Funcțiile pare și funcțiile impare se caracterizează prin proprietăți de simetrie bine determinate. O funcție pară ia aceeași valoare în două puncte opuse \(x\) și \(-x\), în timp ce o funcție impară ia valori opuse.
Din punct de vedere geometric, graficul unei funcții pare este simetric față de axa ordonatelor, în timp ce graficul unei funcții impare este simetric față de origine. Aceste simetrii permit simplificarea studiului graficului și sunt deosebit de utile și în calculul integralelor pe intervale simetrice.
Înainte de a defini formal funcțiile pare și impare, este însă necesar să clarificăm o condiție fundamentală: domeniul funcției trebuie să fie simetric față de origine. Într-adevăr, pentru a compara \(f(x)\) cu \(f(-x)\), ambele valori trebuie să fie definite.
Cuprins
- Domeniu simetric față de origine
- Funcții pare
- Semnificația geometrică a funcțiilor pare
- Funcții impare
- Semnificația geometrică a funcțiilor impare
- Funcții nici pare, nici impare
- Funcții simultan pare și impare
- Suma funcțiilor pare și impare
- Produsul funcțiilor pare și impare
- Integrale ale funcțiilor pare și impare pe intervale simetrice
- Descompunerea în parte pară și parte impară
- Unicitatea descompunerii
Domeniu simetric față de origine
Pentru a vorbi corect despre o funcție pară sau despre o funcție impară, domeniul trebuie să aibă o proprietate prealabilă: trebuie să fie simetric față de origine.
Spunem că o mulțime \(X\subseteq\mathbb R\) este simetrică față de origine dacă, pentru orice element \(x\in X\), și opusul său \(-x\) aparține lui \(X\). În simboluri:
\[ x\in X \implies -x\in X. \]
Această condiție înseamnă că domeniul conține întotdeauna perechile de puncte opuse \(x\) și \(-x\).
De exemplu, mulțimile
\[ \mathbb R, \qquad [-a,a], \qquad (-a,a), \qquad \mathbb R\setminus\{0\} \]
sunt simetrice față de origine.
În schimb, mulțimile
\[ [0,+\infty), \qquad (0,+\infty), \qquad [1,3] \]
nu sunt simetrice față de origine. De exemplu, \(1\in[0,+\infty)\), dar \(-1\notin[0,+\infty)\).
Simetria domeniului este esențială deoarece, pentru a stabili dacă o funcție este pară sau impară, trebuie să comparăm valorile \(f(x)\) și \(f(-x)\). Dacă \(x\) aparține domeniului, dar \(-x\) nu aparține domeniului, atunci \(f(-x)\) nu este definit, iar comparația nu are sens.
Prin urmare, o funcție poate fi pară sau impară numai dacă domeniul său este simetric față de origine.
Funcții pare
Fie \(f:X\to\mathbb R\) o funcție definită pe un domeniu \(X\subseteq\mathbb R\) simetric față de origine. Spunem că funcția \(f\) este pară dacă, pentru orice \(x\in X\), are loc
\[ f(-x)=f(x). \]
Cu alte cuvinte, o funcție este pară dacă ia aceeași valoare în două puncte opuse ale domeniului. Condiția trebuie să fie îndeplinită pentru orice element al domeniului.
Definiția cuprinde, așadar, două aspecte distincte:
- domeniul trebuie să fie simetric față de origine;
- funcția trebuie să ia aceeași valoare în \(x\) și în \(-x\).
Dacă una dintre aceste două condiții nu este îndeplinită, funcția nu este pară.
Considerăm funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Domeniul este \(\mathbb R\), deci este simetric față de origine. În plus, pentru orice \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x). \]
Așadar, funcția \(f(x)=x^2\) este pară.
Și funcția cosinus este pară. Într-adevăr, pentru orice \(x\in\mathbb R\) are loc identitatea trigonometrică
\[ \cos(-x)=\cos x. \]
Prin urmare, funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\cos x \]
este o funcție pară.
Un alt exemplu este funcția cosinus hiperbolic. Amintind că
\[ \cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}, \]
obținem
\[ \operatorname{ch}(-x)=\frac{e^{-x}+e^x}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh(x). \]
Prin urmare, \(f(x)=\cosh(x)\) este pară.
Considerăm, în sfârșit, funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^{-x^2}. \]
Pentru orice \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=e^{-(-x)^2}=e^{-x^2}=f(x). \]
Așadar, și \(f(x)=e^{-x^2}\) este o funcție pară.
Semnificația geometrică a funcțiilor pare
Graficul unei funcții pare este simetric față de axa ordonatelor.
