În această pagină prezentăm 20 de exerciții rezolvate pas cu pas, dedicate teoremei permanenței semnului pentru șiruri. Scopul este să învățăm să recunoaștem când un șir este pozitiv de la un anumit rang sau negativ de la un anumit rang, pornind de la comportamentul limitei sale.
Exercițiile au fost concepute pentru a clarifica sensul exact al expresiei de la un anumit rang, rolul fundamental al ipotezei \(L\neq0\), precum și situațiile în care teorema nu se poate aplica, cum sunt șirurile cu limită nulă sau cele care nu au limită.
În unele exerciții vom aplica direct proprietatea de păstrare a semnului, iar în altele vom determina și un rang posibil \(N\) începând de la care semnul șirului devine constant. În acest fel, rezultatul teoretic este legat în mod concret de studiul semnului termenilor unui șir.
Reamintim că, dacă \(\lim_{n\to+\infty}a_n=L\) cu \(L>0\), atunci există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N\), avem \(a_n>0\). Dacă, în schimb, \(\lim_{n\to+\infty}a_n=L\) cu \(L<0\), atunci există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N\), avem \(a_n<0\).
În scriere simbolică:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L>0 \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}:\forall n\geq N,\ a_n>0, \]
iar
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L<0 \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}:\forall n\geq N,\ a_n<0. \]
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă șirul
\[ a_n=2+\frac{1}{n} \]
este pozitiv de la un anumit rang, justificând răspunsul cu ajutorul teoremei permanenței semnului.
Rezultat
Șirul este pozitiv de la un anumit rang.
Rezolvare
Calculăm limita șirului:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2. \]
Limita există, este reală și diferită de zero. În plus, este pozitivă, deoarece
\[ 2>0. \]
Conform teoremei permanenței semnului, dacă un șir converge către o limită pozitivă, atunci termenii săi sunt pozitivi de la un anumit rang.
Prin urmare, există un rang \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N\), avem
\[ a_n>0. \]
În cazul de față, se observă de altfel direct că
\[ 2+\frac{1}{n}>0 \]
pentru orice \(n\geq1\). Așadar, șirul nu este pozitiv doar de la un anumit rang, ci este pozitiv pentru orice rang din domeniul său.
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă șirul
\[ a_n=\frac{3}{n}-5 \]
este negativ de la un anumit rang.
Rezultat
Șirul este negativ de la un anumit rang.
Rezolvare
Calculăm limita:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3}{n}-5\right)=-5. \]
Limita este un număr real negativ și diferit de zero.
Conform teoremei permanenței semnului, un șir care converge către o limită negativă este negativ de la un anumit rang.
Așadar, există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N\),
\[ a_n<0. \]
Putem verifica de asemenea direct de la ce rang se întâmplă acest lucru. Rezolvăm:
\[ \frac{3}{n}-5<0. \]
Trecând \(5\) în membrul al doilea, obținem
\[ \frac{3}{n}<5. \]
Deoarece \(n>0\), putem înmulți cu \(n\) fără a schimba sensul inegalității:
\[ 3<5n. \]
Prin urmare
\[ n>\frac{3}{5}. \]
Această inegalitate este verificată pentru orice \(n\geq1\). Așadar, șirul este negativ pentru orice \(n\geq1\), deci cu atât mai mult negativ de la un anumit rang.
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă șirul
\[ a_n=-1+\frac{4}{n} \]
este negativ de la un anumit rang și să se determine un rang posibil \(N\).
Rezultat
Șirul este negativ de la un anumit rang. Un rang posibil este \(N=5\).
Rezolvare
Calculăm limita:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-1+\frac{4}{n}\right)=-1. \]
Limita este negativă și diferită de zero. Așadar, conform teoremei permanenței semnului, șirul este negativ de la un anumit rang.
Pentru a determina explicit un rang \(N\), rezolvăm inegalitatea
\[ -1+\frac{4}{n}<0. \]
Trecând \(-1\) în membrul al doilea:
\[ \frac{4}{n}<1. \]
Deoarece \(n>0\), înmulțim cu \(n\):
\[ 4<n. \]
Prin urmare, inegalitatea este verificată pentru orice \(n>4\), adică pentru orice \(n\geq5\).
