Teorema de comparație pentru șiruri este un instrument fundamental în studiul limitelor. Ea permite deducerea comportamentului unui șir prin compararea lui cu unul sau mai multe șiruri ale căror limite le cunoaștem deja.
Ideea de bază este simplă: dacă, începând de la un anumit rang, termenii unui șir păstrează o relație de ordine față de termenii altui șir, atunci și limitele lor trebuie să respecte aceeași ordine, atunci când există. Într-o formă deosebit de importantă, cunoscută și sub numele de criteriul cleștelui, un șir este încadrat de două șiruri care tind către aceeași limită: în acest caz, și șirul intermediar este obligat să tindă către acea limită.
În această pagină vom studia teorema de comparație în formele ei principale: compararea șirurilor convergente, compararea cu șiruri divergente la \(+\infty\) sau la \(-\infty\) și criteriul cleștelui. Vom acorda o atenție deosebită semnificației expresiei începând de la un anumit rang, adică faptului că inegalitățile cerute nu trebuie să fie valabile neapărat pentru orice \(n\), ci doar începând de la un anumit rang.
Cuprins
- Compararea șirurilor și semnificația expresiei „începând de la un anumit rang”
- Teorema de comparație pentru șiruri convergente
- Demonstrația teoremei de comparație
- Criteriul cleștelui pentru șiruri
- Demonstrația criteriului cleștelui
- Compararea cu șiruri divergente la infinit
- Exemple rezolvate privind teorema de comparație
- Erori frecvente în aplicarea teoremei
Compararea șirurilor și semnificația expresiei „începând de la un anumit rang”
Teorema de comparație se referă la șiruri reale ai căror termeni pot fi ordonați între ei, cel puțin începând de la un anumit rang. Din acest motiv, înainte de a enunța teorema, este important să lămurim cu precizie ce înseamnă a compara două șiruri.
Fie \((a_n)\) și \((b_n)\) două șiruri reale. A spune că
\[ a_n \le b_n \]
începând de la un anumit rang înseamnă că există un rang \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N\), să avem
\[ a_n \le b_n. \]
În simboluri:
\[ \exists N\in\mathbb{N}\ \text{astfel încât}\ \forall n\ge N,\quad a_n\le b_n. \]
Așadar, inegalitatea nu trebuie să fie valabilă neapărat pentru orice \(n\), ci doar începând de la un anumit rang. Primii termeni ai șirurilor pot chiar să nu respecte inegalitatea, deoarece un număr finit de termeni inițiali nu modifică limita.
De exemplu, dacă \(a_n\le b_n\) pentru orice \(n\ge 5\), atunci putem spune că \(a_n\le b_n\) începând de la un anumit rang. Nu contează că inegalitatea este falsă pentru \(n=0,1,2,3,4\), deoarece comportamentul la limită depinde de termenii șirului atunci când \(n\) devine arbitrar de mare.
Această observație este esențială: teoremele privind limitele șirurilor nu descriu comportamentul primilor termeni, ci comportamentul șirului la infinit. De aceea, în aplicațiile teoremei de comparație, ceea ce contează este stabilirea unei ordini între șiruri pentru toate rangurile suficient de mari.
În mod analog, a scrie
\[ a_n \le b_n \le c_n \]
începând de la un anumit rang înseamnă că există un rang \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N\), să fie verificate simultan cele două inegalități
\[ a_n \le b_n \qquad\text{și}\qquad b_n \le c_n. \]
În acest caz, șirul \((b_n)\) este cuprins, începând de la un anumit rang, între \((a_n)\) și \((c_n)\). Aceasta este situația tipică a criteriului cleștelui: dacă cele două șiruri exterioare tind către aceeași limită, atunci și șirul intermediar este nevoit să tindă către acea limită.
Compararea șirurilor nu este, așadar, o simplă comparare termen cu termen luată izolat. Este o comparare stabilă începând de la un anumit rang, și tocmai această stabilitate permite transferul informațiilor despre limită de la un șir la altul.
Teorema de comparație pentru șiruri convergente
Prima formă a teoremei de comparație se referă la două șiruri reale convergente. Aceasta afirmă că o ordine valabilă începând de la un anumit rang între termenii șirurilor se păstrează prin trecere la limită.
Fie \((a_n)\) și \((b_n)\) două șiruri reale astfel încât
\[ a_n \le b_n \]
începând de la un anumit rang. Dacă
\[ \lim_{n\to+\infty} a_n=\ell \qquad\text{și}\qquad \lim_{n\to+\infty} b_n=m, \]
atunci
\[ \ell \le m. \]
Cu alte cuvinte, dacă începând de la un anumit rang fiecare termen al lui \((a_n)\) este mai mic sau egal cu termenul corespunzător al lui \((b_n)\), atunci limita lui \((a_n)\) nu poate fi mai mare decât limita lui \((b_n)\).