Într-adevăr, dacă \(f\) este pară, atunci pentru orice \(x\) din domeniu
\[ f(-x)=f(x). \]
Aceasta înseamnă că punctele graficului corespunzătoare lui \(x\) și lui \(-x\) au aceeași ordonată:
\[ (x,f(x)) \qquad \text{și} \qquad (-x,f(-x))=(-x,f(x)). \]
Cele două puncte sunt simetrice față de axa \(y\). În consecință, întregul grafic al funcției este simetric față de axa ordonatelor.
Această proprietate este utilă în studiul graficului: dacă o funcție este pară, este suficient să o studiem pentru \(x\ge 0\). Partea graficului corespunzătoare lui \(x<0\) se obține apoi prin simetrie față de axa ordonatelor.
Funcții impare
Fie \(f:X\to\mathbb R\) o funcție definită pe un domeniu \(X\subseteq\mathbb R\) simetric față de origine. Spunem că funcția \(f\) este impară dacă, pentru orice \(x\in X\), are loc
\[ f(-x)=-f(x). \]
Cu alte cuvinte, o funcție este impară dacă ia valori opuse în două puncte opuse ale domeniului. Și în acest caz condiția trebuie să fie îndeplinită pentru orice element al domeniului.
Definiția cere, așadar, două aspecte distincte:
- domeniul trebuie să fie simetric față de origine;
- funcția trebuie să ia valori opuse în \(x\) și în \(-x\).
Dacă una dintre aceste două condiții nu este îndeplinită, funcția nu este impară.
Considerăm funcția sinus:
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\sin x. \]
Domeniul este \(\mathbb R\), deci este simetric față de origine. În plus, pentru orice \(x\in\mathbb R\) are loc identitatea trigonometrică
\[ \sin(-x)=-\sin x. \]
Așadar, funcția \(f(x)=\sin x\) este impară.
Un alt exemplu fundamental este funcția cubică:
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3. \]
Pentru orice \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x). \]
Așadar, funcția \(f(x)=x^3\) este impară.
Sunt impare și multe alte funcții elementare, de exemplu
\[ f(x)=x,\qquad f(x)=x^5,\qquad f(x)=\operatorname{tg} x \]
pe domeniile lor respective. În toate cazurile, verificarea constă întotdeauna în calcularea lui \(f(-x)\) și verificarea egalității cu \(-f(x)\).
Semnificația geometrică a funcțiilor impare
Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.
Într-adevăr, dacă \(f\) este impară, atunci pentru orice \(x\) din domeniu
\[ f(-x)=-f(x). \]
Așadar, dacă punctul
\[ (x,f(x)) \]
aparține graficului funcției, atunci graficul conține și punctul
\[ (-x,f(-x))=(-x,-f(x)). \]
Punctele \((x,f(x))\) și \((-x,-f(x))\) sunt simetrice față de origine. În consecință, întregul grafic al funcției este simetric față de origine.
În mod echivalent, rotind graficul unei funcții impare cu \(180^\circ\) în jurul originii, se obține din nou același grafic.
Această proprietate este utilă în studiul graficului: dacă o funcție este impară, este suficient să o studiem pentru \(x\ge 0\). Partea graficului corespunzătoare lui \(x<0\) se obține apoi prin simetrie față de origine.
Funcții nici pare, nici impare
O funcție poate să nu fie nici pară, nici impară. Acest lucru se poate întâmpla din două motive diferite.
Primul motiv privește domeniul: dacă domeniul nu este simetric față de origine, funcția nu poate fi clasificată ca pară sau impară conform definițiilor date. Într-adevăr, s-ar putea întâmpla ca \(x\) să aparțină domeniului, dar \(-x\) să nu îi aparțină, astfel încât valoarea \(f(-x)\) să nu fie definită.
De exemplu, funcția
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
nu este considerată pară ca funcție definită pe \([0,+\infty)\), deoarece domeniul ei nu este simetric față de origine.
Al doilea motiv privește, în schimb, legea funcției. Chiar și atunci când domeniul este simetric față de origine, se poate întâmpla ca nici
\[ f(-x)=f(x) \]
nici
\[ f(-x)=-f(x) \]
să nu aibă loc. În acest caz, funcția nu este nici pară, nici impară.
Considerăm, de exemplu, funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
Domeniul este \(\mathbb R\), deci este simetric față de origine. Totuși, pentru orice \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=e^{-x}. \]
În general, \(e^{-x}\ne e^x\), deci funcția nu este pară. În plus, în general \(e^{-x}\ne -e^x\), deci funcția nu este impară.
Prin urmare, \(f(x)=e^x\) nu este nici pară, nici impară.
