În această pagină propunem 20 de exerciții rezolvate despre teorema limitei unui șir monoton. Exercițiile arată cum se studiază monotonia unui șir, cum se stabilește dacă acesta este mărginit și cum se deduce existența limitei folosind teorema limitei unui șir monoton.
În particular, vom folosi faptul că un șir crescător converge către marginea sa superioară atunci când este mărginit superior și diverge către \(+\infty\) atunci când nu este mărginit superior. În mod analog, un șir descrescător converge către marginea sa inferioară atunci când este mărginit inferior și diverge către \(-\infty\) atunci când nu este mărginit inferior.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Să se studieze monotonia șirului
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
și să se deducă limita sa folosind teorema limitei unui șir monoton.
Rezultat
Șirul este descrescător, mărginit inferior și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Rezolvare
Considerăm șirul
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Pentru a studia monotonia, comparăm doi termeni consecutivi:
\[ a_{n+1}=\frac{1}{n+1}. \]
Deoarece \(n+1>n\), iar numitorii sunt pozitivi, rezultă
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}. \]
Așadar
\[ a_{n+1}<a_n. \]
Prin urmare șirul este strict descrescător, deci descrescător.
În plus, pentru orice \(n\geq1\), avem
\[ \frac1n>0. \]
Așadar \(0\) este un minorant al șirului. Șirul este descrescător și mărginit inferior.
Conform teoremei limitei unui șir monoton, acesta converge către marginea sa inferioară:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\inf\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Marginea inferioară este \(0\). Într-adevăr, termenii sunt toți strict pozitivi, dar pot deveni arbitrar de mici.
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac1n=0. \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Să se studieze monotonia șirului
\[ a_n=1-\frac{1}{n} \]
și să se deducă limita sa.
Rezultat
Șirul este crescător, mărginit superior și
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac1n\right)=1. \]
Rezolvare
Șirul este
\[ a_n=1-\frac1n. \]
Calculăm termenul următor:
\[ a_{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Deoarece
\[ \frac{1}{n+1}<\frac1n, \]
schimbând semnul, obținem
\[ -\frac{1}{n+1}>-\frac1n. \]
Adunând \(1\) la ambii membri:
\[ 1-\frac{1}{n+1}>1-\frac1n. \]
Așadar
\[ a_{n+1}>a_n. \]
Șirul este strict crescător.
În plus, pentru orice \(n\geq1\),
\[ 1-\frac1n<1. \]
Așadar \(1\) este un majorant al șirului.
Conform teoremei limitei unui șir monoton, un șir crescător și mărginit superior converge către marginea sa superioară.
În acest caz
\[ \sup\left\{1-\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=1. \]
Într-adevăr, termenii sunt întotdeauna mai mici decât \(1\), dar se apropie arbitrar de mult de \(1\).
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac1n\right)=1. \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Să se studieze șirul
\[ a_n=n. \]
Să se stabilească dacă este monoton, dacă este mărginit și să se determine limita.
Rezultat
Șirul este crescător, nemărginit superior și
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Rezolvare
Șirul este
\[ a_n=n. \]
Termenul următor este
\[ a_{n+1}=n+1. \]
Pentru orice \(n\geq1\), avem
\[ n+1>n. \]
Așadar
\[ a_{n+1}>a_n. \]
Șirul este strict crescător.
Nu este mărginit superior. Într-adevăr, fixând un număr oarecare \(M>0\), putem alege un număr natural \(n\) astfel încât
\[ n>M. \]
Atunci
\[ a_n=n>M. \]
Așadar șirul crește nemărginit.
Conform teoremei limitei unui șir monoton, un șir crescător și nemărginit superior diverge către \(+\infty\).
Așadar
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Exercițiul 4 — nivel ★☆☆☆☆
Să se studieze șirul
\[ a_n=-n. \]
Să se stabilească dacă este monoton, dacă este mărginit și să se determine limita.
