Funcțiile injective, funcțiile surjective și funcțiile bijective ocupă un loc central în studiul funcțiilor.
Aceste trei noțiuni descriu modul în care o funcție leagă domeniul de codomeniu: unele funcții disting perfect elementele domeniului, altele ating întreg codomeniul, iar altele realizează o corespondență biunivocă între cele două mulțimi.
Distincția dintre injectivitate, surjectivitate și bijectivitate este fundamentală pentru a înțelege imaginea unei funcții, funcția inversă, precum și rolul domeniului și al codomeniului în însăși definiția noțiunii de funcție.
Într-adevăr, una și aceeași lege poate avea proprietăți diferite în funcție de mulțimile pe care este considerată. De aceea, atunci când studiem funcții injective, surjective și bijective, este întotdeauna necesar să considerăm funcția în forma sa completă:
\[ f:A\to B. \]
Cuprins
- Funcții injective, surjective și bijective: semnificație intuitivă
- Definiția funcției injective
- Definiția funcției surjective
- Definiția funcției bijective
- Diferența dintre funcția injectivă, surjectivă și bijectivă
- Cum verificăm dacă o funcție este injectivă
- Cum verificăm dacă o funcție este surjectivă
- Funcții bijective și funcția inversă
- Exemple de funcții injective, surjective și bijective
- Greșeli frecvente de evitat
Funcții injective, surjective și bijective: semnificație intuitivă
Pentru a înțelege semnificația noțiunilor de funcție injectivă, surjectivă și bijectivă, considerăm o funcție
\[ f:A\to B. \]
Domeniul \(A\) este mulțimea elementelor cărora funcția li se poate aplica; codomeniul \(B\) este mulțimea de sosire a funcției, adică mulțimea căreia trebuie să îi aparțină valorile sale. Fiecărui element \(x\in A\) funcția îi asociază unul și numai un element \(f(x)\in B\).
Proprietățile de injectivitate, surjectivitate și bijectivitate descriu modul în care funcția leagă domeniul de codomeniu.
O funcție este injectivă atunci când nu duce niciodată două elemente distincte ale domeniului în același element al codomeniului. Cu alte cuvinte, elemente diferite din \(A\) trebuie să aibă imagini diferite în \(B\).
O funcție este surjectivă atunci când fiecare element al codomeniului este efectiv atins. Cu alte cuvinte, nu există elemente din \(B\) care să rămână în afara imaginii funcției.
O funcție este bijectivă atunci când este deopotrivă injectivă și surjectivă. În acest caz, fiecare element al codomeniului este atins de unul și numai un element al domeniului: se stabilește astfel o corespondență perfectă între \(A\) și \(B\).
În formă intuitivă, o funcție injectivă nu suprapune elemente distincte ale domeniului; o funcție surjectivă acoperă întreg codomeniul; o funcție bijectivă realizează simultan ambele lucruri.
De exemplu, considerăm funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Această funcție nu este injectivă, deoarece două numere reale distincte pot avea aceeași imagine. Într-adevăr,
\[ -1\ne 1, \]
dar
\[ f(-1)=(-1)^2=1 \]
și
\[ f(1)=1^2=1. \]
Așadar \(f(-1)=f(1)\), deși \(-1\ne 1\). Prin urmare, funcția nu este injectivă.
Aceeași funcție nu este nici surjectivă de la \(\mathbb R\) la \(\mathbb R\). Într-adevăr, imaginea lui \(f\) este
\[ f(\mathbb R)=[0,+\infty), \]
în timp ce codomeniul declarat este \(\mathbb R\). Numerele reale negative aparțin deci codomeniului, dar nu sunt niciodată atinse de funcție.
Să considerăm acum funcția
\[ g:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2. \]
Expresia \( g(x) \) este aceeași, dar funcția este diferită, deoarece s-au schimbat domeniul și codomeniul.
Pe domeniul \([0,+\infty)\), funcția \(g\) este injectivă: două numere reale nenegative distincte au pătrate distincte. În plus, \(g\) este surjectivă pe \([0,+\infty)\), deoarece orice număr \(y\ge 0\) se poate scrie ca pătrat al unui număr real nenegativ.
Într-adevăr, dacă \(y\in[0,+\infty)\), alegând
\[ x=\sqrt y, \]
avem \(x\in[0,+\infty)\) și
\[ g(x)=g(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]
Prin urmare, \(g\) este bijectivă.
