Exercițiile care urmează au scopul de a consolida înțelegerea teoremei intervalelor incluse și a aplicațiilor sale. În particular, vom învăța să verificăm când un șir de intervale satisface ipotezele teoremei, să-i determinăm intersecția și să înțelegem rolul jucat de completitudinea numerelor reale.
Exercițiile sunt ordonate după gradul de dificultate crescător. În primele probleme vom aplica teorema în mod direct; ulterior vom analiza contraexemple, construcții mai elaborate și unele dintre cele mai importante consecințe teoretice ale sale.
Vom folosi atât forma generală a teoremei, conform căreia intersecția unui șir de intervale închise, mărginite, nevide și incluse unul în altul este nevidă, cât și forma mai tare: dacă lungimile intervalelor tind către zero, atunci intersecția se reduce la un singur punct.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Se consideră șirul de intervale
\[ I_n=\left[0,\frac{1}{n}\right]. \]
Să se determine
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Rezultat
Avem
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{0\}. \]
Rezolvare
Intervalele sunt închise și mărginite. În plus,
\[ I_{n+1} = \left[0,\frac{1}{n+1}\right] \subseteq \left[0,\frac{1}{n}\right] = I_n, \]
deoarece
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}. \]
Prin urmare, șirul este format din intervale incluse unul în altul.
Pe de altă parte, lungimea lui \(I_n\) este
\[ \frac{1}{n}-0=\frac{1}{n}, \]
iar
\[ \frac{1}{n}\longrightarrow 0. \]
Conform formei tari a teoremei intervalelor incluse, atunci când lungimile tind către zero, intersecția se reduce la un singur punct.
Observăm că \(0\) aparține tuturor intervalelor \(I_n\).
Pe de altă parte, dacă \(x>0\), alegând \(n\) suficient de mare, obținem
\[ \frac{1}{n}<x. \]
Rezultă că \(x\notin I_n\), deci \(x\) nu poate aparține intersecției tuturor intervalelor.
Singurul punct comun tuturor intervalelor este așadar \(0\).
Prin urmare,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[0,\frac{1}{n}\right] = \{0\}. \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Se consideră șirul de intervale
\[ I_n= \left[ -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right]. \]
Să se determine
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Rezultat
Avem
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{0\}. \]
Rezolvare
Intervalele sunt închise, mărginite și nevide.
În plus,
\[ \left[ -\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+1} \right] \subseteq \left[ -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right], \]
pentru orice \(n\in\mathbb N\).
Este așadar vorba despre un șir de intervale incluse unul în altul.
Lungimea lui \(I_n\) este
\[ \frac{1}{n} - \left(-\frac{1}{n}\right) = \frac{2}{n}, \]
iar
\[ \frac{2}{n}\longrightarrow 0. \]
Teorema intervalelor incluse garantează atunci că intersecția conține un singur punct.
Deoarece
\[ -\frac{1}{n} \leq 0 \leq \frac{1}{n} \qquad \forall n, \]
numărul \(0\) aparține tuturor intervalelor.
Dacă, în schimb, \(x\neq0\), atunci \(|x|>0\). Alegând \(n\) suficient de mare, avem
\[ \frac{1}{n}<|x|. \]
De aici rezultă că \(x\notin I_n\).
Prin urmare,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[ -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right] = \{0\}. \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Se consideră șirul de intervale
\[ I_n=\left[1,1+\frac{1}{n}\right]. \]
Să se determine
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Rezultat
Avem
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{1\}. \]
Rezolvare
Intervalele \(I_n\) sunt închise, mărginite și nevide. În plus, pe măsură ce \(n\) crește, capătul drept \(1+\displaystyle \frac{1}{n}\) descrește, în timp ce capătul stâng rămâne egal cu \(1\). Așadar intervalele sunt incluse unul în altul.
Într-adevăr, pentru orice \(n\in\mathbb N\), avem
\[ I_{n+1}\subseteq I_n. \]
Lungimea intervalului \(I_n\) este
\[ \left(1+\frac{1}{n}\right)-1=\frac{1}{n}. \]
Deoarece \(\frac{1}{n}\to0\), teorema intervalelor incluse garantează că intersecția conține un singur punct.
