În această culegere propunem 20 de exerciții rezolvate despre limitele șirurilor numerice, cu o atenție deosebită acordată distincției dintre șirurile convergente, șirurile divergente la \(+\infty\) sau la \(-\infty\) și șirurile oscilante.
Fiecare exercițiu este rezolvat pas cu pas, reamintind definițiile fundamentale și arătând cum se recunoaște comportamentul șirului atunci când rangul \(n\) tinde la \(+\infty\).
În tot articolul, șirurile sunt considerate începând cu rangul \(1\), adică pentru \(n\in\mathbb N^*\).
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este convergent și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Rezolvare
Șirul este dat de
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Primii termeni sunt
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \ldots \]
Pe măsură ce \(n\) crește, numitorul devine tot mai mare, în timp ce numărătorul rămâne egal cu \(1\). De aceea, termenii devin tot mai mici și se apropie de \(0\).
Pentru a demonstra aceasta folosind definiția, fixăm un număr arbitrar
\[ \varepsilon>0. \]
Căutăm un rang \(n_\varepsilon\) astfel încât, pentru orice \(n\geq n_\varepsilon\), să avem
\[ \left|\frac1n-0\right|<\varepsilon. \]
Deoarece
\[ \left|\frac1n-0\right|=\frac1n, \]
trebuie să impunem
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Această inegalitate este echivalentă cu
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Alegem așadar \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) astfel încât
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon. \]
Atunci, pentru orice \(n\geq n_\varepsilon\), avem
\[ n\geq n_\varepsilon>\frac1\varepsilon, \]
și deci
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Am demonstrat că, pentru orice \(\varepsilon>0\), de la un anumit rang încolo toți termenii șirului se află la o distanță de \(0\) mai mică decât \(\varepsilon\).
Așadar
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac1n=0. \]
Prin urmare, șirul este convergent.
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este convergent și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Rezolvare
Considerăm șirul
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Rescriem termenul general astfel:
\[ \frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Deoarece
\[ \frac{1}{n+1}\to0 \]
când \(n\to+\infty\), ne așteptăm ca
\[ 1-\frac{1}{n+1}\to1. \]
Să verificăm aceasta cu ajutorul definiției. Trebuie să studiem distanța dintre \(a_n\) și \(1\):
\[ |a_n-1|=\left|\frac{n}{n+1}-1\right|. \]
Calculăm:
\[ \frac{n}{n+1}-1=\frac{n-(n+1)}{n+1}=-\frac{1}{n+1}. \]
Prin urmare
\[ |a_n-1|=\left|-\frac{1}{n+1}\right|=\frac{1}{n+1}. \]
Pentru un \(\varepsilon>0\) fixat, vrem ca
\[ \frac{1}{n+1}<\varepsilon. \]
Această inegalitate are loc atunci când
\[ n+1>\frac1\varepsilon, \]
adică atunci când
\[ n>\frac1\varepsilon-1. \]
Alegând \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) astfel încât
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon-1, \]
obținem, pentru orice \(n\geq n_\varepsilon\),
\[ |a_n-1|<\varepsilon. \]
Așadar
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Șirul este convergent.
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=3. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este convergent și
\[ \lim_{n\to+\infty}3=3. \]
Rezolvare
Șirul este constant:
\[ a_n=3 \]
pentru orice \(n\in\mathbb N^*\).
Toți termenii șirului sunt egali cu \(3\). Așadar, șirul nu se apropie pur și simplu de \(3\): el este întotdeauna exact egal cu \(3\).
Să verificăm aceasta cu ajutorul definiției. Trebuie să arătăm că, pentru orice \(\varepsilon>0\), există un rang \(n_\varepsilon\) astfel încât, pentru orice \(n\geq n_\varepsilon\),
\[ |a_n-3|<\varepsilon. \]
Deoarece \(a_n=3\), avem
\[ |a_n-3|=|3-3|=0. \]
Dar
\[ 0<\varepsilon \]
pentru orice \(\varepsilon>0\).
