Operații cu Limite de Funcții: Teoreme, Reguli și Forme Nedeterminate

Ipoteze și semnificația operațiilor cu limite

Operațiile cu limite privesc funcții obținute prin combinarea, punct cu punct, a altor funcții. Fie \(f\) și \(g\) două funcții reale definite pe o vecinătate punctată a lui \(x_0\) — adică pe o vecinătate a lui \(x_0\) din care este exclus numai punctul \(x_0\) — și să presupunem că \(x_0\) este un punct de acumulare al domeniului lor comun, condiție necesară pentru ca limita să aibă sens. Putem atunci considera, de exemplu, funcțiile

\[ (f+g)(x)=f(x)+g(x), \qquad (fg)(x)=f(x)g(x). \]

În mod analog, în punctele în care \(g(x)\neq 0\), putem defini

\[ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}. \]

Problema constă în a stabili dacă limita funcției astfel obținute poate fi determinată cunoscând separat limitele lui \(f\) și ale lui \(g\). Să presupunem, inițial, că

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]

unde \(L\) și \(M\) sunt numere reale. Teoremele referitoare la operațiile cu limite stabilesc condițiile în care este posibil să se determine, pornind de la \(L\) și \(M\), limita sumei, a produsului, a câtului sau a altor combinații ale celor două funcții.

Este important de înțeles că scrieri precum

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr) = \lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x) \]

nu sunt definiții și nu reprezintă transformări pur formale. Ele exprimă concluzia unei teoreme și sunt valabile numai atunci când sunt îndeplinite toate ipotezele acesteia.

Înainte de a aplica o regulă este necesar, în plus, să se verifice că funcția obținută prin operația respectivă este efectiv definită pentru valori ale lui \(x\) oricât de apropiate de \(x_0\), cu \(x\neq x_0\). În cazul unui cât, de exemplu, nu este suficient ca \(f\) și \(g\) să fie definite: trebuie luate în considerare numai punctele în care numitorul nu se anulează.

Valoarea pe care funcțiile o iau eventual în punctul \(x_0\) nu intervine în calcul. Limita depinde, într-adevăr, de comportamentul funcțiilor în vecinătatea punctului, nu de valoarea pe care acestea o iau în punctul respectiv. Din acest motiv, teoremele rămân valabile chiar și atunci când una dintre funcții sau amândouă nu sunt definite în \(x_0\).

Două limite fundamentale

Înainte de a examina operațiile dintre funcții, reamintim două rezultate elementare care vor fi folosite în secțiunile următoare.

Dacă \(c\in\mathbb{R}\), pentru funcția constantă \(f(x)=c\) avem

\[ \lim_{x\to x_0}c=c. \]

Într-adevăr, pentru orice \(\varepsilon>0\),

\[ |c-c|=0<\varepsilon, \]

independent de alegerea lui \(x\). Aceeași funcție își păstrează valoarea și atunci când variabila tinde la infinit:

\[ \lim_{x\to+\infty}c=c, \qquad \lim_{x\to-\infty}c=c. \]

Pentru funcția identitate \(f(x)=x\), în schimb,

\[ \lim_{x\to x_0}x=x_0. \]

Relația rezultă direct din definiție, deoarece

\[ |f(x)-x_0|=|x-x_0|. \]

La infinit, funcția identitate urmează comportamentul variabilei:

\[ \lim_{x\to+\infty}x=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}x=-\infty. \]

Aceste limite, combinate cu teoremele referitoare la operații, vor permite calculul limitelor polinoamelor și al altor expresii algebrice.

Primele reguli vor fi formulate și demonstrate pentru limite finite, în cazul \(x\to x_0\). Aceleași reguli, cu ipotezele respective, sunt valabile și pentru limitele la dreapta și la stânga, precum și pentru \(x\to+\infty\) sau \(x\to-\infty\). Demonstrațiile se obțin înlocuind condiția \(0<|x-x_0|<\delta\) cu condiția unilaterală corespunzătoare sau cu o condiție de tipul \(x>R\) ori \(x<-R\). Cazurile în care o funcție tinde la \(+\infty\) sau la \(-\infty\) necesită, în schimb, o analiză separată, deoarece unele operații își păstrează un sens determinat, în timp ce altele conduc la cazuri de nedeterminare.

Limita sumei și a diferenței

Fie \(f\) și \(g\) două funcții definite pe o vecinătate punctată a lui \(x_0\) și să presupunem că

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]

cu \(L,M\in\mathbb{R}\). Atunci și funcția \(f+g\) admite limită pentru \(x\to x_0\) și avem

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M. \]

Cu alte cuvinte, atunci când ambele limite sunt finite, limita sumei este egală cu suma limitelor.