Rezultat
Șirul este descrescător, nemărginit inferior și
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Rezolvare
Șirul este
\[ a_n=-n. \]
Termenul următor este
\[ a_{n+1}=-(n+1)=-n-1. \]
Deoarece
\[ -n-1<-n, \]
avem
\[ a_{n+1}<a_n. \]
Șirul este strict descrescător.
Nu este mărginit inferior. Într-adevăr, fixând \(M>0\), putem alege \(n\) astfel încât
\[ n>M. \]
Înmulțind cu \(-1\), obținem
\[ -n<-M. \]
Așadar termenii șirului devin mai mici decât orice prag negativ.
Conform teoremei limitei unui șir monoton, un șir descrescător și nemărginit inferior diverge către \(-\infty\).
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Să se studieze șirul
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Să se stabilească dacă este monoton, dacă este mărginit și să se determine limita.
Rezultat
Șirul este crescător, mărginit superior și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Rezolvare
Rescriem termenul general:
\[ a_n=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Deoarece șirul
\[ \frac{1}{n+1} \]
este descrescător, șirul
\[ 1-\frac{1}{n+1} \]
este crescător.
Să verificăm aceasta direct. Avem
\[ a_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}. \]
Calculăm diferența:
\[ a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}. \]
Aducând la același numitor:
\[ a_{n+1}-a_n= \frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+2)(n+1)}. \]
Dezvoltăm numărătorul:
\[ (n+1)^2-n(n+2)=n^2+2n+1-(n^2+2n)=1. \]
Așadar
\[ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0. \]
Prin urmare \(a_{n+1}>a_n\), adică șirul este strict crescător.
În plus
\[ \frac{n}{n+1}<1 \]
pentru orice \(n\geq1\), așadar \(1\) este un majorant.
Conform teoremei limitei unui șir monoton, șirul converge către marginea sa superioară.
Deoarece termenii se apropie de \(1\) dinspre stânga, avem
\[ \sup\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=1. \]
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Să se studieze șirul
\[ a_n=\frac{n+1}{n}. \]
Să se stabilească dacă este monoton, dacă este mărginit și să se determine limita.
Rezultat
Șirul este descrescător, mărginit inferior și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n}=1. \]
Rezolvare
Rescriem șirul:
\[ a_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac1n. \]
Deoarece \(\frac1n\) este descrescător, și șirul
\[ 1+\frac1n \]
este descrescător.
Să verificăm aceasta cu termenii consecutivi:
\[ a_{n+1}=1+\frac{1}{n+1}. \]
Deoarece
\[ \frac{1}{n+1}<\frac1n, \]
adunând \(1\) la ambii membri, obținem
\[ 1+\frac{1}{n+1}<1+\frac1n. \]
Așadar
\[ a_{n+1}<a_n. \]
Șirul este strict descrescător.
În plus, pentru orice \(n\geq1\),
\[ 1+\frac1n>1. \]
Așadar \(1\) este un minorant.
Un șir descrescător și mărginit inferior converge către marginea sa inferioară.
În acest caz
\[ \inf\left\{1+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=1. \]
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n}=1. \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Să se studieze șirul
\[ a_n=2-\frac{3}{n}. \]
Să se stabilească dacă este monoton, dacă este mărginit și să se determine limita.
Rezultat
Șirul este crescător, mărginit superior și
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2-\frac3n\right)=2. \]
Rezolvare
Considerăm
\[ a_n=2-\frac3n. \]
Termenul următor este
\[ a_{n+1}=2-\frac{3}{n+1}. \]
Deoarece
\[ \frac{3}{n+1}<\frac3n, \]
schimbând semnul, se obține
\[ -\frac{3}{n+1}>-\frac3n. \]
Adunând \(2\):
\[ 2-\frac{3}{n+1}>2-\frac3n. \]
Așadar
\[ a_{n+1}>a_n. \]
Șirul este strict crescător.
În plus, pentru orice \(n\geq1\),
\[ 2-\frac3n<2. \]
Așadar \(2\) este un majorant.