Acest exemplu pune în evidență un punct fundamental: injectivitatea, surjectivitatea și bijectivitatea nu depind doar de lege, ci și de domeniul și codomeniul cu care este definită funcția.
Definiția funcției injective
Fie \(A\) și \(B\) două mulțimi nevide și fie
\[ f:A\to B \]
o funcție. A spune că \(f\) este injectivă înseamnă a spune că elemente distincte ale domeniului au imagini distincte.
Simbolic, \(f\) este injectivă dacă
\[ x_1\ne x_2 \quad \Longrightarrow \quad f(x_1)\ne f(x_2) \]
pentru orice \(x_1,x_2\in A\).
Această formulare exprimă în mod direct ideea intuitivă: o funcție injectivă nu duce niciodată două elemente diferite ale domeniului în același element al codomeniului.
Există însă o formă echivalentă, adesea mai comodă în demonstrații. Funcția \(f\) este injectivă dacă și numai dacă
\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2 \]
pentru orice \(x_1,x_2\in A\).
Această a doua formă afirmă că, dacă două elemente ale domeniului au aceeași imagine, atunci acele elemente coincid în mod necesar.
Cele două condiții sunt echivalente: prima spune că elemente diferite au imagini diferite; a doua spune că imagini egale pot proveni numai din același element al domeniului.
De exemplu, considerăm funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1. \]
Arătăm că \(f\) este injectivă. Fie \(x_1,x_2\in\mathbb R\) și presupunem că
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Atunci
\[ 2x_1+1=2x_2+1. \]
Scăzând \(1\) din ambii membri, obținem
\[ 2x_1=2x_2. \]
Împărțind la \(2\), rezultă că
\[ x_1=x_2. \]
Am demonstrat astfel că
\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
Prin urmare, funcția \(f\) este injectivă.
Să considerăm în schimb funcția
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]
Această funcție nu este injectivă. Într-adevăr, există două elemente distincte ale domeniului care au aceeași imagine:
\[ -1\ne 1, \]
dar
\[ g(-1)=(-1)^2=1 \]
și
\[ g(1)=1^2=1. \]
Așadar
\[ g(-1)=g(1), \]
deși \(-1\ne 1\). În consecință, \(g\) nu este injectivă.
Definiția funcției surjective
Fie \(A\) și \(B\) două mulțimi nevide și fie
\[ f:A\to B \]
o funcție. A spune că \(f\) este surjectivă înseamnă a spune că fiecare element al codomeniului este imaginea a cel puțin unui element al domeniului.
Simbolic, \(f\) este surjectivă dacă
\[ \forall y\in B,\quad \exists x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]
Această condiție afirmă că niciun element al codomeniului nu este exclus dintre valorile luate de funcție.
Reamintim, într-adevăr, că imaginea lui \(f\) este mulțimea
\[ f(A)=\{\,y\in B\mid \exists x\in A \text{ astfel încât } f(x)=y\,\}. \]
Prin urmare, o funcție este surjectivă dacă și numai dacă imaginea sa coincide cu codomeniul:
\[ f(A)=B. \]
Cu alte cuvinte, o funcție surjectivă atinge toate elementele codomeniului.
De exemplu, considerăm funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+1. \]
Arătăm că \(f\) este surjectivă. Fie \(y\in\mathbb R\). Vrem să găsim cel puțin un \(x\in\mathbb R\) astfel încât
\[ f(x)=y. \]
Deoarece \(f(x)=x+1\), trebuie să rezolvăm ecuația
\[ x+1=y. \]
De unde
\[ x=y-1. \]
Cum \(y\in\mathbb R\), avem și \(y-1\in\mathbb R\). Așadar, alegând \(x=y-1\), obținem
\[ f(x)=f(y-1)=(y-1)+1=y. \]
Am arătat astfel că pentru orice \(y\in\mathbb R\) există cel puțin un \(x\in\mathbb R\) astfel încât \(f(x)=y\). Prin urmare, \(f\) este surjectivă.
Să considerăm în schimb funcția
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]
Această funcție nu este surjectivă. Într-adevăr, codomeniul este \(\mathbb R\), dar funcția ia numai valori nenegative:
\[ g(x)=x^2\ge 0 \]
pentru orice \(x\in\mathbb R\).
În consecință, niciun număr real negativ nu aparține imaginii lui \(g\). De exemplu, nu există niciun \(x\in\mathbb R\) astfel încât
\[ x^2=-1. \]
Așadar \(-1\in\mathbb R\) aparține codomeniului, dar nu aparține imaginii funcției. Prin urmare, \(g\) nu este surjectivă.