Demonstrație. Trebuie să demonstrăm că, pentru orice \(\varepsilon>0\), există \(\delta>0\) astfel încât

\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(x)+g(x)-(L+M)\bigr|<\varepsilon. \]

Observăm mai întâi că

\[ f(x)+g(x)-(L+M) = \bigl(f(x)-L\bigr)+\bigl(g(x)-M\bigr). \]

Conform inegalității triunghiului,

\[ \bigl|f(x)+g(x)-(L+M)\bigr| \leq |f(x)-L|+|g(x)-M|. \]

Deoarece \(f(x)\to L\), există \(\delta_1>0\) astfel încât

\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2}. \]

În mod analog, deoarece \(g(x)\to M\), există \(\delta_2>0\) astfel încât

\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2}. \]

Fie

\[ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. \]

Dacă \(0<|x-x_0|<\delta\), ambele estimări precedente sunt valabile. Prin urmare,

\[ \begin{aligned} \bigl|f(x)+g(x)-(L+M)\bigr| &\leq |f(x)-L|+|g(x)-M|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]

Așadar,

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M. \]

Limita diferenței

Diferența poate fi rescrisă ca o sumă:

\[ f(x)-g(x)=f(x)+\bigl(-g(x)\bigr). \]

Deoarece

\[ \bigl|-g(x)-(-M)\bigr|=|g(x)-M|, \]

din definiția limitei rezultă că

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(-g(x)\bigr)=-M. \]

Aplicând teorema sumei, obținem

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=L-M. \]

Putem deci reuni cele două rezultate în formula

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr)=L\pm M. \]

Suma unui număr finit de funcții

Aplicând repetat teorema, rezultatul se extinde la un număr finit oarecare de funcții. Dacă

\[ \lim_{x\to x_0}f_k(x)=L_k \qquad \text{pentru }k=1,\ldots,n, \]

atunci

\[ \lim_{x\to x_0}\sum_{k=1}^{n}f_k(x) = \sum_{k=1}^{n}L_k. \]

Teorema privește limite finite. Atunci când una dintre funcții sau amândouă tind la \(+\infty\) sau la \(-\infty\), comportamentul sumei sau al diferenței trebuie examinat separat.

Limita produsului

Fie \(f\) și \(g\) două funcții definite pe o vecinătate punctată a lui \(x_0\) și să presupunem că

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]

cu \(L,M\in\mathbb{R}\). Atunci și produsul \(fg\) admite limită pentru \(x\to x_0\) și avem

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=LM. \]

Înainte de a demonstra teorema, reamintim o consecință fundamentală a existenței unei limite finite.

Mărginirea locală

Dacă

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L\in\mathbb{R}, \]

atunci \(f\) este mărginită pe o vecinătate punctată convenabilă a lui \(x_0\). În particular, alegând \(\varepsilon=1\), există \(\delta_0>0\) astfel încât

\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<1. \]

Din inegalitatea triunghiului rezultă

\[ |f(x)| \leq |f(x)-L|+|L| < |L|+1. \]

Prin urmare, suficient de aproape de \(x_0\), valorile lui \(f(x)\) nu pot deveni oricât de mari în valoare absolută.

Demonstrația teoremei

Considerăm diferența dintre produsul \(f(x)g(x)\) și valoarea așteptată \(LM\). Adunând și scăzând \(f(x)M\), obținem

\[ \begin{aligned} f(x)g(x)-LM &=f(x)g(x)-f(x)M+f(x)M-LM\\ &=f(x)\bigl(g(x)-M\bigr)+M\bigl(f(x)-L\bigr). \end{aligned} \]

Aplicând inegalitatea triunghiului,

\[ |f(x)g(x)-LM| \leq |f(x)|\,|g(x)-M| + |M|\,|f(x)-L|. \]

Deoarece \(f(x)\to L\), din mărginirea locală rezultă că există un număr \(K>0\) și un număr \(\delta_0>0\) astfel încât

\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)|<K. \]

De exemplu, putem alege \(K=|L|+1\).