Așadar, alegând \(N=5\), avem
\[ a_n<0 \]
pentru orice \(n\geq5\).
Exercițiul 4 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă șirul
\[ a_n=7-\frac{10}{n} \]
este pozitiv de la un anumit rang și să se determine un rang posibil \(N\).
Rezultat
Șirul este pozitiv de la un anumit rang. Un rang posibil este \(N=2\).
Rezolvare
Calculăm limita:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(7-\frac{10}{n}\right)=7. \]
Limita este pozitivă și diferită de zero.
Conform teoremei permanenței semnului, șirul este pozitiv de la un anumit rang.
Să determinăm acum un rang explicit. Trebuie să rezolvăm:
\[ 7-\frac{10}{n}>0. \]
Trecând fracția în membrul al doilea:
\[ 7>\frac{10}{n}. \]
Deoarece \(n>0\), înmulțim cu \(n\):
\[ 7n>10. \]
Prin urmare
\[ n>\frac{10}{7}. \]
Cel mai mic număr întreg \(n\geq1\) care satisface această condiție este \(n=2\).
Așadar, alegând \(N=2\), avem
\[ a_n>0 \]
pentru orice \(n\geq2\).
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă șirul
\[ a_n=\frac{2n+1}{n+3} \]
este pozitiv de la un anumit rang.
Rezultat
Șirul este pozitiv de la un anumit rang.
Rezolvare
Împărțim numărătorul și numitorul la \(n\):
\[ a_n=\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{1+\displaystyle \frac{3}{n}}. \]
Trecând la limită:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{1+\displaystyle \frac{3}{n}}=\frac{2+0}{1+0}=2. \]
Limita este pozitivă și diferită de zero.
Conform teoremei permanenței semnului, șirul este pozitiv de la un anumit rang.
De fapt, chiar și fără teoremă putem observa că, pentru orice \(n\geq1\),
\[ 2n+1>0 \qquad \text{și} \qquad n+3>0. \]
Prin urmare
\[ \frac{2n+1}{n+3}>0 \]
pentru orice \(n\geq1\).
Acest lucru confirmă ceea ce prevede teorema: șirul este, cu siguranță, pozitiv de la un anumit rang.
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă șirul
\[ a_n=\frac{1-3n}{2n+5} \]
este negativ de la un anumit rang.
Rezultat
Șirul este negativ de la un anumit rang.
Rezolvare
Împărțim numărătorul și numitorul la \(n\):
\[ a_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}-3}{2+\displaystyle \frac{5}{n}}. \]
Calculăm limita:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}-3}{2+\displaystyle \frac{5}{n}}=\frac{0-3}{2+0}=-\frac{3}{2}. \]
Limita este negativă și diferită de zero.
Conform teoremei permanenței semnului, șirul este negativ de la un anumit rang.
Putem verifica direct și semnul. Pentru \(n\geq1\), numitorul \(2n+5\) este pozitiv, astfel încât semnul fracției depinde de numărător:
\[ 1-3n<0. \]
Această inegalitate este echivalentă cu
\[ 1<3n, \]
adică
\[ n>\frac{1}{3}. \]
Ea este adevărată pentru orice \(n\geq1\). Așadar, șirul este negativ pentru orice \(n\geq1\), deci negativ de la un anumit rang.
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă șirul
\[ a_n=\frac{n^2-4n+1}{n^2+1} \]
este pozitiv de la un anumit rang.
Rezultat
Șirul este pozitiv de la un anumit rang.
Rezolvare
Împărțim numărătorul și numitorul la \(n^2\):
\[ a_n=\frac{1-\displaystyle \frac{4}{n}+\displaystyle \frac{1}{n^2}}{1+\displaystyle \frac{1}{n^2}}. \]
Calculăm limita:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1-\displaystyle \frac{4}{n}+\displaystyle \frac{1}{n^2}}{1+\displaystyle \frac{1}{n^2}}=\frac{1-0+0}{1+0}=1. \]
Limita este pozitivă și diferită de zero.
Conform teoremei permanenței semnului, șirul este pozitiv de la un anumit rang.
Observăm că teorema nu afirmă neapărat că șirul ar fi pozitiv pentru orice \(n\). Ea spune doar că există un rang \(N\) începând de la care toți termenii sunt pozitivi.