Dacă însă schimbăm codomeniul și considerăm
\[ h:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2, \]
atunci funcția \(h\) este surjectivă. Într-adevăr, pentru orice \(y\in[0,+\infty)\), alegând
\[ x=\sqrt y, \]
avem \(x\in\mathbb R\) și
\[ h(x)=h(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]
Astfel, fiecare element al codomeniului \([0,+\infty)\) este atins de funcție.
Aceasta arată că surjectivitatea depinde în mod esențial de codomeniul ales. Una și aceeași lege poate defini o funcție surjectivă sau o funcție care nu este surjectivă, în funcție de codomeniul declarat.
Definiția funcției bijective
Fie \(A\) și \(B\) două mulțimi nevide și fie
\[ f:A\to B \]
o funcție. A spune că \(f\) este bijectivă înseamnă a spune că \(f\) este în același timp injectivă și surjectivă.
Cu alte cuvinte, o funcție este bijectivă atunci când fiecare element al codomeniului este imaginea unui singur element al domeniului.
Simbolic, \(f\) este bijectivă dacă
\[ \forall y\in B,\quad \exists! x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]
Simbolul \(\exists!\) înseamnă „există unul și numai unul”. Așadar, condiția precedentă afirmă că, pentru fiecare element \(y\) al codomeniului, există exact un element \(x\) al domeniului astfel încât \(f(x)=y\).
Această definiție reunește cele două proprietăți fundamentale.
- Surjectivitatea garantează existența: fiecare \(y\in B\) este atins de cel puțin un element al domeniului.
- Injectivitatea garantează unicitatea: niciun \(y\in B\) nu poate fi atins de două elemente distincte ale domeniului.
O funcție bijectivă stabilește, prin urmare, o corespondență perfectă între domeniu și codomeniu: fiecărui element al domeniului îi corespunde un element al codomeniului, iar fiecare element al codomeniului provine dintr-unul și numai un element al domeniului.
De exemplu, considerăm funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1. \]
Arătăm că \(f\) este bijectivă.
Pentru a verifica injectivitatea, fie \(x_1,x_2\in\mathbb R\) și presupunem că
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Atunci
\[ 2x_1+1=2x_2+1. \]
Scăzând \(1\) din ambii membri și împărțind la \(2\), obținem
\[ x_1=x_2. \]
Așadar \(f\) este injectivă.
Pentru a verifica surjectivitatea, fie \(y\in\mathbb R\). Căutăm un \(x\in\mathbb R\) astfel încât
\[ f(x)=y. \]
Rezolvăm așadar ecuația
\[ 2x+1=y. \]
Se obține
\[ x=\frac{y-1}{2}. \]
Cum \(y\in\mathbb R\), avem și \(\displaystyle \frac{y-1}{2}\in\mathbb R\). Alegând deci
\[ x=\frac{y-1}{2}, \]
avem
\[ f(x)=2\cdot\frac{y-1}{2}+1=y. \]
Așadar \(f\) este surjectivă.
Deoarece \(f\) este în același timp injectivă și surjectivă, conchidem că \(f\) este bijectivă.
Să considerăm în schimb funcția
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]
Această funcție nu este bijectivă. Într-adevăr, ea nu este injectivă, deoarece \(g(-1)=g(1)\) deși \(-1\ne 1\), și nu este surjectivă, deoarece niciun număr real negativ nu aparține imaginii sale.
Dacă în schimb considerăm
\[ h:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2, \]
atunci \(h\) este bijectivă. Într-adevăr, pe \([0,+\infty)\) funcția \(x^2\) este injectivă, iar orice număr real nenegativ \(y\) este imaginea lui \(x=\sqrt y\).
Și în acest caz se vede că bijectivitatea nu depinde doar de legea funcției, ci de modul complet în care este definită funcția, adică de domeniu, de codomeniu și de legea de asociere.
Diferența dintre funcția injectivă, surjectivă și bijectivă
Noțiunile de funcție injectivă, surjectivă și bijectivă descriu proprietăți diferite ale modului în care o funcție leagă domeniul de codomeniu.
Considerăm o funcție
\[ f:A\to B. \]
A spune că \(f\) este injectivă înseamnă a ne concentra asupra elementelor domeniului: elemente distincte din \(A\) trebuie să aibă imagini distincte în \(B\).