Prin urmare, inegalitatea este verificată pentru orice \(n\). Putem alege, de exemplu,
\[ n_\varepsilon=1. \]
Rezultă că
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=3. \]
Prin urmare, șirul este convergent.
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=\frac{2n+1}{n}. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este convergent și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n}=2. \]
Rezolvare
Rescriem termenul general separând fracțiile:
\[ a_n=\frac{2n+1}{n}=\frac{2n}{n}+\frac1n=2+\frac1n. \]
Deoarece
\[ \frac1n\to0, \]
ne așteptăm ca
\[ 2+\frac1n\to2. \]
Calculăm distanța față de \(2\):
\[ |a_n-2|=\left|2+\frac1n-2\right|=\frac1n. \]
Pentru un \(\varepsilon>0\) fixat, vrem ca
\[ |a_n-2|<\varepsilon. \]
Deoarece
\[ |a_n-2|=\frac1n, \]
este suficient să impunem
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Această inegalitate este verificată dacă
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Alegem așadar \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) astfel încât
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon. \]
Atunci, pentru orice \(n\geq n_\varepsilon\), avem
\[ |a_n-2|<\varepsilon. \]
Așadar
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n}=2. \]
Șirul este convergent.
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=\frac{3n-2}{2n+5}. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este convergent și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n-2}{2n+5}=\frac32. \]
Rezolvare
Considerăm
\[ a_n=\frac{3n-2}{2n+5}. \]
Numărătorul și numitorul sunt polinoame de gradul întâi în \(n\). Când \(n\to+\infty\), comportamentul este determinat de termenii de grad maxim:
\[ 3n \quad \text{și} \quad 2n. \]
Împărțim numărătorul și numitorul la \(n\):
\[ \frac{3n-2}{2n+5}=\frac{3-\displaystyle \frac2n}{2+\displaystyle \frac5n}. \]
Deoarece
\[ \frac2n\to0 \qquad\text{și}\qquad \frac5n\to0, \]
obținem
\[ \frac{3-\displaystyle \frac2n}{2+\displaystyle \frac5n}\to\frac{3-0}{2+0}=\frac32. \]
Așadar
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n-2}{2n+5}=\frac32. \]
Deoarece limita este un număr real finit, șirul este convergent.
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=n. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este divergent, cu limita \(+\infty\), și
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Rezolvare
Șirul este dat de
\[ a_n=n. \]
Termenii săi sunt
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots \]
și devin oricât de mari.
Pentru a demonstra că
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty, \]
folosim definiția divergenței la \(+\infty\). Trebuie să arătăm că, pentru orice \(M>0\), există \(n_M\in\mathbb N\) astfel încât, pentru orice \(n\geq n_M\),
\[ a_n>M. \]
Deoarece \(a_n=n\), trebuie să obținem
\[ n>M. \]
Alegem \(n_M\in\mathbb N\) astfel încât
\[ n_M>M. \]
Atunci, dacă \(n\geq n_M\), avem
\[ n\geq n_M>M. \]
Așadar
\[ a_n=n>M. \]
Aceasta arată că șirul diverge la \(+\infty\).
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=n^2. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este divergent, cu limita \(+\infty\), și
\[ \lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty. \]
Rezolvare
Șirul este dat de
\[ a_n=n^2. \]
Primii termeni sunt
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots \]
și cresc nemărginit.
Să demonstrăm că șirul diverge la \(+\infty\). Fixăm un număr arbitrar \(M>0\). Căutăm un rang \(n_M\) astfel încât, pentru orice \(n\geq n_M\),
\[ n^2>M. \]
Deoarece \(n\) este pozitiv, inegalitatea
\[ n^2>M \]
este verificată atunci când
\[ n>\sqrt{M}. \]
Alegem așadar \(n_M\in\mathbb N\) astfel încât
\[ n_M>\sqrt{M}. \]
Atunci, pentru orice \(n\geq n_M\), avem
\[ n\geq n_M>\sqrt{M}. \]
Ridicând la pătrat, obținem
\[ n^2>M. \]
Așadar, pentru orice prag pozitiv \(M\), de la un anumit rang încolo termenii șirului depășesc \(M\).
