Limite de funcții: definiție, proprietăți și metode de calcul

Ce este limita unei funcții

Limita unei funcții descrie comportamentul valorilor \(f(x)\) atunci când variabila \(x\) se apropie de o anumită valoare, sau atunci când \(x\) ia valori din ce în ce mai mari în valoare absolută.

De exemplu, a scrie

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)=L \]

înseamnă că, atunci când \(x\) se apropie de \(x_0\), valorile funcției \(f(x)\) se apropie de numărul real \(L\).

Aspectul esențial este că nu se studiază neapărat valoarea funcției în punctul \(x_0\), ci comportamentul acesteia în punctele vecine lui \(x_0\). Din acest motiv, limita poate exista chiar dacă funcția nu este definită în \(x_0\), sau chiar dacă \(f(x_0)\) există, dar este diferită de limită.

Cu alte cuvinte, limita privește ceea ce se întâmplă la apropierea de punct, nu ceea ce se întâmplă exact în punctul respectiv. Aceasta distinge noțiunea de limită de simplul calcul al valorii \(f(x_0)\).

Aceeași idee este valabilă și atunci când variabila nu tinde către un număr real, ci către infinit. A scrie

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x)=L \]

înseamnă că valorile \(f(x)\) se apropie de \(L\) atunci când \(x\) ia valori pozitive din ce în ce mai mari.

Noțiunea de limită permite astfel studierea comportamentului local al unei funcții în vecinătatea unui punct, precum și a comportamentului său global pentru valori foarte mari ale variabilei. De aceasta depind noțiuni fundamentale ale analizei matematice, precum continuitatea, asimptotele și calculul diferențial.

Puncte de acumulare și semnificația notației \(x \to x_0\)

Înainte de a da o definiție riguroasă a limitei, este necesar să clarificăm ce înseamnă afirmația că \(x\) tinde către un punct \(x_0\).

Fie \(f:A\to\mathbb{R}\) o funcție reală de variabilă reală, definită pe o mulțime \(A\subseteq\mathbb{R}\). Atunci când scriem

\[ x \to x_0 \]

nu afirmăm că \(x\) este egal cu \(x_0\), ci că \(x\) ia valori din domeniul \(A\) oricât de apropiate de \(x_0\) și diferite de \(x_0\).

Pentru ca această idee să aibă sens, punctul \(x_0\) trebuie să fie un punct de acumulare pentru domeniul funcției. Aceasta înseamnă că în orice vecinătate a lui \(x_0\) există cel puțin un punct al lui \(A\) diferit de \(x_0\).

În mod echivalent, \(x_0\) este punct de acumulare pentru \(A\) dacă, pentru orice \(\delta >0\), există cel puțin un punct \(x\in A\), cu \(x\neq x_0\), astfel încât

\[ |x-x_0|<\delta. \]

Condiția \(x\neq x_0\) este esențială: în studiul limitei interesează comportamentul funcției în punctele vecine lui \(x_0\), nu neapărat valoarea funcției în punctul \(x_0\).

Din acest motiv, \(x_0\) poate să nu aparțină chiar domeniului \(A\). Dacă însă există puncte ale lui \(A\) oricât de apropiate de \(x_0\), atunci are sens să studiem limita lui \(f(x)\) pentru \(x\to x_0\).

Dimpotrivă, dacă \(x_0\) este un punct izolat al domeniului, nu există puncte ale domeniului oricât de apropiate de \(x_0\) și diferite de \(x_0\). În acest caz, limita pentru \(x\to x_0\) nu descrie un comportament real de apropiere al funcției.

În concluzie, scrierea \(x\to x_0\) trebuie interpretată întotdeauna în raport cu domeniul funcției: variabila \(x\) se apropie de \(x_0\) luând valori pentru care \(f(x)\) este definită.

Limită finită atunci când \(x\) tinde către un punct finit

Considerăm o funcție \(f:A\to\mathbb{R}\), cu \(A\subseteq\mathbb{R}\), și fie \(x_0\in\mathbb{R}\) un punct de acumulare pentru \(A\).

A spune că \(f(x)\) tinde către numărul real \(L\) atunci când \(x\) tinde către \(x_0\) înseamnă că valorile \(f(x)\) pot fi făcute oricât de apropiate de \(L\), cu condiția ca \(x\) să fie suficient de apropiat de \(x_0\), cu \(x\neq x_0\).

Se notează:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L. \]

Definiția riguroasă este următoarea:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L \]

dacă și numai dacă, pentru orice \(\varepsilon >0\), există \(\delta >0\) astfel încât, pentru orice \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Numărul \(\varepsilon\) măsoară gradul de apropiere dorit între \(f(x)\) și \(L\). Definiția cere ca această apropiere să poată fi obținută pentru orice alegere a lui \(\varepsilon >0\), oricât de mică.

Numărul \(\delta\), la rândul său, măsoară cât de apropiat trebuie să fie \(x\) de \(x_0\) pentru ca \(f(x)\) să fie apropiat de \(L\). În general, \(\delta\) depinde de \(\varepsilon\): cu cât toleranța cerută asupra valorilor lui \(f(x)\) este mai mică, cu atât poate fi necesar să restrângem vecinătatea lui \(x_0\).

Condiția

\[ 0<|x-x_0|<\delta \]

înseamnă că \(x\) aparține unei vecinătăți a lui \(x_0\), fiind totodată diferit de \(x_0\). Din acest motiv, valoarea \(f(x_0)\), dacă există, nu intervine în definiția limitei.

Prin urmare, limita poate exista chiar dacă funcția nu este definită în \(x_0\). Se mai poate întâmpla ca funcția să fie definită în \(x_0\), dar valoarea \(f(x_0)\) să fie diferită de limită. În ambele cazuri, limita descrie comportamentul funcției în punctele vecine lui \(x_0\), nu neapărat valoarea luată în punctul \(x_0\).

De exemplu, funcția

\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} \]

nu este definită pentru \(x=1\). Totuși, pentru \(x\neq 1\), putem simplifica:

\[ \frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1. \]

Prin urmare, atunci când \(x\) se apropie de \(1\), valorile funcției se apropie de \(2\). Scriem deci:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]

Acest exemplu arată de ce, în studiul limitelor, este fundamental să distingem comportamentul funcției în apropierea unui punct de valoarea funcției în punctul respectiv.

Limită infinită atunci când \(x\) tinde către un punct finit

Considerăm o funcție \(f:A\to\mathbb{R}\), cu \(A\subseteq\mathbb{R}\), și fie \(x_0\in\mathbb{R}\) un punct de acumulare pentru \(A\).

Se poate întâmpla ca, atunci când \(x\) se apropie de \(x_0\), valorile \(f(x)\) să nu se apropie de un număr real, ci să devină din ce în ce mai mari în valoare absolută. În acest caz, vorbim despre limită infinită.

A scrie

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty \]

înseamnă că valorile funcției devin mai mari decât orice număr pozitiv fixat dinainte, cu condiția ca \(x\) să fie suficient de apropiat de \(x_0\), cu \(x\neq x_0\).

Definiția riguroasă este următoarea:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty \]

dacă și numai dacă, pentru orice \(M>0\), există \(\delta>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)>M. \]

În mod analog, a scrie

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=-\infty \]

înseamnă că valorile funcției devin mai mici decât orice număr negativ fixat dinainte, oricât de mare în valoare absolută, cu condiția ca \(x\) să fie suficient de apropiat de \(x_0\), cu \(x\neq x_0\).