A spune că \(f\) este surjectivă înseamnă, dimpotrivă, a ne concentra asupra elementelor codomeniului: fiecare element din \(B\) trebuie să fie atins de cel puțin un element din \(A\).
A spune că \(f\) este bijectivă înseamnă a cere ambele condiții: fiecare element al codomeniului trebuie să fie atins, și trebuie să fie atins o singură dată.
Simbolic:
\[ \text{\(f\) injectivă} \quad \Longleftrightarrow \quad f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 \]
pentru orice \(x_1,x_2\in A\).
În plus:
\[ \text{\(f\) surjectivă} \quad \Longleftrightarrow \quad f(A)=B. \]
În sfârșit:
\[ \text{\(f\) bijectivă} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{\(f\) este injectivă și surjectivă.} \]
Aceste trei proprietăți sunt independente în sensul următor: o funcție poate fi injectivă fără a fi surjectivă, poate fi surjectivă fără a fi injectivă, poate fi ambele lucruri sau niciunul dintre ele.
De exemplu, funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x \]
este injectivă, deoarece funcția exponențială este strict crescătoare pe \(\mathbb R\). Totuși, ea nu este surjectivă pe \(\mathbb R\), deoarece
\[ e^x>0 \]
pentru orice \(x\in\mathbb R\). Așadar, numerele reale mai mici sau egale cu zero aparțin codomeniului, dar nu aparțin imaginii.
Prin urmare, \(f\) este injectivă, dar nu surjectivă.
Să considerăm în schimb funcția
\[ g:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2. \]
Această funcție este surjectivă, deoarece orice număr real nenegativ \(y\) este pătratul a cel puțin unui număr real. Într-adevăr, dacă \(y\ge 0\), alegând \(x=\sqrt y\), obținem
\[ g(x)=y. \]
Totuși, \(g\) nu este injectivă, deoarece
\[ g(-1)=g(1)=1, \]
deși \(-1\ne 1\).
Prin urmare, \(g\) este surjectivă, dar nu injectivă.
Funcția
\[ h:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad h(x)=2x+1 \]
este, în schimb, bijectivă. Într-adevăr, ea este injectivă, deoarece valori distincte ale lui \(x\) produc valori distincte ale lui \(2x+1\), și este surjectivă, deoarece orice \(y\in\mathbb R\) se obține alegând
\[ x=\frac{y-1}{2}. \]
În sfârșit, funcția
\[ p:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad p(x)=x^2 \]
nu este nici injectivă, nici surjectivă. Nu este injectivă, deoarece valori opuse au același pătrat; nu este surjectivă, deoarece nu ia valori negative.
| Proprietate | Se referă la | Condiție |
|---|---|---|
| Injectivitate | Domeniu | \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\) |
| Surjectivitate | Codomeniu | \(f(A)=B\) |
| Bijectivitate | Domeniu și codomeniu | Injectivitate și surjectivitate |
Aceste exemple arată că injectivitatea și surjectivitatea răspund unor întrebări diferite. Injectivitatea privește unicitatea provenienței valorilor; surjectivitatea privește faptul că toate elementele codomeniului sunt efectiv atinse.
Cum verificăm dacă o funcție este injectivă
A verifica dacă o funcție este injectivă înseamnă a stabili dacă elemente distincte ale domeniului au întotdeauna imagini distincte.
Considerăm o funcție
\[ f:A\to B. \]
Pentru a demonstra că \(f\) este injectivă, metoda cea mai folosită constă în a porni de la egalitatea a două imagini și a arăta că elementele de plecare trebuie să coincidă.
Se iau așadar două elemente arbitrare \(x_1,x_2\in A\) și se presupune că
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Dacă din această egalitate se reușește să se deducă faptul că
\[ x_1=x_2, \]
atunci funcția este injectivă.
În formă sintetică, raționamentul este următorul:
\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
Dacă această implicație este valabilă pentru orice \(x_1,x_2\in A\), atunci \(f\) este injectivă.
De exemplu, considerăm funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x-2. \]
Fie \(x_1,x_2\in\mathbb R\) și presupunem că
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Atunci
\[ 3x_1-2=3x_2-2. \]
Adunând \(2\) la ambii membri, obținem
\[ 3x_1=3x_2. \]
Împărțind la \(3\), rezultă că
\[ x_1=x_2. \]
Așadar
\[ f(x_1)=f(x_2)\quad \Longrightarrow\quad x_1=x_2. \]
Prin urmare, \(f\) este injectivă.
