Propunem o culegere de 20 de exerciții rezolvate despre funcții injective, surjective și bijective, concepute pentru a înțelege în mod riguros și progresiv trei proprietăți fundamentale ale funcțiilor.
Reamintim pe scurt că o funcție \(f:A\to B\) se numește:
- injectivă dacă elemente distincte ale domeniului au imagini distincte;
- surjectivă dacă orice element al codomeniului este imaginea a cel puțin unui element din domeniu;
- bijectivă dacă este simultan injectivă și surjectivă.
În formule:
\[ f \text{ este injectivă} \iff \forall x_1,x_2\in A,\; f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2. \]
\[ f \text{ este surjectivă} \iff \mathrm{Im}(f)=\mathrm{Cod}(f). \]
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=2x+1. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este injectivă.
Rezultat
Funcția este injectivă.
Rezolvare
Pentru a verifica dacă o funcție este injectivă, trebuie să stabilim dacă două elemente ale domeniului care au aceeași imagine coincid în mod necesar.
Să presupunem, așadar, că:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Deoarece \(f(x)=2x+1\), obținem:
\[ 2x_1+1=2x_2+1. \]
Scădem \(1\) din ambii membri:
\[ 2x_1=2x_2. \]
Împărțim la \(2\):
\[ x_1=x_2. \]
Am demonstrat că:
\[ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2. \]
Prin urmare, funcția este injectivă.
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este injectivă.
Rezultat
Funcția nu este injectivă.
Rezolvare
Pentru a arăta că o funcție nu este injectivă, este suficient să găsim două elemente distincte ale domeniului care au aceeași imagine.
Considerăm:
\[ x_1=2, \qquad x_2=-2. \]
Evident:
\[ 2\ne -2. \]
Calculăm acum imaginile:
\[ f(2)=2^2=4. \]
În plus:
\[ f(-2)=(-2)^2=4. \]
Așadar:
\[ f(2)=f(-2), \]
deși \(2\ne -2\).
Există, prin urmare, două elemente distincte ale domeniului cu aceeași imagine.
Prin urmare, funcția nu este injectivă.
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este injectivă.
Rezultat
Funcția este injectivă.
Rezolvare
Legea funcției este \(f(x)=x^2\), însă domeniul nu mai este întreg \(\mathbb{R}\). Acum domeniul este:
\[ [0,+\infty). \]
Acest detaliu este esențial. Pe întreg \(\mathbb{R}\), funcția pătratică nu este injectivă; restrânsă însă doar la numerele nenegative, ea devine injectivă.
Să presupunem că:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Atunci:
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Deoarece \(x_1\) și \(x_2\) aparțin ambele lui \([0,+\infty)\), sunt ambele nenegative.
Două numere nenegative care au același pătrat trebuie să coincidă.
Deci:
\[ x_1=x_2. \]
Prin urmare:
\[ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2. \]
Funcția este, așadar, injectivă.
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^3. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este injectivă.
Rezultat
Funcția este injectivă.
Rezolvare
Verificăm injectivitatea folosind definiția.
Să presupunem că:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Deoarece \(f(x)=x^3\), obținem:
\[ x_1^3=x_2^3. \]
Funcția rădăcină cubică este definită pe întreg \(\mathbb{R}\). Putem, prin urmare, să extragem rădăcina cubică din ambii membri:
\[ \sqrt[3]{x_1^3}=\sqrt[3]{x_2^3}. \]
În consecință:
\[ x_1=x_2. \]
Am demonstrat că două elemente cu aceeași imagine coincid în mod necesar.
Prin urmare, funcția este injectivă.
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2+1. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este surjectivă.
Rezultat
Funcția nu este surjectivă.
Rezolvare
O funcție \(f:A\to B\) este surjectivă dacă orice element al codomeniului \(B\) este efectiv atins de funcție.
În acest caz, codomeniul este:
\[ \mathbb{R}. \]
Studiem valorile luate de:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), avem:
\[ x^2\ge 0. \]
Deci:
\[ x^2+1\ge 1. \]
Funcția ia doar valori mai mari sau egale cu \(1\).
De exemplu, numărul \(0\) aparține codomeniului \(\mathbb{R}\), dar nu este niciodată atins de funcție.
Într-adevăr, ecuația:
\[ x^2+1=0 \]
este echivalentă cu:
\[ x^2=-1, \]
care nu are soluții reale.
Există, prin urmare, cel puțin un element al codomeniului care nu este imaginea niciunui element din domeniu.
Prin urmare, funcția nu este surjectivă.
