Limita la dreapta și limita la stânga: definiție, exemple și proprietăți

Ideea intuitivă de limită la dreapta și limită la stânga

Atunci când studiem limita unei funcții când \(x\to x_0\), observăm comportamentul valorilor \(f(x)\) pe măsură ce \(x\) se apropie de punctul \(x_0\). Totuși, apropierea de \(x_0\) se poate produce în două moduri distincte: prin valori mai mari decât \(x_0\), sau prin valori mai mici decât \(x_0\).

Dacă \(x\) se apropie de \(x_0\) rămânând mai mare decât \(x_0\), spunem că \(x\) tinde către \(x_0\) dinspre dreapta și scriem

\[ x\to x_0^+. \]

Dacă, dimpotrivă, \(x\) se apropie de \(x_0\) rămânând mai mic decât \(x_0\), spunem că \(x\) tinde către \(x_0\) dinspre stânga și scriem

\[ x\to x_0^-. \]

Limita la dreapta descrie, așadar, comportamentul funcției atunci când \(x\) se apropie de \(x_0\) prin valori \(x>x_0\). Limita la stânga descrie, în schimb, comportamentul funcției atunci când \(x\) se apropie de \(x_0\) prin valori \(x<x_0\).

Această distincție este importantă deoarece o funcție se poate comporta diferit la dreapta și la stânga aceluiași punct. În particular, se poate întâmpla ca valorile lui \(f(x)\) să se apropie de un anumit număr pe o parte și de un număr diferit pe cealaltă parte.

Valoarea pe care o ia funcția în punctul \(x_0\), atunci când există, nu este ceea ce determină limita. Chiar și în cazul limitelor la dreapta și la stânga, ceea ce contează este comportamentul lui \(f(x)\) pentru valori ale lui \(x\) apropiate de \(x_0\), dar distincte de \(x_0\).

Apropierea de un punct dinspre dreapta și dinspre stânga

Fie \(f:D\to\mathbb{R}\) o funcție reală de variabilă reală, cu domeniul \(D\subseteq\mathbb{R}\). Pentru a vorbi despre comportamentul lui \(f(x)\) atunci când \(x\) se apropie de un punct \(x_0\), nu este necesar ca \(x_0\) să aparțină domeniului funcției.

Ceea ce contează este să existe valori ale domeniului oricât de apropiate de \(x_0\). În cazul limitei la dreapta, aceste valori trebuie să se afle la dreapta lui \(x_0\); în cazul limitei la stânga, ele trebuie să se afle la stânga lui \(x_0\).

A spune că \(x\) se apropie de \(x_0\) dinspre dreapta înseamnă a considera valori ale lui \(x\) care aparțin domeniului funcției și care sunt astfel încât

\[ x_0<x<x_0+\delta \]

pentru valori pozitive ale lui \(\delta\) din ce în ce mai mici. În simboluri, se scrie

\[ x\to x_0^+. \]

A spune că \(x\) se apropie de \(x_0\) dinspre stânga înseamnă, în schimb, a considera valori ale lui \(x\) care aparțin domeniului funcției și care sunt astfel încât

\[ x_0-\delta<x<x_0. \]

În acest caz se scrie

\[ x\to x_0^-. \]

Așadar, atunci când se studiază o limită la dreapta sau la stânga, nu se observă în mod necesar toate valorile lui \(x\) apropiate de \(x_0\), ci doar acelea care aparțin domeniului funcției și care se află de partea considerată.

De exemplu, dacă o funcție este definită pe un interval de tipul \([a,b]\), în punctul \(a\) se poate studia limita la dreapta, deoarece există puncte ale domeniului la dreapta lui \(a\), dar nu se poate studia o limită la stânga în interiorul acelui domeniu. În mod analog, în punctul \(b\) se poate studia limita la stânga, dar nu limita la dreapta.

Mai precis, limita la dreapta în \(x_0\) are sens atunci când există puncte ale domeniului oricât de apropiate de \(x_0\) și mai mari decât \(x_0\). Limita la stânga în \(x_0\) are sens atunci când există puncte ale domeniului oricât de apropiate de \(x_0\) și mai mici decât \(x_0\).

