Această culegere propune 20 de exerciții rezolvate despre funcțiile pare și despre funcțiile impare. Fiecare exercițiu este rezolvat pas cu pas, acordând o atenție deosebită simetriei domeniului, calculului lui \(f(-x)\) și comparării acestuia cu \(f(x)\) sau cu \(-f(x)\).
Într-adevăr, pentru a stabili dacă o funcție este pară sau impară, nu este suficient să privim doar expresia analitică: trebuie mai întâi să verificăm că domeniul este simetric față de origine. Abia după această verificare are sens să cercetăm dacă, pentru orice \(x\) din domeniu, este îndeplinită una dintre cele două condiții
\[ f(-x)=f(x) \]
sau
\[ f(-x)=-f(x). \]
Exercițiile care urmează ilustrează cazurile principale: funcții pare, funcții impare, funcții nici pare, nici impare, domenii nesimetrice, operații cu funcții pare și impare, integrale pe intervale simetrice și descompunerea în parte pară și parte impară.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească care dintre următoarele mulțimi sunt simetrice față de origine:
\[ A=\mathbb R,\qquad B=[-3,3],\qquad C=[0,+\infty),\qquad D=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
Rezultat
Mulțimile \(A\), \(B\) și \(D\) sunt simetrice față de origine. Mulțimea \(C\) nu este simetrică față de origine.
Rezolvare
O mulțime \(X\subseteq\mathbb R\) este simetrică față de origine dacă, pentru orice \(x\in X\), și opusul său \(-x\) aparține lui \(X\). În simboluri:
\[ x\in X\implies -x\in X. \]
Considerăm prima mulțime:
\[ A=\mathbb R. \]
Orice număr real aparține lui \(\mathbb R\), iar opusul său aparține de asemenea lui \(\mathbb R\). Așadar, \(A\) este simetrică față de origine.
Considerăm acum
\[ B=[-3,3]. \]
Dacă \(x\in[-3,3]\), atunci și \(-x\in[-3,3]\), deoarece intervalul conține întotdeauna, împreună cu un număr, și opusul acestuia. Așadar, \(B\) este simetrică față de origine.
Considerăm
\[ C=[0,+\infty). \]
Această mulțime nu este simetrică față de origine. Într-adevăr
\[ 1\in[0,+\infty), \]
dar
\[ -1\notin[0,+\infty). \]
Prin urmare, \(C\) nu conține întotdeauna, împreună cu un element al său, și opusul acestuia.
În sfârșit, considerăm
\[ D=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
Dacă \(x\in D\), atunci \(x\ne 0\). În consecință, și \(-x\ne 0\), deci \(-x\in D\). Prin urmare, și \(D\) este simetrică față de origine.
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+5 \]
este pară, impară sau nici pară, nici impară.
Rezultat
Funcția este pară.
Rezolvare
Domeniul funcției este \(\mathbb R\), deci este simetric față de origine.
Putem așadar compara \(f(x)\) și \(f(-x)\). Calculăm \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^2+5. \]
Deoarece
\[ (-x)^2=x^2, \]
obținem
\[ f(-x)=x^2+5. \]
Dar
\[ f(x)=x^2+5. \]
Așadar, pentru orice \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=f(x). \]
Prin definiție, funcția \(f\) este pară.
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3-4x \]
este pară, impară sau nici pară, nici impară.
Rezultat
Funcția este impară.
Rezolvare
Domeniul funcției este \(\mathbb R\), deci este simetric față de origine.
Calculăm \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^3-4(-x). \]
Simplificând cei doi termeni, obținem
\[ f(-x)=-x^3+4x. \]
Calculăm acum \(-f(x)\). Deoarece
\[ f(x)=x^3-4x, \]
avem
\[ -f(x)=-(x^3-4x). \]
Distribuind semnul minus:
\[ -f(x)=-x^3+4x. \]
Am obținut așadar
\[ f(-x)=-x^3+4x \]
și
\[ -f(x)=-x^3+4x. \]
Prin urmare, pentru orice \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=-f(x). \]
Prin definiție, funcția \(f\) este impară.