Punctul \(1\) aparține tuturor intervalelor, fiind mereu capătul stâng al lui \(I_n\). Așadar
\[ 1\in\bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Întrucât intersecția conține un singur punct, iar acel punct este \(1\), conchidem că
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[1,1+\frac{1}{n}\right]=\{1\}. \]
Exercițiul 4 — nivel ★☆☆☆☆
Se consideră șirul de intervale
\[ I_n=\left[2-\frac{1}{n},2+\frac{1}{n}\right]. \]
Să se determine
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Rezultat
Avem
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{2\}. \]
Rezolvare
Intervalele sunt închise, mărginite și nevide. În plus, pe măsură ce \(n\) crește, capătul stâng
\[ 2-\frac{1}{n} \]
crește către \(2\), în timp ce capătul drept
\[ 2+\frac{1}{n} \]
descrește către \(2\). Așadar intervalele sunt incluse unul în altul.
Lungimea lui \(I_n\) este
\[ \left(2+\frac{1}{n}\right)-\left(2-\frac{1}{n}\right)=\frac{2}{n}, \]
și prin urmare
\[ \frac{2}{n}\longrightarrow0. \]
Conform teoremei intervalelor incluse, intersecția conține un singur punct.
Deoarece
\[ 2-\frac{1}{n}\leq 2\leq 2+\frac{1}{n} \]
pentru orice \(n\), punctul \(2\) aparține tuturor intervalelor.
Prin urmare,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[2-\frac{1}{n},2+\frac{1}{n}\right] = \{2\}. \]
Exercițiul 5 — nivel ★☆☆☆☆
Se consideră șirul de intervale
\[ I_n=\left[0,2+\frac{1}{n}\right]. \]
Să se determine
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Rezultat
Avem
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[0,2]. \]
Rezolvare
Intervalele sunt închise, mărginite și nevide. În plus, deoarece
\[ 2+\frac{1}{n+1}<2+\frac{1}{n}, \]
avem
\[ I_{n+1}\subseteq I_n. \]
Este așadar vorba despre un șir de intervale incluse unul în altul.
În acest caz însă, lungimea intervalelor nu tinde către zero. Într-adevăr,
\[ \left(2+\frac{1}{n}\right)-0=2+\frac{1}{n}, \]
și prin urmare
\[ 2+\frac{1}{n}\longrightarrow2. \]
Așadar intersecția nu trebuie neapărat să se reducă la un singur punct.
Observăm că orice punct \(x\in[0,2]\) aparține tuturor intervalelor, deoarece
\[ 0\leq x\leq2<2+\frac{1}{n} \]
pentru orice \(n\in\mathbb N\).
Așadar
\[ [0,2]\subseteq\bigcap_{n=1}^{+\infty}I_n. \]
Dacă, în schimb, \(x<0\), atunci \(x\notin I_n\) pentru orice \(n\), întrucât toate intervalele au capătul stâng egal cu \(0\).
Reciproc, dacă \(x>2\), atunci \(x-2>0\). Conform proprietății lui Arhimede, există \(n\) astfel încât
\[ \frac{1}{n}<x-2. \]
De unde
\[ 2+\frac{1}{n}<x. \]
Prin urmare, \(x\notin I_n\), deci \(x\) nu aparține intersecției tuturor intervalelor.
Conchidem că
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[0,2+\frac{1}{n}\right] = [0,2]. \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Se consideră șirul de intervale
\[ I_n=\left[1-\frac{1}{n},3+\frac{1}{n}\right]. \]
Să se determine
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Rezultat
Avem
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[1,3]. \]
Rezolvare
Intervalele sunt închise, mărginite și nevide. Pe măsură ce \(n\) crește, capătul stâng \(1-\displaystyle \frac{1}{n}\) crește către \(1\), în timp ce capătul drept \(3+\displaystyle \frac{1}{n}\) descrește către \(3\). Așadar intervalele sunt incluse unul în altul.
Lungimea lui \(I_n\) este
\[ \left(3+\frac{1}{n}\right)-\left(1-\frac{1}{n}\right)=2+\frac{2}{n}. \]
Deoarece \(2+\displaystyle \frac{2}{n}\to2\), lungimea nu tinde către zero. Așadar intersecția nu se reduce la un singur punct.