Definiția limitei la dreapta

Fie \(f:D\to\mathbb{R}\) o funcție reală de variabilă reală, cu \(D\subseteq\mathbb{R}\), și fie \(x_0\) un punct astfel încât să existe puncte ale domeniului oricât de apropiate de \(x_0\) și mai mari decât \(x_0\).

A spune că \(x_0\) are puncte ale domeniului oricât de apropiate dinspre dreapta înseamnă că, pentru orice \(\delta>0\), există cel puțin un punct \(x\in D\) astfel încât

\[ x_0<x<x_0+\delta. \]

În aceste condiții, spunem că funcția \(f\) are limita la dreapta egală cu \(L\) când \(x\to x_0\), și scriem

\[ \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L, \]

dacă pentru orice \(\varepsilon>0\) există un \(\delta>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in D\),

\[ x_0<x<x_0+\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Cu alte cuvinte, valorile \(f(x)\) pot fi făcute oricât de apropiate de \(L\), cu condiția ca \(x\) să fie suficient de apropiat de \(x_0\), să aparțină domeniului funcției și să se afle la dreapta lui \(x_0\).

Condiția \(x_0<x\) este esențială: în limita la dreapta nu se observă comportamentul funcției pentru valori ale lui \(x\) mai mici decât \(x_0\). În plus, la fel cum se întâmplă în cazul limitei când \(x\to x_0\), nu contează valoarea funcției în \(x_0\), chiar și în cazul în care \(x_0\in D\).

Limita la dreapta depinde exclusiv de comportamentul funcției în puncte ale domeniului care se află la dreapta lui \(x_0\) și care se apropie oricât de mult de \(x_0\).

Definiția limitei la stânga

Fie \(f:D\to\mathbb{R}\) o funcție reală de variabilă reală, cu \(D\subseteq\mathbb{R}\), și fie \(x_0\) un punct astfel încât să existe puncte ale domeniului oricât de apropiate de \(x_0\) și mai mici decât \(x_0\).

A spune că \(x_0\) are puncte ale domeniului oricât de apropiate dinspre stânga înseamnă că, pentru orice \(\delta>0\), există cel puțin un punct \(x\in D\) astfel încât

\[ x_0-\delta<x<x_0. \]

În aceste condiții, spunem că funcția \(f\) are limita la stânga egală cu \(L\) când \(x\to x_0\), și scriem

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L, \]

dacă pentru orice \(\varepsilon>0\) există un \(\delta>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in D\),

\[ x_0-\delta<x<x_0 \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Cu alte cuvinte, valorile \(f(x)\) pot fi făcute oricât de apropiate de \(L\), cu condiția ca \(x\) să fie suficient de apropiat de \(x_0\), să aparțină domeniului funcției și să se afle la stânga lui \(x_0\).

Condiția \(x<x_0\) este esențială: în limita la stânga nu se ia în considerare comportamentul funcției pentru valori ale lui \(x\) mai mari decât \(x_0\). Și în acest caz, valoarea pe care eventual o ia funcția în punctul \(x_0\) nu influențează limita.

Limita la stânga depinde exclusiv de comportamentul funcției în puncte ale domeniului care se află la stânga lui \(x_0\) și care se apropie nedefinit de \(x_0\).

Relația cu limita fără restricții laterale

Limita când \(x\to x_0\), considerată fără restricții laterale, cere ca funcția să se apropie de aceeași valoare oricare ar fi modul în care \(x\) tinde către \(x_0\) în interiorul domeniului.

În particular, dacă domeniul funcției are puncte oricât de apropiate de \(x_0\) atât dinspre stânga, cât și dinspre dreapta, atunci limita

\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]

există și este egală cu \(L\) dacă și numai dacă există ambele limite

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x) \]

și sunt ambele egale cu \(L\). În simboluri:

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L \ \text{și}\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L. \]

Această echivalență arată că limita când \(x\to x_0\), fără restricții laterale, este mai exigentă decât cele două limite laterale luate separat. Nu este suficient, într-adevăr, ca funcția să aibă un comportament regulat doar de o singură parte: este necesar ca acest comportament să fie același de ambele părți.