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+x \]
este pară, impară sau nici pară, nici impară.
Rezultat
Funcția nu este nici pară, nici impară.
Rezolvare
Domeniul funcției este \(\mathbb R\), deci este simetric față de origine.
Calculăm \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^2+(-x). \]
Deoarece \((-x)^2=x^2\), obținem
\[ f(-x)=x^2-x. \]
Comparăm acum \(f(-x)\) cu \(f(x)\). Avem
\[ f(x)=x^2+x. \]
În general
\[ x^2-x\ne x^2+x. \]
De exemplu, pentru \(x=1\), obținem
\[ f(-1)=(-1)^2+(-1)=1-1=0, \]
în timp ce
\[ f(1)=1^2+1=2. \]
Prin urmare, \(f(-1)\ne f(1)\), iar funcția nu este pară.
Verificăm acum dacă funcția este impară. Ar trebui să avem
\[ f(-x)=-f(x) \]
pentru orice \(x\in\mathbb R\). Calculăm:
\[ -f(x)=-(x^2+x)=-x^2-x. \]
Dar, în general
\[ x^2-x\ne -x^2-x. \]
De exemplu, pentru \(x=1\), am găsit deja \(f(-1)=0\), în timp ce
\[ -f(1)=-2. \]
Prin urmare, \(f(-1)\ne -f(1)\), iar funcția nu este impară.
Așadar, \(f\) nu este nici pară, nici impară.
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
este pară.
Rezultat
Funcția nu este considerată pară, deoarece domeniul său nu este simetric față de origine.
Rezolvare
Expresia funcției este
\[ f(x)=x^2. \]
Această expresie, considerată pe tot \(\mathbb R\), descrie o funcție pară. Totuși, în acest exercițiu funcția nu este definită pe \(\mathbb R\), ci pe
\[ [0,+\infty). \]
Înainte de a verifica paritatea, trebuie așadar să examinăm domeniul.
Domeniul
\[ X=[0,+\infty) \]
nu este simetric față de origine. Într-adevăr
\[ 1\in X, \]
dar
\[ -1\notin X. \]
Aceasta înseamnă că, pentru \(x=1\), valoarea \(f(1)\) este definită, în timp ce valoarea \(f(-1)\) nu este definită.
În consecință, nu putem verifica condiția
\[ f(-x)=f(x) \]
pentru orice \(x\) din domeniu.
Din acest motiv, funcția
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
nu este clasificată drept funcție pară.
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x^4-5x^2+7 \]
este pară, impară sau nici pară, nici impară.
Rezultat
Funcția este pară.
Rezolvare
Domeniul funcției este \(\mathbb R\), deci este simetric față de origine.
Putem așadar calcula \(f(-x)\) și îl putem compara cu \(f(x)\). Avem
\[ f(-x)=3(-x)^4-5(-x)^2+7. \]
Reamintim că o putere cu exponent par nu își schimbă semnul atunci când înlocuim \(x\) cu \(-x\). Într-adevăr
\[ (-x)^4=x^4,\qquad (-x)^2=x^2. \]
Prin urmare
\[ f(-x)=3x^4-5x^2+7. \]
Dar aceasta este chiar expresia lui \(f(x)\):
\[ f(x)=3x^4-5x^2+7. \]
Prin urmare, pentru orice \(x\in\mathbb R\), avem
\[ f(-x)=f(x). \]
Prin definiție, funcția este pară.
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x^5-3x^3+x \]
este pară, impară sau nici pară, nici impară.
Rezultat
Funcția este impară.
Rezolvare
Domeniul funcției este \(\mathbb R\), deci este simetric față de origine.