Pentru a arăta, dimpotrivă, că o funcție nu este injectivă, este suficient să găsim un contraexemplu: două elemente distincte ale domeniului care au aceeași imagine.
Simbolic, trebuie să găsim \(x_1,x_2\in A\) astfel încât
\[ x_1\ne x_2 \]
dar
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
De exemplu, considerăm funcția
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2+1. \]
Funcția nu este injectivă, deoarece
\[ -1\ne 1, \]
dar
\[ g(-1)=(-1)^2+1=2 \]
și
\[ g(1)=1^2+1=2. \]
Așadar \(g(-1)=g(1)\), deși \(-1\ne 1\). Acest lucru este suficient pentru a conchide că \(g\) nu este injectivă.
În anumite cazuri, injectivitatea se poate verifica și folosind monotonia. Dacă o funcție reală de variabilă reală este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe întreg domeniul său, atunci ea este injectivă.
Într-adevăr, dacă \(x_1<x_2\) și \(f\) este strict crescătoare, atunci
\[ f(x_1)<f(x_2), \]
deci două elemente distincte ale domeniului nu pot avea aceeași imagine. Un raționament analog este valabil pentru funcțiile strict descrescătoare.
De exemplu, funcția
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h(x)=x^2 \]
este injectivă, deoarece este strict crescătoare pe domeniul \([0,+\infty)\).
Trebuie însă să fim atenți: o funcție crescătoare, dar nu strict crescătoare, nu este neapărat injectivă. Injectivitatea cere ca elemente distincte să aibă întotdeauna imagini distincte.
Din punct de vedere grafic, o funcție reală de variabilă reală este injectivă atunci când orice dreaptă orizontală intersectează graficul în cel mult un punct. Acest criteriu se numește adesea testul dreptei orizontale.
Dacă o dreaptă orizontală întâlnește graficul în două puncte distincte, atunci există două elemente diferite ale domeniului cu aceeași imagine, și deci funcția nu este injectivă. Criteriul este util pentru a interpreta geometric injectivitatea, dar, în demonstrații, este preferabil să se folosească definiția simbolică.
Cum verificăm dacă o funcție este surjectivă
A verifica dacă o funcție este surjectivă înseamnă a stabili dacă fiecare element al codomeniului este efectiv atins de funcție.
Considerăm o funcție
\[ f:A\to B. \]
Pentru a demonstra că \(f\) este surjectivă, trebuie să luăm un element arbitrar \(y\in B\) și să arătăm că există cel puțin un element \(x\in A\) astfel încât
\[ f(x)=y. \]
În formă sintetică, raționamentul este următorul:
\[ \forall y\in B,\quad \exists x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]
Dacă această condiție este satisfăcută, atunci fiecare element al codomeniului aparține imaginii funcției. În consecință,
\[ f(A)=B, \]
și deci \(f\) este surjectivă.
În practică, pentru a verifica surjectivitatea, se pornește de la ecuația
\[ f(x)=y \]
și se încearcă rezolvarea ei în raport cu \(x\). Dacă, pentru orice \(y\in B\), se reușește să se găsească cel puțin o soluție \(x\in A\), atunci funcția este surjectivă.
Pentru funcțiile reale de variabilă reală, a verifica surjectivitatea înseamnă adesea a determina imaginea funcției. În funcție de caz, poate fi necesar să se studieze monotonia, să se calculeze limite, să se determine maxime și minime sau să se rezolve direct ecuația \(f(x)=y\).
Întrebarea fundamentală este întotdeauna aceeași: imaginea funcției coincide cu codomeniul declarat?
De exemplu, considerăm funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x-3. \]
Fie \(y\in\mathbb R\). Vrem să găsim un număr real \(x\) astfel încât
\[ f(x)=y. \]
Deoarece \(f(x)=2x-3\), trebuie să rezolvăm ecuația
\[ 2x-3=y. \]
De unde
\[ 2x=y+3 \]
și deci
\[ x=\frac{y+3}{2}. \]
Cum \(y\in\mathbb R\), avem și \(\displaystyle \frac{y+3}{2}\in\mathbb R\). Alegând deci
\[ x=\frac{y+3}{2}, \]
obținem
\[ f(x)=2\cdot\frac{y+3}{2}-3=y+3-3=y. \]
Am arătat astfel că orice \(y\in\mathbb R\) este imaginea a cel puțin unui \(x\in\mathbb R\). Prin urmare, \(f\) este surjectivă.
