-3)\}. \]
Rezolvare
A doua ecuație furnizează direct valoarea lui \(y\):
\[ y=-3. \]
Substituim această valoare în prima ecuație:
\[ -3=x^2-4x. \]
Aducem totul în membrul stâng:
\[ x^2-4x+3=0. \]
Factorizăm:
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]
Deci:
\[ x=1 \qquad \text{sau} \qquad x=3. \]
În ambele cazuri, valoarea lui \(y\) este aceeași, și anume:
\[ y=-3. \]
Obținem, prin urmare:
\[ (1,-3) \qquad \text{și} \qquad (3,-3). \]
Prin urmare:
\[ S=\{(1,-3),(3,-3)\}. \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} x^2+y=10,\\ y=x+4. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(-3,1),(2,6)\}. \]
Rezolvare
A doua ecuație exprimă deja \(y\) în funcție de \(x\):
\[ y=x+4. \]
Substituim în prima:
\[ x^2+(x+4)=10. \]
Obținem:
\[ x^2+x+4=10. \]
Aducem totul în membrul stâng:
\[ x^2+x-6=0. \]
Factorizăm:
\[ x^2+x-6=(x+3)(x-2). \]
Deci:
\[ x=-3 \qquad \text{sau} \qquad x=2. \]
Calculăm valorile corespunzătoare ale lui \(y\).
Dacă \(x=-3\):
\[ y=-3+4=1. \]
Dacă \(x=2\):
\[ y=2+4=6. \]
Prin urmare:
\[ S=\{(-3,1),(2,6)\}. \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=5,\\ xy=2. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(-2,-1),(-1,-2),(1,2),(2,1)\}. \]
Rezolvare
Sistemul conține suma pătratelor și produsul \(xy\). Folosim identitatea:
\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \]
Deoarece:
\[ x^2+y^2=5 \qquad \text{și} \qquad xy=2, \]
obținem:
\[ (x+y)^2=5+2\cdot 2=9. \]
Deci:
\[ x+y=3 \qquad \text{sau} \qquad x+y=-3. \]
Studiem separat cele două cazuri.
Dacă:
\[ x+y=3 \qquad \text{și} \qquad xy=2, \]
cele două numere sunt \(1\) și \(2\). Obținem, prin urmare:
\[ (1,2) \qquad \text{și} \qquad (2,1). \]
Dacă în schimb:
\[ x+y=-3 \qquad \text{și} \qquad xy=2, \]
cele două numere sunt \(-1\) și \(-2\). Obținem, prin urmare:
\[ (-1,-2) \qquad \text{și} \qquad (-2,-1). \]
Prin urmare:
\[ S=\{(-2,-1),(-1,-2),(1,2),(2,1)\}. \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} x+y=4,\\ x^2+y^2=10. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(1,3),(3,1)\}. \]
Rezolvare
Din prima ecuație extragem:
\[ y=4-x. \]
Substituim această expresie în a doua ecuație:
\[ x^2+(4-x)^2=10. \]
Dezvoltăm pătratul:
\[ (4-x)^2=x^2-8x+16. \]
Deci:
\[ x^2+x^2-8x+16=10. \]
Reducem termenii asemănători:
\[ 2x^2-8x+16=10. \]
Aducem totul în membrul stâng:
\[ 2x^2-8x+6=0. \]
Împărțim prin \(2\):
\[ x^2-4x+3=0. \]
Factorizăm trinomul:
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]
Prin urmare:
\[ x=1 \qquad \text{sau} \qquad x=3. \]
Calculăm valorile corespunzătoare ale lui \(y\) folosind \(y=4-x\).
Dacă \(x=1\):
\[ y=4-1=3. \]
Dacă \(x=3\):
\[ y=4-3=1. \]
Deci:
\[ S=\{(1,3),(3,1)\}. \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ xy=12. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(-4,-3),(-3,-4),(3,4),(4,3)\}. \]
Rezolvare
Sistemul conține \(x^2+y^2\) și \(xy\). Pentru a obține informații despre suma \(x+y\), folosim identitatea:
\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \]
Din sistem știm că:
\[ x^2+y^2=25 \qquad \text{și} \qquad xy=12. \]
Deci:
\[ (x+y)^2=25+2\cdot 12=49. \]
De unde obținem două posibilități:
\[ x+y=7 \qquad \text{sau} \qquad x+y=-7. \]
Studiem separat cele două cazuri.