Capetele stângi au marginea superioară \(1\), în timp ce capetele drepte au marginea inferioară \(3\). Conform teoremei intervalelor incluse, obținem
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[1,3]. \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Se consideră șirul de intervale
\[ I_n=\left[-\frac{1}{n},1\right]. \]
Să se determine
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Rezultat
Avem
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[0,1]. \]
Rezolvare
Intervalele sunt închise, mărginite și nevide. În plus, capătul stâng \(-\displaystyle \frac{1}{n}\) crește către \(0\), în timp ce capătul drept rămâne egal cu \(1\). Așadar intervalele sunt incluse unul în altul.
Lungimea lui \(I_n\) este
\[ 1-\left(-\frac{1}{n}\right)=1+\frac{1}{n}. \]
Deoarece \(1+\displaystyle \frac{1}{n}\to1\), lungimea nu tinde către zero.
Marginea superioară a capetelor stângi este \(0\), în timp ce marginea inferioară a capetelor drepte este \(1\). Prin urmare,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac{1}{n},1\right]=[0,1]. \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Se consideră șirul de intervale
\[ I_n=\left[2-\frac{1}{n},5\right]. \]
Să se determine
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Rezultat
Avem
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[2,5]. \]
Rezolvare
Intervalele sunt închise, mărginite și nevide. Capătul stâng \(2-\displaystyle \frac{1}{n}\) crește către \(2\), în timp ce capătul drept rămâne constant, egal cu \(5\). Așadar intervalele sunt incluse unul în altul.
Lungimea lui \(I_n\) este
\[ 5-\left(2-\frac{1}{n}\right)=3+\frac{1}{n}. \]
Deoarece \(3+\displaystyle \frac{1}{n}\to3\), lungimea nu tinde către zero.
Marginea superioară a capetelor stângi este \(2\), în timp ce marginea inferioară a capetelor drepte este \(5\). Așadar
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[2-\frac{1}{n},5\right]=[2,5]. \]
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Se consideră șirul de intervale
\[ I_n=\left[-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right]. \]
Să se determine
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Rezultat
Avem
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[0,1]. \]
Rezolvare
Intervalele sunt închise, mărginite și nevide. Capătul stâng \(-\displaystyle \frac{1}{n}\) crește către \(0\), în timp ce capătul drept \(1+\displaystyle \frac{1}{n}\) descrește către \(1\). Așadar intervalele sunt incluse unul în altul.
Lungimea lui \(I_n\) este
\[ \left(1+\frac{1}{n}\right)-\left(-\frac{1}{n}\right)=1+\frac{2}{n}. \]
Deoarece \(1+\displaystyle \frac{2}{n}\to1\), lungimea nu tinde către zero.
Marginea superioară a capetelor stângi este \(0\), în timp ce marginea inferioară a capetelor drepte este \(1\). Prin urmare,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right]=[0,1]. \]
Exercițiul 10 — nivel ★★☆☆☆
Se consideră șirul de intervale
\[ I_n=\left[\frac{n}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\right]. \]
Să se determine
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Rezultat
Avem
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\left[1,\frac{3}{2}\right]. \]
Rezolvare
Rescriem capetele intervalului:
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}, \qquad 2-\frac{1}{n+1}. \]
Așadar
\[ I_n=\left[1-\frac{1}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\right]. \]
Intervalele sunt închise, mărginite și nevide. Totuși, ele nu formează un șir descrescător de intervale incluse: pe măsură ce \(n\) crește, ambele capete se deplasează spre dreapta.
Într-adevăr,
\[ I_1=\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right], \qquad I_2=\left[\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right]. \]
Intervalul \(I_2\) nu este conținut în \(I_1\), deoarece capătul său drept este mai mare decât cel al lui \(I_1\). Așadar teorema intervalelor incluse nu se aplică în mod direct.
Determinăm totuși intersecția. Un număr \(x\) aparține tuturor intervalelor dacă și numai dacă
\[ 1-\frac{1}{n+1}\leq x\leq 2-\frac{1}{n+1} \]
pentru orice \(n\in\mathbb N\).