Fixăm \(\varepsilon>0\); deoarece \(g(x)\to M\), există \(\delta_1>0\) astfel încât

\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2K}. \]

În plus, deoarece \(f(x)\to L\), există \(\delta_2>0\) astfel încât

\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2(|M|+1)}. \]

Fie

\[ \delta=\min\{\delta_0,\delta_1,\delta_2\}. \]

Dacă \(0<|x-x_0|<\delta\), atunci

\[ \begin{aligned} |f(x)g(x)-LM| &\leq |f(x)|\,|g(x)-M|+|M|\,|f(x)-L|\\ &<K\frac{\varepsilon}{2K} +|M|\frac{\varepsilon}{2(|M|+1)}\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]

Am demonstrat astfel că

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=LM. \]

Produsul cu o constantă

Dacă \(c\in\mathbb{R}\) este o constantă și

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]

considerând funcția constantă \(g(x)=c\), teorema produsului dă

\[ \lim_{x\to x_0}c\,f(x)=cL. \]

Acest rezultat permite scoaterea în afara semnului de limită a oricărui factor constant.

Produsul unui număr finit de funcții

Aplicând repetat teorema, dacă

\[ \lim_{x\to x_0}f_k(x)=L_k \qquad \text{pentru }k=1,\ldots,n, \]

atunci

\[ \lim_{x\to x_0}\prod_{k=1}^{n}f_k(x) = \prod_{k=1}^{n}L_k. \]

Limita inversului și a câtului

Trecerea la inversă necesită o condiție suplimentară: limita funcției aflate la numitor trebuie să fie diferită de zero. Această ipoteză garantează că funcția nu se anulează pe o vecinătate punctată convenabilă a punctului considerat.

Limita inversului

Fie \(g\) o funcție definită pe o vecinătate punctată a lui \(x_0\) și să presupunem că

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \qquad M\neq 0. \]

Atunci există o vecinătate punctată a lui \(x_0\) pe care \(g(x)\neq 0\), și avem

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}. \]

Numitorul rămâne departe de zero

Deoarece \(M\neq 0\), putem alege

\[ \varepsilon_0=\frac{|M|}{2}. \]

Din convergența lui \(g(x)\) către \(M\), există \(\delta_0>0\) astfel încât

\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{|M|}{2}. \]

Conform inegalității triunghiulare inverse,

\[ |g(x)| \geq |M|-|g(x)-M| > |M|-\frac{|M|}{2} = \frac{|M|}{2}. \]

Prin urmare, \(g(x)\neq 0\) pentru orice \(x\) suficient de apropiat de \(x_0\), cu \(x\neq x_0\). În plus, valoarea absolută a numitorului este mărginită inferior de o constantă pozitivă.

Demonstrație. Considerăm diferența

\[ \frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}. \]

Aducând la același numitor, obținem

\[ \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right| = \frac{|M-g(x)|}{|M|\,|g(x)|}. \]

Pentru \(0<|x-x_0|<\delta_0\) avem \(|g(x)|>\displaystyle\frac{|M|}{2}\), deci

\[ \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right| < \frac{2}{|M|^2}|g(x)-M|. \]

Fixăm \(\varepsilon>0\); deoarece \(g(x)\to M\), există \(\delta_1>0\) astfel încât

\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon |M|^2}{2}. \]

Notând

\[ \delta=\min\{\delta_0,\delta_1\}, \]

pentru \(0<|x-x_0|<\delta\) rezultă că

\[ \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right| < \frac{2}{|M|^2}\cdot\frac{\varepsilon |M|^2}{2} = \varepsilon. \]

Am demonstrat, așadar, că

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}. \]

Limita câtului

Fie acum \(f\) și \(g\) două funcții definite pe o vecinătate punctată a lui \(x_0\) și să presupunem că

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]

cu \(L,M\in\mathbb{R}\) și \(M\neq 0\). Deoarece

\[ \frac{f(x)}{g(x)} = f(x)\frac{1}{g(x)}, \]

aplicând teorema produsului și cea a inversului, obținem

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}. \]

Condiția \(M\neq 0\) nu este un detaliu tehnic. Dacă numitorul tinde la zero, teorema câtului nu mai poate fi aplicată, iar limitele lui \(f\) și ale lui \(g\) nu sunt, în general, suficiente pentru a determina rezultatul. În particular, atunci când și numărătorul tinde la zero, apare cazul de nedeterminare \(\displaystyle\frac{0}{0}\), care va fi studiat în secțiunea dedicată.

