Teorema intervalelor incluse — cunoscută și sub numele de teorema lui Cantor a intervalelor incluse — este unul dintre rezultatele fundamentale ale analizei reale: aceasta afirmă că orice șir de intervale închise și mărginite, incluse unul în altul, posedă întotdeauna cel puțin un punct comun.
Acest rezultat este o consecință a completitudinii numerelor reale și constituie un instrument esențial pentru demonstrarea a numeroase teoreme fundamentale, printre care teorema lui Bolzano-Weierstrass.
În secțiunile care urmează vom enunța teorema, îi vom da demonstrația, îi vom discuta interpretarea geometrică, vom arăta de ce ipotezele sunt indispensabile și vom analiza legătura sa cu completitudinea lui \(\mathbb{R}\).
Cuprins
- Teorema intervalelor incluse
- Interpretare geometrică
- Ipotezele sunt necesare
- Exemple de aplicare
- Relația cu completitudinea lui \(\mathbb{R}\)
Teorema intervalelor incluse
Considerăm un șir de intervale închise și mărginite
\[ I_n=[a_n,b_n],\qquad a_n\leq b_n,\qquad n\in\mathbb{N}, \]
astfel încât fiecare interval să fie inclus în cel precedent:
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots. \]
Un astfel de șir poartă numele de șir de intervale incluse. Condiția de incluziune \(I_{n+1}\subseteq I_n\) este echivalentă cu
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \qquad \forall n\in\mathbb{N}, \]
adică: capetele inferioare formează un șir crescător, iar capetele superioare un șir descrescător.
Teoremă (a lui Cantor, a intervalelor incluse). Fie \((I_n)\) un șir de intervale închise și mărginite, nevide, astfel încât
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots. \]
Atunci intersecția este nevidă:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n\neq\varnothing. \]
Mai precis, punând
\[ x_0=\sup_{n}\,a_n \qquad\text{și}\qquad y_0=\inf_{n}\,b_n, \]
avem
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[x_0,y_0]. \]
Dacă, în plus, lungimea intervalelor tinde la zero,
\[ b_n-a_n\longrightarrow 0, \]
atunci intersecția se reduce la un singur punct:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{x_0\}. \]
Demonstrație. Procedăm pe pași.
1. Compararea capetelor. Pentru orice pereche de indici \(m,n\in\mathbb{N}\) are loc
\[ a_m\leq b_n. \]
Într-adevăr, dacă \(m\leq n\) avem \(a_m\leq a_n\leq b_n\); dacă, dimpotrivă, \(m\gt n\), avem \(a_m\leq b_m\leq b_n\). În orice caz \(a_m\leq b_n\). De aici rezultă că fiecare \(b_n\) este un majorant al mulțimii \(\{a_m:m\in\mathbb{N}\}\) și, în mod simetric, fiecare \(a_m\) este un minorant al mulțimii \(\{b_n:n\in\mathbb{N}\}\).
2. Existența lui \(x_0\) și \(y_0\). Mulțimea \(\{a_n\}\) este nevidă și mărginită superior (de exemplu, de \(b_1\)). Prin completitudinea lui \(\mathbb{R}\) există marginea sa superioară
\[ x_0=\sup_{n}\,a_n. \]
Analog, \(\{b_n\}\) este nevidă și mărginită inferior, deci există
\[ y_0=\inf_{n}\,b_n. \]
3. Inegalitatea \(x_0\leq y_0\). Deoarece fiecare \(b_n\) este un majorant al lui \(\{a_m\}\) și \(x_0\) este cel mai mic dintre majoranți, rezultă \(x_0\leq b_n\) pentru orice \(n\). Așadar \(x_0\) este un minorant al lui \(\{b_n\}\) și, cum \(y_0\) este cel mai mare dintre minoranți,
\[ x_0\leq y_0. \]
4. Identificarea intersecției. Arătăm că \(\displaystyle\bigcap_{n} I_n=[x_0,y_0]\) prin dublă incluziune.
Dacă \(x\in\bigcap_{n} I_n\), atunci \(a_n\leq x\leq b_n\) pentru orice \(n\); deci \(x\) este un majorant al lui \(\{a_n\}\) și un minorant al lui \(\{b_n\}\), de unde \(x\geq x_0\) și \(x\leq y_0\), adică \(x\in[x_0,y_0]\).
Reciproc, dacă \(x\in[x_0,y_0]\), atunci, pentru orice \(n\),
\[ a_n\leq x_0\leq x\leq y_0\leq b_n, \]
și, prin urmare, \(x\in I_n\) pentru orice \(n\), adică \(x\in\bigcap_{n} I_n\). Cele două incluziuni demonstrează egalitatea
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[x_0,y_0], \]
care este nevidă, deoarece conține \(x_0\).
5. Cazul lungimii infinitezimale. Să presupunem acum că \(b_n-a_n\longrightarrow 0\). Din relațiile \(x_0\geq a_n\) și \(y_0\leq b_n\) rezultă, pentru orice \(n\),
\[ 0\leq y_0-x_0\leq b_n-a_n. \]
Trecând la limită când \(n\to+\infty\), membrul al doilea tinde la \(0\); prin urmare \(y_0-x_0=0\), adică \(x_0=y_0\). Intervalul \([x_0,y_0]\) se reduce atunci la un singur punct:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[x_0,y_0], \qquad \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{x_0\} \ \text{dacă}\ b_n-a_n\to0. \]
Cu aceasta demonstrația se încheie.
