Teorema Heine-Borel este unul dintre rezultatele fundamentale ale analizei reale. Ea oferă o caracterizare completă a mulțimilor compacte ale dreptei reale, arătând că în \(\mathbb R\) compacitatea coincide exact cu două proprietăți mult mai simplu de recunoscut: faptul de a fi închise și faptul de a fi mărginite.
Cu alte cuvinte, o submulțime a lui \(\mathbb R\) este compactă dacă și numai dacă este închisă și mărginită. Acest rezultat face concretă definiția compacității prin acoperiri deschise și explică de ce intervale precum \([a,b]\) sunt compacte, în timp ce mulțimi precum \((a,b)\) sau \([0,+\infty)\) nu sunt.
În această expunere vom enunța teorema Heine-Borel, îi vom lămuri semnificația, vom demonstra ambele implicații și vom analiza exemple fundamentale și contraexemple.
Cuprins
- Enunțul teoremei Heine-Borel
- Semnificația teoremei
- De ce este necesară mărginirea
- De ce este necesar caracterul închis
- Demonstrație: orice mulțime compactă din \(\mathbb R\) este închisă și mărginită
- Demonstrație: orice mulțime închisă și mărginită din \(\mathbb R\) este compactă
- Exemple de mulțimi compacte prin Heine-Borel
- Exemple de mulțimi necompacte prin Heine-Borel
- Heine-Borel și șiruri
- Recapitulare finală
Enunțul teoremei Heine-Borel
Teorema Heine-Borel caracterizează complet mulțimile compacte ale dreptei reale.
Teorema Heine-Borel. O mulțime \(K\subseteq\mathbb R\) este compactă dacă și numai dacă este închisă și mărginită.
În simboluri:
\[ K \subseteq \mathbb R \text{ este compactă} \quad \Longleftrightarrow \quad K \text{ este închisă și mărginită}. \]
Teorema cuprinde două afirmații distincte:
- dacă \(K\subseteq\mathbb R\) este compactă, atunci \(K\) este închisă și mărginită;
- dacă \(K\subseteq\mathbb R\) este închisă și mărginită, atunci \(K\) este compactă.
Prima implicație arată că compacitatea împiedică atât fuga la infinit, cât și existența unor puncte de acumulare care nu aparțin mulțimii. A doua implicație arată, dimpotrivă, că pe dreapta reală aceste două condiții sunt suficiente pentru a garanta compacitatea.
Semnificația teoremei
Definiția mulțimii compacte se formulează cu ajutorul acoperirilor deschise: o mulțime \(K\subseteq\mathbb R\) este compactă dacă orice acoperire deschisă a lui \(K\) admite o subacoperire finită.
Această definiție este foarte generală, însă nu este întotdeauna ușor de verificat. Teorema Heine-Borel face compacitatea mult mai concretă în cazul mulțimilor reale.
Într-adevăr, datorită teoremei, pentru a stabili dacă o mulțime \(K\subseteq\mathbb R\) este compactă nu este necesar să examinăm direct toate acoperirile sale deschise. Este suficient să verificăm două proprietăți:
- \(K\) este mărginită, adică punctele sale nu se pot îndepărta nelimitat;
- \(K\) este închisă, adică își conține toate punctele de acumulare.
De exemplu, intervalul
\[ [0,1] \]
este închis și mărginit, deci este compact.
Intervalul
\[ (0,1) \]
este mărginit, dar nu este închis; prin urmare nu este compact.
Semidreapta
\[ [0,+\infty) \]
este închisă, dar nu este mărginită; prin urmare nu este compactă.
Teorema Heine-Borel arată așadar că, în \(\mathbb R\), compacitatea înseamnă exact acest lucru: nu există fugă la infinit și nu lipsesc puncte de acumulare.
De ce este necesară mărginirea
Să vedem mai întâi de ce o mulțime compactă nu poate fi nemărginită.
O mulțime \(K\subseteq\mathbb R\) se numește mărginită dacă există \(M>0\) astfel încât
\[ K\subseteq [-M,M]. \]
În mod echivalent, toate punctele lui \(K\) au valoarea absolută mai mică sau egală cu aceeași constantă:
\[ |x|\leq M \qquad \text{pentru orice } x\in K. \]
Dacă, în schimb, \(K\) nu este mărginită, atunci punctele sale se pot îndepărta nelimitat. În acest caz se poate construi o acoperire deschisă a lui \(K\) care nu admite nicio subacoperire finită.