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty), \qquad f(x)=x^2+1. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este surjectivă.
Rezultat
Funcția este surjectivă.
Rezolvare
Legea funcției este aceeași ca în exercițiul precedent:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Totuși, codomeniul s-a schimbat. Acum avem:
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty). \]
Pentru a demonstra surjectivitatea, trebuie să arătăm că orice element al lui \([1,+\infty)\) este atins de funcție.
Fie, așadar:
\[ y\in[1,+\infty). \]
Căutăm \(x\in\mathbb{R}\) astfel încât:
\[ f(x)=y. \]
Adică:
\[ x^2+1=y. \]
Scăzând \(1\) din ambii membri:
\[ x^2=y-1. \]
Deoarece \(y\ge 1\), avem:
\[ y-1\ge 0. \]
Putem, prin urmare, alege:
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Această valoare aparține lui \(\mathbb{R}\). În plus:
\[ f(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
Am arătat că orice element al codomeniului este imaginea a cel puțin unui element din domeniu.
Prin urmare, funcția este surjectivă.
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=2x-5. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este bijectivă.
Rezultat
Funcția este bijectivă.
Rezolvare
O funcție este bijectivă dacă este atât injectivă, cât și surjectivă.
Verificăm mai întâi injectivitatea.
Să presupunem că:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Atunci:
\[ 2x_1-5=2x_2-5. \]
Adunând \(5\) la ambii membri:
\[ 2x_1=2x_2. \]
Împărțind la \(2\):
\[ x_1=x_2. \]
Deci \(f\) este injectivă.
Verificăm acum surjectivitatea.
Fie:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Căutăm \(x\in\mathbb{R}\) astfel încât:
\[ 2x-5=y. \]
Rezolvând:
\[ 2x=y+5, \]
de unde:
\[ x=\frac{y+5}{2}. \]
Această valoare este reală pentru orice \(y\in\mathbb{R}\). Prin urmare, orice element al codomeniului este atins.
Funcția este surjectivă.
Fiind atât injectivă, cât și surjectivă, funcția este bijectivă.
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este bijectivă.
Rezultat
Funcția nu este bijectivă.
Rezolvare
O funcție este bijectivă dacă este simultan injectivă și surjectivă.
Studiem cele două proprietăți separat.
Funcția nu este injectivă. Într-adevăr:
\[ f(2)=2^2=4 \]
și:
\[ f(-2)=(-2)^2=4. \]
Așadar:
\[ f(2)=f(-2), \]
deși \(2\ne -2\).
Deci \(f\) nu este injectivă.
În plus, nu este surjectivă pe \(\mathbb{R}\), deoarece:
\[ x^2\ge 0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
Funcția nu ia niciodată valori negative.
De exemplu:
\[ -1\in\mathbb{R} \]
aparține codomeniului, dar nu este imaginea niciunui element din domeniu.
Funcția nu este, prin urmare, surjectivă.
Deoarece nu este nici injectivă, nici surjectivă, nu este bijectivă.
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=\ln(x). \]
Să se stabilească dacă \(f\) este bijectivă.
Rezultat
Funcția este bijectivă.
Rezolvare
Studiem separat injectivitatea și surjectivitatea.
Verificăm mai întâi injectivitatea.
Să presupunem că:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Atunci:
\[ \ln(x_1)=\ln(x_2). \]
Funcția logaritm natural este strict crescătoare pe intervalul:
\[ (0,+\infty). \]
În consecință, egalitatea a doi logaritmi implică în mod necesar:
\[ x_1=x_2. \]
Funcția este, așadar, injectivă.
Verificăm acum surjectivitatea.
Fie:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Căutăm \(x\gt0\) astfel încât:
\[ \ln(x)=y. \]
Aplicând exponențiala ambilor membri:
\[ x=e^y. \]
Deoarece:
\[ e^y\gt0 \]
pentru orice \(y\in\mathbb{R}\), valoarea găsită aparține domeniului.
În plus:
\[ \ln(e^y)=y. \]
Prin urmare, orice element al codomeniului este efectiv atins.
Funcția este surjectivă.
Fiind atât injectivă, cât și surjectivă, funcția este bijectivă.
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este surjectivă.
Rezultat
Funcția este surjectivă.
Rezolvare
Codomeniul funcției este:
\[ [0,+\infty). \]
Pentru a verifica surjectivitatea, trebuie să arătăm că orice element al acestei mulțimi este atins de funcție.