Limita puterilor

Teorema produsului permite determinarea limitei puterilor întregi ale unei funcții. Fie \(f\) definită pe o vecinătate punctată a lui \(x_0\) și să presupunem că

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}. \]

Exponent întreg pozitiv

Dacă \(n\in\mathbb{N}\) și \(n\geq 1\), atunci

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]

Într-adevăr, puterea \(\bigl(f(x)\bigr)^n\) este produsul a \(n\) factori egali cu \(f(x)\):

\[ \bigl(f(x)\bigr)^n = \underbrace{f(x)\cdot f(x)\cdots f(x)}_{n\text{ factori}}. \]

Aplicând repetat teorema produsului, obținem

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n = \underbrace{L\cdot L\cdots L}_{n\text{ factori}} = L^n. \]

Exponent zero

În punctele în care \(f(x)\neq 0\), avem

\[ \bigl(f(x)\bigr)^0=1. \]

Dacă \(L\neq 0\), funcția \(f\) rămâne diferită de zero pe o vecinătate punctată convenabilă a lui \(x_0\). Pe această vecinătate, puterea de exponent zero este deci definită și

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^0=1=L^0. \]

Dacă însă \(L=0\), scrierea \(L^0\) nu este definită, iar formula precedentă nu poate fi utilizată. Totuși, în punctele în care \(f(x)\neq 0\), avem oricum

\[ \bigl(f(x)\bigr)^0=1. \]

Prin urmare, dacă \(x_0\) este punct de acumulare al domeniului funcției \(\bigl(f(x)\bigr)^0\), limita corespunzătoare este egală cu \(1\).

Exponent întreg negativ

Fie \(n\in\mathbb{N}\), cu \(n\geq 1\). Dacă \(L\neq 0\), atunci \(f(x)\neq 0\) pentru orice \(x\) suficient de apropiat de \(x_0\), cu \(x\neq x_0\), și putem scrie

\[ \bigl(f(x)\bigr)^{-n} = \frac{1}{\bigl(f(x)\bigr)^n}. \]

Din limita puterilor pozitive și din teorema inversului rezultă

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^{-n} = \frac{1}{L^n} = L^{-n}. \]

Putem deci sintetiza rezultatele, distingând diferitele cazuri. Pentru orice întreg pozitiv \(n\),

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]

Pentru \(n=0\), funcția \(\bigl(f(x)\bigr)^0\) este egală cu \(1\) în punctele în care \(f(x)\neq 0\); prin urmare, dacă \(x_0\) este punct de acumulare al domeniului său, limita este egală cu \(1\).

Pentru orice întreg \(n<0\), este necesar ca \(L\neq 0\); în acest caz,

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]

Polinoame într-o funcție

Combinând limita puterilor cu teoremele sumei și ale produsului cu o constantă, obținem un rezultat mai general. Dacă

\[ P(t)=a_0+a_1t+\cdots+a_nt^n \]

este un polinom, atunci

\[ \lim_{x\to x_0}P\bigl(f(x)\bigr)=P(L). \]

Explicit,

\[ \lim_{x\to x_0} \left( a_0+a_1f(x)+\cdots+a_n\bigl(f(x)\bigr)^n \right) = a_0+a_1L+\cdots+a_nL^n. \]

Acest rezultat arată că, atunci când limita lui \(f\) este finită, un polinom în \(f(x)\) își păstrează, la trecerea la limită, structura algebrică proprie.

Limita radicalilor

Fie \(n\in\mathbb{N}\), cu \(n\geq 2\), și să presupunem că

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}. \]

Pentru a determina limita lui \(\sqrt[n]{f(x)}\), trebuie să distingem cazul în care \(n\) este impar de cel în care \(n\) este par.

Radicali de ordin impar

Dacă \(n\) este impar, radicalul de ordin \(n\) este definit pentru orice număr real. Prin urmare,

\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}. \]

Rezultatul este valabil pentru orice valoare reală a lui \(L\), pozitivă, nulă sau negativă.

Radicali de ordin par

Dacă \(n\) este par, radicalul real \(\sqrt[n]{f(x)}\) este definit numai în punctele în care \(f(x)\geq 0\). În consecință, limita trebuie considerată numai de-a lungul punctelor din domeniul funcției.

Dacă \(L>0\), din convergența lui \(f(x)\) către \(L\) rezultă că \(f(x)>0\) pentru orice \(x\) suficient de apropiat de \(x_0\). În acest caz,

\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}. \]

Aceeași formulă este valabilă și atunci când \(L=0\), cu condiția ca \(x_0\) să fie punct de acumulare al domeniului funcției \(x\mapsto\sqrt[n]{f(x)}\):

\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=0. \]

Dacă însă \(L<0\), conform teoremei de păstrare a semnului avem \(f(x)<0\) pentru orice \(x\) suficient de apropiat de \(x_0\), cu \(x\neq x_0\). Radicalul de ordin par nu este deci definit în numere reale pe nicio vecinătate punctată suficient de mică a lui \(x_0\), care nu poate fi punct de acumulare al domeniului său.

Demonstrație. Notăm

\[ u(x)=\sqrt[n]{f(x)} \qquad\text{și}\qquad a=\sqrt[n]{L}, \]

în cazurile în care aceste mărimi sunt reale.