Să considerăm, într-adevăr, familia de mulțimi deschise
\[ U_n=(-n,n), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 1. \]
Reuniunea tuturor acestor mulțimi deschise este întreaga dreaptă reală:
\[ \bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n)=\mathbb R. \]
Așadar, în particular,
\[ K\subseteq \bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n). \]
Familia \(\{(-n,n)\}_{n\geq 1}\) este, prin urmare, o acoperire deschisă a lui \(K\).
Dacă din această acoperire alegem doar un număr finit de mulțimi deschise, există un indice maxim \(N\) printre cele alese. Întrucât intervalele \((-n,n)\) cresc pe măsură ce \(n\) crește, reuniunea finită a mulțimilor deschise alese este conținută în
\[ (-N,N). \]
Dar, dacă \(K\) este nemărginită, există cel puțin un punct \(x\in K\) astfel încât
\[ |x|>N. \]
Un astfel de punct nu aparține lui \((-N,N)\). Așadar niciun număr finit de mulțimi deschise din familie nu poate acoperi întreaga mulțime \(K\).
Prin urmare, o mulțime nemărginită nu poate fi compactă.
În consecință, orice mulțime compactă din \(\mathbb R\) trebuie să fie mărginită.
De ce este necesar caracterul închis
Să vedem acum de ce o mulțime compactă din \(\mathbb R\) trebuie să fie închisă.
O mulțime \(K\subseteq\mathbb R\) este închisă dacă își conține toate punctele de acumulare. Cu alte cuvinte, dacă un șir de puncte din \(K\) converge către un număr real \(x\), atunci limita \(x\) trebuie să aparțină în continuare lui \(K\).
Dacă o mulțime nu este închisă, se poate întâmpla ca unele dintre punctele sale să se apropie nelimitat de un punct exterior mulțimii. Acest fenomen este incompatibil cu compacitatea.
De exemplu, intervalul
\[ (0,1) \]
nu este închis, deoarece \(0\) și \(1\) sunt puncte de acumulare ale intervalului, însă nu aparțin intervalului propriu-zis.
Să considerăm șirul
\[ x_n=\frac{1}{n}. \]
Pentru orice \(n\geq 2\) avem
\[ x_n\in(0,1), \]
dar
\[ x_n\to 0. \]
Limita \(0\) nu aparține lui \((0,1)\). Așadar șirul \(\left(\displaystyle \frac{1}{n}\right)\), deși este conținut în intervalul deschis \((0,1)\), converge către un punct exterior mulțimii.
Aceasta arată de ce este necesar caracterul închis: o mulțime compactă nu poate pierde limitele șirurilor care trăiesc în interiorul ei.
Mai precis, dacă \(K\) este compactă, orice șir de puncte din \(K\) admite un subșir convergent către un punct din \(K\). Dacă \(K\) ar avea un punct de acumulare exterior, ar fi posibil să construim un șir de puncte din \(K\) convergent către acel punct exterior, contrazicând compacitatea.
În consecință, orice mulțime compactă din \(\mathbb R\) trebuie să fie închisă.
Demonstrație: orice mulțime compactă din \(\mathbb R\) este închisă și mărginită
Să demonstrăm acum prima implicație a teoremei Heine-Borel:
\[ K \text{ compactă} \quad \Longrightarrow \quad K \text{ închisă și mărginită}. \]
Demonstrația se împarte în mod natural în două părți:
- mai întâi demonstrăm că \(K\) este mărginită;
- apoi demonstrăm că \(K\) este închisă.
O mulțime compactă din \(\mathbb R\) este mărginită
Să presupunem că \(K\subseteq\mathbb R\) este compactă.
Să considerăm familia de mulțimi deschise
\[ U_n=(-n,n), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 1. \]
Întrucât
\[ \bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n)=\mathbb R, \]
avem cu siguranță
\[ K\subseteq \bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n). \]
Așadar \(\{U_n\}_{n\geq 1}\) este o acoperire deschisă a lui \(K\).
