Compunerea funcțiilor este o operație care permite aplicarea unei funcții după alta. Dacă o funcție transformă un element \(x\) în \(g(x)\), iar o a doua funcție poate fi aplicată valorii \(g(x)\), atunci putem considera funcția care asociază direct lui \(x\) valoarea \(f(g(x))\).
Această operație este fundamentală în studiul funcțiilor, deoarece permite construirea de noi funcții pornind de la funcții deja cunoscute. În plus, compunerea stă la baza multor concepte importante, precum funcția inversă, transformările graficului, regula de derivare a funcțiilor compuse din calculul diferențial și schimbarea de variabilă în integrale.
Totuși, pentru a defini corect compunerea, nu este suficient să scriem formal \(f(g(x))\). Trebuie controlate cu precizie domeniile și mulțimile de sosire: valoarea produsă de prima funcție trebuie să aparțină domeniului celei de-a doua. Din acest motiv, compunerea funcțiilor este un concept simplu ca idee, dar care necesită atenție la condițiile de existență.
Cuprins
- Idee intuitivă a compunerii funcțiilor
- Definiția compunerii funcțiilor
- Condiția de existență a compunerii
- Domeniul funcției compuse
- Ordinea compunerii
- Exemple de compunere a funcțiilor
- Compunerea cu funcția identitate
- Asociativitatea compunerii
- Compunerea funcțiilor injective, surjective și bijective
- Compunerea și funcția inversă
Idee intuitivă a compunerii funcțiilor
Ideea compunerii funcțiilor constă în aplicarea a două funcții una după alta.
Să presupunem că avem o funcție \(g\) care asociază unui element \(x\) o valoare \(g(x)\). Să presupunem apoi că avem o a doua funcție \(f\), care poate fi aplicată valorii \(g(x)\). Atunci putem construi o nouă funcție care, pornind de la \(x\), ajunge direct la valoarea \(f(g(x))\).
Schema este următoarea:
\[ x \xrightarrow{\;g\;} g(x) \xrightarrow{\;f\;} f(g(x)). \]
În acest caz, spunem că am compus \(f\) cu \(g\). Funcția obținută se notează cu
\[ f\circ g. \]
Simbolul \(f\circ g\) se citește \(f\) compus cu \(g\) sau \(f\) după \(g\).
Este important să observăm ordinea: în compunerea \(f\circ g\), funcția \(g\) este aplicată prima, în timp ce funcția \(f\) este aplicată a doua.
Într-adevăr, pentru orice \(x\) pentru care compunerea este definită, avem
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Așadar, compunerea \(f\circ g\) nu înseamnă că se aplică mai întâi \(f\) și apoi \(g\), ci exact contrariul: mai întâi se calculează \(g(x)\), apoi se aplică \(f\) rezultatului obținut.
Definiția compunerii funcțiilor
Fie
\[ g:A\to B \]
și
\[ f:B\to C \]
două funcții. Compunerea lui \(f\) cu \(g\) este funcția
\[ f\circ g:A\to C \]
definită, pentru orice \(x\in A\), prin
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
În această definiție, funcția \(g\) este aplicată mai întâi, în timp ce funcția \(f\) este aplicată apoi. Într-adevăr, pornind de la un element \(x\in A\), se obține mai întâi valoarea \(g(x)\in B\), iar apoi se aplică \(f\) acestei valori:
\[ x\in A \quad \xrightarrow{\;g\;} \quad g(x)\in B \quad \xrightarrow{\;f\;} \quad f(g(x))\in C. \]
Funcția compusă \(f\circ g\) asociază astfel direct fiecărui element \(x\in A\) elementul \(f(g(x))\in C\).
Este important de remarcat că, în scrierea \(f\circ g\), ordinea de citire nu coincide cu ordinea de aplicare: funcția scrisă la dreapta, adică \(g\), este aplicată prima; funcția scrisă la stânga, adică \(f\), este aplicată a doua.
Condiția de existență a compunerii
Compunerea \(f\circ g\) este definită atunci când valorile luate de \(g\) pot fi folosite ca argumente ale funcției \(f\).