Formal:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=-\infty \]

dacă și numai dacă, pentru orice \(M>0\), există \(\delta>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)<-M. \]

Este important de remarcat că \(+\infty\) și \(-\infty\) nu sunt numere reale. A spune că o funcție tinde către \(+\infty\) sau către \(-\infty\) nu înseamnă, așadar, că funcția se apropie de o valoare numerică, ci că valorile sale cresc sau descresc fără limită.

De exemplu, considerăm funcția

\[ f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}. \]

Aceasta nu este definită pentru \(x=1\). Totuși, atunci când \(x\) se apropie de \(1\), numitorul \((x-1)^2\) devine pozitiv și din ce în ce mai apropiat de \(0\). În consecință, raportul devine pozitiv și oricât de mare.

Prin urmare:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{1}{(x-1)^2}=+\infty. \]

În mod analog, pentru funcția

\[ g(x)=-\frac{1}{(x-1)^2} \]

avem:

\[ \lim_{x\to 1}\left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right)=-\infty. \]

Limitele infinite sunt strâns legate de noțiunea de asimptotă verticală. Dacă o funcție tinde către \(+\infty\) sau către \(-\infty\) atunci când \(x\) tinde către \(x_0\), atunci dreapta verticală \(x=x_0\) este o asimptotă verticală pentru graficul funcției.

Limită finită atunci când \(x\) tinde către infinit

Până acum am considerat comportamentul unei funcții atunci când \(x\) se apropie de un punct finit \(x_0\). Putem însă studia și ceea ce se întâmplă atunci când \(x\) ia valori din ce în ce mai mari, sau din ce în ce mai mici.

Considerăm o funcție \(f:A\to\mathbb{R}\), cu \(A\subseteq\mathbb{R}\). Pentru a studia limita pentru \(x\to+\infty\), este necesar ca domeniul \(A\) să conțină valori oricât de mari. Cu alte cuvinte, pentru orice număr real \(R\) trebuie să existe cel puțin un \(x\in A\) astfel încât \(x>R\).

A scrie

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=L \]

înseamnă că valorile \(f(x)\) se apropie de numărul real \(L\) atunci când \(x\) devine din ce în ce mai mare.

Definiția riguroasă este următoarea:

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=L \]

dacă și numai dacă, pentru orice \(\varepsilon>0\), există un număr real \(R\) astfel încât, pentru orice \(x\in A\),

\[ x>R \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Semnificația este analogă celei din definiția cu \(\varepsilon\) și \(\delta\): numărul \(\varepsilon\) stabilește gradul de apropiere dorit între \(f(x)\) și \(L\), în timp ce numărul \(R\) indică pragul de la care această apropiere este garantată.

În mod similar, pentru a studia limita pentru \(x\to-\infty\), domeniul \(A\) trebuie să conțină valori oricât de mici. A scrie

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=L \]

înseamnă că valorile \(f(x)\) se apropie de numărul real \(L\) atunci când \(x\) devine din ce în ce mai mic.

Formal:

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=L \]

dacă și numai dacă, pentru orice \(\varepsilon>0\), există un număr real \(R\) astfel încât, pentru orice \(x\in A\),

\[ x<R \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

În această definiție, numărul \(R\) este ales astfel încât, pentru valori ale lui \(x\) mai mici decât \(R\), funcția să ia valori apropiate de \(L\).

De exemplu, considerăm funcția

\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]

Atunci când \(x\) ia valori pozitive din ce în ce mai mari, raportul \(\displaystyle \frac{1}{x}\) devine din ce în ce mai apropiat de \(0\). Prin urmare:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Același lucru se întâmplă atunci când \(x\) ia valori negative din ce în ce mai mici: și în acest caz, valoarea absolută a lui \(\displaystyle \frac{1}{x}\) devine din ce în ce mai mică. Așadar:

\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]

O limită finită pentru \(x\to+\infty\) sau pentru \(x\to-\infty\) descrie, așadar, faptul că, îndepărtându-se la infinit de-a lungul axei reale, funcția se apropie de o valoare reală determinată. Acest comportament stă la baza noțiunii de asimptotă orizontală.

Limită infinită atunci când \(x\) tinde către infinit

Putem, în sfârșit, considera cazul în care variabila \(x\) tinde către infinit și, în același timp, valorile funcției devin și ele oricât de mari sau oricât de mici.

Considerăm o funcție \(f:A\to\mathbb{R}\), cu \(A\subseteq\mathbb{R}\), și presupunem că domeniul \(A\) conține valori oricât de mari.

A scrie

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty \]

înseamnă că valorile funcției devin mai mari decât orice număr pozitiv fixat dinainte, cu condiția ca \(x\) să fie suficient de mare.

Definiția riguroasă este următoarea:

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty \]

dacă și numai dacă, pentru orice \(M>0\), există un număr real \(R\) astfel încât, pentru orice \(x\in A\),

\[ x>R \implies f(x)>M. \]

În mod analog, a scrie

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty \]

înseamnă că valorile funcției devin mai mici decât orice număr negativ fixat dinainte, oricât de mare în valoare absolută, cu condiția ca \(x\) să fie suficient de mare.

Formal:

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty \]

dacă și numai dacă, pentru orice \(M>0\), există un număr real \(R\) astfel încât, pentru orice \(x\in A\),

\[ x>R \implies f(x)<-M. \]

Definițiile pentru \(x\to-\infty\) sunt similare. Dacă domeniul \(A\) conține valori oricât de mici, atunci

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty \]

dacă și numai dacă, pentru orice \(M>0\), există un număr real \(R\) astfel încât, pentru orice \(x\in A\),

\[ x<R \implies f(x)>M. \]

În mod analog,

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty \]

dacă și numai dacă, pentru orice \(M>0\), există un număr real \(R\) astfel încât, pentru orice \(x\in A\),

\[ x<R \implies f(x)<-M. \]

De exemplu, pentru funcția \(f(x)=x^2\) avem:

\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty \]

precum și

\[ \lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty. \]

Într-adevăr, atunci când \(x\) devine din ce în ce mai mare în valoare absolută, pătratul \(x^2\) devine oricât de mare.

Pentru funcția \(g(x)=x^3\), în schimb, avem:

\[ \lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty \]

în timp ce

\[ \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty. \]

În acest caz, semnul valorilor funcției depinde de semnul lui \(x\), deoarece puterea are exponent impar.

Limitele infinite pentru \(x\to+\infty\) sau pentru \(x\to-\infty\) descriu, așadar, funcții care nu se apropie de o valoare reală finită, ci cresc sau descresc fără limită de-a lungul unei direcții a axei reale.

Limita la dreapta și limita la stânga

Atunci când se studiază limita unei funcții pentru \(x\to x_0\), variabila \(x\) se poate apropia de \(x_0\) din două direcții diferite: din dreapta sau din stânga.

A spune că \(x\) tinde către \(x_0\) din dreapta înseamnă că \(x\) se apropie de \(x_0\) luând valori mai mari decât \(x_0\). Se notează:

\[ x\to x_0^+. \]

A spune, dimpotrivă, că \(x\) tinde către \(x_0\) din stânga înseamnă că \(x\) se apropie de \(x_0\) luând valori mai mici decât \(x_0\). Se notează:

\[ x\to x_0^-. \]

Considerăm o funcție \(f:A\to\mathbb{R}\), cu \(A\subseteq\mathbb{R}\). Pentru a studia limita la dreapta în \(x_0\), este necesar să existe puncte ale domeniului \(A\) oricât de apropiate de \(x_0\) și mai mari decât \(x_0\).

A scrie

\[ \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L \]

înseamnă că valorile \(f(x)\) se apropie de \(L\) atunci când \(x\) se apropie de \(x_0\) luând valori mai mari decât \(x_0\).