Dacă \(L=0\), atunci \(a=0\) și, în punctele care aparțin domeniului radicalului,

\[ |u(x)-a| = \left|\sqrt[n]{f(x)}\right| = \sqrt[n]{|f(x)|}. \]

Fixăm \(\varepsilon>0\); din convergența lui \(f(x)\) către \(0\) există \(\delta>0\) astfel încât

\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)|<\varepsilon^n. \]

De aici rezultă

\[ |u(x)| = \sqrt[n]{|f(x)|} < \varepsilon, \]

și deci \(u(x)\to 0\).

Să presupunem acum că \(L\neq 0\). Dacă \(n\) este par, în mod necesar \(L>0\) și deci \(a>0\). Fixăm \(\varepsilon>0\) și notăm

\[ \varepsilon_0= \begin{cases} \varepsilon, & n\text{ impar},\\ \min\left\{\varepsilon,\displaystyle\frac{a}{2}\right\}, & n\text{ par}. \end{cases} \]

Funcția \(t\mapsto t^n\) este strict crescătoare pe \(\mathbb{R}\) atunci când \(n\) este impar și pe \([0,+\infty)\) atunci când \(n\) este par. Prin urmare, numerele

\[ \eta_1=(a+\varepsilon_0)^n-a^n, \qquad \eta_2=a^n-(a-\varepsilon_0)^n \]

sunt ambele pozitive. Notăm

\[ \eta=\min\{\eta_1,\eta_2\}. \]

Deoarece \(f(x)\to L=a^n\), există \(\delta>0\) astfel încât

\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-a^n|<\eta. \]

În punctele care aparțin domeniului radicalului, această inegalitate implică

\[ (a-\varepsilon_0)^n < f(x) < (a+\varepsilon_0)^n. \]

Din monotonia radicalului de ordin \(n\) rezultă

\[ a-\varepsilon_0 < u(x) < a+\varepsilon_0. \]

În consecință,

\[ |u(x)-a|<\varepsilon_0\leq\varepsilon. \]

Am demonstrat astfel că

\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L} \]

cu condiția ca \(x_0\) să fie punct de acumulare al domeniului real al funcției \(x\mapsto\sqrt[n]{f(x)}\).

Puteri cu exponent rațional

Fie \(m\in\mathbb{Z}\) și \(n\in\mathbb{N}\), cu \(n\geq 1\), și să presupunem că fracția \(\displaystyle\frac{m}{n}\) este ireductibilă. Dacă \(x_0\) este punct de acumulare al domeniului real al funcției

\[ x\mapsto\bigl(f(x)\bigr)^{\frac{m}{n}} \]

iar numărul \(L^{\frac{m}{n}}\) este definit în numere reale, atunci

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^{\frac{m}{n}}=L^{\frac{m}{n}}. \]

Rezultatul se obține compunând limita puterilor întregi cu cea a radicalilor, scriind \(\bigl(f(x)\bigr)^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{\bigl(f(x)\bigr)^{m}}\) și aplicând succesiv cele două teoreme deja demonstrate.

Dacă \(n\) este par, baza trebuie să fie nenegativă în punctele considerate; când \(m<0\), aceasta trebuie să fie, în plus, strict pozitivă și este necesar ca \(L>0\). Dacă \(n\) este impar, sunt admise și baze negative; când \(m<0\), este oricum necesar ca baza să fie diferită de zero în punctele considerate și ca \(L\neq 0\).

Limita valorii absolute

Fie \(f\) o funcție definită pe o vecinătate punctată a lui \(x_0\) și să presupunem că

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}. \]

Atunci

\[ \lim_{x\to x_0}|f(x)|=|L|. \]

Demonstrație. Conform inegalității triunghiulare inverse, pentru orice \(x\) aparținând domeniului lui \(f\), avem

\[ \bigl||f(x)|-|L|\bigr| \leq |f(x)-L|. \]

Fixăm \(\varepsilon>0\); din convergența lui \(f(x)\) către \(L\) există \(\delta>0\) astfel încât

\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]

În aceleași condiții avem deci

\[ \bigl||f(x)|-|L|\bigr| \leq |f(x)-L| < \varepsilon. \]

Aceasta demonstrează că

\[ \lim_{x\to x_0}|f(x)|=|L|. \]

Reciproca nu este, în general, adevărată

Din existența limitei lui \(|f(x)|\) nu rezultă în mod necesar existența limitei lui \(f(x)\). De exemplu, să considerăm

\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x>0,\\ -1, & x<0. \end{cases} \]

Pentru orice \(x\neq 0\) avem \(|f(x)|=1\), deci

\[ \lim_{x\to 0}|f(x)|=1. \]

Totuși,

\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=1 \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to 0^-}f(x)=-1. \]

Deoarece limita la dreapta și limita la stânga sunt diferite, limita lui \(f\) pentru \(x\to 0\) nu există.