Calculăm \(f(-x)\):
\[ f(-x)=2(-x)^5-3(-x)^3+(-x). \]
Puterile cu exponent impar își schimbă semnul atunci când înlocuim \(x\) cu \(-x\). Într-adevăr
\[ (-x)^5=-x^5,\qquad (-x)^3=-x^3. \]
Prin urmare
\[ f(-x)=2(-x^5)-3(-x^3)-x. \]
Simplificând:
\[ f(-x)=-2x^5+3x^3-x. \]
Calculăm acum \(-f(x)\). Deoarece
\[ f(x)=2x^5-3x^3+x, \]
avem
\[ -f(x)=-(2x^5-3x^3+x). \]
Distribuind semnul minus:
\[ -f(x)=-2x^5+3x^3-x. \]
Așadar, \(f(-x)\) și \(-f(x)\) coincid:
\[ f(-x)=-f(x). \]
Deoarece această egalitate are loc pentru orice \(x\in\mathbb R\), funcția este impară.
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+\cos x \]
este pară, impară sau nici pară, nici impară.
Rezultat
Funcția este pară.
Rezolvare
Domeniul funcției este \(\mathbb R\), deci este simetric față de origine.
Calculăm \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^2+\cos(-x). \]
Folosim acum două proprietăți cunoscute:
\[ (-x)^2=x^2 \]
și
\[ \cos(-x)=\cos x. \]
Prima egalitate provine din faptul că puterea are exponent par; cea de-a doua exprimă faptul că funcția cosinus este pară.
Înlocuind aceste egalități, obținem
\[ f(-x)=x^2+\cos x. \]
Dar
\[ f(x)=x^2+\cos x. \]
Așadar, pentru orice \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=f(x). \]
Prin definiție, funcția \(f\) este pară.
Acest rezultat este de altfel în concordanță cu regula generală: suma a două funcții pare este tot o funcție pară.
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3+x^2 \]
este pară, impară sau nici pară, nici impară.
Rezultat
Funcția nu este nici pară, nici impară.
Rezolvare
Domeniul funcției este \(\mathbb R\), deci este simetric față de origine.
Calculăm \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^3+(-x)^2. \]
Deoarece
\[ (-x)^3=-x^3,\qquad (-x)^2=x^2, \]
obținem
\[ f(-x)=-x^3+x^2. \]
Comparăm mai întâi \(f(-x)\) cu \(f(x)\). Deoarece
\[ f(x)=x^3+x^2, \]
condiția de paritate ar cere
\[ -x^3+x^2=x^3+x^2 \]
pentru orice \(x\in\mathbb R\). Această egalitate nu este adevărată în general. De exemplu, pentru \(x=1\), avem
\[ f(-1)=(-1)^3+(-1)^2=-1+1=0, \]
în timp ce
\[ f(1)=1^3+1^2=2. \]
Așadar, funcția nu este pară.
Verificăm acum dacă este impară. Calculăm \(-f(x)\):
\[ -f(x)=-(x^3+x^2)=-x^3-x^2. \]
Condiția de imparitate ar cere
\[ f(-x)=-f(x). \]
Dar avem
\[ f(-x)=-x^3+x^2 \]
și
\[ -f(x)=-x^3-x^2. \]
Aceste două expresii nu coincid în general. De exemplu, pentru \(x=1\), avem \(f(-1)=0\), în timp ce \(-f(1)=-2\).
Așadar, funcția nu este impară.
Prin urmare, \(f\) nu este nici pară, nici impară.
Exercițiul 10 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=0 \]
este pară, impară sau ambele.
Rezultat
Funcția este și pară și impară.
Rezolvare
Domeniul funcției este \(\mathbb R\), deci este simetric față de origine.
Funcția este identic nulă, adică
\[ f(x)=0 \]
pentru orice \(x\in\mathbb R\).
Calculăm \(f(-x)\). Deoarece și \(-x\) este un număr real, avem
\[ f(-x)=0. \]
Comparăm acum \(f(-x)\) cu \(f(x)\). Întrucât \(f(x)=0\), obținem
\[ f(-x)=0=f(x). \]
Așadar, funcția este pară.
Comparăm acum \(f(-x)\) cu \(-f(x)\). Deoarece \(f(x)=0\), avem
\[ -f(x)=-0=0. \]
Așadar
\[ f(-x)=0=-f(x). \]
Așadar, funcția este și impară.