Formal:

\[ \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L \]

dacă și numai dacă, pentru orice \(\varepsilon>0\), există \(\delta>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in A\),

\[ 0<x-x_0<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

În mod analog, pentru a studia limita la stânga în \(x_0\), este necesar să existe puncte ale domeniului \(A\) oricât de apropiate de \(x_0\) și mai mici decât \(x_0\).

A scrie

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L \]

înseamnă că valorile \(f(x)\) se apropie de \(L\) atunci când \(x\) se apropie de \(x_0\) luând valori mai mici decât \(x_0\).

Formal:

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L \]

dacă și numai dacă, pentru orice \(\varepsilon>0\), există \(\delta>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in A\),

\[ 0<x_0-x<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Condițiile \(0<x-x_0<\delta\) și \(0<x_0-x<\delta\) indică, respectiv, faptul că \(x\) aparține unei vecinătăți la dreapta sau la stânga a lui \(x_0\), excluzând punctul \(x_0\) însuși.

Dacă domeniul funcției conține puncte oricât de apropiate de \(x_0\) atât la stânga, cât și la dreapta lui \(x_0\), atunci limita pentru \(x\to x_0\) există dacă și numai dacă limita la dreapta și limita la stânga există și sunt egale. În acest caz, valoarea lor comună este limita funcției în \(x_0\).

Se notează:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L \]

dacă și numai dacă

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L. \]

Dacă, în schimb, limita la dreapta și limita la stânga există, dar sunt diferite, atunci limita funcției pentru \(x\to x_0\) nu există.

De exemplu, considerăm funcția

\[ f(x)=\frac{|x|}{x}. \]

Pentru \(x>0\), avem \(|x|=x\), deci \(f(x)=1\). Pentru \(x<0\), în schimb, avem \(|x|=-x\), deci \(f(x)=-1\). Prin urmare:

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1 \]

în timp ce

\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1. \]

Deoarece limita la dreapta și limita la stânga sunt diferite, limita

\[ \lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x} \]

nu există.

Unicitatea limitei

O funcție nu poate avea două limite diferite în același punct, sau pentru același mod de convergență. Acest fapt este exprimat de următoarea teoremă.

Teorema (unicitatea limitei). Fie \(f:A\to\mathbb{R}\), cu \(A\subseteq\mathbb{R}\), și fie \(x_0\) un punct de acumulare pentru \(A\). Dacă limitele

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to x_0}f(x)=M, \]

există, atunci în mod necesar

\[ L=M. \]

Demonstrație. Presupunem prin absurd că \(L\neq M\). Fără a restrânge generalitatea, putem presupune \(L<M\).

Alegem

\[ \varepsilon=\frac{M-L}{2}. \]

Deoarece

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]

există \(\delta_1>0\) astfel încât

\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

În mod analog, deoarece

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=M, \]

există \(\delta_2>0\) astfel încât

\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \implies |f(x)-M|<\varepsilon. \]

Notăm

\[ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. \]

Deoarece \(x_0\) este punct de acumulare pentru \(A\), există cel puțin un punct \(x\in A\) astfel încât

\[ 0<|x-x_0|<\delta. \]

Pentru un astfel de \(x\), sunt verificate simultan ambele inegalități:

\[ |f(x)-L|<\varepsilon \qquad\text{și}\qquad |f(x)-M|<\varepsilon. \]

Din prima rezultă

\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon, \]

iar din a doua obținem

\[ M-\varepsilon<f(x)<M+\varepsilon. \]

Înlocuind \(\varepsilon=\displaystyle\frac{M-L}{2}\), obținem

\[ L+\varepsilon = L+\frac{M-L}{2} = \frac{L+M}{2}, \]

și, analog,

\[ M-\varepsilon = M-\frac{M-L}{2} = \frac{L+M}{2}. \]

În consecință,

\[ f(x)<\frac{L+M}{2} \qquad\text{și}\qquad f(x)>\frac{L+M}{2}, \]

ceea ce este imposibil.

Ipoteza \(L\neq M\) conduce, așadar, la o contradicție. Rezultă că trebuie să avem în mod necesar

\[ L=M. \]

Observație

Această teoremă garantează că, atunci când o limită există, ea este unică. Dacă, în schimb, limita la dreapta și limita la stânga sunt diferite, limita nu există, așa cum am văzut în secțiunea precedentă.

Teorema de păstrare a semnului

Teorema de păstrare a semnului afirmă că, dacă o funcție tinde către o limită pozitivă, atunci ea este pozitivă într-o vecinătate suficient de mică a punctului considerat. În mod analog, dacă tinde către o limită negativă, atunci este negativă într-o vecinătate suficient de mică.

Acest rezultat este important deoarece permite transferul, cel puțin local, al semnului limitei asupra valorilor funcției.

Teoremă. Fie \(f:A\to\mathbb{R}\) o funcție și fie \(x_0\) un punct de acumulare pentru \(A\). Presupunem că

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L. \]

Dacă \(L>0\), atunci există \(\delta>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)>0. \]

Dacă, în schimb, \(L<0\), atunci există \(\delta>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)<0. \]

Demonstrație în cazul \(L>0\)

Presupunem \(L>0\). Deoarece

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L, \]

putem aplica definiția limitei alegând

\[ \varepsilon=\frac{L}{2}. \]

Deoarece \(L>0\), avem \(\varepsilon>0\). Prin urmare, există \(\delta>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies |f(x)-L|<\frac{L}{2}. \]

Din inegalitatea

\[ |f(x)-L|<\frac{L}{2} \]

rezultă în particular

\[ -\frac{L}{2}<f(x)-L<\frac{L}{2}. \]

Adunând \(L\) la cei trei membri, obținem

\[ \frac{L}{2}<f(x)<\frac{3L}{2}. \]

În particular, deoarece \(L>0\), rezultă

\[ f(x)>0. \]

Așadar, \(f(x)\) este pozitivă în toate punctele domeniului suficient de apropiate de \(x_0\), cu posibila excepție a lui \(x_0\) însuși.

Cazul \(L<0\)

Cazul \(L<0\) se demonstrează în mod analog. Se alege

\[ \varepsilon=-\frac{L}{2}, \]

care este pozitiv deoarece \(L<0\). Din definiția limitei se obține, pentru \(x\) suficient de apropiat de \(x_0\),

\[ |f(x)-L|<-\frac{L}{2}. \]

Această inegalitate implică faptul că \(f(x)\) rămâne apropiat de numărul negativ \(L\). Mai precis, se obține

\[ \frac{3L}{2}<f(x)<\frac{L}{2}. \]

Deoarece \(L<0\), și \(\frac{L}{2}\) este negativ. În consecință,

\[ f(x)<0. \]

Observații

Această teoremă nu afirmă că funcția are același semn ca limita pe întreg domeniul său, ci doar într-o vecinătate suficient de mică a punctului către care tinde variabila.

În plus, dacă limita este egală cu zero, nu se poate deduce nicio conservare a semnului. O funcție poate tinde către \(0\) luând valori pozitive, valori negative, sau valori de semn alternant.

Aceleași idei sunt valabile și pentru limitele pentru \(x\to+\infty\) și pentru \(x\to-\infty\): dacă limita este pozitivă, funcția este pozitivă începând de la un anumit rang; dacă limita este negativă, funcția este negativă începând de la un anumit rang.

Criteriul cleștelui

Criteriul cleștelui (numit și teorema comparației) permite determinarea limitei unei funcții prin compararea acesteia cu două funcții a căror limită este deja cunoscută.