Pentru a arăta, dimpotrivă, că o funcție nu este surjectivă, este suficient să găsim cel puțin un element al codomeniului care nu este atins.
Simbolic, trebuie să găsim un element \(y\in B\) astfel încât ecuația
\[ f(x)=y \]
să nu aibă soluții \(x\in A\).
De exemplu, considerăm funcția
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2+1. \]
Această funcție nu este surjectivă. Într-adevăr, codomeniul este \(\mathbb R\), dar pentru orice \(x\in\mathbb R\) avem
\[ x^2\ge 0, \]
deci
\[ x^2+1\ge 1. \]
În consecință, funcția nu ia nicio valoare mai mică decât \(1\). De exemplu, \(0\in\mathbb R\) aparține codomeniului, dar nu există niciun \(x\in\mathbb R\) astfel încât
\[ x^2+1=0. \]
Prin urmare, \(g\) nu este surjectivă.
Aceeași lege poate însă deveni surjectivă dacă se alege un codomeniu diferit. Considerăm, într-adevăr,
\[ h:\mathbb R\to[1,+\infty),\qquad h(x)=x^2+1. \]
Arătăm că \(h\) este surjectivă. Fie \(y\in[1,+\infty)\). Atunci \(y\ge 1\), deci
\[ y-1\ge 0. \]
Putem așadar alege
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Avem \(x\in\mathbb R\) și
\[ h(x)=h(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
Astfel, fiecare element al codomeniului \([1,+\infty)\) este atins de funcție. Prin urmare, \(h\) este surjectivă.
Acest exemplu confirmă că surjectivitatea nu este o proprietate doar a legii, ci a funcției în ansamblul ei. Pentru a stabili dacă o funcție este surjectivă, trebuie întotdeauna să considerăm împreună domeniul, codomeniul și legea de asociere.
Funcții bijective și funcția inversă
Funcțiile bijective sunt deosebit de importante, deoarece permit definirea unei funcții inverse.
Considerăm o funcție
\[ f:A\to B. \]
A spune că \(f\) este bijectivă înseamnă a spune că fiecare element \(y\in B\) este imaginea unuia și numai unui element \(x\in A\). Simbolic:
\[ \forall y\in B,\quad \exists! x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]
Această proprietate permite inversarea sensului corespondenței. Într-adevăr, dacă fiecare \(y\in B\) provine dintr-unul și numai un \(x\in A\), atunci putem asocia fiecărui element \(y\in B\) acel unic element \(x\in A\) astfel încât \(f(x)=y\).
Se definește astfel o nouă funcție
\[ f^{-1}:B\to A, \]
numită funcția inversă a lui \(f\).
Prin definiție, funcția inversă asociază fiecărui \(y\in B\) unicul element \(x\in A\) astfel încât
\[ f(x)=y. \]
Simbolic:
\[ f^{-1}(y)=x \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=y. \]
Bijectivitatea este esențială pentru a putea defini inversa pe întreg codomeniul \(B\).
- Surjectivitatea garantează că fiecare \(y\in B\) are cel puțin o preimagine în \(A\).
- Injectivitatea garantează că această preimagine este unică.
Fără surjectivitate, ar exista elemente ale codomeniului neatinse de funcție, și deci inversa nu ar putea fi definită pe întreg \(B\). Fără injectivitate, ar exista elemente ale codomeniului atinse de mai multe elemente ale domeniului, și deci inversa nu ar fi o funcție.
De exemplu, considerăm funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1. \]
Această funcție este bijectivă. Pentru a-i găsi inversa, punem
\[ y=2x+1 \]
și rezolvăm în raport cu \(x\). Se obține
\[ y-1=2x \]
și deci
\[ x=\frac{y-1}{2}. \]
Prin urmare,
\[ f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}. \]
Notând din nou variabila independentă cu \(x\), se scrie de obicei
\[ f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}. \]
În acest caz, funcția inversă este
\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}. \]
Să verificăm acum semnificația inversei prin compunere. Pentru orice \(x\in\mathbb R\),
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x+1)=\frac{(2x+1)-1}{2}=x. \]
În plus, pentru orice \(x\in\mathbb R\),
\[ f(f^{-1}(x))=f\left(\frac{x-1}{2}\right)=2\cdot\frac{x-1}{2}+1=x. \]
Așadar, compunerea unei funcții bijective cu inversa sa redă elementul de plecare.