Într-adevăr, numărătorul
\[ n^2-4n+1 \]
poate lua valori negative pentru câteva ranguri inițiale, însă acest lucru nu contrazice teorema.
Deoarece limita este \(1>0\), de la un anumit rang încolo avem cu siguranță
\[ a_n>0. \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă șirul
\[ a_n=\frac{-2n^2+n+4}{n^2+3} \]
este negativ de la un anumit rang.
Rezultat
Șirul este negativ de la un anumit rang.
Rezolvare
Împărțim numărătorul și numitorul la \(n^2\):
\[ a_n=\frac{-2+\displaystyle \frac{1}{n}+\displaystyle \frac{4}{n^2}}{1+\displaystyle \frac{3}{n^2}}. \]
Trecând la limită:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{-2+\displaystyle \frac{1}{n}+\displaystyle \frac{4}{n^2}}{1+\displaystyle \frac{3}{n^2}}=\frac{-2+0+0}{1+0}=-2. \]
Limita este negativă și diferită de zero.
Conform teoremei permanenței semnului, șirul este negativ de la un anumit rang.
Așadar, există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N\),
\[ a_n<0. \]
Chiar dacă primii termeni ar trebui verificați separat, acest fapt nu are importanță din punctul de vedere al teoremei, deoarece teorema se referă la comportamentul șirului de la un anumit rang încolo.
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă proprietatea de păstrare a semnului se poate aplica șirului
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Să se stabilească, de asemenea, dacă șirul este pozitiv de la un anumit rang sau negativ de la un anumit rang.
Rezultat
Teorema nu se poate aplica, deoarece limita este \(0\). Șirul nu este nici pozitiv de la un anumit rang, nici negativ de la un anumit rang.
Rezolvare
Calculăm limita șirului:
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Deoarece
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1, \]
împărțind la \(n>0\), obținem
\[ -\frac{1}{n}\leq \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}. \]
Deoarece
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad \text{și} \qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
conform teoremei cleștelui rezultă că
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Limita există, dar este nulă.
Proprietatea de păstrare a semnului cere ca limita să fie reală și diferită de zero. În acest caz, ipoteza \(L\neq0\) nu este îndeplinită, prin urmare teorema nu se poate aplica.
Studiem acum direct semnul șirului. Dacă \(n\) este par, atunci \((-1)^n=1\), deci
\[ a_n=\frac{1}{n}>0. \]
Dacă, în schimb, \(n\) este impar, atunci \((-1)^n=-1\), deci
\[ a_n=-\frac{1}{n}<0. \]
Așadar, șirul își schimbă semnul de o infinitate de ori.
Reamintim că a spune că un șir este pozitiv de la un anumit rang înseamnă că există un rang \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ a_n>0 \]
pentru orice \(n\geq N\). Or, acest lucru nu se întâmplă, deoarece după orice rang se mai găsesc încă o infinitate de ranguri impare, pentru care \(a_n<0\).
În mod analog, șirul nu este negativ de la un anumit rang, deoarece după orice rang se mai găsesc încă o infinitate de ranguri pare, pentru care \(a_n>0\).
Prin urmare, teorema nu se poate aplica, iar șirul nu este nici pozitiv de la un anumit rang, nici negativ de la un anumit rang.
Exercițiul 10 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă proprietatea de păstrare a semnului se poate aplica șirului
\[ a_n=(-1)^n+2. \]
Să se stabilească, de asemenea, dacă șirul este pozitiv de la un anumit rang.
Rezultat
Teorema nu se poate aplica, deoarece șirul nu admite limită. Cu toate acestea, șirul este pozitiv pentru orice \(n\), prin urmare este pozitiv de la un anumit rang.
Rezolvare
Observăm comportamentul șirului:
\[ a_n=(-1)^n+2. \]
Dacă \(n\) este par, atunci \((-1)^n=1\), deci
\[ a_n=1+2=3. \]
Dacă \(n\) este impar, atunci \((-1)^n=-1\), deci
\[ a_n=-1+2=1. \]
Așadar, șirul ia alternativ valorile \(3\) și \(1\). În particular, subșirul termenilor de rang par tinde la \(3\), în timp ce subșirul termenilor de rang impar tinde la \(1\).
