Exercițiile următoare au scopul de a consolida noțiunea de mulțime compactă în \(\mathbb R\). Vom folosi mai ales teorema Heine–Borel, conform căreia o submulțime a lui \(\mathbb R\) este compactă dacă și numai dacă este închisă și mărginită.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=[2,5] \]
este compactă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A=[2,5]\) este compactă.
Rezolvare
În \(\mathbb R\), conform teoremei Heine–Borel, o mulțime este compactă dacă și numai dacă este închisă și mărginită.
Intervalul \([2,5]\) este închis, deoarece conține ambele sale capete \(2\) și \(5\).
În plus, este mărginit, deoarece toate elementele sale satisfac
\[ 2\le x\le 5. \]
Așadar, \(A\) este închisă și mărginită. Prin urmare, conform teoremei Heine–Borel, \(A\) este compactă.
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=(2,5) \]
este compactă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A=(2,5)\) nu este compactă.
Rezolvare
Intervalul \((2,5)\) este mărginit, deoarece toate elementele sale sunt cuprinse între \(2\) și \(5\).
Totuși, nu este închis, deoarece nu conține punctele sale de acumulare \(2\) și \(5\). Într-adevăr, există șiruri de puncte din \(A\) care converg către \(2\) sau către \(5\), de exemplu
\[ x_n=2+\frac1n. \]
Pentru orice \(n\) suficient de mare avem \(x_n\in(2,5)\), dar
\[ x_n\to 2, \]
și \(2\notin A\).
Prin urmare, \(A\) nu este închisă. Deoarece în \(\mathbb R\) o mulțime compactă trebuie să fie închisă și mărginită, \(A\) nu este compactă.
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=[0,+\infty) \]
este compactă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A=[0,+\infty)\) nu este compactă.
Rezolvare
Mulțimea \(A=[0,+\infty)\) este închisă în \(\mathbb R\), deoarece conține punctul său de frontieră \(0\), iar complementara sa
\[ \mathbb R\setminus A=(-\infty,0) \]
este deschisă.
Totuși, \(A\) nu este mărginită superior. Într-adevăr, pentru orice \(M>0\), numărul
\[ M+1 \]
aparține lui \(A\) și este mai mare decât \(M\).
Prin urmare, \(A\) nu este mărginită. Conform teoremei Heine–Borel, nefiind mărginită, nu poate fi compactă.
Exercițiul 4 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
este compactă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A=\{1,2,3,4\}\) este compactă.
Rezolvare
Orice mulțime finită de numere reale este închisă și mărginită.
Mulțimea \(A\) este mărginită, deoarece toate elementele sale sunt cuprinse între \(1\) și \(4\):
\[ 1\le x\le 4 \quad \text{pentru orice } x\in A. \]
În plus, \(A\) este închisă, deoarece este o mulțime finită și toate punctele sale sunt izolate.
Așadar, \(A\) este închisă și mărginită. Conform teoremei Heine–Borel, \(A\) este compactă.
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge 1\right\} \]
este compactă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A\) nu este compactă.
Rezolvare
Mulțimea \(A\) este mărginită, deoarece
\[ 0<\frac1n\le 1 \]
pentru orice \(n\ge 1\). Prin urmare,
\[ A\subseteq (0,1]. \]
Totuși, \(A\) nu este închisă. Într-adevăr, șirul
\[ x_n=\frac1n \]
este format din puncte ale lui \(A\), dar converge către \(0\):
\[ \frac1n\to 0. \]
Punctul \(0\) este deci un punct de acumulare al lui \(A\), dar
\[ 0\notin A. \]
De aceea, \(A\) nu este închisă. Fiind mărginită, dar nu închisă, nu este compactă.
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=\left\{0\right\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge 1\right\} \]
este compactă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A\) este compactă.
Rezolvare
Mulțimea \(A\) este mărginită, deoarece
\[ 0\le x\le 1 \]
pentru orice \(x\in A\). Prin urmare, \(A\subseteq[0,1]\).
Să verificăm acum că \(A\) este închisă. Punctele de forma \(\displaystyle \frac1n\) sunt izolate, în timp ce singurul punct de acumulare al mulțimii este \(0\).
Într-adevăr,
\[ \frac1n\to 0. \]
Spre deosebire de exercițiul precedent, de această dată \(0\) aparține mulțimii \(A\).
Așadar, \(A\) conține toate punctele sale de acumulare și este închisă.
Deoarece \(A\) este închisă și mărginită, conform teoremei Heine–Borel este compactă.
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=[-1,1]\setminus\{0\} \]
este compactă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A\) nu este compactă.