Din prima inegalitate, impunând să fie verificată pentru orice \(n\), se obține
\[ x\geq1. \]
Într-adevăr, capetele stângi \(1-\frac{1}{n+1}\) cresc către \(1\).
Din a doua inegalitate, în schimb, restricția cea mai puternică se obține pentru \(n=1\), întrucât capetele drepte \(2-\frac{1}{n+1}\) cresc pe măsură ce \(n\) crește. Așadar trebuie să avem
\[ x\leq 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}. \]
Prin urmare, orice punct care aparține intersecției trebuie să satisfacă
\[ 1\leq x\leq\frac{3}{2}. \]
Reciproc, dacă \(1\leq x\leq\frac{3}{2}\), atunci pentru orice \(n\in\mathbb N\) avem
\[ 1-\frac{1}{n+1}\leq1\leq x \]
și, în plus,
\[ x\leq\frac{3}{2}\leq2-\frac{1}{n+1}. \]
Așadar \(x\in I_n\) pentru orice \(n\in\mathbb N\).
Conchidem că
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[\frac{n}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\right]=\left[1,\frac{3}{2}\right]. \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Se consideră șirul de intervale
\[ I_n=\left(0,\frac{1}{n}\right). \]
Să se stabilească dacă teorema intervalelor incluse este aplicabilă și să se determine
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Rezultat
Teorema intervalelor incluse nu este aplicabilă, deoarece intervalele nu sunt închise. În plus,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,\frac{1}{n}\right)=\varnothing. \]
Rezolvare
Intervalele \(I_n\) sunt deschise, mărginite, nevide și incluse unul în altul. Într-adevăr, pe măsură ce \(n\) crește, capătul drept \(\displaystyle \frac{1}{n}\) descrește.
Totuși, teorema intervalelor incluse cere intervale închise și mărginite. În acest caz, intervalele nu sunt închise, deci teorema nu poate fi aplicată.
Determinăm acum intersecția. Dacă \(x\) ar aparține tuturor intervalelor, atunci ar trebui să avem
\[ 0\lt x\lt\frac{1}{n} \]
pentru orice \(n\in\mathbb N\).
Dar, dacă \(x\gt0\), conform proprietății lui Arhimede există \(n\in\mathbb N\) astfel încât
\[ \frac{1}{n}\lt x. \]
Pentru un asemenea \(n\), numărul \(x\) nu aparține lui \(I_n\).
Așadar niciun număr real nu aparține tuturor intervalelor. Prin urmare,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,\frac{1}{n}\right)=\varnothing. \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Se consideră șirul de intervale
\[ I_n=[n,+\infty). \]
Să se stabilească dacă teorema intervalelor incluse este aplicabilă și să se determine
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Rezultat
Teorema intervalelor incluse nu este aplicabilă, deoarece intervalele nu sunt mărginite. În plus,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}[n,+\infty)=\varnothing. \]
Rezolvare
Intervalele \(I_n=[n,+\infty)\) sunt închise și nevide. În plus, sunt incluse unul în altul, deoarece
\[ [n+1,+\infty)\subseteq[n,+\infty). \]
Totuși, ele nu sunt mărginite. Teorema intervalelor incluse cere intervale închise și mărginite, deci în acest caz nu este aplicabilă.
Determinăm intersecția. Dacă \(x\) ar aparține tuturor intervalelor, atunci ar trebui să avem
\[ x\geq n \]
pentru orice \(n\in\mathbb N\).
Acest lucru este imposibil, deoarece niciun număr real nu este mai mare sau egal cu toate numerele naturale.
Așadar
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}[n,+\infty)=\varnothing. \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Se consideră șirul de intervale
\[ I_n=\left(-\infty,\frac{1}{n}\right]. \]
Să se stabilească dacă teorema intervalelor incluse este aplicabilă și să se determine
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Rezultat
Teorema intervalelor incluse nu este aplicabilă, deoarece intervalele nu sunt mărginite. În plus,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(-\infty,\frac{1}{n}\right]=(-\infty,0]. \]
Rezolvare
Intervalele sunt închise și nevide, dar nu sunt mărginite inferior. Așadar teorema intervalelor incluse nu poate fi aplicată în mod direct.