Păstrarea semnului

Dacă \(L>0\), atunci \(f(x)>0\) pentru orice \(x\) suficient de apropiat de \(x_0\), cu \(x\neq x_0\). Într-adevăr, alegând \(\varepsilon=L/2\), obținem

\[ |f(x)-L|<\frac{L}{2}, \]

de unde

\[ f(x)>L-\frac{L}{2}=\frac{L}{2}>0. \]

În mod analog, dacă \(L<0\), funcția ia valori negative pe o vecinătate punctată convenabilă a lui \(x_0\).

Atunci când limita este diferită de zero, valoarea absolută poate fi deci eliminată local, ținând cont de semnul lui \(L\):

\[ |f(x)|= \begin{cases} f(x), & L>0,\\ -f(x), & L<0, \end{cases} \]

pentru orice \(x\) suficient de apropiat de \(x_0\).

Limita unei funcții compuse

Fie \(f\) o funcție definită pe o vecinătate punctată a lui \(x_0\) și fie \(\varphi\) o funcție definită pe o vecinătate punctată a unui punct \(L\). Să presupunem că

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]

Funcția compusă

\[ (\varphi\circ f)(x)=\varphi\bigl(f(x)\bigr) \]

este definită în punctele în care valoarea \(f(x)\) aparține domeniului lui \(\varphi\). Pentru a-i determina limita este deci necesar să studiem comportamentul funcției exterioare \(\varphi\) atunci când argumentul său tinde la \(L\).

Teorema referitoare la limita funcției compuse

Să presupunem că

\[ \lim_{t\to L}\varphi(t)=M, \]

cu \(M\in\mathbb{R}\), și că, pentru orice \(x\) suficient de apropiat de \(x_0\), cu \(x\neq x_0\), sunt îndeplinite condițiile

\[ f(x)\in\operatorname{Dom}(\varphi) \qquad\text{și}\qquad f(x)\neq L. \]

Atunci

\[ \lim_{x\to x_0}\varphi\bigl(f(x)\bigr)=M. \]

Condiția \(f(x)\neq L\) este necesară deoarece limita lui \(\varphi(t)\) pentru \(t\to L\) descrie comportamentul funcției în punctele apropiate de \(L\), dar diferite de \(L\). Valoarea \(\varphi(L)\), atunci când există, nu este implicată în această formulare a teoremei.

Demonstrație. Fixăm \(\varepsilon>0\); din relația

\[ \lim_{t\to L}\varphi(t)=M \]

rezultă că există \(\eta>0\) astfel încât

\[ 0<|t-L|<\eta \quad\Longrightarrow\quad |\varphi(t)-M|<\varepsilon. \]

Deoarece \(f(x)\to L\), există \(\delta>0\) astfel încât

\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\eta. \]

Prin ipoteză, restrângând eventual \(\delta\), putem, în plus, presupune că

\[ f(x)\in\operatorname{Dom}(\varphi) \qquad\text{și}\qquad f(x)\neq L. \]

Prin urmare,

\[ 0<|f(x)-L|<\eta, \]

și, aplicând condiția referitoare la limita lui \(\varphi\), obținem

\[ \bigl|\varphi(f(x))-M\bigr|<\varepsilon. \]

De aici rezultă că

\[ \lim_{x\to x_0}\varphi\bigl(f(x)\bigr)=M. \]

Cazul funcției exterioare continue

Dacă \(\varphi\) este continuă în punctul \(L\), atunci

\[ \lim_{t\to L}\varphi(t)=\varphi(L). \]

În acest caz nu mai este necesar să cerem ca \(f(x)\neq L\) în apropierea lui \(x_0\), deoarece funcția exterioară este definită și în punctul \(L\), iar valoarea sa coincide cu limita. Se obține astfel regula

\[ \lim_{x\to x_0}\varphi\bigl(f(x)\bigr) = \varphi\left(\lim_{x\to x_0}f(x)\right) = \varphi(L). \]

Această formulă exprimă posibilitatea de a trece limita printr-o funcție continuă.

