În studiul mulțimilor de numere este adesea necesar să se identifice cea mai mare sau cea mai mică valoare care aparține unei mulțimi.
Noțiunile de maxim și de minim permit tocmai formalizarea acestei idei intuitive și constituie unul dintre primele instrumente fundamentale ale analizei matematice.
În secțiunile care urmează vom introduce definițiile riguroase ale maximului și minimului unei mulțimi, le vom studia principalele proprietăți și vom analiza mai multe exemple semnificative.
Cuprins
- Maximul unei mulțimi
- Minimul unei mulțimi
- Unicitatea maximului și a minimului
- Când există maximul și minimul?
- Exemple
- Relația cu marginea superioară și inferioară
Maximul unei mulțimi
Fie \(A\subseteq\mathbb{R}\) o mulțime nevidă.
Un element \(M\in A\) se numește maxim al lui \(A\) dacă:
\[ x\leq M \qquad \forall x\in A. \]
Cu alte cuvinte, maximul este cel mai mare element al mulțimii, adică un element mai mare sau egal cu toate celelalte elemente ale mulțimii înseși.
Atunci când există, se scrie:
\[ M=\max A. \]
A spune că \(M\) este maximul lui \(A\) revine, așadar, la a verifica simultan două condiții:
- \(M\in A\);
- \(x\leq M\) pentru orice \(x\in A\).
Prima condiție este esențială: un număr care nu aparține mulțimii nu poate fi maximul acesteia.
Minimul unei mulțimi
Fie \(A\subseteq\mathbb{R}\) o mulțime nevidă.
Un element \(m\in A\) se numește minim al lui \(A\) dacă:
\[ m\leq x \qquad \forall x\in A. \]
Minimul este, prin urmare, cel mai mic element al mulțimii, adică un element mai mic sau egal cu toate celelalte elemente ale mulțimii.
Atunci când există, se scrie:
\[ m=\min A. \]
Și în acest caz trebuie să fie îndeplinite simultan condițiile:
- \(m\in A\);
- \(m\leq x\) pentru orice \(x\in A\).
Unicitatea maximului și a minimului
Dacă o mulțime posedă un maxim, acesta este unic.
Într-adevăr, să presupunem că \(M_1\) și \(M_2\) sunt două maxime ale mulțimii.
Deoarece \(M_1\) este un maxim:
\[ M_2\leq M_1. \]
În mod analog, deoarece \(M_2\) este un maxim:
\[ M_1\leq M_2. \]
Din cele două inegalități rezultă:
\[ M_1=M_2. \]
Prin urmare, cele două maxime coincid.
Același raționament arată că și minimul, atunci când există, este unic.
Când există maximul și minimul?
Nu toate mulțimile posedă un maxim sau un minim.
Pentru ca o mulțime să aibă un maxim, trebuie să existe un element al mulțimii care să fie mai mare sau egal cu toate celelalte elemente ale mulțimii.
În mod analog, pentru a avea un minim trebuie să existe un element al mulțimii care să fie mai mic sau egal cu toate celelalte elemente ale mulțimii.
Existența unui maxim sau a unui minim depinde, așadar, nu numai de forma mulțimii, ci și de faptul că eventualul extrem aparține efectiv mulțimii.
Exemple
Interval închis
Să considerăm intervalul:
\[ [1,5]. \]
Capătul stâng \(1\) aparține intervalului și este mai mic sau egal cu toate celelalte elemente ale acestuia.
Prin urmare:
\[ \min[1,5]=1. \]
În mod analog:
\[ \max[1,5]=5. \]
Interval deschis
Să considerăm acum:
\[ (1,5). \]
Numerele \(1\) și \(5\) nu aparțin intervalului.
În consecință:
\[ \min(1,5) \]
nu există și
\[ \max(1,5) \]
nu există nici el.
Oricât de mult ne-am apropia de \(5\), este întotdeauna posibil să găsim un element al intervalului și mai mare.
Același lucru este valabil în vecinătatea lui \(1\).
Mulțime cu maxim, dar fără minim
Să considerăm:
\[ A=(0,1]. \]
Deoarece \(1\in A\) și niciun element al lui \(A\) nu este mai mare decât \(1\),
\[ \max A=1. \]
Totuși, \(0\notin A\).
În plus, nu există niciun element al mulțimii care să fie mai mic sau egal cu toate celelalte elemente ale mulțimii.
Prin urmare, minimul nu există.
Mulțime cu minim, dar fără maxim
Să considerăm:
\[ [2,+\infty). \]
Numărul \(2\) aparține mulțimii și este mai mic sau egal cu toate celelalte elemente ale acesteia.
Așadar:
\[ \min[2,+\infty)=2. \]
În schimb, mulțimea nu posedă niciun maxim, deoarece conține numere oricât de mari.
Relația cu marginea superioară și inferioară
Noțiunile de maxim și de minim sunt strâns legate de cele de margine superioară și margine inferioară.
În particular:
- dacă maximul unei mulțimi există, atunci el coincide cu marginea sa superioară;
- dacă minimul unei mulțimi există, atunci el coincide cu marginea sa inferioară.
Totuși, reciproca nu este întotdeauna adevărată.
De exemplu, intervalul deschis:
\[ (1,5) \]
nu posedă un maxim, însă admite drept margine superioară numărul \(5\).
În mod analog, nu posedă un minim, însă admite drept margine inferioară numărul \(1\).
Noțiunile de maxim și de minim sunt strâns legate de cele de margine superioară și margine inferioară. Atunci când există, maximul coincide cu marginea superioară, la fel cum minimul coincide cu marginea inferioară. Reciproca, însă, nu este valabilă: o mulțime poate avea o margine superioară fără a poseda un maxim (așa cum se întâmplă în cazul intervalului deschis \((1,5)\), a cărui margine superioară este \(5\)).