Acest rezultat este foarte natural, dar trebuie interpretat cu atenție: teorema nu spune că, știind doar \(a_n\le b_n\), putem calcula cele două limite. Ea spune, în schimb, că, dacă cele două limite există, atunci ele trebuie să respecte aceeași ordine.
Este important să observăm și că o inegalitate strictă între termeni nu produce neapărat o inegalitate strictă între limite. Dacă
\[ a_n < b_n \]
începând de la un anumit rang și cele două șiruri converg către \(\ell\), respectiv \(m\), putem concluziona doar că
\[ \ell \le m, \]
și nu neapărat că \(\ell<m\).
De exemplu, pentru orice \(n\ge 1\) avem
\[ 0 < \frac{1}{n}. \]
Totuși,
\[ \lim_{n\to+\infty}0=0 \qquad\text{și}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Așadar, inegalitatea strictă între termeni poate deveni o egalitate între limite.
Teorema de comparație pentru șiruri convergente exprimă, prin urmare, o proprietate de compatibilitate între ordinea numerelor reale și trecerea la limită: ordinea valabilă începând de la un anumit rang între șiruri convergente nu poate fi inversată la limită.
Demonstrația teoremei de comparație
Să demonstrăm teorema în forma enunțată în secțiunea precedentă. Fie \((a_n)\) și \((b_n)\) două șiruri reale astfel încât
\[ a_n \le b_n \]
începând de la un anumit rang, și presupunem că
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \qquad\text{și}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=m. \]
Vrem să demonstrăm că
\[ \ell \le m. \]
Raționăm prin reducere la absurd. Să presupunem, așadar, că concluzia este falsă, adică să presupunem că
\[ \ell>m. \]
Considerăm numărul aflat la mijloc între \(\ell\) și \(m\):
\[ \alpha=\frac{\ell+m}{2}. \]
Deoarece \(\ell>m\), avem
\[ m<\alpha<\ell. \]
Din convergența lui \((a_n)\) către \(\ell\) și din faptul că \(\alpha<\ell\), există un rang \(N_1\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N_1\), să avem
\[ a_n>\alpha. \]
Într-adevăr, deoarece
\[ \varepsilon=\ell-\alpha>0, \]
din definiția limitei rezultă că, începând de la un anumit rang,
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon, \]
și deci
\[ a_n>\ell-\varepsilon=\alpha. \]
În mod analog, din convergența lui \((b_n)\) către \(m\) și din faptul că \(m<\alpha\), există un rang \(N_2\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N_2\), să avem
\[ b_n<\alpha. \]
Într-adevăr, deoarece
\[ \varepsilon=\alpha-m>0, \]
din definiția limitei rezultă că, începând de la un anumit rang,
\[ |b_n-m|<\varepsilon, \]
și deci
\[ b_n<m+\varepsilon=\alpha. \]
În plus, prin ipoteză, \(a_n\le b_n\) începând de la un anumit rang. Există deci un rang \(N_0\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n. \]
Luăm acum un rang \(n\) mai mare sau egal cu toate cele trei ranguri \(N_0\), \(N_1\) și \(N_2\). Pentru un astfel de \(n\), sunt verificate simultan inegalitățile
\[ \alpha<a_n\le b_n<\alpha. \]
Acest lucru este imposibil, deoarece un număr nu poate fi în același timp mai mare și mai mic decât \(\alpha\). Absurditatea provine din presupunerea \(\ell>m\).
Prin urmare, trebuie să avem
\[ \ell\le m. \]
Aceasta încheie demonstrația.
Criteriul cleștelui pentru șiruri
Una dintre cele mai importante forme ale teoremei de comparație este criteriul cleștelui. Acesta permite calcularea limitei unui șir atunci când acesta este cuprins, începând de la un anumit rang, între două șiruri care au aceeași limită.
Fie \((a_n)\), \((b_n)\) și \((c_n)\) trei șiruri reale astfel încât
\[ a_n \le b_n \le c_n \]
începând de la un anumit rang. Dacă
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \qquad\text{și}\qquad \lim_{n\to+\infty}c_n=\ell, \]
atunci și șirul intermediar \((b_n)\) converge către \(\ell\), adică
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
Semnificația teoremei este următoarea: dacă un șir este strâns, începând de la un anumit rang, între două șiruri care se apropie de același număr real, atunci nu are nicio posibilitate de a tinde către o limită diferită. Cele două șiruri exterioare obligă șirul intermediar să se apropie de aceeași valoare.