Deoarece aceste două valori sunt diferite, șirul nu converge către o limită reală unică.
Proprietatea de păstrare a semnului cere existența unei limite reale nenule. În acest caz, limita nu există, prin urmare teorema nu se poate aplica.
Cu toate acestea, putem studia direct semnul. Am văzut că, pentru orice \(n\), șirul ia doar valorile \(1\) și \(3\). Prin urmare
\[ a_n>0 \]
pentru orice \(n\).
Rezultă că șirul este pozitiv de la un anumit rang. Într-adevăr, putem alege, de exemplu, \(N=1\), iar pentru orice \(n\geq1\) avem \(a_n>0\).
Acest exercițiu arată că un șir poate fi pozitiv de la un anumit rang chiar și atunci când proprietatea de păstrare a semnului nu se poate aplica. Într-un asemenea caz, însă, pozitivitatea de la un anumit rang trebuie demonstrată direct, nu dedusă din teoremă.
Exercițiul 11 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă șirul
\[ a_n=\frac{n-5}{n+2} \]
este pozitiv de la un anumit rang și să se determine un rang posibil \(N\).
Rezultat
Șirul este pozitiv de la un anumit rang. Un rang posibil este \(N=6\).
Rezolvare
Calculăm limita șirului:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n-5}{n+2}=1. \]
Într-adevăr, numărătorul și numitorul au același grad, iar raportul coeficienților dominanți este
\[ \frac{1}{1}=1. \]
Limita este pozitivă și diferită de zero.
Conform teoremei permanenței semnului, șirul este pozitiv de la un anumit rang.
Să determinăm acum explicit un rang \(N\). Trebuie să rezolvăm:
\[ \frac{n-5}{n+2}>0. \]
Pentru \(n\geq1\), numitorul este pozitiv, deoarece
\[ n+2>0. \]
Prin urmare, semnul fracției depinde de numărător:
\[ n-5>0. \]
Obținem
\[ n>5. \]
Așadar, pentru orice \(n\geq6\), avem
\[ a_n>0. \]
Prin urmare, putem alege \(N=6\).
Exercițiul 12 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă șirul
\[ a_n=\frac{4-2n}{n+1} \]
este negativ de la un anumit rang și să se determine un rang posibil \(N\).
Rezultat
Șirul este negativ de la un anumit rang. Un rang posibil este \(N=3\).
Rezolvare
Calculăm limita:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{4-2n}{n+1}=-2. \]
Limita este negativă și diferită de zero.
Conform teoremei permanenței semnului, șirul este negativ de la un anumit rang.
Să determinăm acum un rang explicit. Trebuie să rezolvăm:
\[ \frac{4-2n}{n+1}<0. \]
Pentru \(n\geq1\), numitorul este pozitiv:
\[ n+1>0. \]
Așadar, fracția este negativă atunci când numărătorul este negativ:
\[ 4-2n<0. \]
Trecând \(2n\) în membrul al doilea:
\[ 4<2n. \]
Împărțind la \(2\), obținem
\[ 2<n. \]
Prin urmare
\[ n>2. \]
Pentru orice \(n\geq3\), șirul este negativ. Putem alege, așadar, \(N=3\).
Exercițiul 13 — nivel ★★☆☆☆
Să se demonstreze că șirul
\[ a_n=3-\frac{2}{n} \]
este mai mare decât \(1\) de la un anumit rang.
Rezultat
Șirul este mai mare decât \(1\) de la un anumit rang. Un rang posibil este \(N=2\).
Rezolvare
Proprietatea de păstrare a semnului se referă la semnul unui șir. Pentru a studia inegalitatea
\[ a_n>1, \]
trecem totul în membrul stâng și considerăm șirul auxiliar
\[ b_n=a_n-1. \]
Deoarece
\[ a_n=3-\frac{2}{n}, \]
avem
\[ b_n=3-\frac{2}{n}-1=2-\frac{2}{n}. \]
Calculăm limita lui \(b_n\):
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2-\frac{2}{n}\right)=2. \]
Limita este pozitivă și diferită de zero. Așadar, conform teoremei permanenței semnului,
\[ b_n>0 \]
de la un anumit rang.