Conform teoremei limitei unui șir monoton, șirul converge către marginea sa superioară.
Deoarece \(\frac3n\to0\), termenii se apropie de \(2\) dinspre stânga. Prin urmare
\[ \sup\left\{2-\frac3n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=2. \]
Concluzionăm că
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2-\frac3n\right)=2. \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Să se studieze șirul
\[ a_n=5+\frac{2}{n}. \]
Să se stabilească dacă este monoton, dacă este mărginit și să se determine limita.
Rezultat
Șirul este descrescător, mărginit inferior și
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(5+\frac2n\right)=5. \]
Rezolvare
Considerăm
\[ a_n=5+\frac2n. \]
Termenul următor este
\[ a_{n+1}=5+\frac{2}{n+1}. \]
Deoarece
\[ \frac{2}{n+1}<\frac2n, \]
adunând \(5\) la ambii membri, obținem
\[ 5+\frac{2}{n+1}<5+\frac2n. \]
Așadar
\[ a_{n+1}<a_n. \]
Șirul este strict descrescător.
În plus, pentru orice \(n\geq1\),
\[ 5+\frac2n>5. \]
Așadar \(5\) este un minorant.
Un șir descrescător și mărginit inferior converge către marginea sa inferioară.
Deoarece \(\frac2n\to0\), termenii se apropie de \(5\) dinspre dreapta. Prin urmare
\[ \inf\left\{5+\frac2n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=5. \]
Așadar
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(5+\frac2n\right)=5. \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
Să se studieze șirul
\[ a_n=\frac{2n+1}{n+1}. \]
Să se stabilească dacă este monoton, dacă este mărginit și să se determine limita.
Rezultat
Șirul este crescător, mărginit superior și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n+1}=2. \]
Rezolvare
Rescriem termenul general:
\[ \frac{2n+1}{n+1} = \frac{2(n+1)-1}{n+1} = 2-\frac{1}{n+1}. \]
Așadar
\[ a_n=2-\frac{1}{n+1}. \]
Deoarece \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\) este descrescător, termenul
\[ -\frac{1}{n+1} \]
este crescător. Așadar \(a_n\) este crescător.
Să verificăm și cu termenul următor:
\[ a_{n+1}=2-\frac{1}{n+2}. \]
Deoarece
\[ \frac{1}{n+2}<\frac{1}{n+1}, \]
avem
\[ -\frac{1}{n+2}>-\frac{1}{n+1}. \]
Adunând \(2\):
\[ 2-\frac{1}{n+2}>2-\frac{1}{n+1}. \]
Prin urmare
\[ a_{n+1}>a_n. \]
Șirul este strict crescător.
În plus
\[ a_n=2-\frac{1}{n+1}<2, \]
așadar \(2\) este un majorant.
Șirul este crescător și mărginit superior, așadar converge către marginea sa superioară.
Deoarece \(\displaystyle \frac1{n+1}\to0\), marginea superioară este \(2\). Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n+1}=2. \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
Să se studieze șirul
\[ a_n=\frac{3n+4}{n}. \]
Să se stabilească dacă este monoton, dacă este mărginit și să se determine limita.
Rezultat
Șirul este descrescător, mărginit inferior și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+4}{n}=3. \]
Rezolvare
Rescriem șirul:
\[ a_n=\frac{3n+4}{n}=3+\frac4n. \]
Deoarece \(\frac4n\) este descrescător, și șirul
\[ 3+\frac4n \]
este descrescător.
Într-adevăr
\[ a_{n+1}=3+\frac{4}{n+1}. \]
Întrucât
\[ \frac{4}{n+1}<\frac4n, \]
avem
\[ 3+\frac{4}{n+1}<3+\frac4n. \]
Așadar
\[ a_{n+1}<a_n. \]
Șirul este strict descrescător.
În plus
\[ 3+\frac4n>3 \]
pentru orice \(n\geq1\), așadar \(3\) este un minorant.