Ipoteza fundamentală este ca cele două șiruri exterioare să aibă aceeași limită. Nu este suficient să știm că \((a_n)\) și \((c_n)\) sunt convergente: dacă limitele lor sunt diferite, șirul intermediar poate avea comportamente diferite.
De exemplu, numai din inegalitatea
\[ 0\le b_n\le 1 \]
nu putem concluziona că \((b_n)\) este convergent. Șirul ar putea oscila, așa cum se întâmplă pentru
\[ b_n=\frac{1+(-1)^n}{2}, \]
care ia alternativ valorile \(1\) și \(0\). În acest caz, cele două șiruri exterioare sunt constante, dar au limite diferite:
\[ \lim_{n\to+\infty}0=0 \qquad\text{și}\qquad \lim_{n\to+\infty}1=1. \]
O formă foarte folosită a criteriului cleștelui este următoarea. Dacă \((r_n)\) este un șir real astfel încât
\[ r_n\ge 0 \]
începând de la un anumit rang,
\[ \lim_{n\to+\infty}r_n=0 \]
și
\[ |b_n-\ell|\le r_n \]
începând de la un anumit rang, atunci
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
Într-adevăr, inegalitatea
\[ |b_n-\ell|\le r_n \]
este echivalentă cu a spune că
\[ \ell-r_n\le b_n\le \ell+r_n. \]
Deoarece ambele șiruri exterioare \((\ell-r_n)\) și \((\ell+r_n)\) tind către \(\ell\), criteriul cleștelui impune ca \((b_n)\) să tindă către \(\ell\).
Această formulare este deosebit de utilă atunci când nu este simplu să studiem direct \(b_n\), dar este posibil să estimăm distanța dintre \(b_n\) și presupusa limită \(\ell\) cu ajutorul unui șir pozitiv care tinde către \(0\).
Demonstrația criteriului cleștelui
Să demonstrăm criteriul cleștelui. Fie \((a_n)\), \((b_n)\) și \((c_n)\) trei șiruri reale astfel încât
\[ a_n \le b_n \le c_n \]
începând de la un anumit rang. Presupunem, în plus, că
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \qquad\text{și}\qquad \lim_{n\to+\infty}c_n=\ell. \]
Vrem să demonstrăm că
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
Prin definiția limitei, trebuie să arătăm că, pentru orice \(\varepsilon>0\), există un rang \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N\),
\[ |b_n-\ell|<\varepsilon. \]
Fie deci \(\varepsilon>0\). Deoarece \(a_n\to \ell\), există un rang \(N_1\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N_1\),
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon. \]
În particular, pentru orice \(n\ge N_1\),
\[ \ell-\varepsilon<a_n. \]
Deoarece \(c_n\to \ell\), există un rang \(N_2\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N_2\),
\[ |c_n-\ell|<\varepsilon. \]
În particular, pentru orice \(n\ge N_2\),
\[ c_n<\ell+\varepsilon. \]
În plus, prin ipoteză, \(a_n\le b_n\le c_n\) începând de la un anumit rang. Există deci un rang \(N_0\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n\le c_n. \]
Considerăm acum
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Atunci, pentru orice \(n\ge N\), sunt verificate simultan inegalitățile
\[ \ell-\varepsilon<a_n\le b_n\le c_n<\ell+\varepsilon. \]
În particular,
\[ \ell-\varepsilon<b_n<\ell+\varepsilon. \]
Această dublă inegalitate este echivalentă cu
\[ |b_n-\ell|<\varepsilon. \]
Am arătat, așadar, că pentru orice \(\varepsilon>0\) există un rang \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N\),
\[ |b_n-\ell|<\varepsilon. \]
Prin definiția limitei, rezultă că
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
Aceasta încheie demonstrația.
Compararea cu șiruri divergente la infinit
Teorema de comparație admite și forme foarte utile pentru șiruri care diverg la \(+\infty\) sau la \(-\infty\). În aceste cazuri, compararea nu servește la stabilirea ordinii între două limite finite, ci la a deduce că un șir diverge atunci când este comparat, în sensul potrivit, cu un alt șir divergent.
Prima formă se referă la divergența la \(+\infty\). Fie \((a_n)\) și \((b_n)\) două șiruri reale astfel încât
\[ a_n \le b_n \]
începând de la un anumit rang. Dacă
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty, \]
atunci
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=+\infty. \]
Într-adevăr, dacă \((a_n)\) tinde către \(+\infty\), termenii săi devin, începând de la un anumit rang, mai mari decât orice număr real fixat. Deoarece, începând de la un anumit rang, \(b_n\) este mai mare sau egal cu \(a_n\), și \(b_n\) trebuie să devină, începând de la un anumit rang, mai mare decât orice număr real fixat.