Să considerăm în schimb funcția
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]
Această funcție nu admite inversă de la \(\mathbb R\) la \(\mathbb R\), deoarece nu este bijectivă. Într-adevăr, ea nu este injectivă, deoarece
\[ g(-1)=g(1), \]
deși \(-1\ne 1\). În plus, ea nu este surjectivă pe \(\mathbb R\), deoarece nu ia valori negative.
Dacă însă restrângem domeniul și codomeniul și considerăm
\[ h:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2, \]
atunci \(h\) este bijectivă și admite funcție inversă. Pentru orice \(y\in[0,+\infty)\), unicul \(x\in[0,+\infty)\) astfel încât
\[ x^2=y \]
este
\[ x=\sqrt y. \]
Așadar
\[ h^{-1}:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad h^{-1}(x)=\sqrt x. \]
Acest exemplu arată încă o dată că existența funcției inverse nu depinde doar de lege, ci de funcția considerată în totalitatea ei: domeniu, codomeniu și lege de asociere.
Exemple de funcții injective, surjective și bijective
Să vedem câteva exemple în care proprietățile de injectivitate, surjectivitate și bijectivitate sunt determinate explicit. În fiecare caz este important să considerăm nu doar legea funcției, ci și domeniul și codomeniul cu care este definită.
Exemplul 1. Considerăm funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+3. \]
Arătăm că \(f\) este bijectivă.
Pentru a verifica injectivitatea, fie \(x_1,x_2\in\mathbb R\) și presupunem că
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Atunci
\[ x_1+3=x_2+3. \]
Scăzând \(3\) din ambii membri, obținem
\[ x_1=x_2. \]
Așadar \(f\) este injectivă.
Pentru a verifica surjectivitatea, fie \(y\in\mathbb R\). Căutăm \(x\in\mathbb R\) astfel încât
\[ f(x)=y. \]
Trebuie deci să rezolvăm
\[ x+3=y, \]
de unde
\[ x=y-3. \]
Cum \(y\in\mathbb R\), avem și \(y-3\in\mathbb R\). Alegând \(x=y-3\), obținem
\[ f(x)=f(y-3)=(y-3)+3=y. \]
Așadar \(f\) este surjectivă.
Deoarece \(f\) este deopotrivă injectivă și surjectivă, \(f\) este bijectivă.
Exemplul 2. Considerăm funcția
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]
Funcția \(g\) nu este injectivă, deoarece două elemente distincte ale domeniului pot avea aceeași imagine. Într-adevăr,
\[ -1\ne 1, \]
dar
\[ g(-1)=(-1)^2=1 \]
și
\[ g(1)=1^2=1. \]
Așadar \(g(-1)=g(1)\), deși \(-1\ne 1\). Prin urmare, funcția nu este injectivă.
În plus, \(g\) nu este surjectivă de la \(\mathbb R\) la \(\mathbb R\). Într-adevăr, pentru orice \(x\in\mathbb R\) avem
\[ x^2\ge 0. \]
Așadar, funcția nu ia valori negative. De exemplu, nu există niciun \(x\in\mathbb R\) astfel încât
\[ x^2=-1. \]
Prin urmare, \(g\) nu este surjectivă.
Conchidem că \(g\) nu este nici injectivă, nici surjectivă; deci nu este bijectivă.
Exemplul 3. Considerăm funcția
\[ h:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2. \]
Față de exemplul precedent, legea și domeniul sunt aceleași, dar codomeniul s-a schimbat.
Funcția \(h\) nu este injectivă, deoarece
\[ h(-1)=h(1)=1, \]
deși \(-1\ne 1\).
Totuși, \(h\) este surjectivă. Într-adevăr, fie \(y\in[0,+\infty)\). Atunci \(y\ge 0\), deci putem alege
\[ x=\sqrt y. \]
Avem \(x\in\mathbb R\) și
\[ h(x)=h(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]
Astfel, fiecare element al codomeniului \([0,+\infty)\) este atins de funcție.
Așadar \(h\) este surjectivă, dar nu injectivă. În consecință, nu este bijectivă.
Aceeași lege devine însă injectivă dacă se restrânge domeniul la \([0,+\infty)\), deoarece pe acest interval funcția \(x^2\) este strict crescătoare.
Exemplul 4. Considerăm funcția
\[ p:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad p(x)=x^3. \]
Arătăm că \(p\) este bijectivă.