Și funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+1 \]
nu este nici pară, nici impară. Într-adevăr,
\[ f(-x)=-x+1. \]
În general, \(-x+1\ne x+1\), deci funcția nu este pară; în plus, \(-x+1\ne -(x+1)\), deci funcția nu este impară.
Funcții simultan pare și impare
O funcție reală definită pe un domeniu simetric față de origine poate fi simultan pară și impară numai într-un caz particular: când este identic nulă pe domeniul său.
Fie \(f:X\to\mathbb R\) o funcție definită pe un domeniu \(X\subseteq\mathbb R\) simetric față de origine. Dacă \(f\) este simultan pară și impară, atunci, pentru orice \(x\in X\), au loc simultan cele două relații
\[ f(-x)=f(x) \]
și
\[ f(-x)=-f(x). \]
Comparând cele două egalități, obținem
\[ f(x)=-f(x). \]
Deci
\[ 2f(x)=0, \]
și, prin urmare,
\[ f(x)=0. \]
Deoarece acest lucru are loc pentru orice \(x\in X\), funcția este identic nulă:
\[ f\equiv 0. \]
Reciproc, funcția nulă este simultan pară și impară. Într-adevăr, dacă \(f(x)=0\) pentru orice \(x\in X\), atunci
\[ f(-x)=0=f(x) \]
și, de asemenea,
\[ f(-x)=0=-0=-f(x). \]
Așadar, pe un domeniu simetric față de origine, singurele funcții reale simultan pare și impare sunt funcțiile identic nule.
Suma funcțiilor pare și impare
Caracterul par sau impar al unei funcții se comportă simplu în raport cu suma de funcții.
Fie \(f\) și \(g\) două funcții reale definite pe domenii simetrice \(D_f\) și, respectiv, \(D_g\). Suma \(f+g\) este definită pe domeniul comun
\[ D=D_f\cap D_g. \]
Deoarece \(D_f\) și \(D_g\) sunt simetrice față de origine, și \(D\) este simetric față de origine.
Dacă \(f\) și \(g\) sunt ambele pare, atunci, pentru orice \(x\in D\),
\[ (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x). \]
Așadar, suma a două funcții pare este tot o funcție pară.
Dacă, în schimb, \(f\) și \(g\) sunt ambele impare, atunci, pentru orice \(x\in D\),
\[ (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x)). \]
Deoarece
\[ -(f(x)+g(x))=-(f+g)(x), \]
obținem
\[ (f+g)(-x)=-(f+g)(x). \]
Așadar, suma a două funcții impare este tot o funcție impară.
Suma dintre o funcție pară și o funcție impară, în schimb, nu este în general nici pară, nici impară. De exemplu,
\[ f(x)=x^2+x \]
este suma dintre funcția pară \(x^2\) și funcția impară \(x\), dar nu este nici pară, nici impară.
Produsul funcțiilor pare și impare
Și produsul funcțiilor pare și impare urmează reguli precise.
Fie \(f\) și \(g\) două funcții reale definite pe domenii simetrice \(D_f\) și \(D_g\). Produsul \(fg\) este definit pe domeniul comun
\[ D=D_f\cap D_g. \]
Dacă \(f\) și \(g\) sunt ambele pare, atunci, pentru orice \(x\in D\),
\[ (fg)(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=(fg)(x). \]
Așadar, produsul a două funcții pare este par.
Dacă \(f\) și \(g\) sunt ambele impare, atunci
\[ (fg)(-x)=f(-x)g(-x)=(-f(x))(-g(x))=f(x)g(x)=(fg)(x). \]
Așadar, produsul a două funcții impare este par.
În sfârșit, dacă \(f\) este pară și \(g\) este impară, atunci
\[ (fg)(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)(-g(x))=-f(x)g(x)=-(fg)(x). \]
Așadar, produsul dintre o funcție pară și o funcție impară este impar.
Pe scurt:
\[ \text{pară}\cdot\text{pară}=\text{pară}, \qquad \text{impară}\cdot\text{impară}=\text{pară}, \qquad \text{pară}\cdot\text{impară}=\text{impară}. \]
Integrale ale funcțiilor pare și impare pe intervale simetrice
Funcțiile pare și impare sunt deosebit de utile în calculul integralelor definite pe intervale simetrice față de origine.
Fie \(a>0\) și fie \(f\) o funcție integrabilă pe \([-a,a]\).