Rezolvare
Mulțimea \(A\) este mărginită, deoarece este conținută în \([-1,1]\).
Totuși, \(A\) nu este închisă. Într-adevăr, \(0\) este un punct de acumulare al lui \(A\): orice vecinătate a lui \(0\) conține puncte ale lui \(A\) diferite de \(0\), de exemplu numere de forma
\[ \pm\frac1n \]
pentru \(n\) suficient de mare.
În plus,
\[ \frac1n\in A \quad \text{și} \quad \frac1n\to 0. \]
Dar \(0\notin A\), deoarece a fost eliminat din intervalul \([-1,1]\).
Prin urmare, \(A\) nu conține toate punctele sale de acumulare, deci nu este închisă.
Fiind mărginită, dar nu închisă, \(A\) nu este compactă.
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=\left[-2,3\right]\cup\{7\} \]
este compactă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A\) este compactă.
Rezolvare
Intervalul \([-2,3]\) este închis și mărginit, deci este compact.
De asemenea, mulțimea cu un singur element \(\{7\}\) este închisă și mărginită, deci este compactă.
Reuniunea finită de mulțimi închise este închisă. Prin urmare,
\[ A=[-2,3]\cup\{7\} \]
este închisă.
În plus, \(A\) este mărginită, deoarece toate elementele sale sunt cuprinse între \(-2\) și \(7\):
\[ -2\le x\le 7 \quad \text{pentru orice } x\in A. \]
Așadar, \(A\) este închisă și mărginită. Conform teoremei Heine–Borel, \(A\) este compactă.
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}\left[\frac1n,1\right] \]
este compactă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A\) nu este compactă.
Rezolvare
Observăm mai întâi că
\[ \left[\frac1n,1\right]\subseteq(0,1] \]
pentru orice \(n\ge 1\). În plus, dat fiind un \(x\in(0,1]\) oarecare, putem alege \(n\) suficient de mare astfel încât
\[ \frac1n\le x. \]
Atunci
\[ x\in\left[\frac1n,1\right]. \]
Prin urmare,
\[ A=(0,1]. \]
Mulțimea \((0,1]\) este mărginită, dar nu este închisă, deoarece \(0\) este un punct de acumulare și nu aparține mulțimii.
Într-adevăr,
\[ \frac1n\in A \quad \text{și} \quad \frac1n\to 0, \]
dar \(0\notin A\).
Așadar, \(A\) nu este închisă și deci nu este compactă.
Exercițiul 10 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=\bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-1,\frac1n\right] \]
este compactă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A=[-1,0]\) este compactă.
Rezolvare
Trebuie mai întâi să determinăm mulțimea \(A\).
Un număr \(x\) aparține lui \(A\) dacă și numai dacă aparține tuturor intervalelor
\[ \left[-1,\frac1n\right]. \]
Aceasta înseamnă că
\[ -1\le x\le \frac1n \]
pentru orice \(n\ge 1\).
Dacă \(x\le 0\) și \(x\ge -1\), atunci cu siguranță
\[ x\le \frac1n \]
pentru orice \(n\ge 1\). Prin urmare, \([-1,0]\subseteq A\).
Reciproc, dacă \(x>0\), alegând \(n\) suficient de mare avem
\[ \frac1n<x. \]
Atunci \(x\notin\left[-1,\displaystyle\frac1n\right]\), deci \(x\notin A\).
Prin urmare,
\[ A=[-1,0]. \]
Intervalul \([-1,0]\) este închis și mărginit. Așadar, conform teoremei Heine–Borel, este compact.
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Să se demonstreze că mulțimea
\[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\ge 1\right\}\cup\{1\} \]
este compactă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A\) este compactă.
Rezolvare
Scriem termenul general sub forma
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac1{n+1}. \]
Din această expresie rezultă că
\[ 0<\frac{n}{n+1}<1 \]
pentru orice \(n\ge 1\), și în plus
\[ \frac{n}{n+1}\to 1. \]
Mulțimea \(A\) este mărginită, deoarece toate elementele sale aparțin intervalului \([0,1]\).
În plus, singurul punct de acumulare al șirului
\[ \frac{n}{n+1} \]
este \(1\), iar acest punct aparține lui \(A\).
Punctele
\[ \frac{n}{n+1} \]
sunt izolate, în timp ce \(1\) este inclus în mulțime.
Așadar, \(A\) conține toate punctele sale de acumulare și este închisă.
Fiind închisă și mărginită, \(A\) este compactă conform teoremei Heine–Borel.
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=\left\{x\in\mathbb R: x^2<4\right\} \]
este compactă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A\) nu este compactă.