Deoarece \(K\) este compactă, din această acoperire deschisă putem extrage o subacoperire finită. Există, prin urmare, indici
\[ n_1,n_2,\ldots,n_m \]
astfel încât
\[ K\subseteq (-n_1,n_1)\cup(-n_2,n_2)\cup\cdots\cup(-n_m,n_m). \]
Fie
\[ N=\max\{n_1,n_2,\ldots,n_m\}. \]
Întrucât intervalele \((-n,n)\) cresc pe măsură ce \(n\) crește, avem
\[ (-n_j,n_j)\subseteq (-N,N) \qquad \text{pentru orice } j=1,\ldots,m. \]
Prin urmare
\[ K\subseteq (-N,N). \]
Așadar orice punct \(x\in K\) satisface
\[ |x|<N. \]
Am găsit astfel o constantă \(N>0\) care mărginește toate punctele lui \(K\). Prin urmare, \(K\) este mărginită.
O mulțime compactă din \(\mathbb R\) este închisă
Să demonstrăm acum că \(K\) este închisă.
Vom folosi caracterizarea secvențială a mulțimilor închise: o mulțime \(K\subseteq\mathbb R\) este închisă dacă și numai dacă, pentru orice șir \((x_n)\subseteq K\) convergent către un număr real \(x\), avem în mod necesar \(x\in K\).
Fie, așadar, \((x_n)\) un șir de puncte din \(K\) astfel încât
\[ x_n\to x \qquad \text{cu } x\in\mathbb R. \]
Deoarece \(K\) este compactă, prin caracterizarea secvențială a compacității în \(\mathbb R\), orice șir de puncte din \(K\) admite un subșir convergent către un punct din \(K\). Există, prin urmare, un subșir \((x_{n_k})\) astfel încât
\[ x_{n_k}\to y \qquad \text{cu } y\in K. \]
Dar \((x_{n_k})\) este un subșir al șirului \((x_n)\), iar orice subșir al unui șir convergent converge către aceeași limită. Întrucât \(x_n\to x\), rezultă că
\[ x_{n_k}\to x. \]
Avem, prin urmare,
\[ x_{n_k}\to x \qquad \text{și} \qquad x_{n_k}\to y. \]
Prin unicitatea limitei în \(\mathbb R\), obținem
\[ x=y. \]
Întrucât \(y\in K\), rezultă că și \(x\in K\).
Am demonstrat că orice șir de puncte din \(K\) convergent în \(\mathbb R\) are limita în \(K\). Prin urmare, \(K\) este închisă.
Am dovedit astfel că orice mulțime compactă din \(\mathbb R\) este în același timp închisă și mărginită.
Demonstrație: orice mulțime închisă și mărginită din \(\mathbb R\) este compactă
Să demonstrăm acum a doua implicație a teoremei Heine-Borel:
\[ K \text{ închisă și mărginită} \quad \Longrightarrow \quad K \text{ compactă}. \]
Aceasta este partea cea mai profundă a teoremei. Într-adevăr, nu este suficient să știm intuitiv că o mulțime închisă și mărginită este bine controlată: trebuie să demonstrăm că orice acoperire deschisă a sa admite o subacoperire finită.
Vom proceda în doi pași:
- mai întâi vom demonstra că orice interval închis și mărginit \([a,b]\) este compact;
- apoi vom folosi acest rezultat pentru a demonstra că orice submulțime închisă și mărginită a lui \(\mathbb R\) este compactă.
Pasul 1: orice interval \([a,b]\) este compact
Fie \(a,b\in\mathbb R\), cu \(a\leq b\). Vrem să demonstrăm că intervalul
\[ [a,b] \]
este compact.
Să considerăm o acoperire deschisă oarecare a lui \([a,b]\):
\[ [a,b]\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i, \]
unde fiecare \(U_i\) este o mulțime deschisă din \(\mathbb R\).
Trebuie să demonstrăm că există \(i_1,\ldots,i_m\in I\) astfel încât
\[ [a,b]\subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}. \]
Să raționăm prin reducere la absurd. Să presupunem că există o acoperire deschisă a lui \([a,b]\) din care nu se poate extrage nicio subacoperire finită.
Să împărțim intervalul \([a,b]\) în două jumătăți:
\[ \left[a,\frac{a+b}{2}\right], \qquad \left[\frac{a+b}{2},b\right]. \]
Dacă ambele jumătăți ar admite o subacoperire finită, atunci și reuniunea lor, adică întregul \([a,b]\), ar admite o subacoperire finită. Aceasta ar contrazice ipoteza.