Pentru a verifica injectivitatea, fie \(x_1,x_2\in\mathbb R\) și presupunem că
\[ p(x_1)=p(x_2). \]
Atunci
\[ x_1^3=x_2^3. \]
Deoarece funcția cubică este strict crescătoare pe \(\mathbb R\), din \(x_1^3=x_2^3\) rezultă în mod necesar
\[ x_1=x_2. \]
Așadar \(p\) este injectivă.
Pentru a verifica surjectivitatea, fie \(y\in\mathbb R\). Alegând
\[ x=\sqrt[3]{y}, \]
avem \(x\in\mathbb R\) și
\[ p(x)=p(\sqrt[3]{y})=(\sqrt[3]{y})^3=y. \]
Așadar \(p\) este surjectivă.
Deoarece \(p\) este deopotrivă injectivă și surjectivă, \(p\) este bijectivă.
Exemplul 5. Considerăm mulțimile finite
\[ A=\{1,2,3\},\qquad B=\{a,b,c\} \]
și funcția \(q:A\to B\) definită prin
\[ q(1)=a,\qquad q(2)=b,\qquad q(3)=c. \]
Funcția \(q\) este injectivă, deoarece elemente distincte din \(A\) au imagini distincte în \(B\).
În plus, \(q\) este surjectivă, deoarece fiecare element al codomeniului \(B\) este atins:
\[ a=q(1),\qquad b=q(2),\qquad c=q(3). \]
Așadar \(q\) este bijectivă.
Acest exemplu ilustrează în mod simplu ideea de corespondență unu la unu: fiecărui element al domeniului îi corespunde un element diferit al codomeniului, iar fiecare element al codomeniului este atins exact o dată.
Exemplul 6. Considerăm funcția
\[ r:\mathbb R\to(0,+\infty),\qquad r(x)=e^x. \]
Funcția \(r\) este injectivă, deoarece funcția exponențială este strict crescătoare pe \(\mathbb R\).
În plus, \(r\) este surjectivă pe codomeniul \((0,+\infty)\). Într-adevăr, dacă \(y\in(0,+\infty)\), atunci \(y>0\) și putem alege
\[ x=\ln y. \]
Avem \(x\in\mathbb R\) și
\[ r(x)=r(\ln y)=e^{\ln y}=y. \]
Așadar \(r\) este bijectivă.
Funcția sa inversă este
\[ r^{-1}:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad r^{-1}(x)=\ln x. \]
Și în acest caz, alegerea codomeniului este esențială: dacă exponențiala ar fi declarată ca funcție de la \(\mathbb R\) la \(\mathbb R\), nu ar fi surjectivă.
Greșeli frecvente de evitat
Să recapitulăm câteva greșeli frecvente în studiul funcțiilor injective, surjective și bijective.
- Confundarea injectivității cu surjectivitatea. Injectivitatea privește faptul că elemente distincte ale domeniului au imagini distincte; surjectivitatea privește, dimpotrivă, faptul că fiecare element al codomeniului este atins.
- A crede că legea determină de una singură aceste proprietăți. Aceeași lege poate defini funcții cu proprietăți diferite dacă se schimbă domeniul sau codomeniul.
- A stabili surjectivitatea fără a privi codomeniul. O funcție este surjectivă dacă imaginea sa coincide cu codomeniul declarat, nu pur și simplu dacă ia „multe” valori.
- A stabili injectivitatea privind doar câteva valori. Pentru a demonstra că o funcție este injectivă trebuie verificată proprietatea pentru toate elementele domeniului; pentru a demonstra că nu este injectivă este suficient, în schimb, un singur contraexemplu.
- A crede că o funcție bijectivă este inversabilă doar „la nivel de formulă sau de lege”. O funcție este bijectivă atunci când fiecare element al codomeniului este atins de un singur element al domeniului. Numai în acest caz există o funcție inversă definită pe întreg codomeniul.
De exemplu, o funcție poate avea o lege simplă și aparent binecunoscută, dar își poate schimba complet comportamentul dacă se schimbă domeniul sau codomeniul. De aceea nu trebuie niciodată stabilite injectivitatea, surjectivitatea sau bijectivitatea privind doar expresia funcției.
Injectivitatea, surjectivitatea și bijectivitatea trebuie studiate pe funcția completă, adică ținând cont de domeniu, de codomeniu și de legea de corespondență.
În concluzie, o funcție injectivă nu duce elemente distincte în aceeași valoare; o funcție surjectivă atinge întreg codomeniul; o funcție bijectivă realizează ambele condiții și stabilește o corespondență unu la unu între domeniu și codomeniu.