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty. \]
Șirul este divergent, cu limita \(+\infty\).
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=-n. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este divergent, cu limita \(-\infty\), și
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Rezolvare
Șirul este dat de
\[ a_n=-n. \]
Termenii săi sunt
\[ -1,\ -2,\ -3,\ -4,\ \ldots \]
și devin tot mai mici.
Pentru a demonstra că
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty, \]
folosim definiția divergenței la \(-\infty\). Fixăm \(M>0\). Trebuie să găsim \(n_M\in\mathbb N\) astfel încât, pentru orice \(n\geq n_M\),
\[ -n<-M. \]
Înmulțind ambii membri cu \(-1\), sensul inegalității se schimbă:
\[ n>M. \]
Alegem atunci \(n_M\in\mathbb N\) astfel încât
\[ n_M>M. \]
Dacă \(n\geq n_M\), atunci
\[ n\geq n_M>M. \]
Așadar
\[ -n<-M. \]
Aceasta arată că termenii șirului devin mai mici decât orice prag negativ.
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Șirul este divergent, cu limita \(-\infty\).
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=-2n+5. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este divergent, cu limita \(-\infty\), și
\[ \lim_{n\to+\infty}(-2n+5)=-\infty. \]
Rezolvare
Șirul este dat de
\[ a_n=-2n+5. \]
Termenul dominant este \(-2n\), care tinde la \(-\infty\). Termenul constant \(5\) nu schimbă comportamentul la infinit.
Să demonstrăm aceasta cu ajutorul definiției. Fixăm \(M>0\). Căutăm \(n_M\) astfel încât, pentru orice \(n\geq n_M\),
\[ -2n+5<-M. \]
Rezolvăm inegalitatea:
\[ -2n+5<-M. \]
Scăzând \(5\) din ambii membri, obținem
\[ -2n<-M-5. \]
Împărțind la \(-2\), sensul inegalității se schimbă:
\[ n>\frac{M+5}{2}. \]
Alegem \(n_M\in\mathbb N\) astfel încât
\[ n_M>\frac{M+5}{2}. \]
Atunci, pentru orice \(n\geq n_M\), avem
\[ -2n+5<-M. \]
Așadar, șirul diverge la \(-\infty\).
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}(-2n+5)=-\infty. \]
Exercițiul 10 — nivel ★★☆☆☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=(-1)^n. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este oscilant.
Rezolvare
Considerăm șirul
\[ a_n=(-1)^n. \]
Termenii săi sunt
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots \]
Șirul oscilează între valorile \(-1\) și \(1\), așa că nu pare să se apropie de un unic număr real.
Considerăm rangurile pare. Dacă \(n=2k\), atunci
\[ a_{2k}=(-1)^{2k}=1. \]
Așadar, subșirul termenilor de rang par este constant, egal cu \(1\), și de aceea
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1. \]
Considerăm acum rangurile impare. Dacă \(n=2k-1\), atunci
\[ a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1. \]
Așadar
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
Am găsit astfel două subșiruri convergente către limite diferite:
\[ 1 \qquad\text{și}\qquad -1. \]
De aceea, șirul nu poate fi convergent.
În plus, el este mărginit, deoarece pentru orice \(n\in\mathbb N^*\) avem
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
Fiind mărginit, nu poate diverge nici la \(+\infty\), nici la \(-\infty\).
Așadar, șirul nu este convergent și nu are limită infinită. Prin urmare, este oscilant.
Exercițiul 11 — nivel ★★☆☆☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=1+(-1)^n. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este oscilant.
Rezolvare
Șirul este dat de
\[ a_n=1+(-1)^n. \]
Studiem separat rangurile pare și rangurile impare.