Rezolvare
Rezolvăm mai întâi inecuația
\[ x^2<4. \]
Aceasta este echivalentă cu
\[ -2<x<2. \]
Prin urmare,
\[ A=(-2,2). \]
Mulțimea \(A\) este mărginită, deoarece este conținută în \([-2,2]\).
Totuși, nu este închisă, deoarece nu conține punctele \(-2\) și \(2\), care sunt puncte de acumulare ale mulțimii.
De exemplu, șirul
\[ x_n=2-\frac1n \]
aparține lui \(A\) pentru orice \(n\ge 1\) suficient de mare și converge către \(2\), dar \(2\notin A\).
Prin urmare, \(A\) nu este închisă. Conform teoremei Heine–Borel, \(A\) nu este compactă.
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=\left\{x\in\mathbb R: x^2\le 4\right\} \]
este compactă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A\) este compactă.
Rezolvare
Rezolvăm inecuația
\[ x^2\le 4. \]
Aceasta este echivalentă cu
\[ -2\le x\le 2. \]
Așadar,
\[ A=[-2,2]. \]
Intervalul \([-2,2]\) este închis, deoarece conține capetele sale, și mărginit, deoarece fiecare element \(x\) al său satisface
\[ -2\le x\le 2. \]
Conform teoremei Heine–Borel, \(A\) este compactă.
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Fie
\[ A=\left\{x\in\mathbb R: |x-3|\le 2\right\}. \]
Să se stabilească dacă \(A\) este compactă.
Rezultat
Mulțimea \(A=[1,5]\) este compactă.
Rezolvare
Inecuația
\[ |x-3|\le 2 \]
înseamnă că distanța de la \(x\) la \(3\) este cel mult \(2\). În mod echivalent,
\[ -2\le x-3\le 2. \]
Adunând \(3\) la cei trei membri, obținem
\[ 1\le x\le 5. \]
Prin urmare,
\[ A=[1,5]. \]
Intervalul \([1,5]\) este închis și mărginit. Conform teoremei Heine–Borel, \(A\) este compactă.
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
Să se demonstreze că intersecția a două mulțimi compacte \(K_1,K_2\subseteq\mathbb R\) este compactă.
Rezultat
Mulțimea \(K_1\cap K_2\) este compactă.
Rezolvare
Deoarece \(K_1\) și \(K_2\) sunt compacte în \(\mathbb R\), conform teoremei Heine–Borel sunt închise și mărginite.
Intersecția a două mulțimi închise este închisă. Așadar,
\[ K_1\cap K_2 \]
este închisă.
În plus, \(K_1\cap K_2\subseteq K_1\). Deoarece \(K_1\) este mărginită, orice submulțime a sa este mărginită. Prin urmare, \(K_1\cap K_2\) este mărginită.
Am demonstrat că \(K_1\cap K_2\) este închisă și mărginită.
Prin urmare, conform teoremei Heine–Borel, \(K_1\cap K_2\) este compactă.
Exercițiul 16 — nivel ★★★☆☆
Să se demonstreze că reuniunea a două mulțimi compacte \(K_1,K_2\subseteq\mathbb R\) este compactă.
Rezultat
Mulțimea \(K_1\cup K_2\) este compactă.
Rezolvare
Deoarece \(K_1\) și \(K_2\) sunt compacte în \(\mathbb R\), sunt închise și mărginite.
Reuniunea finită de mulțimi închise este închisă. Prin urmare,
\[ K_1\cup K_2 \]
este închisă.
Deoarece \(K_1\) este mărginită, există \(M_1>0\) astfel încât
\[ |x|\le M_1 \quad \text{pentru orice } x\in K_1. \]
Deoarece \(K_2\) este mărginită, există \(M_2>0\) astfel încât
\[ |x|\le M_2 \quad \text{pentru orice } x\in K_2. \]
Punem
\[ M=\max\{M_1,M_2\}. \]
Atunci, pentru orice \(x\in K_1\cup K_2\), avem
\[ |x|\le M. \]
Prin urmare, \(K_1\cup K_2\) este mărginită.
Fiind închisă și mărginită, \(K_1\cup K_2\) este compactă.
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Să se demonstreze că mulțimea
\[ K=\left\{x\in[0,2]: x\neq 1\right\} \]
nu este compactă.
Rezultat
Mulțimea \(K=[0,2]\setminus\{1\}\) nu este compactă.
Rezolvare
Mulțimea \(K\) este mărginită, deoarece este conținută în \([0,2]\).
Totuși, nu este închisă. Într-adevăr, \(1\) este un punct de acumulare al lui \(K\), dar nu aparține lui \(K\).