Prin urmare, funcția nulă este și pară și impară. Acesta este singurul caz, pentru o funcție cu valori reale definită pe un domeniu simetric față de origine, în care funcția poate fi simultan pară și impară: ea trebuie să fie identic nulă.
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=(x^2+1)\sin x \]
este pară, impară sau nici pară, nici impară.
Rezultat
Funcția este impară.
Rezolvare
Domeniul funcției este \(\mathbb R\), deci este simetric față de origine.
Calculăm \(f(-x)\):
\[ f(-x)=((-x)^2+1)\sin(-x). \]
Examinăm acum separat cei doi factori.
Pentru primul factor avem
\[ (-x)^2+1=x^2+1. \]
Pentru cel de-al doilea factor, folosind imparitatea sinusului, avem
\[ \sin(-x)=-\sin x. \]
Înlocuind aceste două egalități, obținem
\[ f(-x)=(x^2+1)(-\sin x). \]
Prin urmare
\[ f(-x)=-(x^2+1)\sin x. \]
Dar
\[ f(x)=(x^2+1)\sin x. \]
Prin urmare
\[ f(-x)=-f(x). \]
Prin definiție, funcția este impară.
Rezultatul este în concordanță cu regula generală: produsul dintre o funcție pară și o funcție impară este o funcție impară.
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x\sin x \]
este pară, impară sau nici pară, nici impară.
Rezultat
Funcția este pară.
Rezolvare
Domeniul funcției este \(\mathbb R\), deci este simetric față de origine.
Calculăm \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)\sin(-x). \]
Folosim relația
\[ \sin(-x)=-\sin x. \]
Înlocuind, obținem
\[ f(-x)=(-x)(-\sin x). \]
Produsul a doi factori negativi este pozitiv, deci
\[ f(-x)=x\sin x. \]
Dar
\[ f(x)=x\sin x. \]
Așadar
\[ f(-x)=f(x). \]
Prin definiție, funcția este pară.
Și acest rezultat este în concordanță cu regula generală: produsul a două funcții impare este o funcție pară. Într-adevăr, \(x\mapsto x\) este impară și \(x\mapsto\sin x\) este impară.
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x^2+1}{x^4+1} \]
este pară, impară sau nici pară, nici impară.
Rezultat
Funcția este pară.
Rezolvare
Mai întâi examinăm domeniul. Numitorul este
\[ x^4+1. \]
Deoarece \(x^4\ge 0\) pentru orice \(x\in\mathbb R\), avem
\[ x^4+1>0 \]
pentru orice \(x\in\mathbb R\). Prin urmare, numitorul nu se anulează niciodată, iar domeniul este \(\mathbb R\).
Domeniul este așadar simetric față de origine.
Calculăm \(f(-x)\):
\[ f(-x)=\frac{(-x)^2+1}{(-x)^4+1}. \]
Deoarece
\[ (-x)^2=x^2,\qquad (-x)^4=x^4, \]
obținem
\[ f(-x)=\frac{x^2+1}{x^4+1}. \]
Dar
\[ f(x)=\frac{x^2+1}{x^4+1}. \]
Așadar
\[ f(-x)=f(x). \]
Prin definiție, funcția este pară.
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:X\to\mathbb R,\qquad f(x)=\tan x, \]
unde
\[ X=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\}, \]
este pară, impară sau nici pară, nici impară.
Rezultat
Funcția este impară.
Rezolvare
Înainte de a verifica condiția \(f(-x)=f(x)\) sau \(f(-x)=-f(x)\), trebuie să ne asigurăm că domeniul este simetric față de origine.
Funcția tangentă nu este definită în punctele
\[ \frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. \]
Prin urmare, domeniul este
\[ X=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\}. \]
Verificăm că \(X\) este simetrică față de origine. Opusul unui punct exclus este
\[ -\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right). \]
Simplificând:
\[ -\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=-\frac{\pi}{2}-k\pi. \]
Rescriem această cantitate sub forma \(\frac{\pi}{2}+m\pi\), cu \(m\in\mathbb Z\):
\[ -\frac{\pi}{2}-k\pi=\frac{\pi}{2}+(-k-1)\pi. \]
Deoarece \(-k-1\in\mathbb Z\), și opusul unui punct exclus este un punct exclus.