Dar \(b_n>0\) înseamnă exact
\[ a_n-1>0, \]
adică
\[ a_n>1. \]
Așadar, \(a_n\) este mai mare decât \(1\) de la un anumit rang.
Să determinăm și un rang explicit:
\[ 3-\frac{2}{n}>1. \]
Trecând \(1\) în membrul stâng:
\[ 2-\frac{2}{n}>0. \]
Prin urmare
\[ 2>\frac{2}{n}. \]
Deoarece \(n>0\), înmulțim cu \(n\):
\[ 2n>2. \]
Împărțind la \(2\), obținem
\[ n>1. \]
Așadar, pentru orice \(n\geq2\), avem
\[ a_n>1. \]
Exercițiul 14 — nivel ★★☆☆☆
Să se demonstreze că șirul
\[ a_n=-3+\frac{5}{n} \]
este mai mic decât \(-1\) de la un anumit rang.
Rezultat
Șirul este mai mic decât \(-1\) de la un anumit rang. Un rang posibil este \(N=3\).
Rezolvare
Dorim să demonstrăm că
\[ a_n<-1 \]
de la un anumit rang.
Trecem totul în membrul stâng:
\[ a_n+1<0. \]
Considerăm, așadar, șirul auxiliar
\[ b_n=a_n+1. \]
Deoarece
\[ a_n=-3+\frac{5}{n}, \]
obținem
\[ b_n=-3+\frac{5}{n}+1=-2+\frac{5}{n}. \]
Calculăm limita:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-2+\frac{5}{n}\right)=-2. \]
Limita este negativă și diferită de zero.
Conform teoremei permanenței semnului, avem
\[ b_n<0 \]
de la un anumit rang.
Dar \(b_n<0\) înseamnă
\[ a_n+1<0, \]
adică
\[ a_n<-1. \]
Așadar, \(a_n\) este mai mic decât \(-1\) de la un anumit rang.
Să determinăm acum un rang explicit:
\[ -3+\frac{5}{n}<-1. \]
Adunăm \(3\) la ambii membri:
\[ \frac{5}{n}<2. \]
Deoarece \(n>0\), înmulțim cu \(n\):
\[ 5<2n. \]
Prin urmare
\[ n>\frac{5}{2}. \]
Cel mai mic număr întreg \(n\geq1\) care satisface această condiție este \(n=3\).
Așadar, putem alege \(N=3\).
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
Să se demonstreze că șirul
\[ a_n=\frac{n^2+2n}{n^2+n+1} \]
este mai mare decât \(\displaystyle \frac{1}{2}\) de la un anumit rang.
Rezultat
Șirul este mai mare decât \(\displaystyle \frac{1}{2}\) de la un anumit rang.
Rezolvare
Dorim să demonstrăm că
\[ a_n>\frac{1}{2} \]
de la un anumit rang.
Pentru a folosi proprietatea de păstrare a semnului, considerăm diferența
\[ b_n=a_n-\frac{1}{2}. \]
Dacă demonstrăm că \(b_n>0\) de la un anumit rang, atunci vom fi demonstrat că
\[ a_n>\frac{1}{2} \]
de la un anumit rang.
Calculăm limita lui \(a_n\):
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+2n}{n^2+n+1}=1. \]
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\lim_{n\to+\infty}\left(a_n-\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. \]
Limita lui \(b_n\) este pozitivă și diferită de zero.
Conform teoremei permanenței semnului, șirul \(b_n\) este pozitiv de la un anumit rang.
Așadar
\[ a_n-\frac{1}{2}>0 \]
de la un anumit rang, adică
\[ a_n>\frac{1}{2} \]
de la un anumit rang.
Putem verifica și direct:
\[ \frac{n^2+2n}{n^2+n+1}>\frac{1}{2}. \]
Deoarece \(n^2+n+1>0\) pentru orice \(n\), putem înmulți cu \(2(n^2+n+1)\), care este pozitiv:
\[ 2(n^2+2n)>n^2+n+1. \]
Efectuând calculele:
\[ 2n^2+4n>n^2+n+1. \]
Trecând totul în membrul stâng:
\[ n^2+3n-1>0. \]
Pentru \(n\geq1\), avem
\[ n^2+3n-1\geq 1+3-1=3>0. \]
Prin urmare, de fapt,
\[ a_n>\frac{1}{2} \]
pentru orice \(n\geq1\).