Dacă:
\[ x+y=7 \qquad \text{și} \qquad xy=12, \]
cele două numere sunt \(3\) și \(4\). Obținem, prin urmare:
\[ (3,4) \qquad \text{și} \qquad (4,3). \]
Dacă în schimb:
\[ x+y=-7 \qquad \text{și} \qquad xy=12, \]
cele două numere sunt \(-3\) și \(-4\). Obținem, prin urmare:
\[ (-3,-4) \qquad \text{și} \qquad (-4,-3). \]
Prin urmare:
\[ S=\{(-4,-3),(-3,-4),(3,4),(4,3)\}. \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=8,\\ x-y=2. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S= \left\{ \left(1+\sqrt{3},-1+\sqrt{3}\right), \left(1-\sqrt{3},-1-\sqrt{3}\right) \right\}. \]
Rezolvare
Din a doua ecuație extragem:
\[ x=y+2. \]
Substituim în prima ecuație:
\[ (y+2)^2+y^2=8. \]
Dezvoltăm pătratul:
\[ (y+2)^2=y^2+4y+4. \]
Deci:
\[ y^2+4y+4+y^2=8. \]
Reducem termenii asemănători:
\[ 2y^2+4y+4=8. \]
Aducem totul în membrul stâng:
\[ 2y^2+4y-4=0. \]
Împărțim prin \(2\):
\[ y^2+2y-2=0. \]
Această ecuație nu se factorizează cu numere întregi, deci folosim formula generală de rezolvare:
\[ y=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot(-2)}}{2}. \]
Calculăm discriminantul:
\[ \Delta=4+8=12. \]
Deci:
\[ y=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}. \]
Deoarece \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), obținem:
\[ y=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{2} = -1\pm\sqrt{3}. \]
Extragem acum \(x\) folosind \(x=y+2\).
Dacă:
\[ y=-1+\sqrt{3}, \]
atunci:
\[ x=-1+\sqrt{3}+2=1+\sqrt{3}. \]
Dacă:
\[ y=-1-\sqrt{3}, \]
atunci:
\[ x=-1-\sqrt{3}+2=1-\sqrt{3}. \]
Prin urmare:
\[ S= \left\{ \left(1+\sqrt{3},-1+\sqrt{3}\right), \left(1-\sqrt{3},-1-\sqrt{3}\right) \right\}. \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=1,\\ x+y=3. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\varnothing. \]
Rezolvare
Din a doua ecuație extragem:
\[ y=3-x. \]
Substituim în prima ecuație:
\[ x^2+(3-x)^2=1. \]
Dezvoltăm pătratul:
\[ (3-x)^2=x^2-6x+9. \]
Deci:
\[ x^2+x^2-6x+9=1. \]
Reducem termenii asemănători:
\[ 2x^2-6x+9=1. \]
Aducem totul în membrul stâng:
\[ 2x^2-6x+8=0. \]
Împărțim prin \(2\):
\[ x^2-3x+4=0. \]
Calculăm discriminantul:
\[ \Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7. \]
Deoarece \(\Delta<0\), ecuația nu are soluții reale.
În consecință, sistemul nu admite soluții reale:
\[ S=\varnothing. \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Rezolvați sistemul:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=13,\\ x^2-y^2=5. \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=\{(-3,-2),(-3,2),(3,-2),(3,2)\}. \]
Rezolvare
În acest sistem apar \(x^2+y^2\) și \(x^2-y^2\). Este convenabil să adunăm și să scădem cele două ecuații membre cu membre, astfel încât să obținem separat \(x^2\) și \(y^2\).
Adunăm membre cu membre:
\[ (x^2+y^2)+(x^2-y^2)=13+5. \]
În membrul stâng, \(+y^2\) și \(-y^2\) se elimină:
\[ 2x^2=18. \]
Deci:
\[ x^2=9. \]
De unde:
\[ x=3 \qquad \text{sau} \qquad x=-3. \]
Acum scădem a doua ecuație din prima:
\[ (x^2+y^2)-(x^2-y^2)=13-5. \]
În membrul stâng, \(x^2\) se elimină și obținem:
\[ 2y^2=8. \]
Deci:
\[ y^2=4. \]
De unde:
\[ y=2 \qquad \text{sau} \qquad y=-2. \]
Deoarece ecuațiile depind numai de \(x^2\) și \(y^2\), toate combinațiile de semne sunt admise.
Prin urmare:
\[ S=\{(-3,-2),(-3,2),(3,-2),(3,2)\}. \]