Conform teoremei limitei unui șir monoton, șirul converge către marginea sa inferioară.
Deoarece \(\frac4n\to0\), termenii se apropie de \(3\) dinspre dreapta. Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+4}{n}=3. \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Să se studieze șirul
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1}. \]
Să se stabilească dacă este monoton, dacă este mărginit și să se determine limita.
Rezultat
Șirul este crescător, mărginit superior și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^2+1}=1. \]
Rezolvare
Rescriem șirul:
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1}=1-\frac{1}{n^2+1}. \]
Deoarece \(n^2+1\) crește odată cu \(n\), cantitatea
\[ \frac{1}{n^2+1} \]
scade.
Prin urmare
\[ 1-\frac{1}{n^2+1} \]
crește.
Așadar șirul este crescător.
În plus, pentru orice \(n\geq1\),
\[ \frac{n^2}{n^2+1}<1. \]
Așadar \(1\) este un majorant.
Șirul este crescător și mărginit superior, așadar converge.
Conform teoremei limitei unui șir monoton, limita sa este marginea superioară a mulțimii valorilor sale.
Deoarece
\[ \frac{1}{n^2+1}\to0, \]
obținem
\[ a_n=1-\frac{1}{n^2+1}\to1. \]
Așadar
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^2+1}=1. \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Să se studieze șirul
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n^2}. \]
Să se stabilească dacă este monoton, dacă este mărginit și să se determine limita.
Rezultat
Șirul este descrescător, mărginit inferior și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+1}{n^2}=1. \]
Rezolvare
Rescriem șirul:
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n^2}=1+\frac1{n^2}. \]
Șirul \(\frac1{n^2}\) este descrescător, deoarece \(n^2\) crește odată cu \(n\).
Așadar și
\[ 1+\frac1{n^2} \]
este descrescător.
În plus, pentru orice \(n\geq1\),
\[ 1+\frac1{n^2}>1. \]
Prin urmare \(1\) este un minorant.
Șirul este descrescător și mărginit inferior, așadar converge către marginea sa inferioară.
Deoarece
\[ \frac1{n^2}\to0, \]
avem
\[ 1+\frac1{n^2}\to1. \]
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+1}{n^2}=1. \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Să se studieze șirul
\[ a_n=\frac{2^n}{2^n+1}. \]
Să se stabilească dacă este monoton, dacă este mărginit și să se determine limita.
Rezultat
Șirul este crescător, mărginit superior și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2^n}{2^n+1}=1. \]
Rezolvare
Rescriem șirul:
\[ a_n=\frac{2^n}{2^n+1}=1-\frac{1}{2^n+1}. \]
Deoarece \(2^n\) crește odată cu \(n\), și \(2^n+1\) crește. Așadar
\[ \frac{1}{2^n+1} \]
scade.
Prin urmare
\[ 1-\frac{1}{2^n+1} \]
crește.
Prin urmare șirul este crescător.
În plus, pentru orice \(n\geq1\),
\[ \frac{2^n}{2^n+1}<1. \]
Așadar \(1\) este un majorant.
Șirul este crescător și mărginit superior; prin urmare converge către marginea sa superioară.
Deoarece
\[ \frac{1}{2^n+1}\to0, \]
rezultă că
\[ a_n=1-\frac{1}{2^n+1}\to1. \]
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2^n}{2^n+1}=1. \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Să se studieze șirul
\[ a_n=\frac{3^n+1}{3^n}. \]
Să se stabilească dacă este monoton, dacă este mărginit și să se determine limita.
Rezultat
Șirul este descrescător, mărginit inferior și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3^n+1}{3^n}=1. \]
Rezolvare
Rescriem termenul general:
\[ a_n=\frac{3^n+1}{3^n}=1+\frac{1}{3^n}. \]
Deoarece \(3^n\) crește odată cu \(n\), șirul
\[ \frac{1}{3^n} \]
este descrescător.
Așadar
\[ a_n=1+\frac{1}{3^n} \]
este descrescător.