În consecință, dacă \(x\in X\), atunci și \(-x\in X\). Domeniul este așadar simetric față de origine.
Calculăm acum \(f(-x)\):
\[ f(-x)=\tan(-x). \]
Deoarece funcția tangentă este impară, avem
\[ \tan(-x)=-\tan x. \]
Prin urmare
\[ f(-x)=-\tan x. \]
Dar \(f(x)=\tan x\), deci
\[ f(-x)=-f(x). \]
Prin definiție, \(f\) este impară.
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
Să se calculeze integrala
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx \]
folosind paritatea funcției de sub integrală.
Rezultat
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx=\frac{144}{5}. \]
Rezolvare
Considerăm funcția de sub integrală
\[ f(x)=x^4+3x^2. \]
Verificăm paritatea:
\[ f(-x)=(-x)^4+3(-x)^2. \]
Deoarece
\[ (-x)^4=x^4,\qquad (-x)^2=x^2, \]
obținem
\[ f(-x)=x^4+3x^2=f(x). \]
Așadar, \(f\) este pară.
Intervalul de integrare este
\[ [-2,2], \]
care este simetric față de origine. Pentru o funcție pară integrabilă pe \([-a,a]\), avem
\[ \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx. \]
În cazul nostru, \(a=2\). Așadar
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx = 2\int_0^2(x^4+3x^2)\,dx. \]
Calculăm integrala:
\[ 2\int_0^2(x^4+3x^2)\,dx = 2\left[\frac{x^5}{5}+x^3\right]_0^2. \]
Înlocuim acum limitele:
\[ 2\left[\frac{x^5}{5}+x^3\right]_0^2 = 2\left(\frac{2^5}{5}+2^3-\frac{0^5}{5}-0^3\right). \]
Așadar
\[ 2\left(\frac{2^5}{5}+2^3\right) = 2\left(\frac{32}{5}+8\right). \]
Aducem la același numitor:
\[ 8=\frac{40}{5}. \]
Prin urmare
\[ 2\left(\frac{32}{5}+\frac{40}{5}\right) = 2\cdot\frac{72}{5} = \frac{144}{5}. \]
Concluzionăm că
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx=\frac{144}{5}. \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★☆☆
Să se calculeze integrala
\[ \int_{-3}^{3}(x^5-4x)\,dx \]
folosind imparitatea funcției de sub integrală.
Rezultat
\[ \int_{-3}^{3}(x^5-4x)\,dx=0. \]
Rezolvare
Considerăm funcția de sub integrală
\[ f(x)=x^5-4x. \]
Verificăm dacă \(f\) este impară. Calculăm \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^5-4(-x). \]
Deoarece
\[ (-x)^5=-x^5 \]
și
\[ -4(-x)=4x, \]
obținem
\[ f(-x)=-x^5+4x. \]
Calculăm acum \(-f(x)\):
\[ -f(x)=-(x^5-4x). \]
Distribuind semnul minus:
\[ -f(x)=-x^5+4x. \]
Avem așadar
\[ f(-x)=-f(x). \]
Funcția \(f\) este impară.
Intervalul de integrare este
\[ [-3,3], \]
care este simetric față de origine.
Deoarece integrala unei funcții impare pe un interval simetric față de origine este nulă, obținem direct
\[ \int_{-3}^{3}(x^5-4x)\,dx=0. \]
Din punct de vedere geometric, ariile cu semn pe cele două jumătăți ale intervalului se compensează: contribuția pe \([-3,0]\) este opusă celei de pe \([0,3]\).
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Să se calculeze integrala
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx \]
folosind paritatea și imparitatea termenilor funcției de sub integrală.