Ideea este simplă: dacă o funcție \(g(x)\) este cuprinsă între două funcții \(f(x)\) și \(h(x)\), iar \(f(x)\) și \(h(x)\) tind către aceeași limită \(L\), atunci și \(g(x)\) trebuie să tindă către \(L\).

Teoremă. Fie \(f,g,h:A\to\mathbb{R}\) trei funcții și fie \(x_0\) un punct de acumulare pentru \(A\). Presupunem că există o vecinătate punctată a lui \(x_0\) în care are loc

\[ f(x)\leq g(x)\leq h(x). \]

Presupunem, de asemenea, că

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to x_0}h(x)=L. \]

Atunci există și limita lui \(g(x)\) pentru \(x\to x_0\) și avem

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=L. \]

Demonstrație. Fixăm un număr \(\varepsilon>0\). Deoarece

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]

există un număr \(\delta_1>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Din această inegalitate rezultă în particular

\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon. \]

Deoarece

\[ \lim_{x\to x_0}h(x)=L, \]

există un număr \(\delta_2>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \implies |h(x)-L|<\varepsilon. \]

Din această inegalitate rezultă în particular

\[ L-\varepsilon<h(x)<L+\varepsilon. \]

Prin ipoteză, mai există un număr \(\delta_0>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \implies f(x)\leq g(x)\leq h(x). \]

Notăm

\[ \delta=\min\{\delta_0,\delta_1,\delta_2\}. \]

Dacă \(x\in A\) și \(0<|x-x_0|<\delta\), atunci au loc simultan

\[ L-\varepsilon<f(x), \qquad f(x)\leq g(x)\leq h(x), \qquad h(x)<L+\varepsilon. \]

În consecință,

\[ L-\varepsilon<g(x)<L+\varepsilon. \]

Aceasta este echivalent cu a spune că

\[ |g(x)-L|<\varepsilon. \]

Am demonstrat, așadar, că pentru orice \(\varepsilon>0\), există \(\delta>0\) astfel încât

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies |g(x)-L|<\varepsilon. \]

Conform definiției limitei, rezultă că

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=L. \]

Exemplu. Considerăm limita

\[ \lim_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}. \]

Funcția \(\displaystyle \sin\frac{1}{x}\) nu admite limită pentru \(x\to 0\), deoarece oscilează la nesfârșit. Știm însă că, pentru orice \(x\neq 0\),

\[ -1\leq \sin\frac{1}{x}\leq 1. \]

Înmulțind toți membrii cu \(x^2\), care este nenegativ, obținem

\[ -x^2\leq x^2\sin\frac{1}{x}\leq x^2. \]

Deoarece

\[ \lim_{x\to 0}(-x^2)=0 \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to 0}x^2=0, \]

conform criteriului cleștelui, rezultă că

\[ \lim_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0. \]

Comparație cu limite infinite

Criteriul cleștelui are, de asemenea, versiuni utile pentru limite infinite.

Dacă, într-o vecinătate punctată a lui \(x_0\), avem

\[ f(x)\leq g(x) \]

și

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty, \]

atunci

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty. \]

Într-adevăr, dacă \(f(x)\) devine mai mare decât orice număr \(M>0\), atunci și \(g(x)\), fiind mai mare sau egală cu \(f(x)\), devine mai mare decât \(M\).

În mod analog, dacă, într-o vecinătate punctată a lui \(x_0\), avem

\[ g(x)\leq h(x) \]

și

\[ \lim_{x\to x_0}h(x)=-\infty, \]

atunci

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty. \]

Aceste versiuni exprimă același principiu: o funcție constrânsă, local, să rămână deasupra unei cantități care tinde către \(+\infty\) tinde și ea către \(+\infty\); o funcție constrânsă să rămână sub o cantitate care tinde către \(-\infty\) tinde și ea către \(-\infty\).

Observații

Comparația trebuie să fie valabilă într-o vecinătate a punctului considerat, cu posibila excepție a punctului însuși. Nu este necesar ca inegalitățile să fie valabile pe întreg domeniul funcției.

Criteriul cleștelui este deosebit de util atunci când funcția a cărei limită dorim să o calculăm conține un factor oscilant, dar mărginit, precum în cazul funcțiilor sinus și cosinus.

Operații cu limite

Operațiile cu limite permit calcularea limitei funcțiilor obținute prin sume, produse, câturi și puteri, pornind de la limite deja cunoscute.

Considerăm două funcții \(f,g:A\to\mathbb{R}\), cu \(A\subseteq\mathbb{R}\), și fie \(x_0\) un punct de acumulare pentru \(A\). Presupunem că există două limite finite:

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M. \]

Atunci au loc următoarele proprietăți.

Limita sumei

Limita sumei este egală cu suma limitelor:

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M. \]

În mod analog,

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=L-M. \]

Limita produsului

Limita produsului este egală cu produsul limitelor:

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=LM. \]

În particular, dacă \(c\in\mathbb{R}\), atunci

\[ \lim_{x\to x_0}cf(x)=cL. \]

Limita câtului

Dacă \(M\neq 0\), atunci limita câtului este egală cu câtul limitelor:

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}. \]

Condiția \(M\neq 0\) este esențială. Într-adevăr, dacă limita numitorului este diferită de zero, conform teoremei de conservare a semnului, funcția \(g(x)\) este diferită de zero într-o vecinătate punctată a lui \(x_0\). În această vecinătate, câtul este deci bine definit.

Limita puterilor

Dacă \(n\in\mathbb{N}^*\), atunci

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]

Această proprietate rezultă din limita produsului, aplicată în mod repetat.

Limita radicalilor

Pentru radicali trebuie acordată atenție domeniului. Dacă funcția \(\sqrt[n]{f(x)}\) este definită într-o vecinătate punctată a lui \(x_0\), atunci, în cazurile în care radicalul real este bine definit, avem

\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}. \]

În particular, pentru radicalii de ordin par este necesar ca valorile considerate să fie nenegative și ca limita \(L\) să fie, de asemenea, nenegativă.

Exemple

Calculăm limita

\[ \lim_{x\to 2}(3x^2-5x+1). \]

Deoarece funcțiile putere, sumă și produs respectă regulile precedente, putem substitui direct \(x=2\):

\[ \lim_{x\to 2}(3x^2-5x+1) = 3\cdot 2^2-5\cdot 2+1 = 12-10+1 = 3. \]

Considerăm acum limita

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+1}{x+2}. \]

Limita numitorului este \(3\), deci este diferită de zero. Putem, așadar, aplica regula câtului:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+1}{x+2} = \frac{1^2+1}{1+2} = \frac{2}{3}. \]

Când regulile nu sunt suficiente

Regulile precedente se aplică direct atunci când operațiile dintre limite produc un rezultat determinat. Ele nu pot fi însă aplicate mecanic atunci când apar expresii lipsite de o semnificație determinată.

De exemplu, dacă

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

nu putem concluziona că

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \]

are o valoare determinată. Expresia

\[ \frac{0}{0} \]

nu reprezintă un rezultat, ci o formă nedeterminată.

În aceste cazuri este necesar să transformăm expresia, să o simplificăm sau să aplicăm instrumente mai specifice. Principalele forme nedeterminate vor fi studiate în secțiunea următoare.

Aceleași proprietăți sunt valabile, cu modificările corespunzătoare, și pentru limitele pentru \(x\to+\infty\), pentru \(x\to-\infty\), precum și pentru limita la dreapta și limita la stânga.

Forme nedeterminate

În calculul limitelor se poate întâmpla ca aplicarea directă a regulilor operațiilor să nu permită determinarea rezultatului. În aceste cazuri vorbim despre forme nedeterminate.