În plus, pentru orice \(n\geq1\),
\[ 1+\frac{1}{3^n}>1. \]
Așadar \(1\) este un minorant.
Șirul este descrescător și mărginit inferior, prin urmare converge către marginea sa inferioară.
Deoarece
\[ \frac1{3^n}\to0, \]
rezultă că
\[ 1+\frac1{3^n}\to1. \]
Așadar
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3^n+1}{3^n}=1. \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
Să se studieze șirul
\[ a_n=\frac{n^2+n}{n^2+n+1}. \]
Să se stabilească dacă este monoton, dacă este mărginit și să se determine limita.
Rezultat
Șirul este crescător, mărginit superior și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+n}{n^2+n+1}=1. \]
Rezolvare
Rescriem șirul:
\[ a_n=\frac{n^2+n}{n^2+n+1}=1-\frac{1}{n^2+n+1}. \]
Numitorul
\[ n^2+n+1 \]
crește odată cu \(n\). Într-adevăr, trecând de la \(n\) la \(n+1\), obținem
\[ (n+1)^2+(n+1)+1=n^2+3n+3, \]
care este mai mare decât
\[ n^2+n+1. \]
Așadar
\[ \frac{1}{n^2+n+1} \]
este descrescător.
Prin urmare
\[ 1-\frac{1}{n^2+n+1} \]
este crescător.
În plus, pentru orice \(n\geq1\),
\[ a_n=\frac{n^2+n}{n^2+n+1}<1. \]
Așadar \(1\) este un majorant.
Șirul este crescător și mărginit superior, așadar converge.
Deoarece
\[ \frac{1}{n^2+n+1}\to0, \]
avem
\[ a_n=1-\frac{1}{n^2+n+1}\to1. \]
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+n}{n^2+n+1}=1. \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Să se studieze șirul
\[ a_n=\frac{n^2+2}{n^2+1}. \]
Să se stabilească dacă este monoton, dacă este mărginit și să se determine limita.
Rezultat
Șirul este descrescător, mărginit inferior și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+2}{n^2+1}=1. \]
Rezolvare
Rescriem:
\[ a_n=\frac{n^2+2}{n^2+1} = \frac{n^2+1+1}{n^2+1} = 1+\frac{1}{n^2+1}. \]
Deoarece \(n^2+1\) crește odată cu \(n\), cantitatea
\[ \frac{1}{n^2+1} \]
scade.
Așadar
\[ a_n=1+\frac{1}{n^2+1} \]
este descrescător.
În plus, pentru orice \(n\geq1\),
\[ a_n>1. \]
Așadar \(1\) este un minorant.
Conform teoremei limitei unui șir monoton, șirul converge către marginea sa inferioară.
Deoarece
\[ \frac{1}{n^2+1}\to0, \]
obținem
\[ a_n\to1. \]
Așadar
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+2}{n^2+1}=1. \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Să se studieze șirul
\[ a_n=\sqrt{n}. \]
Să se stabilească dacă este monoton, dacă este mărginit și să se determine limita.
Rezultat
Șirul este crescător, nemărginit superior și
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty. \]
Rezolvare
Șirul este
\[ a_n=\sqrt n. \]
Deoarece \(n+1>n\), iar rădăcina pătrată păstrează ordinea pe mulțimea numerelor nenegative, avem
\[ \sqrt{n+1}>\sqrt n. \]
Așadar
\[ a_{n+1}>a_n. \]
Șirul este strict crescător.
Arătăm acum că nu este mărginit superior. Fixând \(M>0\), dorim să găsim \(n\) astfel încât
\[ \sqrt n>M. \]
Această inegalitate este echivalentă cu
\[ n>M^2. \]
Este întotdeauna posibil să alegem un număr natural \(n\) mai mare decât \(M^2\). Așadar șirul nu este mărginit superior.
Fiind crescător și nemărginit superior, conform teoremei limitei unui șir monoton acesta diverge către \(+\infty\).