Așadar cel puțin una dintre cele două jumătăți nu admite o subacoperire finită. Să o notăm cu \(I_1\).
Să împărțim acum \(I_1\) în două jumătăți. Și în acest caz, cel puțin una dintre cele două jumătăți nu poate admite o subacoperire finită; altfel \(I_1\) ar fi acoperit de un număr finit de mulțimi deschise. Să notăm această jumătate cu \(I_2\).
Continuând în acest mod, construim un șir de intervale închise și mărginite
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq \cdots \]
astfel încât:
- fiecare \(I_n\) este un subinterval închis al lui \([a,b]\);
- niciun \(I_n\) nu admite o subacoperire finită prin mulțimile deschise ale acoperirii inițiale;
- lungimea lui \(I_n\) tinde către \(0\).
Mai precis, dacă \(I_n=[a_n,b_n]\), atunci
\[ b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}. \]
Conform teoremei intervalelor incluse, există cel puțin un punct
\[ x\in \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Întrucât \(x\in[a,b]\) și familia \(\{U_i\}_{i\in I}\) acoperă \([a,b]\), există un indice \(i_0\in I\) astfel încât
\[ x\in U_{i_0}. \]
Deoarece \(U_{i_0}\) este deschisă, există \(r>0\) astfel încât
\[ (x-r,x+r)\subseteq U_{i_0}. \]
Întrucât lungimea intervalelor \(I_n\) tinde către \(0\), putem alege \(N\in\mathbb N\) astfel încât
\[ b_N-a_N<r. \]
În plus \(x\in I_N\). Așadar, pentru orice \(y\in I_N\), avem
\[ |y-x|\leq b_N-a_N<r. \]
Prin urmare
\[ I_N\subseteq (x-r,x+r)\subseteq U_{i_0}. \]
Dar atunci \(I_N\) este acoperit de o singură mulțime deschisă a acoperirii inițiale, anume \(U_{i_0}\). În particular, \(I_N\) admite o subacoperire finită.
Aceasta contrazice construcția intervalelor \(I_n\), conform căreia niciun \(I_n\) nu trebuia să admită o subacoperire finită.
Contradicția provine din presupunerea că \([a,b]\) nu ar fi compact. Prin urmare, orice interval închis și mărginit \([a,b]\) este compact.
Pasul 2: orice mulțime închisă și mărginită \(K\subseteq\mathbb R\) este compactă
Fie acum \(K\subseteq\mathbb R\) o mulțime închisă și mărginită.
Întrucât \(K\) este mărginită, există \(M>0\) astfel încât
\[ K\subseteq [-M,M]. \]
Tocmai am demonstrat că intervalul \([-M,M]\) este compact.
Să considerăm acum o acoperire deschisă oarecare a lui \(K\):
\[ K\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i. \]
Vrem să demonstrăm că din această acoperire se poate extrage o subacoperire finită.
Întrucât \(K\) este închisă, complementara sa
\[ \mathbb R\setminus K \]
este deschisă.
Să adăugăm această mulțime deschisă la familia \(\{U_i\}_{i\in I}\). Obținem astfel familia
\[ \{U_i\}_{i\in I}\cup\{\mathbb R\setminus K\}. \]
Această nouă familie este o acoperire deschisă a întregului interval \([-M,M]\).
Într-adevăr, dacă \(x\in[-M,M]\), se pot ivi două cazuri:
- dacă \(x\in K\), atunci \(x\) aparține cel puțin uneia dintre mulțimile deschise \(U_i\), deoarece \(\{U_i\}_{i\in I}\) acoperă \(K\);
- dacă \(x\notin K\), atunci \(x\in\mathbb R\setminus K\).
Așadar
\[ [-M,M]\subseteq \left(\bigcup_{i\in I} U_i\right)\cup(\mathbb R\setminus K). \]
Întrucât \([-M,M]\) este compact, din această acoperire deschisă a lui \([-M,M]\) putem extrage o subacoperire finită.