O formă nedeterminată nu este nici un număr, nici un rezultat. Este o situație în care informațiile privind limitele individuale nu sunt suficiente pentru a stabili limita expresiei considerate.

De exemplu, dacă

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

nu putem deduce direct limita câtului

\[ \frac{f(x)}{g(x)}. \]

Într-adevăr, în funcție de funcțiile implicate, limita poate fi un număr real, poate fi infinită sau poate să nu existe.

Forma nedeterminată \(0/0\)

Forma

\[ \frac{0}{0} \]

apare atunci când numărătorul și numitorul tind ambii către zero.

De exemplu:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}. \]

Substituind formal \(x=1\), obținem forma \(0/0\). Totuși, pentru \(x\neq 1\), putem simplifica:

\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]

Prin urmare:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x+1) = 2. \]

Acest lucru arată că forma \(0/0\) nu indică faptul că limita este egală cu zero, ci că este necesar să transformăm expresia.

Forma nedeterminată \(\infty/\infty\)

Forma

\[ \frac{\infty}{\infty} \]

apare atunci când numărătorul și numitorul devin ambii oricât de mari în valoare absolută.

De exemplu:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}. \]

Numărătorul și numitorul tind ambii către \(+\infty\). Pentru a calcula limita, putem împărți numărătorul și numitorul la \(x^2\):

\[ \frac{3x^2+1}{x^2-5} = \frac{3+\displaystyle\frac{1}{x^2}}{1-\displaystyle\frac{5}{x^2}}. \]

Deoarece \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\to 0\) și \(\displaystyle\frac{5}{x^2}\to 0\) pentru \(x\to+\infty\), obținem:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}=3. \]

Și în acest caz, scrierea \(\infty/\infty\) nu reprezintă un rezultat: ea indică doar faptul că expresia trebuie analizată mai atent.

Forma nedeterminată \(\infty-\infty\)

Forma

\[ \infty-\infty \]

apare atunci când două cantități divergente se scad una din cealaltă. Rezultatul depinde de viteza cu care cresc aceste două cantități.

De exemplu:

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]

Ambii termeni tind către \(+\infty\), deci apare o formă \(\infty-\infty\). Pentru a o rezolva, raționalizăm:

\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]

Pentru \(x\to+\infty\), putem împărți numărătorul și numitorul la \(x\):

\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]

Prin urmare:

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) = \frac{1}{2}. \]

Forma nedeterminată \(0\cdot\infty\)

Forma

\[ 0\cdot\infty \]

apare atunci când un factor tinde către zero, iar celălalt devine oricât de mare în valoare absolută.

În aceste cazuri se încearcă adesea transformarea produsului într-un cât, pentru a ne reduce la o formă \(0/0\) sau \(\infty/\infty\).

De exemplu:

\[ \lim_{x\to 0^+}x\ln x. \]

Atunci când \(x\to 0^+\), avem \(x\to 0\) și \(\ln x\to-\infty\), deci apare o formă \(0\cdot(-\infty)\). Putem rescrie:

\[ x\ln x=\frac{\ln x}{\displaystyle\frac{1}{x}}. \]

În acest fel, limita se reduce la o formă \(\infty/\infty\), care poate fi studiată cu instrumente adecvate. În particular, se obține:

\[ \lim_{x\to 0^+}x\ln x=0. \]

Forme nedeterminate exponențiale

Există, de asemenea, forme nedeterminate care implică puteri cu bază și exponent variabile. Principalele sunt:

\[ 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]

Aceste forme apar în studiul limitelor de tipul

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^{g(x)}, \]

atunci când baza \(f(x)\) și exponentul \(g(x)\) variază simultan. În astfel de cazuri se cere, cel puțin într-o vecinătate punctată a punctului considerat, ca baza să fie strict pozitivă, pentru a putea folosi scrierea exponențială

\[ \bigl(f(x)\bigr)^{g(x)} = e^{g(x)\ln(f(x))}. \]

Studiul limitei se reduce astfel la calculul limitei exponentului \(g(x)\ln(f(x))\).

Lista principalelor forme nedeterminate

Principalele forme nedeterminate sunt:

\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad \infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty, \qquad 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]

Atunci când apare o formă nedeterminată, nu trebuie atribuită automat o valoare limitei. Este necesar, în schimb, să transformăm expresia, să folosim limite remarcabile, să aplicăm criteriul cleștelui sau să recurgem la alte instrumente ale analizei matematice.

Forme care nu sunt nedeterminate

Nu toate expresiile care implică zero sau infinit sunt nedeterminate. De exemplu, dacă \(L\in\mathbb{R}\), atunci, în multe cazuri, raportul dintre o cantitate care tinde către \(L\) și o cantitate care tinde către infinit tinde către zero:

\[ \frac{L}{\infty}=0. \]

Această scriere este doar o prescurtare intuitivă: semnificația riguroasă este că numărătorul tinde către un număr real finit, în timp ce numitorul devine oricât de mare în valoare absolută.

În mod analog, expresii precum \(L+\infty\), cu \(L\in\mathbb{R}\), nu sunt forme nedeterminate: termenul infinit domină termenul finit.

Distincția dintre formele determinate și formele nedeterminate este esențială, deoarece permite să înțelegem când regulile referitoare la limite oferă imediat un răspuns și când, dimpotrivă, este necesară o analiză suplimentară.

Limite remarcabile

Limitele remarcabile sunt limite fundamentale care apar frecvent în studiul funcțiilor. Ele permit rezolvarea multor forme nedeterminate, în special de tipul \(0/0\), reducând expresia la limite deja cunoscute.

Aceste limite nu trebuie aplicate în mod mecanic: trebuie verificat întotdeauna că variabila sau expresia considerată tinde către valoarea cerută și că funcțiile implicate sunt definite într-o vecinătate punctată a punctului considerat.

Limita remarcabilă a sinusului

Una dintre cele mai importante limite remarcabile este

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. \]

Această limită este valabilă atunci când unghiul \(x\) este măsurat în radiani. Ea afirmă că, pentru valori ale lui \(x\) apropiate de \(0\), sinusul lui \(x\) se comportă precum \(x\).

În mod echivalent, pentru \(x\to 0\), putem scrie informal:

\[ \sin x \sim x. \]

Scrierea \(\sin x \sim x\) înseamnă că raportul dintre \(\sin x\) și \(x\) tinde către \(1\).

Limita remarcabilă a cosinusului

O altă limită fundamentală este

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}. \]

Aceasta descrie comportamentul lui \(1-\cos x\) în apropierea lui \(0\). În particular, pentru \(x\to 0\), avem

\[ 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}. \]

Această limită este adesea utilă atunci când apar expresii trigonometrice sub formă nedeterminată.

Limita remarcabilă a tangentei

Din limita remarcabilă a sinusului și din continuitatea cosinusului în \(0\) se obține:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1. \]

Într-adevăr,

\[ \frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}. \]

Deoarece \(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\to 1\) și \(\cos x\to 1\), rezultă că \(\displaystyle\frac{\tan x}{x}\to 1\).

Limita remarcabilă exponențială

O limită fundamentală legată de numărul lui Neper \(e\) este

\[ \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e. \]

În această scriere, se consideră \(x\) suficient de apropiat de \(0\), cu \(x\neq 0\), astfel încât \(1+x>0\).

O formă echivalentă a aceleiași limite este

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e. \]

Aceste limite stau la baza multor transformări care implică expresii de tipul \(1^\infty\).