Dacă \(n=2k\), atunci
\[ a_{2k}=1+(-1)^{2k}=1+1=2. \]
Așadar
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=2. \]
Iar dacă \(n=2k-1\), atunci
\[ a_{2k-1}=1+(-1)^{2k-1}=1-1=0. \]
Așadar
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=0. \]
Șirul are două subșiruri cu limite diferite:
\[ 2 \qquad\text{și}\qquad 0. \]
Prin urmare, șirul nu este convergent.
În plus, termenii săi iau doar valorile \(0\) și \(2\). Așadar, șirul este mărginit:
\[ 0\leq a_n\leq 2 \]
pentru orice \(n\in\mathbb N^*\).
Deoarece este mărginit, nu poate diverge nici la \(+\infty\), nici la \(-\infty\).
Prin urmare, șirul este oscilant.
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este convergent și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Rezolvare
Șirul este dat de
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Factorul \((-1)^n\) face ca semnul termenilor să oscileze, însă numitorul \(n\) devine tot mai mare.
Studiem modulul:
\[ |a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{|(-1)^n|}{n}. \]
Deoarece
\[ |(-1)^n|=1, \]
avem
\[ |a_n|=\frac1n. \]
Deoarece
\[ \frac1n\to0, \]
rezultă că și \(a_n\) tinde la \(0\).
Să verificăm aceasta direct. Pentru un \(\varepsilon>0\) fixat, vrem ca
\[ |a_n-0|<\varepsilon. \]
Dar
\[ |a_n-0|=|a_n|=\frac1n. \]
Este suficient, așadar, să impunem
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
După cum am văzut deja, această condiție este verificată pentru
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Alegând \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) astfel încât
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon, \]
avem, pentru orice \(n\geq n_\varepsilon\),
\[ |a_n-0|<\varepsilon. \]
Așadar
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Șirul este convergent. Acest exemplu arată că un șir poate avea semne care oscilează și totuși să fie convergent, dacă amplitudinea oscilației tinde la zero.
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n}. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este divergent, cu limita \(+\infty\), și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+1}{n}=+\infty. \]
Rezolvare
Rescriem termenul general:
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n}=n+\frac1n. \]
Termenul \(n\) tinde la \(+\infty\), în timp ce termenul \(\displaystyle \frac1n\) tinde la \(0\). Comportamentul dominant este, prin urmare, cel al lui \(n\).
Să demonstrăm că \(a_n\to+\infty\). Pentru un \(M>0\) fixat, vrem ca
\[ n+\frac1n>M. \]
Deoarece
\[ \frac1n>0 \]
pentru orice \(n\in\mathbb N^*\), avem
\[ n+\frac1n>n. \]
Așadar, dacă impunem
\[ n>M, \]
obținem automat
\[ n+\frac1n>M. \]
Alegem \(n_M\in\mathbb N\) astfel încât
\[ n_M>M. \]
Atunci, pentru orice \(n\geq n_M\), avem
\[ a_n=n+\frac1n>n\geq n_M>M. \]
Așadar, șirul diverge la \(+\infty\).
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1}. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este convergent și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n^2+1}=0. \]
Rezolvare
Considerăm
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1}. \]
Numitorul are gradul \(2\), iar numărătorul are gradul \(1\). Când \(n\to+\infty\), numitorul crește mai repede decât numărătorul.
Împărțim numărătorul și numitorul la \(n^2\):
\[ \frac{n}{n^2+1} = \frac{\frac1n}{1+\frac1{n^2}}. \]
Deoarece
\[ \frac1n\to0 \qquad\text{și}\qquad \frac1{n^2}\to0, \]
obținem
\[ \frac{\frac1n}{1+\frac1{n^2}}\to\frac0{1+0}=0. \]
Așadar
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n^2+1}=0. \]
Limita este finită, așadar șirul este convergent.
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este oscilant.