Exercițiul 16 — nivel ★★★☆☆
Să se demonstreze că șirul
\[ a_n=\frac{-3n^2+n+1}{n^2+4} \]
este mai mic decât \(-2\) de la un anumit rang.
Rezultat
Șirul este mai mic decât \(-2\) de la un anumit rang.
Rezolvare
Dorim să demonstrăm că
\[ a_n<-2 \]
de la un anumit rang.
Trecem totul în membrul stâng:
\[ a_n+2<0. \]
Considerăm, așadar, șirul auxiliar
\[ b_n=a_n+2. \]
Dacă \(b_n<0\) de la un anumit rang, atunci \(a_n<-2\) de la un anumit rang.
Calculăm limita lui \(a_n\):
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{-3n^2+n+1}{n^2+4}=-3. \]
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\lim_{n\to+\infty}(a_n+2)=-3+2=-1. \]
Limita lui \(b_n\) este negativă și diferită de zero.
Conform teoremei permanenței semnului, \(b_n\) este negativ de la un anumit rang.
Așadar
\[ a_n+2<0 \]
de la un anumit rang, adică
\[ a_n<-2 \]
de la un anumit rang.
Verificăm și direct:
\[ \frac{-3n^2+n+1}{n^2+4}<-2. \]
Deoarece \(n^2+4>0\), putem înmulți fără a schimba sensul inegalității:
\[ -3n^2+n+1<-2(n^2+4). \]
Dezvoltând membrul al doilea:
\[ -3n^2+n+1<-2n^2-8. \]
Trecem totul în membrul stâng:
\[ -n^2+n+9<0. \]
Înmulțind cu \(-1\) și schimbând sensul inegalității:
\[ n^2-n-9>0. \]
Această inegalitate este, cu siguranță, adevărată pentru \(n\) suficient de mare. De exemplu, pentru \(n\geq4\) avem
\[ n^2-n-9\geq 16-4-9=3>0. \]
Prin urmare, un rang posibil este \(N=4\).
Exercițiul 17 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă șirul
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}+4 \]
este pozitiv de la un anumit rang.
Rezultat
Șirul este pozitiv de la un anumit rang.
Rezolvare
Șirul conține termenul oscilant \((-1)^n\), însă acest lucru nu împiedică neapărat existența limitei.
Într-adevăr,
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
Împărțind la \(n>0\), obținem
\[ -\frac{1}{n}\leq \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}. \]
Deoarece
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad \text{și} \qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
conform teoremei cleștelui avem
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{(-1)^n}{n}+4\right)=4. \]
Limita este pozitivă și diferită de zero.
Conform teoremei permanenței semnului, șirul este pozitiv de la un anumit rang.
De fapt, în acest caz putem observa și direct că
\[ \frac{(-1)^n}{n}\geq -\frac{1}{n}\geq -1 \]
pentru orice \(n\geq1\). Așadar
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}+4\geq -1+4=3>0. \]
Prin urmare, șirul este pozitiv pentru orice \(n\geq1\) și, în consecință, pozitiv de la un anumit rang.
Exercițiul 18 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă șirul
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}-2 \]
este negativ de la un anumit rang.
Rezultat
Șirul este negativ de la un anumit rang.
Rezolvare
Studiem mai întâi limita. Deoarece
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1, \]
împărțind la \(n>0\) obținem
\[ -\frac{1}{n}\leq \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}. \]
Ambii membri extremi tind la \(0\), prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Așadar
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{(-1)^n}{n}-2\right)=-2. \]
Limita este negativă și diferită de zero.
Conform teoremei permanenței semnului, șirul este negativ de la un anumit rang.
Și direct: deoarece
\[ \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}\leq 1 \]
pentru orice \(n\geq1\), rezultă că
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}-2\leq 1-2=-1<0. \]
Prin urmare, șirul este negativ pentru orice \(n\geq1\), deci cu atât mai mult negativ de la un anumit rang.
Exercițiul 19 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă șirul
\[ a_n=\frac{n+(-1)^n}{n} \]
este pozitiv de la un anumit rang.