Limita remarcabilă a logaritmului

Pentru logaritmul natural este valabilă limita remarcabilă

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1. \]

Funcția este definită pentru \(1+x>0\), adică pentru \(x>-1\). Limita afirmă că, pentru \(x\to 0\), logaritmul \(\ln(1+x)\) se comportă precum \(x\):

\[ \ln(1+x)\sim x. \]

Mai general, dacă \(u(x)\to 0\) și \(1+u(x)>0\) într-o vecinătate punctată a punctului considerat, atunci

\[ \frac{\ln(1+u(x))}{u(x)}\to 1. \]

Limita remarcabilă a exponențialei

Pentru funcția exponențială naturală este valabilă

\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1. \]

Această limită afirmă că, în apropierea lui \(0\), cantitatea \(e^x-1\) se comportă precum \(x\):

\[ e^x-1\sim x. \]

Mai general, dacă \(a>0\), atunci

\[ \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a. \]

Într-adevăr, \(a^x=e^{x\ln a}\), deci comportamentul lui \(a^x-1\) în apropierea lui \(0\) depinde de factorul \(\ln a\).

Limita remarcabilă a puterilor

Dacă \(\alpha\in\mathbb{R}\), este valabilă limita

\[ \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha. \]

Și în acest caz trebuie să considerăm \(x\) într-o vecinătate a lui \(0\) în care puterea reală \((1+x)^\alpha\) este definită. În particular, este suficient să cerem \(1+x>0\).

Această limită este foarte utilă atunci când apar radicali sau puteri cu exponent real. De exemplu, alegând \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\), se obține:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}. \]

Exemplu de aplicare

Calculăm limita

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}. \]

Înmulțim și împărțim cu \(3\):

\[ \frac{\sin(3x)}{x} = 3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}. \]

Deoarece \(3x\to 0\) pentru \(x\to 0\), din limita remarcabilă a sinusului rezultă că

\[ \frac{\sin(3x)}{3x}\to 1. \]

Prin urmare:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}=3. \]

Tabelul principalelor limite remarcabile

Recapitulăm principalele limite remarcabile:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}. \]

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a. \]

\[ \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e, \qquad \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha. \]

Echivalențele obținute din aceste limite sunt adesea decisive în calculul limitelor. Totuși, ele trebuie folosite doar atunci când argumentul tinde efectiv către \(0\), sau atunci când variabila tinde către infinit în modul cerut de formulă.

Infiniți mici și infiniți mari

În studiul limitelor este adesea util să caracterizăm o funcție nu doar prin valoarea limitei sale, ci și prin viteza cu care aceasta tinde către zero sau devine oricât de mare.

Această cerință conduce la noțiunile de infinit mic, infinit mare și comparație a ordinelor.

Infiniți mici

O funcție \(f\) se numește infinit mic pentru \(x\to x_0\) dacă

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0. \]

Cu alte cuvinte, un infinit mic este o funcție care, în procesul de trecere la limită considerat, ia valori oricât de apropiate de zero.

De exemplu, pentru \(x\to 0\), sunt infiniți mici funcțiile

\[ x, \qquad x^2, \qquad \sin x, \qquad 1-\cos x. \]

Într-adevăr, toate aceste funcții tind către zero atunci când \(x\to 0\).

Și funcția \(\displaystyle\frac{1}{x}\) este infinit mică, dar pentru \(x\to+\infty\) sau pentru \(x\to-\infty\), deoarece

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Infiniți mari

O funcție \(f\) se numește infinit mare pentru \(x\to x_0\) dacă

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]

sau

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty. \]

Mai general, vorbim despre o funcție infinit mare atunci când valorile lui \(f(x)\) devin oricât de mari în valoare absolută în procesul de trecere la limită considerat.

De exemplu, pentru \(x\to+\infty\), sunt funcții infinit mari

\[ x, \qquad x^2, \qquad e^x. \]

Pentru \(x\to 0\), în schimb, este infinit mare funcția

\[ \frac{1}{x^2}, \]

deoarece

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]

Relația dintre infiniți mici și infiniți mari

Noțiunile de infinit mic și infinit mare sunt strâns legate. Dacă \(f\) este un infinit mic pentru procesul de trecere la limită considerat și dacă \(f(x)\neq 0\) într-o vecinătate punctată a punctului considerat, atunci funcția inversă în sens multiplicativ

\[ x\mapsto \frac{1}{f(x)} \]

este infinit mare în valoare absolută. Dacă semnul lui \(f(x)\) nu este constant, limitele la dreapta și la stânga ale acestei funcții inverse pot avea semne diferite.

De exemplu, pentru \(x\to 0\), funcția \(x^2\) este infinit mică și pozitivă pentru \(x\neq 0\). În consecință,

\[ \frac{1}{x^2} \]

este infinit mare și pozitivă pentru \(x\to 0\).

În mod analog, dacă \(f\) este infinit mare pentru procesul de trecere la limită considerat și nu se anulează într-o vecinătate punctată a punctului considerat, atunci funcția inversă în sens multiplicativ

\[ x\mapsto \frac{1}{f(x)} \]

este infinit mică.

Comparație între infiniți mici

Doi infiniți mici pot tinde către zero cu viteze diferite. Pentru a-i compara, se studiază limita raportului lor.

Fie \(f\) și \(g\) doi infiniți mici pentru \(x\to x_0\), cu \(g(x)\neq 0\) într-o vecinătate punctată a lui \(x_0\). Considerăm limita

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. \]

Dacă

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0, \]

atunci \(f\) este un infinit mic de ordin superior în raport cu \(g\). Aceasta înseamnă că \(f(x)\) tinde către zero mai rapid decât \(g(x)\).

Dacă, în schimb,

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell, \qquad \ell\in\mathbb{R},\quad \ell\neq 0, \]

atunci \(f\) și \(g\) sunt infiniți mici de același ordin.

Dacă, în sfârșit,

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\pm\infty, \]

atunci \(f\) tinde către zero mai lent decât \(g\).

Exemplu de comparație între infiniți mici

Pentru \(x\to 0\), comparăm infiniții mici \(x^2\) și \(x\). Calculăm:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to 0}x = 0. \]

Așadar, \(x^2\) este un infinit mic de ordin superior în raport cu \(x\): într-adevăr, \(x^2\) tinde către zero mai rapid decât \(x\).

Comparăm acum \(\sin x\) și \(x\), tot pentru \(x\to 0\). Din limita remarcabilă

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \]

rezultă că \(\sin x\) și \(x\) sunt infiniți mici de același ordin.

Infiniți mari echivalenți și infiniți mici echivalenți

Două funcții \(f\) și \(g\), cu \(g(x)\neq 0\) într-o vecinătate punctată a punctului considerat, se numesc echivalente pentru \(x\to x_0\) dacă

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1. \]

În acest caz se scrie

\[ f(x)\sim g(x) \qquad\text{pentru }x\to x_0. \]

Scrierea \(f(x)\sim g(x)\) înseamnă că, în procesul de trecere la limită considerat, cele două funcții au același comportament principal.

De exemplu, pentru \(x\to 0\), din limitele remarcabile se obțin echivalențele

\[ \sin x\sim x, \qquad \tan x\sim x, \qquad 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}, \qquad \ln(1+x)\sim x, \qquad e^x-1\sim x. \]

Aceste echivalențe sunt foarte utile în calculul limitelor, deoarece permit înlocuirea unei funcții cu alta mai simplă, având același comportament principal.

Utilizarea corectă a echivalențelor

Echivalențele trebuie folosite cu atenție. În particular, substituția prin echivalențe este sigură în produse și câturi, în timp ce nu poate fi aplicată mecanic în sume sau diferențe, unde se poate produce o anulare a termenilor principali.