În situația
\[ g:A\to B, \qquad f:B\to C, \]
această condiție este automat satisfăcută, deoarece pentru orice \(x\in A\) avem \(g(x)\in B\), iar \(B\) este chiar domeniul funcției \(f\).
Mai general, dacă
\[ g:A\to B \]
și
\[ f:D\to C, \]
atunci compunerea \(f\circ g\) este definită pentru toate elementele \(x\in A\) astfel încât
\[ g(x)\in D. \]
În particular, dacă imaginea lui \(g\) este conținută în domeniul lui \(f\), adică dacă
\[ g(A)\subseteq D, \]
atunci compunerea \(f\circ g\) este definită pe întreg \(A\).
Aceasta este condiția fundamentală pentru a putea compune două funcții: ieșirea primei funcții trebuie să aparțină domeniului celei de-a doua.
În simboluri, dacă dorim să definim \(f\circ g\) pe întreg \(A\), trebuie să avem
\[ g(A)\subseteq \operatorname{Dom}(f). \]
Fără această condiție, expresia \(f(g(x))\) ar putea să nu aibă sens pentru anumite valori ale lui \(x\), deoarece \(g(x)\) ar putea să nu aparțină domeniului lui \(f\).
Domeniul funcției compuse
Atunci când funcțiile sunt date prin formule, domeniul funcției compuse trebuie determinat cu atenție.
Să presupunem că \(g\) este definită pe o mulțime \(A\) și că \(f\) este definită pe o mulțime \(D\). Funcția compusă \(f\circ g\) este definită exact pentru acele elemente \(x\in A\) pentru care \(g(x)\) aparține domeniului lui \(f\).
Așadar, domeniul lui \(f\circ g\) este
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)= \{x\in \operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in \operatorname{Dom}(f)\}. \]
Această formulă este fundamentală: pentru a determina domeniul unei funcții compuse nu este suficient să considerăm domeniul lui \(g\), ci trebuie să impunem și ca valoarea \(g(x)\) să fie acceptabilă ca argument al lui \(f\).
Să considerăm, de exemplu, funcțiile
\[ g(x)=x-1, \qquad f(x)=\sqrt{x}. \]
Funcția compusă \(f\circ g\) este
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-1)=\sqrt{x-1}. \]
Pentru ca această expresie să fie definită în mulțimea numerelor reale, trebuie să avem
\[ x-1\ge 0. \]
Prin urmare
\[ x\ge 1. \]
Așadar
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[1,+\infty). \]
În acest exemplu, domeniul compusei nu este întreg domeniul lui \(g\), ci doar partea din domeniul lui \(g\) în care valoarea \(g(x)\) aparține domeniului rădăcinii pătrate.
Ordinea compunerii
Ordinea în care se compun două funcții este fundamentală. În general, \(f\circ g\) și \(g\circ f\) sunt funcții diferite.
Într-adevăr, prin definiție,
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)), \]
în timp ce
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
În primul caz se aplică mai întâi \(g\) și apoi \(f\); în al doilea caz se aplică mai întâi \(f\) și apoi \(g\). Deoarece ordinea de aplicare se schimbă, rezultatul se poate schimba.
Să considerăm, de exemplu, funcțiile
\[ f(x)=x^2, \qquad g(x)=x+1. \]
Să calculăm mai întâi \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2. \]
Să calculăm acum \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)=x^2+1. \]
Cele două funcții obținute sunt
\[ (f\circ g)(x)=(x+1)^2 \]
și
\[ (g\circ f)(x)=x^2+1. \]
În general, aceste expresii nu coincid. De exemplu, pentru \(x=1\) avem
\[ (f\circ g)(1)=(1+1)^2=4, \]
în timp ce
\[ (g\circ f)(1)=1^2+1=2. \]
Prin urmare
\[ f\circ g\ne g\circ f. \]
Compunerea funcțiilor nu este, așadar, comutativă: schimbând ordinea funcțiilor, în general se schimbă funcția compusă.
Exemple de compunere a funcțiilor
Să vedem câteva exemple pentru a clarifica modul de calcul al funcției compuse și al domeniului său.