Rezultat
Șirul este pozitiv de la un anumit rang. Un rang posibil este \(N=2\).
Rezolvare
Rescriem șirul, separând cei doi termeni:
\[ a_n=\frac{n}{n}+\frac{(-1)^n}{n}. \]
Prin urmare
\[ a_n=1+\frac{(-1)^n}{n}. \]
Deoarece
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0, \]
obținem
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=1+0=1. \]
Limita este pozitivă și diferită de zero.
Conform teoremei permanenței semnului, șirul este pozitiv de la un anumit rang.
Aceasta înseamnă că există un rang \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N\), avem
\[ a_n>0. \]
Atenție însă: teorema garantează existența unui asemenea rang \(N\), dar nu afirmă că el ar putea fi ales neapărat \(N=1\).
Într-adevăr, pentru \(n=1\), avem
\[ a_1=\frac{1+(-1)^1}{1}=\frac{1-1}{1}=0. \]
Așadar, șirul nu este pozitiv pentru orice rang din domeniul său, deoarece primul termen este nul.
Cu toate acestea, acest lucru nu contrazice teorema, deoarece teorema se referă la comportamentul șirului de la un anumit rang încolo, adică la ceea ce se întâmplă începând de la un anumit rang.
Pentru a determina un rang explicit, observăm că, pentru orice \(n\),
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
Prin urmare
\[ n+(-1)^n\geq n-1. \]
Dacă \(n\geq2\), atunci
\[ n-1>0. \]
În plus, \(n>0\). Așadar, pentru orice \(n\geq2\),
\[ \frac{n+(-1)^n}{n}>0. \]
Prin urmare, putem alege \(N=2\).
Acest exemplu ilustrează bine faptul că „pozitiv de la un anumit rang” nu înseamnă „pozitiv încă de la primul rang”, ci „pozitiv începând de la un anumit rang”.
Exercițiul 20 — nivel ★★★★☆
Să se stabilească dacă proprietatea de păstrare a semnului se poate aplica șirului
\[ a_n=\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}. \]
Să se stabilească, de asemenea, dacă șirul este pozitiv de la un anumit rang sau negativ de la un anumit rang.
Rezultat
Teorema nu se poate aplica, deoarece limita este \(0\). Șirul nu este nici pozitiv de la un anumit rang, nici negativ de la un anumit rang.
Rezolvare
Studiem mai întâi limita șirului:
\[ a_n=\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}. \]
Pentru orice \(n\), știm că
\[ -1\leq \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\leq 1. \]
Deoarece \(n>0\), împărțind la \(n\) obținem
\[ -\frac{1}{n}\leq \frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}\leq \frac{1}{n}. \]
Deoarece
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad \text{și} \qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
conform teoremei cleștelui rezultă că
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}=0. \]
Limita există, dar este egală cu \(0\). Prin urmare, proprietatea de păstrare a semnului nu se poate aplica, deoarece ea cere o limită reală diferită de zero.
Studiem acum semnul șirului. Valorile lui
\[ \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) \]
se repetă periodic:
\[ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\dots \]
Într-adevăr:
- dacă \(n=4k+1\), atunci \(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=1\);
- dacă \(n=4k+2\), atunci \(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0\);
- dacă \(n=4k+3\), atunci \(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=-1\);
- dacă \(n=4k\), atunci \(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0\).
Deoarece numitorul \(n\) este întotdeauna pozitiv, semnul lui \(a_n\) depinde de numărător.
Prin urmare, șirul ia de o infinitate de ori valori pozitive, de o infinitate de ori valori negative și de o infinitate de ori valoarea \(0\).
El nu poate fi pozitiv de la un anumit rang, deoarece după orice rang se mai găsesc încă termeni nuli și termeni negativi.
El nu poate fi negativ de la un anumit rang, deoarece după orice rang se mai găsesc încă termeni nuli și termeni pozitivi.
Așadar, șirul nu este nici pozitiv de la un anumit rang, nici negativ de la un anumit rang.
Acest exercițiu rezumă bine rolul ipotezei \(L\neq0\): atunci când limita este \(0\), teorema nu permite să se tragă nicio concluzie privind semnul de la un anumit rang încolo, iar semnul trebuie studiat direct.