Intervalele sunt totuși incluse unul în altul, deoarece capătul drept \(\displaystyle\frac{1}{n}\) descrește către \(0\).
Dacă \(x\leq0\), atunci
\[ x\leq0\lt\frac{1}{n} \]
pentru orice \(n\in\mathbb N\). Așadar orice \(x\leq0\) aparține tuturor intervalelor.
Dacă, în schimb, \(x\gt0\), conform proprietății lui Arhimede există \(n\in\mathbb N\) astfel încât
\[ \frac{1}{n}\lt x. \]
Pentru un asemenea \(n\), avem \(x\notin I_n\).
Prin urmare, punctele comune tuturor intervalelor sunt exact numerele reale mai mici sau egale cu \(0\):
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(-\infty,\frac{1}{n}\right]=(-\infty,0]. \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Se consideră șirul de intervale
\[ I_n=\left[0,1+\frac{(-1)^n}{2}\right]. \]
Să se stabilească dacă intervalele sunt incluse unul în altul și dacă teorema intervalelor incluse este aplicabilă.
Rezultat
Intervalele nu sunt incluse unul în altul. Teorema intervalelor incluse nu este aplicabilă.
Rezolvare
Calculăm primele intervale. Pentru \(n=1\) avem
\[ I_1=\left[0,\frac{1}{2}\right], \]
în timp ce pentru \(n=2\) avem
\[ I_2=\left[0,\frac{3}{2}\right]. \]
Așadar \(I_2\) nu este conținut în \(I_1\). Într-adevăr,
\[ \frac{3}{2}\in I_2, \qquad \frac{3}{2}\notin I_1. \]
Prin urmare, șirul de intervale nu este format din intervale incluse unul în altul.
Deși intervalele sunt închise, mărginite și nevide, lipsește ipoteza de includere. Așadar teorema intervalelor incluse nu este aplicabilă.
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
Se consideră șirul de intervale
\[ I_n=\left(0,1+\frac{1}{n}\right). \]
Să se stabilească dacă teorema intervalelor incluse este aplicabilă și să se determine
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Rezultat
Teorema intervalelor incluse nu este aplicabilă, deoarece intervalele nu sunt închise. În plus,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,1+\frac{1}{n}\right)=(0,1]. \]
Rezolvare
Intervalele sunt deschise, mărginite, nevide și incluse unul în altul, deoarece capătul drept \(1+\displaystyle\frac{1}{n}\) descrește către \(1\).
Totuși, teorema intervalelor incluse cere intervale închise și mărginite. Întrucât intervalele \(I_n\) nu sunt închise, teorema nu este aplicabilă.
Determinăm acum intersecția. Dacă \(0\lt x\leq1\), atunci
\[ 0\lt x\lt1+\frac{1}{n} \]
pentru orice \(n\in\mathbb N\), deci \(x\in I_n\) pentru orice \(n\).
Prin urmare,
\[ (0,1]\subseteq\bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Reciproc, dacă \(x\leq0\), atunci \(x\notin I_n\) pentru orice \(n\). Dacă, în schimb, \(x\gt1\), atunci \(x-1\gt0\), iar conform proprietății lui Arhimede există \(n\in\mathbb N\) astfel încât
\[ \frac{1}{n}\lt x-1. \]
De unde
\[ 1+\frac{1}{n}\lt x. \]
Pentru un asemenea \(n\), numărul \(x\) nu aparține lui \(I_n\).
Conchidem că
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,1+\frac{1}{n}\right)=(0,1]. \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Să se construiască un șir de intervale închise și mărginite, incluse unul în altul și cu lungimea tinzând către zero, a căror intersecție să fie \(\{\sqrt{2}\}\).
Rezultat
Un exemplu posibil este
\[ I_n=\left[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right]. \]
În acest caz,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{\sqrt{2}\}. \]
Rezolvare
Considerăm
\[ I_n=\left[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right]. \]
Fiecare \(I_n\) este un interval închis, mărginit și nevid.
Pe măsură ce \(n\) crește, capătul stâng crește către \(\sqrt{2}\), în timp ce capătul drept descrește către \(\sqrt{2}\). Așadar intervalele sunt incluse unul în altul.