Rezultat
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx=\frac{22}{5}. \]
Rezolvare
Considerăm funcția de sub integrală
\[ f(x)=x^4+x^3+2. \]
Această funcție nu este, în ansamblu, nici pară, nici impară, deoarece conține atât termeni pari, cât și termeni impari. Totuși, o putem separa în două părți:
\[ f(x)=(x^4+2)+x^3. \]
Funcția
\[ x\mapsto x^4+2 \]
este pară, deoarece conține doar puteri pare ale lui \(x\) și un termen constant.
Funcția
\[ x\mapsto x^3 \]
este impară, deoarece
\[ (-x)^3=-x^3. \]
Putem așadar scrie
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx = \int_{-1}^{1}(x^4+2)\,dx+\int_{-1}^{1}x^3\,dx. \]
Intervalul \([-1,1]\) este simetric față de origine. Deoarece \(x^3\) este impară, integrala sa pe \([-1,1]\) este nulă:
\[ \int_{-1}^{1}x^3\,dx=0. \]
Rămâne așadar
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx = \int_{-1}^{1}(x^4+2)\,dx. \]
Deoarece \(x^4+2\) este pară, putem reduce intervalul la jumătate și dubla integrala:
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+2)\,dx = 2\int_0^1(x^4+2)\,dx. \]
Calculăm:
\[ 2\int_0^1(x^4+2)\,dx = 2\left[\frac{x^5}{5}+2x\right]_0^1. \]
Înlocuind limitele:
\[ 2\left[\frac{x^5}{5}+2x\right]_0^1 = 2\left(\frac{1^5}{5}+2\cdot 1-\frac{0^5}{5}-2\cdot 0\right). \]
Așadar
\[ 2\left(\frac{1}{5}+2\right) = 2\left(\frac{1}{5}+\frac{10}{5}\right) = 2\cdot\frac{11}{5} = \frac{22}{5}. \]
Prin urmare
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx=\frac{22}{5}. \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Să se descompună funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3+x^2+x+1 \]
în suma dintre partea sa pară și partea sa impară.
Rezultat
Partea pară este
\[ f_p(x)=x^2+1. \]
Partea impară este
\[ f_i(x)=x^3+x. \]
Așadar
\[ f(x)=f_p(x)+f_i(x)=(x^2+1)+(x^3+x). \]
Rezolvare
Domeniul funcției este \(\mathbb R\), deci este simetric față de origine. Putem așadar folosi formulele de descompunere în parte pară și parte impară.
Partea pară a lui \(f\) este definită prin
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
Partea impară a lui \(f\) este definită prin
\[ f_i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Calculăm mai întâi \(f(-x)\). Deoarece
\[ f(x)=x^3+x^2+x+1, \]
obținem
\[ f(-x)=(-x)^3+(-x)^2+(-x)+1. \]
Simplificând:
\[ f(-x)=-x^3+x^2-x+1. \]
Calculăm acum partea pară:
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
Înlocuim expresiile găsite:
\[ f_p(x)=\frac{(x^3+x^2+x+1)+(-x^3+x^2-x+1)}{2}. \]
Adunăm termenii asemenea:
\[ x^3-x^3=0,\qquad x-x=0, \]
în timp ce
\[ x^2+x^2=2x^2,\qquad 1+1=2. \]
Așadar
\[ f_p(x)=\frac{2x^2+2}{2}=x^2+1. \]
Calculăm acum partea impară:
\[ f_i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Înlocuim:
\[ f_i(x)=\frac{(x^3+x^2+x+1)-(-x^3+x^2-x+1)}{2}. \]
Schimbăm semnele din a doua paranteză:
\[ f_i(x)=\frac{x^3+x^2+x+1+x^3-x^2+x-1}{2}. \]
Adunăm termenii asemenea:
\[ x^3+x^3=2x^3,\qquad x+x=2x, \]
în timp ce
\[ x^2-x^2=0,\qquad 1-1=0. \]
Așadar
\[ f_i(x)=\frac{2x^3+2x}{2}=x^3+x. \]
Am obținut astfel descompunerea
\[ f(x)=f_p(x)+f_i(x)=(x^2+1)+(x^3+x). \]
Prima paranteză este o funcție pară, în timp ce a doua este o funcție impară.