Dacă, dimpotrivă, cele două limite există dar sunt diferite, atunci limita când \(x\to x_0\), fără restricții laterale, nu există. Funcția se apropie, într-adevăr, de două valori diferite în funcție de direcția din care \(x\) tinde către \(x_0\).

La capetele unui interval, situația este diferită. De exemplu, dacă o funcție este definită pe \([a,b]\), în punctul \(a\) se studiază în mod natural limita la dreapta, în timp ce în punctul \(b\) se studiază în mod natural limita la stânga. În aceste cazuri nu se cere o verificare din ambele părți, deoarece domeniul însuși este prezent doar de o parte.

Limita la dreapta și limita la stânga diferite

Se poate întâmpla ca o funcție să aibă un comportament bine determinat atât la stânga, cât și la dreapta unui punct \(x_0\), dar ca cele două comportamente să conducă la valori diferite.

Să presupunem, de exemplu, că

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1 \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \]

cu \(L_1\neq L_2\). În acest caz limita când \(x\to x_0\), considerată fără restricții laterale, nu există.

Într-adevăr, apropiindu-se de \(x_0\) dinspre stânga, valorile funcției se apropie de \(L_1\); apropiindu-se, în schimb, dinspre dreapta, se apropie de \(L_2\). Dacă \(L_1\) și \(L_2\) sunt diferite, nu există o valoare unică către care funcția să tindă atunci când \(x\) se apropie de \(x_0\).

Acest fapt apare frecvent la funcțiile definite pe ramuri. Să considerăm, de exemplu, funcția

\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 2, & x>0. \end{cases} \]

Când \(x\to 0^-\), valorile funcției sunt egale cu \(1\), deci

\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1. \]

Când, în schimb, \(x\to 0^+\), valorile funcției sunt egale cu \(2\), deci

\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2. \]

Întrucât cele două limite sunt diferite, limita când \(x\to 0\), fără restricții laterale, nu există:

\[ \lim_{x\to 0}f(x) \quad\text{nu există.} \]

Punctul esențial este că existența separată a limitei la stânga și a limitei la dreapta nu este suficientă. Pentru ca limita când \(x\to x_0\) să existe, este necesar ca cele două valori să coincidă.

Limite laterale infinite

Limita la dreapta și limita la stânga nu trebuie să fie neapărat numere reale finite. Se poate întâmpla ca, apropiindu-se de un punct \(x_0\) doar dintr-o parte, valorile funcției să crească nemărginit sau să scadă nemărginit.

Fie \(f:D\to\mathbb{R}\) o funcție reală de variabilă reală, cu \(D\subseteq\mathbb{R}\), și să presupunem că limita la dreapta în \(x_0\) are sens. A scrie

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty \]

înseamnă că pentru orice \(M>0\) există un \(\delta>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in D\),

\[ x_0<x<x_0+\delta \implies f(x)>M. \]

Cu alte cuvinte, valorile lui \(f(x)\) devin mai mari decât orice număr real pozitiv fixat dinainte, cu condiția ca \(x\) să fie suficient de apropiat de \(x_0\) dinspre dreapta.

În mod analog, a scrie

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty \]

înseamnă că pentru orice \(M>0\) există un \(\delta>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in D\),

\[ x_0<x<x_0+\delta \implies f(x)<-M. \]

În acest caz, apropiindu-se de \(x_0\) dinspre dreapta, valorile funcției devin mai mici decât orice număr real negativ fixat dinainte, oricât de mare ar fi acesta în valoare absolută.

Definițiile dinspre stânga sunt cu totul analoge. Dacă limita la stânga în \(x_0\) are sens, a scrie

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]

înseamnă că pentru orice \(M>0\) există un \(\delta>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in D\),

\[ x_0-\delta<x<x_0 \implies f(x)>M. \]

În schimb, a scrie

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \]

înseamnă că pentru orice \(M>0\) există un \(\delta>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in D\),

\[ x_0-\delta<x<x_0 \implies f(x)<-M. \]

Să considerăm, de exemplu, funcția

\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]

Când \(x\to 0^+\), numitorul este pozitiv și din ce în ce mai apropiat de zero; în consecință, valorile funcției sunt pozitive și cresc nemărginit:

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]

Când, în schimb, \(x\to 0^-\), numitorul este negativ și din ce în ce mai apropiat de zero; valorile funcției sunt negative și scad nemărginit:

\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]

Și în acest caz cele două comportamente nu coincid. Prin urmare, limita când \(x\to 0\), considerată fără restricții laterale, nu este nici \(+\infty\), nici \(-\infty\).