Exemplul 1. Să considerăm funcțiile
\[ f(x)=3x+2, \qquad g(x)=x^2. \]
Compunerea \(f\circ g\) se obține înlocuind \(g(x)\) în locul variabilei lui \(f\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2)=3x^2+2. \]
Compunerea \(g\circ f\), în schimb, este
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(3x+2)=(3x+2)^2. \]
Și în acest caz cele două compuneri sunt diferite:
\[ f\circ g\ne g\circ f. \]
Exemplul 2. Să considerăm funcțiile
\[ f(x)=\sqrt{x}, \qquad g(x)=x^2-1. \]
Compusa \(f\circ g\) este
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2-1)=\sqrt{x^2-1}. \]
Pentru ca această funcție să fie definită în mulțimea numerelor reale, trebuie să avem
\[ x^2-1\ge 0. \]
Rezolvând inecuația, obținem
\[ x\le -1 \qquad \text{sau} \qquad x\ge 1. \]
Așadar
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty). \]
Compusa \(g\circ f\), în schimb, este
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2-1=x-1. \]
În acest caz trebuie însă să ne amintim că \(f(x)=\sqrt{x}\) este definită doar pentru \(x\ge 0\). Prin urmare
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=[0,+\infty). \]
Acest exemplu arată că două compuneri pot avea nu doar formule diferite, ci și domenii diferite.
Exemplul 3. Să considerăm funcțiile
\[ f(x)=\frac{1}{x}, \qquad g(x)=x-2. \]
Funcția compusă \(f\circ g\) este
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2)=\frac{1}{x-2}. \]
Această expresie este definită dacă și numai dacă
\[ x-2\ne 0. \]
Prin urmare
\[ x\ne 2. \]
Așadar
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{2\}. \]
Și aici domeniul compusei se obține impunând ca valoarea funcției interioare să aparțină domeniului funcției exterioare.
Compunerea cu funcția identitate
Funcția identitate este elementul neutru în raport cu compunerea funcțiilor.
Să reamintim că, fiind dată o mulțime \(A\), funcția identitate pe \(A\) este funcția
\[ \operatorname{id}_A:A\to A \]
definită prin
\[ \operatorname{id}_A(x)=x \]
pentru orice \(x\in A\).
Fie acum
\[ f:A\to B \]
o funcție. Compunând \(f\) la dreapta cu identitatea lui \(A\), obținem
\[ f\circ \operatorname{id}_A:A\to B. \]
Pentru orice \(x\in A\), avem
\[ (f\circ \operatorname{id}_A)(x)=f(\operatorname{id}_A(x))=f(x). \]
Prin urmare
\[ f\circ \operatorname{id}_A=f. \]
Compunând, în schimb, \(f\) la stânga cu identitatea lui \(B\), obținem
\[ \operatorname{id}_B\circ f:A\to B. \]
Pentru orice \(x\in A\), rezultă
\[ (\operatorname{id}_B\circ f)(x)=\operatorname{id}_B(f(x))=f(x). \]
Așadar
\[ \operatorname{id}_B\circ f=f. \]
În concluzie, pentru orice funcție \(f:A\to B\), avem
\[ f\circ \operatorname{id}_A=f \qquad \text{și} \qquad \operatorname{id}_B\circ f=f. \]
Asociativitatea compunerii
Compunerea funcțiilor este asociativă. Aceasta înseamnă că, atunci când se compun trei funcții compatibile, modul în care se pun parantezele nu schimbă rezultatul final.
Fie
\[ h:A\to B,\qquad g:B\to C,\qquad f:C\to D \]
trei funcții. Atunci sunt definite ambele compuneri
\[ (f\circ g)\circ h \]
și
\[ f\circ (g\circ h). \]
Pentru orice \(x\in A\), avem
\[ ((f\circ g)\circ h)(x) = (f\circ g)(h(x)) = f(g(h(x))). \]
Pe de altă parte,
\[ (f\circ (g\circ h))(x) = f((g\circ h)(x)) = f(g(h(x))). \]
Cele două funcții iau, așadar, aceeași valoare pentru orice \(x\in A\). În consecință,
\[ (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h). \]
Datorită asociativității, atunci când nu există ambiguitate, putem scrie pur și simplu
\[ f\circ g\circ h, \]
amintindu-ne însă că ordinea de aplicare rămâne de la dreapta la stânga: mai întâi \(h\), apoi \(g\), în final \(f\).