Rezolvare
Considerăm
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Calculăm câțiva termeni:
\[ a_1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, \]
\[ a_2=\sin(\pi)=0, \]
\[ a_3=\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1, \]
\[ a_4=\sin(2\pi)=0. \]
Așadar, termenii se repetă după modelul
\[ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ \ldots \]
Șirul nu se apropie de un unic număr real.
Într-adevăr, considerând rangurile de forma \(4k+1\), obținem
\[ a_{4k+1}=1. \]
Așadar
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{4k+1}=1. \]
Considerând, în schimb, rangurile de forma \(4k+2\), obținem
\[ a_{4k+2}=0. \]
Așadar
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{4k+2}=0. \]
Șirul are două subșiruri convergente către limite diferite. În consecință, el nu este convergent.
În plus, pentru orice \(n\in\mathbb N^*\), avem
\[ -1\leq a_n\leq 1. \]
Prin urmare, șirul este mărginit și nu poate diverge nici la \(+\infty\), nici la \(-\infty\).
Așadar, el este oscilant.
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=n(-1)^n. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este oscilant.
Rezolvare
Șirul este dat de
\[ a_n=n(-1)^n. \]
Studiem separat rangurile pare și rangurile impare.
Dacă \(n=2k\), atunci
\[ a_{2k}=2k(-1)^{2k}=2k. \]
Așadar
\[ a_{2k}\to+\infty \]
când \(k\to+\infty\).
Iar dacă \(n=2k-1\), atunci
\[ a_{2k-1}=(2k-1)(-1)^{2k-1}=-(2k-1). \]
Așadar
\[ a_{2k-1}\to-\infty \]
când \(k\to+\infty\).
Șirul nu poate converge către un număr real, deoarece o parte dintre termenii săi cresc peste orice margine, iar cealaltă parte scade sub orice margine.
Nu diverge la \(+\infty\), deoarece termenii de rang impar devin tot mai negativi și, prin urmare, nu pot fi, de la un anumit rang încolo, mai mari decât orice prag pozitiv.
Nu diverge nici la \(-\infty\), deoarece termenii de rang par devin tot mai pozitivi și, prin urmare, nu pot fi, de la un anumit rang încolo, mai mici decât orice prag negativ.
Așadar, șirul nu este convergent și nu diverge nici la \(+\infty\), nici la \(-\infty\).
Prin urmare, el este oscilant.
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este oscilant.
Rezolvare
Considerăm
\[ a_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
Factorul
\[ \frac{n}{n+1} \]
tinde la \(1\), în timp ce factorul \((-1)^n\) îi schimbă alternativ semnul.
Studiem subșirurile de rang par și de rang impar.
Dacă \(n=2k\), atunci
\[ a_{2k}=\frac{(-1)^{2k}\,2k}{2k+1}=\frac{2k}{2k+1}. \]
Deoarece
\[ \frac{2k}{2k+1}\to1, \]
avem
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1. \]
Iar dacă \(n=2k-1\), atunci
\[ a_{2k-1}=\frac{(-1)^{2k-1}(2k-1)}{2k}=-\frac{2k-1}{2k}. \]
Deoarece
\[ \frac{2k-1}{2k}\to1, \]
obținem
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
Așadar, șirul are două subșiruri convergente către limite diferite:
\[ 1 \qquad\text{și}\qquad -1. \]
De aceea, șirul nu este convergent.
În plus, el este mărginit, deoarece
\[ \left|\frac{(-1)^n n}{n+1}\right|=\frac{n}{n+1}<1. \]
Fiind mărginit, nu diverge nici la \(+\infty\), nici la \(-\infty\).
Așadar, șirul este oscilant.
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=\frac{n^2+3n}{2n^2-1}. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este convergent și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-1}=\frac12. \]
Rezolvare
Considerăm
\[ a_n=\frac{n^2+3n}{2n^2-1}. \]
Numărătorul și numitorul sunt polinoame de același grad, și anume de gradul \(2\).