De exemplu, deoarece funcția cosinus este continuă în orice punct real, dacă \(f(x)\to L\), atunci

\[ \lim_{x\to x_0}\cos\bigl(f(x)\bigr)=\cos L. \]

Rolul domeniului

Înainte de a aplica teorema, este întotdeauna necesar să se verifice că funcția compusă este definită în punctele considerate. Dacă, de exemplu, funcția exterioară este

\[ \varphi(t)=\sqrt{t}, \]

trebuie ca \(f(x)\geq 0\) în punctele domeniului suficient de apropiate de \(x_0\). Analog, dacă

\[ \varphi(t)=\frac{1}{t}, \]

este necesar ca \(f(x)\neq 0\).

Teorema funcției compuse nu elimină, așadar, condițiile de existență ale operațiilor implicate: ea permite determinarea limitei numai după ce aceste condiții au fost verificate.

Operații cu limite infinite

Atunci când o funcție tinde la \(+\infty\) sau la \(-\infty\), limita nu este un număr real. Scrierile care implică simbolurile de infinit nu trebuie deci interpretate ca egalități aritmetice obișnuite: ele sintetizează teoreme privind comportamentul funcțiilor.

În această secțiune vom considera numai combinațiile care determină univoc rezultatul. Operațiile pentru care limitele funcțiilor considerate separat nu sunt suficiente vor fi examinate separat.

Suma și diferența

Fie \(f\) și \(g\) definite pe o vecinătate punctată a lui \(x_0\). Dacă

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]

cu \(M\in\mathbb{R}\), atunci

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=+\infty. \]

Într-adevăr, deoarece \(g(x)\to M\), pentru \(x\) suficient de apropiat de \(x_0\) avem

\[ g(x)>M-1. \]

Fixăm un număr real \(A\); din relația \(f(x)\to+\infty\) rezultă că, în cele din urmă,

\[ f(x)>A-M+1. \]

Prin urmare,

\[ f(x)+g(x)>A-M+1+M-1=A. \]

Suma depășește deci orice prag real prestabilit. În mod analog,

\[ \begin{aligned} +\infty+M&=+\infty,\\ -\infty+M&=-\infty, \end{aligned} \qquad M\in\mathbb{R}, \]

unde aceste scrieri reprezintă în mod sintetic rezultatele corespunzătoare privind limitele.

Dacă ambele funcții tind la același infinit, efectele lor se însumează:

\[ \begin{aligned} +\infty+(+\infty)&=+\infty,\\ -\infty+(-\infty)&=-\infty. \end{aligned} \]

De exemplu, în primul caz, fixând \(A\in\mathbb{R}\), este suficient să avem

\[ f(x)>\frac{A}{2} \qquad\text{și}\qquad g(x)>\frac{A}{2} \]

pentru a obține \(f(x)+g(x)>A\).

Diferența se reduce la sumă prin identitatea

\[ f(x)-g(x)=f(x)+\bigl(-g(x)\bigr). \]

De aici rezultă, printre altele, cazurile determinate

\[ \begin{aligned} +\infty-M&=+\infty,\\ -\infty-M&=-\infty,\\ M-(+\infty)&=-\infty,\\ M-(-\infty)&=+\infty, \end{aligned} \qquad M\in\mathbb{R}. \]

Dacă cei doi termeni tind la infinituri de semn opus, avem, în plus, cazurile determinate

\[ +\infty-(-\infty)=+\infty, \qquad -\infty-(+\infty)=-\infty. \]

O diferență între două mărimi care tind ambele la același infinit nu se încadrează însă în aceste reguli.

Produsul

Să presupunem că

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]

cu \(M>0\). Deoarece \(g(x)\to M\), în cele din urmă avem

\[ g(x)>\frac{M}{2}>0. \]

Fixăm \(A>0\); din relația \(f(x)\to+\infty\) rezultă că, pentru \(x\) suficient de apropiat de \(x_0\),

\[ f(x)>\frac{2A}{M}. \]

În consecință,

\[ f(x)g(x)>\frac{2A}{M}\cdot\frac{M}{2}=A, \]

și deci

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=+\infty. \]

Semnul produsului depinde de semnele pe care le iau, în cele din urmă, cei doi factori. Dacă \(M\neq 0\), putem sintetiza diferitele cazuri astfel:

\[ \begin{array}{c|cc} & M>0 & M<0\\ \hline f(x)\to+\infty & f(x)g(x)\to+\infty & f(x)g(x)\to-\infty\\ f(x)\to-\infty & f(x)g(x)\to-\infty & f(x)g(x)\to+\infty \end{array} \]

Dacă ambii factori au limită infinită, sunt valabile regulile obișnuite ale semnelor:

\[ \begin{aligned} (+\infty)(+\infty)&=+\infty,\\ (-\infty)(-\infty)&=+\infty,\\ (+\infty)(-\infty)&=-\infty,\\ (-\infty)(+\infty)&=-\infty. \end{aligned} \]

Produsul dintre o funcție care tinde la zero și o funcție care tinde în valoare absolută la infinit nu este însă determinat numai de aceste informații.