Fie, așadar:
\[ y\in[0,+\infty). \]
Căutăm \(x\in\mathbb{R}\) astfel încât:
\[ x^2=y. \]
Deoarece:
\[ y\ge0, \]
putem alege:
\[ x=\sqrt{y}. \]
Această valoare aparține lui \(\mathbb{R}\). În plus:
\[ f(\sqrt{y})=(\sqrt{y})^2=y. \]
Orice element al codomeniului este, așadar, atins de funcție.
Prin urmare, funcția este surjectivă.
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}, \qquad f(x)=\frac{1}{x}. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este bijectivă.
Rezultat
Funcția este bijectivă.
Rezolvare
Verificăm mai întâi injectivitatea.
Să presupunem că:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Obținem:
\[ \frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}. \]
Înmulțind cu \(x_1x_2\), care este diferit de zero, obținem:
\[ x_2=x_1. \]
Funcția este, așadar, injectivă.
Verificăm acum surjectivitatea.
Fie:
\[ y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Căutăm \(x\ne0\) astfel încât:
\[ \frac{1}{x}=y. \]
Rezolvând:
\[ x=\frac{1}{y}. \]
Deoarece \(y\ne0\), această valoare este bine definită și aparține domeniului.
În plus:
\[ f\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{\frac{1}{y}}=y. \]
Funcția este, așadar, surjectivă.
Fiind atât injectivă, cât și surjectivă, funcția este bijectivă.
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=|x|. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este injectivă.
Rezultat
Funcția nu este injectivă.
Rezolvare
Pentru a arăta că o funcție nu este injectivă, este suficient să găsim două elemente distincte ale domeniului care au aceeași imagine.
Considerăm:
\[ x_1=3, \qquad x_2=-3. \]
Evident:
\[ 3\ne -3. \]
Totuși:
\[ f(3)=|3|=3 \]
și:
\[ f(-3)=|-3|=3. \]
Așadar:
\[ f(3)=f(-3), \]
deși:
\[ 3\ne -3. \]
Funcția nu este, prin urmare, injectivă.
Exercițiul 13 — nivel ★★★★☆
Considerăm funcția:
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x|. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este bijectivă.
Rezultat
Funcția este bijectivă.
Rezolvare
Pe intervalul:
\[ [0,+\infty), \]
modulul coincide cu funcția identitate:
\[ |x|=x. \]
Funcția devine, așadar:
\[ f(x)=x. \]
Verificăm injectivitatea.
Dacă:
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
atunci:
\[ x_1=x_2. \]
Funcția este, așadar, injectivă.
Verificăm acum surjectivitatea.
Fie:
\[ y\in[0,+\infty). \]
Este suficient să alegem:
\[ x=y. \]
Într-adevăr:
\[ f(y)=y. \]
Orice element al codomeniului este, așadar, atins.
Funcția este surjectivă.
Prin urmare, funcția este bijectivă.
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x|. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este surjectivă.
Rezultat
Funcția este surjectivă.
Rezolvare
Pentru a verifica surjectivitatea, trebuie să stabilim dacă orice element al codomeniului este atins de funcție.
Codomeniul este:
\[ [0,+\infty). \]
Fie, așadar:
\[ y\in[0,+\infty). \]
Trebuie să găsim cel puțin un \(x\in\mathbb{R}\) astfel încât:
\[ |x|=y. \]
Deoarece \(y\ge 0\), putem alege:
\[ x=y. \]
Într-adevăr:
\[ f(y)=|y|=y. \]
Prin urmare, orice element al codomeniului \([0,+\infty)\) este efectiv atins de funcție.
Așadar, \(f\) este surjectivă.
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^3-1. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este bijectivă.
Rezultat
Funcția este bijectivă.
Rezolvare
Pentru a stabili dacă \(f\) este bijectivă, trebuie să verificăm că este atât injectivă, cât și surjectivă.
Studiem mai întâi injectivitatea.
Să presupunem că:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Deoarece \(f(x)=x^3-1\), obținem:
\[ x_1^3-1=x_2^3-1. \]
Adunând \(1\) la ambii membri:
\[ x_1^3=x_2^3. \]
Extrăgând rădăcina cubică:
\[ x_1=x_2. \]
Deci \(f\) este injectivă.
Verificăm acum surjectivitatea.
Fie:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Căutăm \(x\in\mathbb{R}\) astfel încât:
\[ x^3-1=y. \]
Adunând \(1\) la ambii membri:
\[ x^3=y+1. \]
Extrăgând rădăcina cubică:
\[ x=\sqrt[3]{y+1}. \]
Această valoare este reală pentru orice \(y\in\mathbb{R}\).