În acest caz, limita este raportul coeficienților termenilor de grad maxim. Să verificăm aceasta împărțind numărătorul și numitorul la \(n^2\):
\[ \frac{n^2+3n}{2n^2-1} = \frac{1+\frac3n}{2-\frac1{n^2}}. \]
Acum
\[ \frac3n\to0 \qquad\text{și}\qquad \frac1{n^2}\to0. \]
Așadar
\[ \frac{1+\frac3n}{2-\frac1{n^2}}\to\frac{1+0}{2-0}=\frac12. \]
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-1}=\frac12. \]
Deoarece limita este reală și finită, șirul este convergent.
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n=\frac{n^3+1}{n^2+1}. \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este divergent, cu limita \(+\infty\).
Rezolvare
Considerăm
\[ a_n=\frac{n^3+1}{n^2+1}. \]
Numărătorul are gradul \(3\), iar numitorul are gradul \(2\). Așadar, numărătorul crește mai repede decât numitorul.
Împărțim numărătorul și numitorul la \(n^2\):
\[ \frac{n^3+1}{n^2+1} = \frac{n+\frac1{n^2}}{1+\frac1{n^2}}. \]
Când \(n\to+\infty\), avem
\[ n+\frac1{n^2}\to+\infty \]
și
\[ 1+\frac1{n^2}\to1. \]
Așadar, șirul tinde la \(+\infty\).
Să stabilim și o estimare simplă. Pentru orice \(n\geq1\), avem
\[ n^2+1\leq 2n^2. \]
În plus
\[ n^3+1\geq n^3. \]
Prin urmare
\[ a_n=\frac{n^3+1}{n^2+1}\geq\frac{n^3}{2n^2}=\frac n2. \]
Deoarece
\[ \frac n2\to+\infty, \]
rezultă că și \(a_n\to+\infty\).
Așadar
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^3+1}{n^2+1}=+\infty. \]
Șirul este divergent, cu limita \(+\infty\).
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Să se studieze comportamentul șirului
\[ a_n= \begin{cases} \dfrac{1}{n} & \text{dacă } n \text{ este par},\\[6pt] 2+\dfrac{1}{n} & \text{dacă } n \text{ este impar}. \end{cases} \]
Să se stabilească dacă este convergent, divergent sau oscilant.
Rezultat
Șirul este oscilant.
Rezolvare
Șirul este definit diferit, după cum rangul \(n\) este par sau impar:
\[ a_n= \begin{cases} \dfrac{1}{n} & \text{dacă } n \text{ este par},\\[6pt] 2+\dfrac{1}{n} & \text{dacă } n \text{ este impar}. \end{cases} \]
Studiem subșirul de rang par. Dacă \(n=2k\), atunci
\[ a_{2k}=\frac{1}{2k}. \]
Deoarece
\[ \frac{1}{2k}\to0 \]
când \(k\to+\infty\), obținem
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=0. \]
Studiem acum subșirul de rang impar. Dacă \(n=2k-1\), atunci
\[ a_{2k-1}=2+\frac{1}{2k-1}. \]
Deoarece
\[ \frac{1}{2k-1}\to0, \]
rezultă că
\[ 2+\frac{1}{2k-1}\to2. \]
Așadar
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=2. \]
Așadar, șirul are două subșiruri convergente către limite diferite:
\[ 0 \qquad\text{și}\qquad 2. \]
Din acest motiv, șirul nu poate fi convergent.
În plus, șirul este mărginit. Într-adevăr, pentru \(n\) par avem
\[ a_n=\frac1n, \]
deci \(0<a_n\leq \frac12\), iar pentru \(n\) impar avem
\[ a_n=2+\frac1n, \]
deci \(2<a_n\leq3\).
În orice caz, termenii rămân cuprinși într-un interval mărginit. De exemplu,
\[ 0<a_n\leq3 \]
pentru orice \(n\in\mathbb N^*\).
Fiind mărginit, șirul nu poate diverge nici la \(+\infty\), nici la \(-\infty\).
Așadar, șirul nu este convergent și nu are limită infinită.
Prin urmare, el este oscilant.