Lungimea lui \(I_n\) este
\[ \left(\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right)-\left(\sqrt{2}-\frac{1}{n}\right)=\frac{2}{n}. \]
Deoarece \( \displaystyle \frac{2}{n}\to0\), teorema intervalelor incluse garantează că intersecția conține un singur punct.
Punctul \(\sqrt{2}\) aparține tuturor intervalelor, fiind mereu cuprins între capetele \(\sqrt{2}-\displaystyle \frac{1}{n}\) și \(\sqrt{2}+\displaystyle \frac{1}{n}\).
Prin urmare, singurul punct comun tuturor intervalelor este \(\sqrt{2}\), adică
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right]=\{\sqrt{2}\}. \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Fie \(f(x)=x^2-2\). Se consideră intervalul inițial \([1,2]\), pe care \(f(1)\lt0\) și \(f(2)\gt0\). Să se construiască, prin bisecție, un șir de intervale închise și incluse unul în altul care să conțină mereu o soluție a ecuației
\[ x^2=2. \]
Să se explice de ce intersecția conține un singur punct.
Rezultat
Metoda bisecției produce un șir de intervale închise, mărginite și incluse unul în altul, cu lungimea tinzând către zero. Intersecția conține un singur punct, anume \(\sqrt{2}\).
Rezolvare
Pornim de la intervalul
\[ I_1=[1,2]. \]
Deoarece \(f(1)=1^2-2=-1\) și \(f(2)=2^2-2=2\), funcția își schimbă semnul între \(1\) și \(2\).
Împărțim \(I_1\) în două părți egale și alegem una dintre cele două jumătăți pe care funcția își schimbă din nou semnul. Notăm acest interval cu \(I_2\). Repetând procedeul, obținem un șir de intervale
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots. \]
Prin construcție, fiecare \(I_n\) este închis, mărginit și nevid. În plus, intervalele sunt incluse unul în altul.
La fiecare pas, lungimea se înjumătățește. Întrucât lungimea inițială este \(1\), lungimea lui \(I_n\) este
\[ \frac{1}{2^{n-1}}. \]
Deoarece
\[ \frac{1}{2^{n-1}}\to0, \]
teorema intervalelor incluse garantează că intersecția conține un singur punct.
Notăm cu \(x_0\) singurul punct care aparține tuturor intervalelor \(I_n\). Prin construcție, fiecare interval \(I_n\) conține cel puțin o soluție a ecuației \(x^2=2\).
Pe de altă parte, intersecția tuturor intervalelor este formată dintr-un singur punct. Deoarece \(f\) este continuă și, prin construcție, își schimbă semnul pe fiecare interval \(I_n\), punctul comun trebuie să fie o rădăcină a lui \(f\). Acest punct fiind cuprins între \(1\) și \(2\), el coincide cu soluția pozitivă a ecuației \(x^2=2\), adică cu \(\sqrt{2}\).
Așadar
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{\sqrt{2}\}. \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Fie \((a_n)\) și \((b_n)\) două șiruri reale astfel încât
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \]
pentru orice \(n\in\mathbb N\). Presupunem, în plus, că
\[ b_n-a_n\to0. \]
Să se demonstreze că cele două șiruri converg către aceeași limită.
Rezultat
Șirurile \((a_n)\) și \((b_n)\) converg către aceeași limită.
Rezolvare
Considerăm intervalele
\[ I_n=[a_n,b_n]. \]
Condiția
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \]
implică faptul că
\[ I_{n+1}\subseteq I_n \]
pentru orice \(n\). Așadar \((I_n)\) este un șir de intervale incluse unul în altul.
În plus, intervalele sunt închise, mărginite și nevide. Deoarece \(b_n-a_n\to0\), teorema intervalelor incluse garantează că există un singur punct \(x_0\) astfel încât
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{x_0\}. \]
Deoarece \(x_0\in I_n\) pentru orice \(n\), avem
\[ a_n\leq x_0\leq b_n \]
pentru orice \(n\).
Din această dublă inegalitate rezultă
\[ 0\leq x_0-a_n\leq b_n-a_n \]
precum și
\[ 0\leq b_n-x_0\leq b_n-a_n. \]
Deoarece \(b_n-a_n\to0\), conform teoremei cleștelui obținem
\[ a_n\to x_0 \qquad\text{și}\qquad b_n\to x_0. \]
Prin urmare, cele două șiruri converg către aceeași limită.