Mai general, dacă de o parte funcția tinde către \(+\infty\), iar de cealaltă parte tinde către \(-\infty\), limita când \(x\to x_0\) nu există ca limită unică. Cele două limite laterale există, dar descriu comportamente incompatibile între ele.

Exemple cu funcții definite pe ramuri

Funcțiile definite pe ramuri reprezintă unul dintre contextele în care limita la dreapta și limita la stânga se dovedesc a fi cele mai utile. În aceste cazuri, într-adevăr, expresia funcției se poate schimba în funcție de intervalul în care se află \(x\).

Atunci când se calculează limita într-un punct în care se schimbă definiția funcției, trebuie folosită expresia valabilă la stânga punctului pentru limita la stânga și expresia valabilă la dreapta punctului pentru limita la dreapta.

Să considerăm funcția

\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<1,\\ 5, & x=1,\\ 3-x, & x>1. \end{cases} \]

Pentru a calcula limita la stânga în \(x_0=1\), trebuie să folosim ramura valabilă pentru \(x<1\), adică \(f(x)=x+1\). Prin urmare,

\[ \lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}(x+1)=2. \]

Pentru limita la dreapta, în schimb, trebuie să folosim ramura valabilă pentru \(x>1\), adică \(f(x)=3-x\). Prin urmare,

\[ \lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(3-x)=2. \]

Cele două limite coincid. În consecință, există limita când \(x\to 1\), considerată fără restricții laterale, și este egală cu

\[ \lim_{x\to 1}f(x)=2. \]

Cu toate acestea, \(f(1)=5\). Acest lucru arată încă o dată că valoarea funcției în punct nu determină limita: limita depinde de valorile pe care le ia funcția în vecinătatea punctului, nu neapărat de valoarea pe care o ia chiar în punctul respectiv.

Să considerăm acum un al doilea exemplu:

\[ g(x)= \begin{cases} x^2, & x<2,\\ x+1, & x\ge 2. \end{cases} \]

La stânga lui \(2\), funcția este dată de \(g(x)=x^2\). Prin urmare,

\[ \lim_{x\to 2^-}g(x)=\lim_{x\to 2^-}x^2=4. \]

La dreapta lui \(2\), inclusiv în punctul \(2\) însuși, funcția este dată de \(g(x)=x+1\). Pentru limita la dreapta considerăm însă valori \(x>2\), deci

\[ \lim_{x\to 2^+}g(x)=\lim_{x\to 2^+}(x+1)=3. \]

Întrucât cele două limite sunt diferite, limita când \(x\to 2\), fără restricții laterale, nu există.

Pe scurt, la funcțiile definite pe ramuri procedeul corect constă în a citi cu atenție domeniul fiecărei ramuri și în a calcula separat comportamentul funcției la stânga și la dreapta.

Continuitate la dreapta și continuitate la stânga

Limitele laterale permit de asemenea să se definească continuitatea unei funcții doar dintr-o parte. Acest lucru este deosebit de util la capetele unui interval și în punctele în care o funcție este definită pe ramuri.

Fie \(f:D\to\mathbb{R}\) o funcție reală de variabilă reală și fie \(x_0\in D\). Să presupunem că limita la dreapta a lui \(f\) în \(x_0\) are sens. Spunem că \(f\) este continuă la dreapta în \(x_0\) dacă

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]

În mod echivalent, \(f\) este continuă la dreapta în \(x_0\) dacă pentru orice \(\varepsilon>0\) există un \(\delta>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in D\),

\[ x_0\le x<x_0+\delta \implies |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. \]

În mod analog, să presupunem că limita la stânga a lui \(f\) în \(x_0\) are sens. Spunem că \(f\) este continuă la stânga în \(x_0\) dacă

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0). \]

În forma \(\varepsilon\)-\(\delta\), acest lucru înseamnă că pentru orice \(\varepsilon>0\) există un \(\delta>0\) astfel încât, pentru orice \(x\in D\),

\[ x_0-\delta<x\le x_0 \implies |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. \]

Diferența față de simpla limită la dreapta sau la stânga este importantă. În limită se observă doar comportamentul funcției în apropierea lui \(x_0\), fără ca valoarea \(f(x_0)\) să fie determinantă. În continuitate, în schimb, valoarea funcției în punct trebuie să coincidă cu valoarea către care tinde funcția.