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
Să se descompună funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x \]
în suma dintre partea sa pară și partea sa impară.
Rezultat
Partea pară este
\[ f_p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x. \]
Partea impară este
\[ f_i(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x. \]
Așadar
\[ e^x=\cosh x+\sinh x. \]
Rezolvare
Domeniul funcției \(f(x)=e^x\) este \(\mathbb R\), deci este simetric față de origine.
Putem folosi formulele
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \]
și
\[ f_i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Deoarece
\[ f(x)=e^x, \]
avem
\[ f(-x)=e^{-x}. \]
Calculăm partea pară:
\[ f_p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}. \]
Aceasta este, prin definiție, funcția cosinus hiperbolic:
\[ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}. \]
Așadar
\[ f_p(x)=\cosh x. \]
Calculăm acum partea impară:
\[ f_i(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}. \]
Aceasta este, prin definiție, funcția sinus hiperbolic:
\[ \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}. \]
Așadar
\[ f_i(x)=\sinh x. \]
Prin urmare, descompunerea lui \(e^x\) în suma dintre partea sa pară și partea sa impară este
\[ e^x=\cosh x+\sinh x. \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Să se descompună funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x+1}{x^2+1} \]
în suma dintre partea sa pară și partea sa impară.
Rezultat
Partea pară este
\[ f_p(x)=\frac{1}{x^2+1}. \]
Partea impară este
\[ f_i(x)=\frac{x}{x^2+1}. \]
Așadar
\[ \frac{x+1}{x^2+1} = \frac{1}{x^2+1} + \frac{x}{x^2+1}. \]
Rezolvare
Domeniul funcției este \(\mathbb R\), deoarece numitorul
\[ x^2+1 \]
este întotdeauna pozitiv și deci nu se anulează niciodată.
Domeniul este așadar simetric față de origine.
Pentru a descompune \(f\) în suma dintre partea sa pară și partea sa impară, folosim formulele
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \]
și
\[ f_i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Calculăm \(f(-x)\):
\[ f(-x)=\frac{-x+1}{(-x)^2+1}. \]
Deoarece
\[ (-x)^2=x^2, \]
obținem
\[ f(-x)=\frac{1-x}{x^2+1}. \]
Calculăm acum partea pară:
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
Înlocuind cele două expresii:
\[ f_p(x)=\frac{\frac{x+1}{x^2+1}+\frac{1-x}{x^2+1}}{2}. \]
Cele două fracții au același numitor, deci putem aduna numărătorii:
\[ f_p(x)=\frac{\frac{x+1+1-x}{x^2+1}}{2}. \]
Simplificând numărătorul:
\[ x+1+1-x=2. \]
Așadar
\[ f_p(x)=\frac{\frac{2}{x^2+1}}{2}. \]
A împărți la \(2\) înseamnă a înmulți cu \(\frac12\), deci
\[ f_p(x)=\frac{1}{x^2+1}. \]
Calculăm acum partea impară:
\[ f_i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Înlocuind:
\[ f_i(x)=\frac{\frac{x+1}{x^2+1}-\frac{1-x}{x^2+1}}{2}. \]
Și în acest caz, cele două fracții au același numitor:
\[ f_i(x)=\frac{\frac{x+1-(1-x)}{x^2+1}}{2}. \]
Simplificăm numărătorul:
\[ x+1-(1-x)=x+1-1+x=2x. \]
Așadar
\[ f_i(x)=\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}. \]
Împărțind la \(2\), obținem
\[ f_i(x)=\frac{x}{x^2+1}. \]
Prin urmare, funcția se descompune sub forma
\[ f(x)=f_p(x)+f_i(x) = \frac{1}{x^2+1} + \frac{x}{x^2+1}. \]
Funcția
\[ x\mapsto \frac{1}{x^2+1} \]
este pară, în timp ce funcția
\[ x\mapsto \frac{x}{x^2+1} \]
este impară. Descompunerea obținută este așadar în concordanță cu formulele generale.