Există, prin urmare, un număr finit de mulțimi deschise ale acoperirii inițiale, pe care le notăm cu
\[ U_{i_1},\ldots,U_{i_m}, \]
și eventual și mulțimea deschisă \(\mathbb R\setminus K\), astfel încât
\[ [-M,M]\subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}\cup(\mathbb R\setminus K). \]
Să ne restrângem acum atenția la punctele lui \(K\). Întrucât niciun punct al lui \(K\) nu aparține lui \(\mathbb R\setminus K\), partea \(\mathbb R\setminus K\) nu contribuie la acoperirea lui \(K\).
Prin urmare, doar mulțimile deschise
\[ U_{i_1},\ldots,U_{i_m} \]
sunt suficiente pentru a acoperi \(K\):
\[ K\subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}. \]
Am extras, prin urmare, o subacoperire finită din acoperirea deschisă inițială a lui \(K\).
Întrucât acoperirea deschisă inițială era arbitrară, \(K\) este compactă.
Am demonstrat astfel că orice mulțime închisă și mărginită din \(\mathbb R\) este compactă.
Exemple de mulțimi compacte prin Heine-Borel
Teorema Heine-Borel permite recunoașterea rapidă a numeroase mulțimi compacte din \(\mathbb R\), fără a fi nevoie să verificăm direct definiția prin acoperiri deschise.
În \(\mathbb R\), într-adevăr, este suficient să verificăm două proprietăți:
- mulțimea trebuie să fie închisă;
- mulțimea trebuie să fie mărginită.
Intervale închise și mărginite
Orice interval de forma
\[ [a,b], \qquad a,b\in\mathbb R,\ a\leq b, \]
este compact.
Într-adevăr, \([a,b]\) este închis, deoarece își conține propriile capete, și mărginit, deoarece orice punct \(x\) al său satisface
\[ a\leq x\leq b. \]
Așadar, conform teoremei Heine-Borel, \([a,b]\) este compact.
Mulțimi finite
Orice mulțime finită de numere reale este compactă.
De exemplu, să considerăm
\[ A=\{-2,0,3,7\}. \]
Mulțimea \(A\) este închisă, deoarece toate punctele sale sunt izolate și nu posedă puncte de acumulare exterioare. În plus, este mărginită, deoarece toate elementele sale aparțin, de exemplu, intervalului \([-2,7]\).
Prin urmare, conform teoremei Heine-Borel, \(A\) este compactă.
O mulțime infinită cu un punct de acumulare inclus
Să considerăm mulțimea
\[ K=\{0\}\cup\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Această mulțime este mărginită, deoarece
\[ K\subseteq [0,1]. \]
În plus, este închisă: singurul punct de acumulare al șirului \(\displaystyle \frac{1}{n}\) este \(0\), iar \(0\) aparține lui \(K\).
Prin urmare, \(K\) este închisă și mărginită. Conform teoremei Heine-Borel, \(K\) este compactă.
Reuniune finită de intervale închise și mărginite
Și mulțimi precum
\[ A=[-2,-1]\cup[0,3]\cup[5,6] \]
sunt compacte.
Într-adevăr, \(A\) este mărginită, deoarece este conținută în intervalul \([-2,6]\). În plus, este închisă, fiind o reuniune finită de mulțimi închise.
Prin urmare, conform teoremei Heine-Borel, \(A\) este compactă.
Exemple de mulțimi necompacte prin Heine-Borel
Teorema Heine-Borel permite, de asemenea, recunoașterea rapidă a momentului în care o mulțime de numere reale nu este compactă.
În \(\mathbb R\), o mulțime nu este compactă dacă îi lipsește cel puțin una dintre cele două proprietăți cerute de teoremă: caracterul închis sau mărginirea.
Intervale deschise mărginite
Intervalul
\[ (0,1) \]
nu este compact.
Într-adevăr, este mărginit, dar nu este închis. Punctele \(0\) și \(1\) sunt puncte de acumulare ale lui \((0,1)\), însă nu aparțin intervalului.
Întrucât \((0,1)\) nu este închis, conform teoremei Heine-Borel nu este compact.
Intervale semideschise
Nici intervalul
\[ [0,1) \]
nu este compact.
Este mărginit, dar nu este închis, deoarece \(1\) este un punct de acumulare al mulțimii și \(1\notin[0,1)\).
Prin urmare, \([0,1)\) nu este compact.
Mulțimi închise, dar nemărginite
Semidreapta
\[ [0,+\infty) \]
nu este compactă.