Interpretare geometrică
Teorema afirmă că, restrângând progresiv un șir de intervale închise incluse unul în altul, nu se pot «pierde» toate punctele: supraviețuiește întotdeauna cel puțin unul, comun tuturor intervalelor șirului.
Geometric, putem imagina un șir de segmente din ce în ce mai scurte, fiecare interior celui precedent. Dacă lungimile \(b_n-a_n\) nu tind la zero, intersecția rămâne un interval \([x_0,y_0]\) de lungime pozitivă; dacă, dimpotrivă, lungimile devin arbitrar de mici, segmentele se concentrează în jurul unei unice poziții \(x_0\) a dreptei reale, iar intersecția este acel punct unic.
Ipotezele sunt necesare
Ipotezele ca intervalele să fie închise și mărginite nu sunt de prisos: dacă lipsește fie și una singură dintre ele, concluzia poate fi falsă.
Mărginirea este esențială. Să considerăm intervalele nemărginite
\[ I_n=[\,n,+\infty\,). \]
Ele sunt închise, nevide și incluse, dar intersecția lor este vidă:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} [\,n,+\infty\,)=\varnothing, \]
deoarece niciun număr real nu este mai mare sau egal cu orice număr natural \(n\).
Caracterul închis este esențial. Să considerăm intervalele deschise
\[ I_n=\left(0,\frac1n\right). \]
Ele sunt mărginite, nevide și incluse, dar și în acest caz
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,\frac1n\right)=\varnothing, \]
deoarece un eventual punct comun \(x\) ar trebui să satisfacă \(0\lt x\lt \displaystyle \frac1n\) pentru orice \(n\), ceea ce este imposibil, dat fiind că \(\displaystyle \frac1n\to 0\).
Exemple de aplicare
Exemplul 1. Să considerăm intervalele
\[ I_n=\left[0,\frac1n\right]. \]
Sunt închise, mărginite, nevide și incluse, iar lungimea \(\displaystyle \frac1n\to 0\). Prin urmare,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[0,\frac1n\right]=\{0\}. \]
Exemplul 2. Să considerăm intervalele
\[ I_n=\left[-\frac1n,\frac1n\right]. \]
Și aici lungimea \(\displaystyle \frac2n\to 0\), iar intersecția este
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac1n,\frac1n\right]=\{0\}. \]
Exemplul 3. Dacă, dimpotrivă, lungimea nu tinde la zero, intersecția este un interval nedegenerat. De exemplu, cu
\[ I_n=\left[-\frac1n,\,1+\frac1n\right] \]
avem \(x_0=\sup_n\!\left(-\displaystyle \frac1n\right)=0\) și \(y_0=\inf_n\!\left(1+\displaystyle \frac1n\right)=1\), de unde
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac1n,\,1+\frac1n\right]=[0,1]. \]
Relația cu completitudinea lui \(\mathbb{R}\)
Teorema intervalelor incluse este o consecință directă a completitudinii numerelor reale: în demonstrație am folosit în mod esențial existența marginii superioare \(x_0=\sup_n a_n\) (și a marginii inferioare \(y_0=\inf_n b_n\)).
Această proprietate nu are loc în corpul numerelor raționale. Să construim, de exemplu, un șir de intervale raționale incluse care «strânge» numărul irațional \(\sqrt{2}\): fie \(a_n\) și \(b_n\) trunchierile zecimale prin lipsă și prin adaos ale lui \(\sqrt{2}\),
\[ a_1=1{,}4,\ a_2=1{,}41,\ a_3=1{,}414,\ \ldots \qquad b_n=a_n+10^{-n}. \]
Considerăm mulțimile
\[ I_n=[a_n,b_n]\cap\mathbb Q. \]
Ele sunt incluse și au lungimea \(10^{-n}\to 0\). În \(\mathbb R\), intersecția intervalelor \([a_n,b_n]\) este \(\{\sqrt2\}\); dar în \(\mathbb Q\), unde \(\sqrt2\notin\mathbb Q\), rezultă
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\varnothing. \]
Teorema reflectă, așadar, absența «golurilor» de pe dreapta reală.
Observație (caracterizarea completitudinii). Trebuie precizat că proprietatea intervalelor incluse, luată singură, nu este echivalentă cu completitudinea: ea devine echivalentă numai atunci când este însoțită de proprietatea lui Arhimede a lui \(\mathbb{R}\). Cu alte cuvinte, într-un corp ordonat arhimedian, proprietatea intervalelor incluse este echivalentă cu proprietatea marginii superioare. Tocmai proprietatea lui Arhimede (adică \(\displaystyle \frac1n\to 0\)) este cea care garantează, în exemplele noastre, că lungimea intervalelor tinde efectiv la zero.
Din acest motiv, teorema intervalelor incluse reprezintă un instrument fundamental în analiza matematică și intervine în demonstrarea a numeroase rezultate clasice, printre care teorema lui Bolzano-Weierstrass și teorema lui Heine-Borel.