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty. \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Să se studieze șirul
\[ a_n=-\sqrt n. \]
Să se stabilească dacă este monoton, dacă este mărginit și să se determine limita.
Rezultat
Șirul este descrescător, nemărginit inferior și
\[ \lim_{n\to+\infty}(-\sqrt n)=-\infty. \]
Rezolvare
Șirul este
\[ a_n=-\sqrt n. \]
Deoarece
\[ \sqrt{n+1}>\sqrt n, \]
înmulțind cu \(-1\), sensul inegalității se schimbă:
\[ -\sqrt{n+1}<-\sqrt n. \]
Așadar
\[ a_{n+1}<a_n. \]
Șirul este strict descrescător.
Nu este mărginit inferior. Într-adevăr, fixând \(M>0\), dorim să găsim \(n\) astfel încât
\[ -\sqrt n<-M. \]
Înmulțind cu \(-1\), sensul se schimbă:
\[ \sqrt n>M. \]
Această inegalitate este verificată atunci când
\[ n>M^2. \]
Așadar termenii devin mai mici decât orice prag negativ.
Fiind descrescător și nemărginit inferior, șirul diverge către \(-\infty\).
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}(-\sqrt n)=-\infty. \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
Fie \((a_n)\) un șir crescător astfel încât
\[ a_n<4 \]
pentru orice \(n\geq1\). Să se stabilească dacă șirul are limită și să se precizeze ce se poate spune despre valoarea sa.
Rezultat
Șirul este convergent. Limita sa \(L\) există și este egală cu
\[ L=\sup\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
În plus, \(L\leq4\).
Rezolvare
Șirul \((a_n)\) este crescător prin ipoteză. În plus, pentru orice \(n\geq1\), are loc
\[ a_n<4. \]
Așadar \(4\) este un majorant al mulțimii valorilor șirului:
\[ \{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Prin urmare șirul este crescător și mărginit superior.
Conform teoremei limitei unui șir monoton, un șir crescător și mărginit superior converge către marginea sa superioară.
Prin urmare există limita finită
\[ L=\lim_{n\to+\infty}a_n. \]
În plus
\[ L=\sup\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Deoarece \(4\) este un majorant, marginea superioară nu poate fi mai mare decât \(4\). Așadar
\[ L\leq4. \]
Nu putem însă concluziona neapărat că \(L=4\). De exemplu, un șir crescător și mereu mai mic decât \(4\) ar putea converge către \(4\), dar ar putea de asemenea converge către un număr mai mic.
Așadar informația certă este:
\[ \text{șirul converge, iar limita sa verifică } L\leq4. \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Fie \((a_n)\) un șir descrescător astfel încât
\[ a_n>-2 \]
pentru orice \(n\geq1\). Să se stabilească dacă șirul are limită și să se precizeze ce se poate spune despre valoarea sa.
Rezultat
Șirul este convergent. Limita sa \(L\) există și este egală cu
\[ L=\inf\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
În plus, \(L\geq -2\).
Rezolvare
Șirul \((a_n)\) este descrescător prin ipoteză. În plus, pentru orice \(n\geq1\), are loc
\[ a_n>-2. \]
Așadar \(-2\) este un minorant al mulțimii valorilor șirului:
\[ \{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Prin urmare șirul este descrescător și mărginit inferior.
Conform teoremei limitei unui șir monoton, un șir descrescător și mărginit inferior converge către marginea sa inferioară.
Prin urmare există limita finită
\[ L=\lim_{n\to+\infty}a_n. \]
În plus
\[ L=\inf\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Deoarece \(-2\) este un minorant, marginea inferioară nu poate fi mai mică decât \(-2\). Așadar
\[ L\geq -2. \]
Nu putem însă concluziona neapărat că \(L=-2\). Șirul ar putea tinde către \(-2\), dar ar putea de asemenea tinde către un număr mai mare.
Așadar informația certă este:
\[ \text{șirul converge, iar limita sa verifică } L\geq -2. \]