De exemplu, dacă o funcție este definită pe un interval \([a,b]\), continuitatea în \(a\), în raport cu domeniul, se verifică prin continuitatea la dreapta, deoarece domeniul nu conține puncte la stânga lui \(a\). În acest caz condiția naturală este

\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a). \]

În mod asemănător, în punctul \(b\) se consideră continuitatea la stânga:

\[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]

Dacă, în schimb, \(x_0\) este un punct interior al domeniului, iar funcția este definită de ambele părți ale lui \(x_0\), atunci continuitatea în \(x_0\) cere continuitatea atât la stânga, cât și la dreapta. În simboluri:

\[ f \text{ este continuă în } x_0 \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0) \ \text{și}\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]

Greșeli frecvente de evitat

Prima greșeală de evitat este confundarea limitei la dreapta sau la stânga cu valoarea funcției în punct. Limita descrie comportamentul lui \(f(x)\) atunci când \(x\) se apropie de \(x_0\) dintr-o anumită parte; valoarea \(f(x_0)\), atunci când există, privește, în schimb, funcția exact în punctul \(x_0\).

De exemplu, dacă

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L, \]

nu rezultă neapărat că \(f(x_0)=L\). Limita la dreapta depinde de valorile funcției pentru \(x>x_0\) apropiate de \(x_0\), nu de valoarea luată în punct.

O a doua greșeală constă în a uita domeniul funcției. Când se calculează o limită la dreapta, trebuie luate în considerare numai valorile \(x\in D\) astfel încât

\[ x_0<x<x_0+\delta. \]

Când se calculează o limită la stânga, trebuie luate în considerare, în schimb, numai valorile \(x\in D\) astfel încât

\[ x_0-\delta<x<x_0. \]

Nu este suficient, așadar, să se privească poziția lui \(x\) față de \(x_0\): trebuie de asemenea verificat că acele valori aparțin efectiv domeniului funcției.

O a treia greșeală frecventă privește funcțiile definite pe ramuri. Într-un punct în care se schimbă definiția funcției, limita la stânga trebuie calculată folosind ramura valabilă la stânga punctului, în timp ce limita la dreapta trebuie calculată folosind ramura valabilă la dreapta. Valoarea atribuită eventual funcției în acel punct nu trebuie folosită pentru a calcula limitele la dreapta și la stânga.

O a patra greșeală constă în a concluziona că limita când \(x\to x_0\), fără restricții laterale, există doar pentru că există una dintre cele două limite laterale. Acest lucru nu este suficient. Atunci când domeniul are puncte oricât de apropiate de \(x_0\) atât dinspre stânga, cât și dinspre dreapta, limita când \(x\to x_0\) există numai dacă limita la stânga și limita la dreapta există și coincid.

În simboluri, dacă ambele părți sunt prezente în domeniu, condiția corectă este

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L. \]

Numai în acest caz se poate scrie

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]

În sfârșit, trebuie făcută o distincție precisă între limită și continuitate. Existența limitei la dreapta sau la stânga nu implică, prin ea însăși, continuitatea de acea parte. Pentru a exista continuitate la dreapta în \(x_0\), de exemplu, nu este suficient să existe limita la dreapta: este necesar, de asemenea, ca aceasta să fie egală cu valoarea funcției în punct, adică

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]

În mod analog, continuitatea la stânga cere ca

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0). \]

Menținerea separată a acestor aspecte — partea de apropiere, domeniul, valoarea funcției în punct și coincidența celor două limite — permite tratarea limitelor laterale în mod corect și fără ambiguitate.