Dacă \(f\) este pară, atunci
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx. \]
Într-adevăr, putem scrie
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=\int_{-a}^{0} f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx. \]
În prima integrală facem substituția \(x=-t\). Când \(x=-a\), atunci \(t=a\); când \(x=0\), atunci \(t=0\). În plus, \(dx=-dt\). Deci
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_a^0 f(-t)(-dt) = \int_0^a f(-t)\,dt. \]
Deoarece \(f\) este pară, \(f(-t)=f(t)\). Prin urmare,
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=\int_0^a f(t)\,dt. \]
Adunând cele două contribuții, obținem
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_0^a f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx. \]
Dacă, în schimb, \(f\) este impară, atunci
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0. \]
Într-adevăr, procedând ca mai înainte,
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=\int_0^a f(-t)\,dt. \]
Deoarece \(f\) este impară, \(f(-t)=-f(t)\). Deci
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=-\int_0^a f(t)\,dt. \]
În consecință,
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = -\int_0^a f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx=0. \]
Geometric, în cazul unei funcții impare, ariile orientate de pe cele două jumătăți ale intervalului se compensează. În cazul unei funcții pare, în schimb, cele două contribuții sunt egale.
Descompunerea în parte pară și parte impară
Orice funcție reală definită pe un domeniu simetric față de origine poate fi scrisă ca sumă dintre o funcție pară și o funcție impară.
Fie, așadar,
\[ f:X\to\mathbb R \]
o funcție definită pe o mulțime \(X\subseteq\mathbb R\) simetrică față de origine.
Definim funcția
\[ f_p:X\to\mathbb R,\qquad f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
Această funcție se numește partea pară a lui \(f\).
Definim, de asemenea,
\[ f_i:X\to\mathbb R,\qquad f_i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Această funcție se numește partea impară a lui \(f\).
Să verificăm că \(f_p\) este pară. Pentru orice \(x\in X\), folosind definiția lui \(f_p\), obținem
\[ f_p(-x)=\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)+f(x)}{2} = f_p(x). \]
Deci \(f_p\) este pară.
Să verificăm acum că \(f_i\) este impară. Pentru orice \(x\in X\),
\[ f_i(-x)=\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)-f(x)}{2} = -\frac{f(x)-f(-x)}{2} = -f_i(x). \]
Deci \(f_i\) este impară.
În sfârșit, adunând \(f_p(x)\) și \(f_i(x)\), obținem
\[ f_p(x)+f_i(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2} = f(x). \]
Prin urmare,
\[ f=f_p+f_i. \]
Așadar, orice funcție reală definită pe un domeniu simetric poate fi descompusă în suma dintre partea sa pară și partea sa impară:
\[ f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Exemplu. Considerăm funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
Partea pară a lui \(f\) este
\[ f_p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh(x). \]
Partea impară a lui \(f\) este
\[ f_i(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh(x). \]
În consecință,
\[ e^x=\cosh(x)+\sinh(x). \]
Unicitatea descompunerii
Descompunerea unei funcții în suma dintre o funcție pară și o funcție impară este unică.
Fie \(f:X\to\mathbb R\) o funcție definită pe un domeniu \(X\subseteq\mathbb R\) simetric față de origine. Să presupunem că \(f\) se poate scrie în două moduri ca sumă dintre o funcție pară și o funcție impară:
\[ f=u+v=\tilde u+\tilde v, \]
unde \(u\) și \(\tilde u\) sunt funcții pare, în timp ce \(v\) și \(\tilde v\) sunt funcții impare.
Din egalitatea
\[ u+v=\tilde u+\tilde v \]
obținem
\[ u-\tilde u=\tilde v-v. \]
Notăm cu
\[ h=u-\tilde u=\tilde v-v. \]
Deoarece \(u\) și \(\tilde u\) sunt pare, diferența \(u-\tilde u\) este pară. Deci \(h\) este pară.
Deoarece \(\tilde v\) și \(v\) sunt impare, diferența \(\tilde v-v\) este impară. Deci \(h\) este impară.
Așadar, funcția \(h\) este simultan pară și impară. Prin urmare, pentru orice \(x\in X\),
\[ h(-x)=h(x) \]
și
\[ h(-x)=-h(x). \]
Comparând cele două egalități, se obține
\[ h(x)=-h(x). \]
Deci
\[ 2h(x)=0, \]
și, prin urmare,
\[ h(x)=0 \]
pentru orice \(x\in X\). Așadar, \(h\) este funcția identic nulă.
Din
\[ h=u-\tilde u \]
rezultă că
\[ u=\tilde u. \]
Din
\[ h=\tilde v-v \]
rezultă că
\[ v=\tilde v. \]
Cele două descompuneri coincid. Așadar, descompunerea lui \(f\) ca sumă dintre o funcție pară și o funcție impară este unică.