Compunerea funcțiilor injective, surjective și bijective
Compunerea păstrează unele proprietăți importante ale funcțiilor, precum injectivitatea, surjectivitatea și bijectivitatea.
Fie
\[ g:A\to B \]
și
\[ f:B\to C \]
două funcții.
Dacă \(g\) și \(f\) sunt ambele injective, atunci și \(f\circ g:A\to C\) este injectivă.
Într-adevăr, să presupunem că
\[ (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2). \]
Atunci
\[ f(g(x_1))=f(g(x_2)). \]
Deoarece \(f\) este injectivă, rezultă că
\[ g(x_1)=g(x_2). \]
Deoarece \(g\) este injectivă, obținem
\[ x_1=x_2. \]
Prin urmare, \(f\circ g\) este injectivă.
Dacă \(g\) și \(f\) sunt ambele surjective, atunci și \(f\circ g:A\to C\) este surjectivă.
Într-adevăr, fie \(z\in C\). Deoarece \(f\) este surjectivă, există \(y\in B\) astfel încât
\[ f(y)=z. \]
Deoarece \(g\) este surjectivă, există \(x\in A\) astfel încât
\[ g(x)=y. \]
În consecință,
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(y)=z. \]
Prin urmare, orice element al lui \(C\) este imaginea a cel puțin unui element al lui \(A\) prin \(f\circ g\), și deci \(f\circ g\) este surjectivă.
Dacă \(g\) și \(f\) sunt ambele bijective, atunci \(f\circ g\) este bijectivă, deoarece este atât injectivă, cât și surjectivă.
Compunerea și funcția inversă
Compunerea este instrumentul natural pentru a defini și a recunoaște funcția inversă.
Fie
\[ f:A\to B \]
o funcție. O funcție
\[ g:B\to A \]
este inversa lui \(f\) dacă, compunând cele două funcții în cele două ordini posibile, se obțin funcțiile identitate:
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A \]
și
\[ f\circ g=\operatorname{id}_B. \]
Prima egalitate înseamnă că, pornind de la un element \(x\in A\), aplicând mai întâi \(f\) și apoi \(g\) se revine la punctul de plecare:
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=x. \]
A doua egalitate înseamnă că, pornind de la un element \(y\in B\), aplicând mai întâi \(g\) și apoi \(f\) se revine la punctul de plecare:
\[ (f\circ g)(y)=f(g(y))=y. \]
În acest caz se scrie
\[ g=f^{-1}. \]
Compunerea arată astfel că o funcție inversă nu este pur și simplu o formulă obținută prin „inversarea pașilor”, ci o funcție care desface efectul lui \(f\) atât la dreapta, cât și la stânga, readucând fiecare element al domeniului și al codomeniului la propriul punct de plecare.
În particular, o funcție \(f:A\to B\) admite inversă \(f^{-1}:B\to A\) dacă și numai dacă este bijectivă.
Compunerea funcțiilor este, așadar, o operație fundamentală pentru a construi noi funcții pornind de la funcții deja cunoscute. Definiția sa este simplă:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)), \]
dar necesită întotdeauna atenție la ordinea de aplicare și la domeniile funcțiilor implicate.
În particular, în compunerea \(f\circ g\), funcția \(g\) este aplicată prima, în timp ce \(f\) este aplicată a doua. În plus, compunerea este definită doar pentru acele valori ale lui \(x\) pentru care \(g(x)\) aparține domeniului lui \(f\).
Compunerea nu este, în general, comutativă, dar este asociativă. Funcția identitate joacă rolul de element neutru, în timp ce funcția inversă poate fi descrisă tocmai prin compunerea cu funcțiile identitate.
Din acest motiv, compunerea funcțiilor este un instrument esențial în studiul funcțiilor, al proprietăților lor și al relațiilor dintre o funcție, inversa sa, domeniul și codomeniul său.