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
Să se arate că teorema intervalelor incluse poate fi infirmată în \(\mathbb Q\).
Rezultat
În \(\mathbb Q\) există șiruri de intervale raționale închise, mărginite și incluse unul în altul, cu lungimea tinzând către zero, a căror intersecție este vidă.
Rezolvare
Construim intervale raționale care strâng numărul irațional \(\sqrt{2}\).
Fie \(a_n\) și \(b_n\) numere raționale astfel încât
\[ a_n\lt\sqrt{2}\lt b_n \]
și astfel încât
\[ b_n-a_n\to0. \]
De exemplu, putem alege \(a_n\) și \(b_n\) drept aproximări zecimale raționale ale lui \(\sqrt{2}\), respectiv prin lipsă și prin adaos.
Le alegem, în plus, astfel încât intervalele
\[ [a_n,b_n] \]
să fie incluse unul în altul.
Considerăm acum mulțimile
\[ I_n=[a_n,b_n]\cap\mathbb Q. \]
În spațiul ordonat \(\mathbb Q\), mulțimile \(I_n\) sunt intervale închise și mărginite. Ele sunt, de asemenea, incluse unul în altul, iar lungimea lor tinde către zero.
În \(\mathbb R\), intersecția intervalelor \([a_n,b_n]\) este alcătuită doar din punctul \(\sqrt{2}\):
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}[a_n,b_n]=\{\sqrt{2}\}. \]
Însă
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb Q. \]
Așadar, dacă lucrăm în interiorul lui \(\mathbb Q\), niciun număr rațional nu aparține tuturor intervalelor \(I_n\).
Prin urmare,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\varnothing. \]
Acest lucru arată că teorema intervalelor incluse depinde de completitudinea lui \(\mathbb R\) și poate fi infirmată în \(\mathbb Q\).
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Să se demonstreze următoarea formă a teoremei intervalelor incluse: dacă
\[ I_n=[a_n,b_n], \qquad I_{n+1}\subseteq I_n \]
pentru orice \(n\in\mathbb N\), și dacă
\[ b_n-a_n\to0, \]
atunci există un singur punct care aparține tuturor intervalelor \(I_n\).
Rezultat
Există un singur \(x_0\in\mathbb R\) astfel încât
\[ x_0\in I_n \]
pentru orice \(n\in\mathbb N\).
Rezolvare
Deoarece intervalele sunt incluse unul în altul, avem
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \]
pentru orice \(n\).
Așadar șirul \((a_n)\) este crescător, în timp ce șirul \((b_n)\) este descrescător.
Arătăm că fiecare \(b_n\) este un majorant al mulțimii \(\{a_k:k\in\mathbb N\}\). Într-adevăr, dacă \(k\leq n\), atunci
\[ a_k\leq a_n\leq b_n. \]
Dacă, în schimb, \(k>n\), atunci
\[ a_k\leq b_k\leq b_n. \]
În toate cazurile, \(a_k\leq b_n\). Așadar fiecare \(b_n\) este un majorant al mulțimii \(\{a_k:k\in\mathbb N\}\).
Prin completitudinea lui \(\mathbb R\), există
\[ x_0=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}. \]
În consecință, avem
\[ x_0\leq b_n \]
pentru orice \(n\). În plus, din definiția marginii superioare, avem
\[ a_n\leq x_0 \]
pentru orice \(n\).
Așadar
\[ a_n\leq x_0\leq b_n \]
pentru orice \(n\), deci \(x_0\in I_n\) pentru orice \(n\).
Am demonstrat astfel că intersecția este nevidă.
Arătăm acum unicitatea. Presupunem că \(x\) și \(y\) aparțin tuturor intervalelor \(I_n\), cu \(x\leq y\). Atunci, pentru orice \(n\),
\[ a_n\leq x\leq y\leq b_n. \]
Rezultă că
\[ 0\leq y-x\leq b_n-a_n. \]
Deoarece \(b_n-a_n\to0\), obținem \(y-x=0\), adică \(x=y\).
Așadar punctul comun tuturor intervalelor este unic.