De exemplu, deoarece \(\sin x\sim x\) pentru \(x\to 0\), putem calcula:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. \]

Totuși, într-o expresie precum

\[ \sin x-x, \]

nu putem înlocui pur și simplu \(\sin x\) cu \(x\) și să conchidem că diferența este nulă. În realitate, diferența are un ordin mai mare și necesită instrumente mai fine, precum dezvoltări limitate sau transformări specifice.

Această observație este fundamentală: echivalențele descriu comportamentul principal al unei funcții, dar pot fi insuficiente atunci când termenii principali se anulează reciproc.

Comparație între infiniți mari

Și funcțiile infinit mari pot fi comparate prin intermediul raportului. Dacă \(f\) și \(g\) sunt infinit mari pentru \(x\to x_0\), se studiază

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. \]

Dacă limita este \(0\), atunci \(f\) crește mai lent decât \(g\). Dacă limita este un număr real nenul, cele două funcții au același ordin de mărime la infinit. Dacă limita este infinită, atunci \(f\) crește mai rapid decât \(g\).

De exemplu, pentru \(x\to+\infty\),

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0. \]

Așadar, \(x\) este un infinit mare de ordin inferior în raport cu \(x^2\), adică \(x^2\) crește mai rapid decât \(x\).

Mai general, pentru \(x\to+\infty\), puterile pozitive ale lui \(x\) cresc cu atât mai rapid cu cât exponentul este mai mare.

Observații

Comparația între infiniți mici și infiniți mari nu privește doar valoarea limitei, ci și viteza cu care o funcție tinde către zero sau diverge. Acest punct de vedere este esențial pentru rezolvarea multor forme nedeterminate.

În particular, multe tehnici de calcul al limitelor constau în identificarea termenului dominant, adică a termenului care determină comportamentul principal al expresiei în procesul de trecere la limită considerat.

Strategii pentru calculul limitelor

Calculul unei limite nu constă în aplicarea aceleiași reguli de fiecare dată. În funcție de forma expresiei, poate fi necesar să folosim proprietăți algebrice, limite remarcabile, criteriul cleștelui, echivalențe sau transformări specifice.

O strategie bună constă, în primul rând, în a recunoaște dacă expresia conduce la o formă determinată sau la o formă nedeterminată.

Substituția directă atunci când este posibil

Atunci când operațiile cu limite se aplică direct și nu apar forme nedeterminate, limita se calculează substituind valoarea către care tinde \(x\).

De exemplu:

\[ \lim_{x\to 2}(x^2+3x-1) = 2^2+3\cdot 2-1 = 9. \]

În acest caz nu apare nicio dificultate: polinoamele, sumele și produsele se comportă regulat față de trecerea la limită.

Simplificarea în formele \(0/0\)

Atunci când apare o formă \(0/0\), una dintre primele strategii constă în simplificarea expresiei, dacă este posibil.

De exemplu:

\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}. \]

Substituind formal \(x=3\), obținem \(0/0\). Factorizăm numărătorul:

\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]

Pentru \(x\neq 3\), putem deci scrie:

\[ \frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3. \]

Rezultă că

\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3} = \lim_{x\to 3}(x+3) = 6. \]

Simplificarea este permisă deoarece limita studiază comportamentul pentru \(x\) apropiat de \(3\), dar diferit de \(3\).

Raționalizare

Atunci când apar radicali și diferențe, poate fi util să înmulțim și să împărțim cu expresia conjugată.

Considerăm:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}. \]

Substituind formal \(x=0\), obținem \(0/0\). Raționalizăm:

\[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}. \]

Deoarece \(1+x-1=x\), pentru \(x\neq 0\) obținem:

\[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}. \]

Prin urmare:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{1}{2}. \]

Împărțirea la termenul dominant

În limitele funcțiilor raționale pentru \(x\to+\infty\) sau pentru \(x\to-\infty\), o strategie fundamentală constă în împărțirea numărătorului și numitorului la puterea de grad maxim.

De exemplu:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x+1}{5x^3+4x^2-7}. \]

Termenul dominant este \(x^3\). Împărțim numărătorul și numitorul la \(x^3\):

\[ \frac{2x^3-x+1}{5x^3+4x^2-7} = \frac{2-\displaystyle\frac{1}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}}{5+\displaystyle\frac{4}{x}-\displaystyle\frac{7}{x^3}}. \]

Deoarece

\[ \frac{1}{x}\to 0, \qquad \frac{1}{x^2}\to 0, \qquad \frac{1}{x^3}\to 0 \]

pentru \(x\to+\infty\), se obține:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x+1}{5x^3+4x^2-7} = \frac{2}{5}. \]

Utilizarea limitelor remarcabile

Atunci când apar funcții trigonometrice, logaritmice, exponențiale sau puteri, multe limite se reduc la limitele remarcabile.

De exemplu:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+4x)}{x}. \]

Înmulțim și împărțim cu \(4\):

\[ \frac{\ln(1+4x)}{x} = 4\cdot\frac{\ln(1+4x)}{4x}. \]

Deoarece \(4x\to 0\) pentru \(x\to 0\), din limita remarcabilă

\[ \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1 \]

rezultă că

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+4x)}{x}=4. \]

Utilizarea infiniților mici echivalenți

Infiniții mici echivalenți permit înlocuirea, în produse și câturi, a unei funcții cu alta mai simplă, având același comportament principal.

De exemplu, pentru \(x\to 0\), știm că

\[ \sin x\sim x \qquad\text{și}\qquad e^x-1\sim x. \]

Prin urmare:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{e^x-1} = 1. \]

Într-adevăr, numărătorul și numitorul sunt ambii echivalenți cu \(x\).

Această metodă este foarte rapidă, dar trebuie folosită cu atenție: echivalențele sunt sigure în produse și câturi, în timp ce în sume și diferențe pot produce erori dacă termenii principali se anulează reciproc.

Utilizarea criteriului cleștelui

Atunci când o funcție este dificil de tratat direct, dar poate fi încadrată între două funcții cu aceeași limită, se poate folosi criteriul cleștelui.

De exemplu:

\[ \lim_{x\to 0}x^2\cos\frac{1}{x}. \]

Deoarece, pentru orice \(x\neq 0\),

\[ -1\leq \cos\frac{1}{x}\leq 1, \]

înmulțind cu \(x^2\geq 0\), obținem:

\[ -x^2\leq x^2\cos\frac{1}{x}\leq x^2. \]

Deoarece

\[ \lim_{x\to 0}(-x^2)=0 \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to 0}x^2=0, \]

conform criteriului cleștelui, rezultă că

\[ \lim_{x\to 0}x^2\cos\frac{1}{x}=0. \]

Studiul separat la dreapta și la stânga

Atunci când expresia își schimbă comportamentul în funcție de semnul lui \(x-x_0\), este necesar să studiem separat limita la dreapta și limita la stânga.

De exemplu, considerăm

\[ \lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}. \]

Pentru \(x>0\), avem \(|x|=x\), deci

\[ \frac{|x|}{x}=1. \]

Pentru \(x<0\), avem \(|x|=-x\), deci

\[ \frac{|x|}{x}=-1. \]

Așadar:

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1. \]

Deoarece limita la dreapta și limita la stânga sunt diferite, limita pentru \(x\to 0\) nu există.

Identificarea termenului dominant

În multe expresii, în special pentru \(x\to+\infty\) sau pentru \(x\to-\infty\), comportamentul limitei este determinat de termenul dominant, adică de termenul care crește cel mai rapid.