În plus:
\[ f\left(\sqrt[3]{y+1}\right) = \left(\sqrt[3]{y+1}\right)^3-1 = y+1-1 = y. \]
Prin urmare, orice element al codomeniului este atins de funcție.
Funcția este surjectivă.
Fiind atât injectivă, cât și surjectivă, \(f\) este bijectivă.
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Considerăm funcția:
\[ f:[0,+\infty)\to[1,+\infty), \qquad f(x)=x^2+1. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este bijectivă.
Rezultat
Funcția este bijectivă.
Rezolvare
Verificăm mai întâi injectivitatea.
Să presupunem că:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Atunci:
\[ x_1^2+1=x_2^2+1. \]
Scăzând \(1\) din ambii membri:
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Deoarece \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\), ambele sunt nenegative.
Două numere nenegative cu același pătrat coincid.
Deci:
\[ x_1=x_2. \]
Funcția este injectivă.
Verificăm acum surjectivitatea.
Fie:
\[ y\in[1,+\infty). \]
Căutăm \(x\in[0,+\infty)\) astfel încât:
\[ x^2+1=y. \]
Obținem:
\[ x^2=y-1. \]
Deoarece \(y\ge 1\), avem \(y-1\ge 0\). Putem, prin urmare, alege:
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Această valoare aparține lui \([0,+\infty)\). În plus:
\[ f(\sqrt{y-1}) = (\sqrt{y-1})^2+1 = y. \]
Funcția este, prin urmare, surjectivă.
Fiind atât injectivă, cât și surjectivă, \(f\) este bijectivă.
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2-4x+3. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este injectivă.
Rezultat
Funcția nu este injectivă.
Rezolvare
Pentru a verifica dacă funcția este injectivă, căutăm două elemente distincte ale domeniului cu aceeași imagine.
Calculăm:
\[ f(1)=1^2-4\cdot1+3=1-4+3=0. \]
Calculăm și:
\[ f(3)=3^2-4\cdot3+3=9-12+3=0. \]
Așadar:
\[ f(1)=f(3), \]
dar:
\[ 1\ne 3. \]
Am găsit două elemente distincte ale domeniului cu aceeași imagine.
Prin urmare, funcția nu este injectivă.
Să observăm și motivul geometric: completând pătratul, obținem:
\[ x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \]
Graficul este o parabolă cu axa de simetrie \(x=2\). Din acest motiv, pe întreg \(\mathbb{R}\), funcția ia adesea aceeași valoare în două puncte distincte.
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
Considerăm funcția:
\[ f:[2,+\infty)\to[-1,+\infty), \qquad f(x)=x^2-4x+3. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este bijectivă.
Rezultat
Funcția este bijectivă.
Rezolvare
Rescriem funcția completând pătratul:
\[ f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \]
Domeniul este:
\[ [2,+\infty). \]
Pe acest interval, \(x-2\ge 0\). Funcția:
\[ (x-2)^2-1 \]
este strict crescătoare pentru \(x\ge 2\).
Verificăm injectivitatea în mod direct.
Să presupunem că:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Atunci:
\[ (x_1-2)^2-1=(x_2-2)^2-1. \]
Adunând \(1\) la ambii membri:
\[ (x_1-2)^2=(x_2-2)^2. \]
Deoarece \(x_1,x_2\in[2,+\infty)\), avem:
\[ x_1-2\ge 0 \qquad\text{și}\qquad x_2-2\ge 0. \]
Două numere nenegative cu același pătrat coincid. Deci:
\[ x_1-2=x_2-2. \]
Deci:
\[ x_1=x_2. \]
Funcția este injectivă.
Verificăm acum surjectivitatea.
Fie:
\[ y\in[-1,+\infty). \]
Căutăm \(x\in[2,+\infty)\) astfel încât:
\[ (x-2)^2-1=y. \]
Obținem:
\[ (x-2)^2=y+1. \]
Deoarece \(y\ge -1\), avem:
\[ y+1\ge 0. \]
În plus, deoarece \(x\ge 2\), trebuie să alegem rădăcina nenegativă:
\[ x-2=\sqrt{y+1}. \]
De unde:
\[ x=2+\sqrt{y+1}. \]
Această valoare aparține lui \([2,+\infty)\). Într-adevăr:
\[ 2+\sqrt{y+1}\ge 2. \]
În plus:
\[ f(2+\sqrt{y+1}) = (2+\sqrt{y+1}-2)^2-1 = (\sqrt{y+1})^2-1 = y. \]
Orice element al codomeniului este, așadar, atins.