Mai exact, fie \(M\in\mathbb{R}\). Deoarece \(a_n\to+\infty\), există un rang \(N_1\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N_1\),
\[ a_n>M. \]
În plus, deoarece \(a_n\le b_n\) începând de la un anumit rang, există un rang \(N_0\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n. \]
Așadar, pentru orice \(n\ge \max\{N_0,N_1\}\), avem
\[ b_n\ge a_n>M. \]
Prin definiția divergenței la \(+\infty\), rezultă că
\[ b_n\to+\infty. \]
A doua formă se referă la divergența la \(-\infty\). Fie \((a_n)\) și \((b_n)\) două șiruri reale astfel încât
\[ a_n \le b_n \]
începând de la un anumit rang. Dacă
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=-\infty, \]
atunci
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty. \]
În acest caz, raționamentul este simetric: dacă \((b_n)\) tinde către \(-\infty\), termenii săi devin, începând de la un anumit rang, mai mici decât orice număr real fixat. Deoarece, începând de la un anumit rang, \(a_n\) este mai mic sau egal cu \(b_n\), și \(a_n\) trebuie să tindă către \(-\infty\).
Mai exact, fie \(M\in\mathbb{R}\). Deoarece \(b_n\to-\infty\), există un rang \(N_1\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N_1\),
\[ b_n<M. \]
În plus, deoarece \(a_n\le b_n\) începând de la un anumit rang, există un rang \(N_0\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n. \]
Așadar, pentru orice \(n\ge \max\{N_0,N_1\}\), avem
\[ a_n\le b_n<M. \]
Prin definiția divergenței la \(-\infty\), rezultă că
\[ a_n\to-\infty. \]
Este important să observăm sensul inegalităților. Pentru a demonstra că un șir tinde către \(+\infty\), este suficient să îl minorăm printr-un șir care tinde către \(+\infty\). În mod analog, pentru a demonstra că un șir tinde către \(-\infty\), este suficient să îl majorăm printr-un șir care tinde către \(-\infty\).
În simboluri:
\[ a_n\le b_n,\quad a_n\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad b_n\to+\infty, \]
și
\[ a_n\le b_n,\quad b_n\to-\infty \quad\Longrightarrow\quad a_n\to-\infty. \]
Altfel spus, pentru \(+\infty\) este nevoie de o minorare, în timp ce pentru \(-\infty\) este nevoie de o majorare.
Exemple rezolvate privind teorema de comparație
Să vedem acum câteva exemple tipice. Scopul nu este doar de a calcula limitele, ci de a înțelege ce formă a teoremei de comparație se folosește și de ce sunt îndeplinite ipotezele.
Exemplul 1. Să calculăm limita
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}. \]
Pentru orice \(n\ge 1\), știm că
\[ -1\le \sin n\le 1. \]
Împărțind toți membrii la \(n\), care este pozitiv pentru orice \(n\ge 1\), obținem
\[ -\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}. \]
Acum,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad\text{și}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Șirul \(\displaystyle \frac{\sin n}{n}\) este astfel cuprins între două șiruri care tind ambele către \(0\). Conform criteriului cleștelui,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}=0. \]
Exemplul 2. Să calculăm limita
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{(-1)^n}{n}\right). \]
Partea oscilantă este \((-1)^n\), dar este înmulțită cu \(\displaystyle \frac{1}{n}\), care tinde către \(0\). Pentru a face riguroasă această observație, considerăm distanța dintre șir și presupusa limită \(2\):
\[ \left|2+\frac{(-1)^n}{n}-2\right| = \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac{1}{n}. \]
Deoarece
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
rezultă că distanța dintre \(\displaystyle 2+\frac{(-1)^n}{n}\) și \(2\) tinde către \(0\). Conform formei criteriului cleștelui cu modul,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{(-1)^n}{n}\right)=2. \]
Exemplul 3. Să studiem limita șirului
\[ b_n=n^2+\sin n. \]
Deoarece
\[ \sin n\ge -1, \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), avem
\[ n^2+\sin n\ge n^2-1. \]
În plus,
\[ \lim_{n\to+\infty}(n^2-1)=+\infty. \]
Așadar, \((b_n)\) este minorat de un șir care tinde către \(+\infty\). Conform comparării cu șiruri divergente la \(+\infty\), obținem
\[ \lim_{n\to+\infty}(n^2+\sin n)=+\infty. \]
Exemplul 4. Să studiem limita șirului
\[ c_n=-n+\cos n. \]
Deoarece
\[ \cos n\le 1, \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), avem
\[ -n+\cos n\le -n+1. \]
În plus,
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n+1)=-\infty. \]
Așadar, \((c_n)\) este majorat de un șir care tinde către \(-\infty\). Conform comparării cu șiruri divergente la \(-\infty\), obținem
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n+\cos n)=-\infty. \]
Aceste exemple arată că teorema de comparație nu este utilă doar atunci când un șir este încadrat explicit între două șiruri. Adesea, punctul decisiv este construirea unei estimări potrivite: o încadrare pentru a aplica criteriul cleștelui, o minorare pentru a demonstra divergența la \(+\infty\) sau o majorare pentru a demonstra divergența la \(-\infty\).