De exemplu:

\[ \lim_{x\to+\infty}(x^3-4x^2+7x). \]

Termenul dominant este \(x^3\). Ceilalți termeni cresc mai lent și nu modifică comportamentul principal. Prin urmare:

\[ \lim_{x\to+\infty}(x^3-4x^2+7x)=+\infty. \]

Pentru \(x\to-\infty\), în schimb, termenul dominant este tot \(x^3\), dar \(x^3\to-\infty\). Așadar:

\[ \lim_{x\to-\infty}(x^3-4x^2+7x)=-\infty. \]

Schemă operațională

În concluzie, pentru a calcula o limită este recomandabil să procedăm astfel:

1. verificăm punctul sau direcția către care tinde variabila;
2. verificăm dacă regulile referitoare la limite se aplică direct;
3. identificăm eventualele forme nedeterminate;
4. alegem o transformare potrivită: factorizare, simplificare, raționalizare, împărțire la termenul dominant, limite remarcabile, echivalențe sau criteriul cleștelui;
5. dacă este necesar, studiem separat limita la dreapta și limita la stânga;
6. tragem concluzia doar după ce am verificat că ipotezele folosite sunt valabile în procesul de trecere la limită considerat.

Punctul esențial este să nu confundăm scrierile simbolice cu rezultate automate. O formă nedeterminată semnalează că limita necesită o analiză mai precisă; o formă determinată, în schimb, permite adesea să tragem concluzia direct, folosind proprietățile limitelor.

Interpretarea grafică a limitelor și asimptote

Noțiunea de limită are o interpretare grafică puternică. A studia o limită înseamnă a observa comportamentul graficului unei funcții atunci când punctul de abscisă \(x\) se apropie de o valoare fixată, sau atunci când \(x\) se îndepărtează la nesfârșit către \(+\infty\) sau către \(-\infty\).

Graficul nu servește pentru a înlocui definiția riguroasă, ci ajută la vizualizarea semnificației diferitelor situații care pot apărea.

Limită finită într-un punct

Dacă

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]

atunci, atunci când \(x\) se apropie de \(x_0\), punctele graficului lui \(f\) se apropie de ordonata \(L\).

Aceasta nu înseamnă neapărat că graficul trece prin punctul \((x_0,L)\). Într-adevăr, valoarea \(f(x_0)\) poate să nu fie definită, sau poate fi diferită de \(L\).

Din punct de vedere grafic, limita descrie deci alura graficului în apropierea dreptei verticale \(x=x_0\), fără a depinde neapărat de punctul graficului cu abscisa \(x_0\).

Limita la dreapta și limita la stânga pe grafic

Limita la dreapta descrie comportamentul graficului atunci când ne apropiem de \(x_0\) prin valori mai mari decât \(x_0\). Limita la stânga descrie, în schimb, comportamentul graficului atunci când ne apropiem de \(x_0\) prin valori mai mici decât \(x_0\).

Dacă domeniul funcției conține puncte oricât de apropiate de \(x_0\) atât la stânga, cât și la dreapta lui \(x_0\), și dacă

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L, \]

atunci graficul se apropie de aceeași ordonată \(L\) din ambele părți, iar limita pentru \(x\to x_0\) există.

Dacă, în schimb, limita la dreapta și limita la stânga sunt diferite, graficul se apropie de două ordonate diferite. În acest caz, limita pentru \(x\to x_0\) nu există.

Limită infinită și asimptotă verticală

Dacă, atunci când \(x\) se apropie de \(x_0\), valorile funcției devin oricât de mari sau oricât de mici, graficul se apropie de dreapta verticală \(x=x_0\).

Dacă cel puțin una dintre limita la dreapta și limita la stânga este infinită, atunci dreapta

\[ x=x_0 \]

este o asimptotă verticală pentru graficul funcției.

De exemplu, dacă

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]

atunci, apropiindu-ne de \(x_0\) din dreapta, graficul urcă la nesfârșit de-a lungul direcției dreptei verticale \(x=x_0\).

În mod analog, dacă

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty, \]

atunci, apropiindu-ne de \(x_0\) din stânga, graficul coboară la nesfârșit de-a lungul direcției aceleiași drepte verticale.

Este deci posibil ca acest comportament să difere de la dreapta la stânga. De exemplu, o funcție poate tinde către \(+\infty\) dintr-o parte și către \(-\infty\) din cealaltă.

Limită finită la infinit și asimptotă orizontală

Dacă o funcție tinde către un număr real \(L\) atunci când \(x\to+\infty\), atunci graficul se apropie de dreapta orizontală

\[ y=L \]

atunci când ne deplasăm la nesfârșit spre dreapta.

În acest caz, dreapta \(y=L\) este o asimptotă orizontală la dreapta pentru graficul funcției.

În mod analog, dacă

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=M, \]

atunci dreapta

\[ y=M \]

este o asimptotă orizontală la stânga.

Cele două asimptote orizontale pot coincide sau pot fi diferite. De exemplu, se poate întâmpla ca o funcție să tindă către o anumită valoare pentru \(x\to+\infty\) și către o altă valoare pentru \(x\to-\infty\).

Asimptotă oblică

Pe lângă asimptotele verticale și orizontale, o funcție poate avea o asimptotă oblică. Aceasta se întâmplă atunci când, pentru \(x\to+\infty\) sau pentru \(x\to-\infty\), graficul funcției se apropie de o dreaptă neorizontală.

O dreaptă de ecuație

\[ y=mx+q, \qquad m\neq 0, \]

este o asimptotă oblică pentru \(f\) pentru \(x\to+\infty\) dacă

\[ \lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-(mx+q)\bigr)=0. \]

În mod analog, aceeași definiție este valabilă pentru \(x\to-\infty\), înlocuind procesul de trecere la limită considerat.

Condiția precedentă înseamnă că distanța verticală dintre graficul funcției și dreapta \(y=mx+q\) tinde către zero.

Atunci când asimptota oblică există, coeficienții \(m\) și \(q\) se calculează, în cazurile obișnuite, cu ajutorul limitelor

\[ m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} \]

și

\[ q=\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr), \]

cu condiția ca aceste limite să existe, să fie finite și \(m\neq 0\). Pentru \(x\to-\infty\), se folosesc aceleași formule cu limita pentru \(x\to-\infty\).

Exemple de interpretare grafică

Considerăm funcția

\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]

Pentru \(x\to 0^+\), avem

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty, \]

în timp ce pentru \(x\to 0^-\), avem

\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]

Așadar, dreapta \(x=0\), adică axa ordonatelor, este o asimptotă verticală pentru graficul funcției.

În plus,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Prin urmare, dreapta \(y=0\), adică axa absciselor, este asimptotă orizontală atât la dreapta, cât și la stânga.

Considerăm acum funcția

\[ g(x)=x+\frac{1}{x}. \]

Pentru \(x\to+\infty\), avem

\[ g(x)-x=\frac{1}{x}\to 0. \]

Așadar, dreapta

\[ y=x \]

este o asimptotă oblică pentru \(x\to+\infty\). Același lucru este valabil și pentru \(x\to-\infty\), deoarece \(\displaystyle\frac{1}{x}\to 0\) și în această direcție.

Observații finale

Interpretarea grafică a limitelor permite legarea definiției riguroase de comportamentul vizibil al graficului. Totuși, graficul trebuie considerat un ghid, nu o demonstrație.

Pentru a stabili cu certitudine existența și valoarea unei limite, trebuie întotdeauna să ne raportăm la definițiile, teoremele și proprietățile studiate în secțiunile precedente.

În concluzie, limitele permit descrierea cu precizie a trei aspecte fundamentale ale comportamentului unei funcții: ce se întâmplă în apropierea unui punct, ce se întâmplă la infinit și cum se dispune graficul în raport cu eventualele asimptote.