Într-adevăr, este închisă, dar nu este mărginită: punctele sale se pot îndepărta nelimitat către \(+\infty\).
Conform teoremei Heine-Borel, o submulțime a lui \(\mathbb R\) este compactă dacă și numai dacă este închisă și mărginită. Întrucât \([0,+\infty)\) nu este mărginită, nu este compactă.
O mulțime mărginită, dar nu închisă
Să considerăm mulțimea
\[ A=\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Mulțimea \(A\) este mărginită, deoarece
\[ A\subseteq (0,1]. \]
Cu toate acestea, nu este închisă, deoarece șirul
\[ \frac{1}{n} \]
converge către \(0\), însă \(0\notin A\).
Prin urmare, \(A\) nu este închisă. Conform teoremei Heine-Borel, \(A\) nu este compactă.
Heine-Borel și șiruri
Teorema Heine-Borel este strâns legată de caracterizarea secvențială a compacității.
În \(\mathbb R\), a spune că o mulțime \(K\) este compactă echivalează totodată cu a spune că orice șir de puncte din \(K\) admite un subșir convergent către un punct din \(K\).
Teorema Heine-Borel explică de ce această proprietate este echivalentă cu caracterul închis și cu mărginirea.
Rolul mărginirii
Mărginirea împiedică șirurile să fugă la infinit.
De exemplu, în mulțimea
\[ [0,+\infty) \]
șirul
\[ x_n=n \]
este conținut în întregime în mulțime, însă nu admite niciun subșir convergent în \(\mathbb R\). Într-adevăr, orice subșir al său tinde către \(+\infty\).
Aceasta arată de ce mărginirea este necesară pentru compacitate.
Rolul caracterului închis
Caracterul închis împiedică șirurile să conveargă către puncte exterioare mulțimii.
De exemplu, în intervalul
\[ (0,1) \]
șirul
\[ x_n=\frac{1}{n} \]
este conținut în \((0,1)\) pentru orice \(n\geq 2\), însă converge către \(0\), care nu aparține intervalului.
Aceasta arată de ce caracterul închis este necesar pentru compacitate.
Caracterul închis și mărginirea împreună
Dacă o mulțime \(K\subseteq\mathbb R\) este mărginită, atunci orice șir de puncte din \(K\) este mărginit. Conform teoremei Bolzano-Weierstrass, el admite un subșir convergent în \(\mathbb R\).
Dacă, în plus, \(K\) este închisă, limita acestui subșir aparține în continuare lui \(K\).
Prin urmare, orice șir de puncte din \(K\) admite un subșir convergent către un punct din \(K\).
Acesta este conținutul secvențial al compacității și reprezintă o altă formă a teoremei Heine-Borel pe dreapta reală.
Recapitulare finală
Teorema Heine-Borel afirmă că o submulțime \(K\subseteq\mathbb R\) este compactă dacă și numai dacă este închisă și mărginită.
În simboluri:
\[ K\subseteq\mathbb R \text{ este compactă} \quad \Longleftrightarrow \quad K \text{ este închisă și mărginită}. \]
Compacitatea se definește prin acoperiri deschise: orice acoperire deschisă a lui \(K\) trebuie să admită o subacoperire finită.
Teorema Heine-Borel face concretă această definiție în cazul dreptei reale. În loc să examinăm direct toate acoperirile deschise, este suficient să verificăm două proprietăți:
- \(K\) este închisă, deci își conține toate punctele de acumulare;
- \(K\) este mărginită, deci punctele sale nu pot fugi la infinit.
Mărginirea împiedică fuga la infinit, în timp ce caracterul închis garantează că mulțimea conține toate punctele sale de acumulare.
Din acest motiv, în \(\mathbb R\), mulțimile compacte sunt exact mulțimile închise și mărginite.
Teorema Heine-Borel este, așadar, rezultatul care leagă în mod definitiv definiția abstractă a compacității, bazată pe acoperiri deschise, de o caracterizare simplă și concretă pe dreapta reală: aceea de a fi închisă și mărginită.
Această caracterizare stă la baza multor rezultate ulterioare ale analizei, printre care teorema lui Weierstrass, caracterizarea secvențială a compacității și studiul funcțiilor continue definite pe mulțimi compacte.