Erori frecvente în aplicarea teoremei
Teorema de comparație este foarte puternică, dar trebuie aplicată respectând cu precizie ipotezele sale. Multe erori provin din neglijarea sensului inegalităților, a semnificației expresiei începând de la un anumit rang sau a rolului limitelor șirurilor comparate.
Confundarea unei inegalități stricte cu o inegalitate strictă între limite
Dacă \(a_n<b_n\) începând de la un anumit rang și cele două șiruri converg către \(\ell\), respectiv \(m\), nu se poate concluziona neapărat că \(\ell<m\). Se poate concluziona doar că
\[ \ell\le m. \]
Într-adevăr, o inegalitate strictă între termeni poate deveni o egalitate între limite. De exemplu, pentru orice \(n\ge 1\),
\[ 0<\frac{1}{n}, \]
dar ambele șiruri tind către \(0\).
Folosirea sensului greșit în compararea la infinit
Pentru a demonstra că un șir tinde către \(+\infty\), nu este suficient să găsim un majorant care tinde către \(+\infty\). Este nevoie, în schimb, de o minorare cu ajutorul unui șir care tinde către \(+\infty\).
În mod analog, pentru a demonstra că un șir tinde către \(-\infty\), nu este suficient să găsim un minorant care tinde către \(-\infty\). Este nevoie, în schimb, de o majorare cu ajutorul unui șir care tinde către \(-\infty\).
În simboluri:
\[ a_n\le b_n,\quad a_n\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad b_n\to+\infty, \]
în timp ce
\[ a_n\le b_n,\quad b_n\to-\infty \quad\Longrightarrow\quad a_n\to-\infty. \]
Aplicarea criteriului cleștelui fără ca șirurile exterioare să aibă aceeași limită
În criteriul cleștelui nu este suficient să avem
\[ a_n\le b_n\le c_n \]
începând de la un anumit rang. Este necesar ca cele două șiruri exterioare să tindă către aceeași limită:
\[ a_n\to \ell \qquad\text{și}\qquad c_n\to \ell. \]
Dacă, în schimb, limitele șirurilor exterioare sunt diferite, compararea poate furniza doar un interval în care se află termenii lui \((b_n)\), dar nu determină neapărat limita lui \((b_n)\).
Uitarea faptului că inegalitatea trebuie să aibă loc începând de la un anumit rang
Inegalitățile cerute de teoremă nu trebuie să fie valabile neapărat pentru orice \(n\), ci trebuie să fie valabile începând de la un anumit rang. Totuși, nu este suficient să le verificăm pentru multe valori ale lui \(n\) sau pentru câteva exemple numerice: trebuie demonstrat că există un rang \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât inegalitatea să fie adevărată pentru orice \(n\ge N\).
Acest aspect este esențial, deoarece limita descrie comportamentul șirului pentru ranguri arbitrar de mari. Primii termeni pot fi nesemnificativi, dar inegalitatea trebuie să se stabilizeze începând de la un anumit rang.
Folosirea unei estimări prea slabe
O estimare este utilă numai dacă conține suficiente informații pentru a aplica teorema. De exemplu, a ști că un șir este mărginit nu este suficient pentru a concluziona că este convergent. La fel, a ști că un șir este cuprins între două șiruri convergente nu este suficient dacă acestea nu au aceeași limită.
Teorema de comparație nu înlocuiește studiul limitei: oferă un criteriu riguros atunci când compararea este construită în sensul corect și cu șiruri al căror comportament este cunoscut.
În concluzie, aplicarea corectă a teoremei înseamnă identificarea a trei elemente: o inegalitate valabilă începând de la un anumit rang, sensul corect al comparării și limita șirurilor folosite ca referință.