Funcția este surjectivă.
Fiind atât injectivă, cât și surjectivă, \(f\) este bijectivă.
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\setminus\{2\}, \qquad f(x)=\frac{2x+1}{x-1}. \]
Să se stabilească dacă \(f\) este bijectivă.
Rezultat
Funcția este bijectivă.
Rezolvare
Pentru a stabili dacă \(f\) este bijectivă, trebuie să verificăm că este atât injectivă, cât și surjectivă.
Verificăm mai întâi injectivitatea.
Să presupunem că:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Atunci:
\[ \frac{2x_1+1}{x_1-1} = \frac{2x_2+1}{x_2-1}. \]
Deoarece \(x_1\ne1\) și \(x_2\ne1\), putem înmulți în cruce:
\[ (2x_1+1)(x_2-1)=(2x_2+1)(x_1-1). \]
Dezvoltăm primul membru:
\[ (2x_1+1)(x_2-1)=2x_1x_2-2x_1+x_2-1. \]
Dezvoltăm al doilea membru:
\[ (2x_2+1)(x_1-1)=2x_1x_2-2x_2+x_1-1. \]
Așadar:
\[ 2x_1x_2-2x_1+x_2-1 = 2x_1x_2-2x_2+x_1-1. \]
Scăzând \(2x_1x_2\) și adunând \(1\) la ambii membri:
\[ -2x_1+x_2=-2x_2+x_1. \]
Trecem termenii în \(x_1\) într-o parte și pe cei în \(x_2\) în cealaltă:
\[ -3x_1=-3x_2. \]
Împărțind la \(-3\), obținem:
\[ x_1=x_2. \]
Deci \(f\) este injectivă.
Verificăm acum surjectivitatea.
Fie:
\[ y\in\mathbb{R}\setminus\{2\}. \]
Căutăm \(x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\) astfel încât:
\[ \frac{2x+1}{x-1}=y. \]
Înmulțim cu \(x-1\):
\[ 2x+1=y(x-1). \]
Dezvoltăm:
\[ 2x+1=yx-y. \]
Trecem termenii care conțin \(x\) într-o parte:
\[ 2x-yx=-y-1. \]
Scoatem \(x\) factor comun:
\[ x(2-y)=-(y+1). \]
Deoarece \(y\ne2\), putem împărți la \(2-y\):
\[ x=\frac{-(y+1)}{2-y}. \]
În mod echivalent:
\[ x=\frac{y+1}{y-2}. \]
Această valoare este reală pentru orice \(y\ne2\). Mai rămâne să verificăm că aparține domeniului, adică este diferită de \(1\).
Dacă am avea:
\[ \frac{y+1}{y-2}=1, \]
atunci ar rezulta:
\[ y+1=y-2, \]
adică:
\[ 1=-2, \]
ceea ce este imposibil.
Așadar, valoarea găsită aparține întotdeauna domeniului.
În plus, înlocuind-o în funcție, se obține exact \(y\).
Orice element al codomeniului admite, prin urmare, cel puțin o preimagine.
Funcția este surjectivă.
Fiind atât injectivă, cât și surjectivă, \(f\) este bijectivă.
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Considerăm funcția:
\[ f:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=\tan(x). \]
Să se stabilească dacă \(f\) este bijectivă.
Rezultat
Funcția este bijectivă.
Rezolvare
Pentru a stabili dacă \(f\) este bijectivă, trebuie să verificăm că este atât injectivă, cât și surjectivă.
Studiem mai întâi injectivitatea.
Pe intervalul:
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \]
funcția tangentă este strict crescătoare.
O funcție strict crescătoare asociază imagini distincte unor elemente distincte ale domeniului.
Deci \(f\) este injectivă.
Verificăm acum surjectivitatea.
Codomeniul este:
\[ \mathbb{R}. \]
Trebuie să arătăm că orice număr real este atins de funcție.
Fie:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Căutăm \(x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) astfel încât:
\[ \tan(x)=y. \]
Alegerea naturală este:
\[ x=\arctan(y). \]
Prin definiție, funcția arctangentă ia valori în intervalul:
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \]
Deci:
\[ \arctan(y)\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \]
În plus:
\[ \tan(\arctan(y))=y. \]
Am găsit, prin urmare, pentru orice \(y\in\mathbb{R}\), cel puțin un element al domeniului a cărui imagine este \(y\).
Funcția este surjectivă.
Fiind atât injectivă, cât și surjectivă, \(f\) este bijectivă.