Pentru a vedea aceasta în mod explicit, considerăm șirul
\[ x_n=1+\frac1n. \]
Pentru orice \(n\ge 1\) avem \(x_n\neq 1\), iar pentru \(n\) suficient de mare avem \(x_n\in[0,2]\). Prin urmare, \(x_n\in K\).
În plus,
\[ x_n\to 1. \]
Dar \(1\notin K\). Așadar, \(K\) nu este închisă.
Deoarece în \(\mathbb R\) orice mulțime compactă trebuie să fie închisă și mărginită, \(K\) nu este compactă.
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Să se demonstreze, folosind acoperiri deschise, că mulțimea
\[ A=(0,1) \]
nu este compactă.
Rezultat
Intervalul \((0,1)\) nu este compact.
Rezolvare
Considerăm familia de mulțimi deschise
\[ \mathcal U=\left\{\left(\frac1n,1\right):n\in\mathbb N,\ n\ge 2\right\}. \]
Această familie acoperă \((0,1)\). Într-adevăr, dat \(x\in(0,1)\), putem alege \(n\) suficient de mare astfel încât
\[ \frac1n<x. \]
Atunci
\[ x\in\left(\frac1n,1\right). \]
Prin urmare,
\[ (0,1)\subseteq\bigcup_{n=2}^{+\infty}\left(\frac1n,1\right). \]
Să presupunem acum că alegem un număr finit dintre aceste mulțimi deschise:
\[ \left(\frac1{n_1},1\right),\ldots,\left(\frac1{n_k},1\right). \]
Fie
\[ N=\max\{n_1,\ldots,n_k\}. \]
Dintre aceste intervale, cel care începe cel mai la stânga este
\[ \left(\frac1N,1\right). \]
Reuniunea finită aleasă este, prin urmare, conținută în
\[ \left(\frac1N,1\right). \]
Dar punctul
\[ x=\frac1{N+1} \]
aparține lui \((0,1)\) și satisface
\[ \frac1{N+1}<\frac1N. \]
Așadar, \(x\) nu aparține reuniunii finite alese.
Am găsit o acoperire deschisă a lui \((0,1)\) care nu admite nicio subacoperire finită. Prin definiție, \((0,1)\) nu este compactă.
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
Să se demonstreze, folosind șiruri, că mulțimea
\[ A=(0,1] \]
nu este compactă.
Rezultat
Mulțimea \((0,1]\) nu este compactă.
Rezolvare
În \(\mathbb R\), orice șir conținut într-o mulțime compactă admite un subșir convergent către un punct al mulțimii.
Considerăm șirul
\[ x_n=\frac1n. \]
Pentru orice \(n\ge 1\) avem
\[ x_n\in(0,1]. \]
În plus,
\[ x_n\to 0. \]
Orice subșir al lui \((x_n)\) converge tot către \(0\). Într-adevăr, dacă \((x_{n_k})\) este un subșir, atunci
\[ x_{n_k}=\frac1{n_k}\to 0. \]
Dar
\[ 0\notin(0,1]. \]
Prin urmare, șirul \((x_n)\), deși este în întregime conținut în \((0,1]\), nu posedă niciun subșir convergent către un punct din \((0,1]\).
Așadar, \((0,1]\) nu este compactă.
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Fie \(K\subseteq\mathbb R\) o mulțime compactă și fie \(f:K\to\mathbb R\) o funcție continuă. Să se demonstreze că \(f(K)\) este compactă.
Rezultat
Imaginea continuă a unei mulțimi compacte este compactă.
Rezolvare
Vrem să demonstrăm că
\[ f(K)=\{f(x):x\in K\} \]
este compactă.
Folosim criteriul secvențial de compactitate în \(\mathbb R\). Fie deci \((y_n)\) un șir de puncte din \(f(K)\). Prin definiția imaginii, pentru orice \(n\) există \(x_n\in K\) astfel încât
\[ y_n=f(x_n). \]
Deoarece \(K\) este compactă, din șirul \((x_n)\) putem extrage un subșir \((x_{n_k})\) convergent către un punct \(x_0\in K\):
\[ x_{n_k}\to x_0. \]
Deoarece \(f\) este continuă în \(x_0\), trecând la limită obținem
\[ f(x_{n_k})\to f(x_0). \]
Dar
\[ f(x_{n_k})=y_{n_k}. \]
Prin urmare, șirul \((y_n)\) admite un subșir \((y_{n_k})\) convergent către punctul
\[ f(x_0)\in f(K). \]
Am demonstrat că orice șir din \(f(K)\) admite un subșir convergent către un punct din \(f(K)\). Așadar, \(f(K)\) este compactă.