Inversul și câtul

Dacă

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty \qquad\text{sau}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty, \]

atunci

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)}=0. \]

Într-adevăr, fixând \(\varepsilon>0\), valoarea absolută a lui \(g(x)\) depășește, în cele din urmă, \(\displaystyle\frac{1}{\varepsilon}\). Prin urmare,

\[ \left|\frac{1}{g(x)}\right| = \frac{1}{|g(x)|} < \varepsilon. \]

Dacă \(f(x)\to L\in\mathbb{R}\), aplicând teorema produsului pentru limite finite la

\[ \frac{f(x)}{g(x)} = f(x)\frac{1}{g(x)}, \]

și amintindu-ne că \(\displaystyle\frac{1}{g(x)}\to 0\), obținem

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0 \]

de fiecare dată când numărătorul are limită finită, iar numitorul tinde la \(+\infty\) sau la \(-\infty\).

Dacă însă numărătorul tinde la infinit, iar numitorul tinde la un număr real \(M\neq 0\), câtul se reduce la produsul dintre numărător și o funcție care tinde la \(\displaystyle\frac{1}{M}\). Semnul rezultatului depinde deci de semnul infinitului și de cel al lui \(M\).

Numitorul tinzând la zero

Pentru a descrie comportamentul inversului atunci când numitorul tinde la zero, este necesar să cunoaștem semnul cu care acesta se apropie de zero.

Dacă

\[ g(x)\to 0^+, \]

adică \(g(x)\to 0\) luând valori pozitive în vecinătatea lui \(x_0\), atunci

\[ \frac{1}{g(x)}\to+\infty. \]

Dacă însă

\[ g(x)\to 0^-, \]

atunci

\[ \frac{1}{g(x)}\to-\infty. \]

În consecință, dacă \(f(x)\to L\neq 0\), limita câtului depinde de semnul lui \(L\) și de semnul cu care \(g(x)\) tinde la zero:

\[ \begin{array}{c|cc} & g(x)\to 0^+ & g(x)\to 0^-\\ \hline L>0 & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to+\infty & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to-\infty\\ L<0 & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to-\infty & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to+\infty \end{array} \]

Dacă numitorul tinde la zero schimbându-și semnul oricât de aproape de \(x_0\), aceste informații nu permit, în general, stabilirea unei limite unice.

Puteri și radicali

Pentru orice întreg pozitiv \(n\), dacă \(f(x)\to+\infty\), atunci

\[ \bigl(f(x)\bigr)^n\to+\infty. \]

Dacă însă \(f(x)\to-\infty\), rezultatul depinde de paritatea exponentului:

\[ \bigl(f(x)\bigr)^n\to \begin{cases} +\infty, & n\text{ par},\\ -\infty, & n\text{ impar}. \end{cases} \]

Pentru \(n\geq 1\), din proprietățile inversului rezultă, în plus,

\[ \bigl(f(x)\bigr)^{-n}\to 0 \]

atunci când \(f(x)\to+\infty\) sau \(f(x)\to-\infty\).

În sfârșit, dacă \(f(x)\to+\infty\), atunci

\[ \sqrt[n]{f(x)}\to+\infty \]

pentru orice \(n\geq 2\). Dacă \(n\) este impar și \(f(x)\to-\infty\), avem în schimb

\[ \sqrt[n]{f(x)}\to-\infty. \]

Toate regulile prezentate în această secțiune privesc cazuri în care limitele funcțiilor implicate determină rezultatul. Atunci când acest lucru nu se întâmplă, operația conduce la un caz de nedeterminare.

Cazuri determinate și cazuri de nedeterminare

Atunci când se calculează limita unei expresii formate din mai multe funcții, limitele componentelor sale pot fi suficiente pentru a stabili rezultatul sau pot lăsa deschise mai multe posibilități.

În primul caz vorbim de caz determinat: comportamentul funcțiilor implicate stabilește în mod univoc limita expresiei. În al doilea caz vorbim de caz de nedeterminare: informațiile privind limitele componentelor nu sunt suficiente pentru a determina rezultatul.

Un caz de nedeterminare nu indică, așadar, faptul că limita nu există. El înseamnă doar că aceasta nu poate fi determinată aplicând direct regulile generale ale operațiilor.

Semnificația formelor simbolice

Scrieri precum

\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \infty-\infty \]

nu reprezintă operații efectuate între numere. Ele descriu în mod sintetic comportamentul funcțiilor care compun o limită.

De exemplu, forma

\[ \frac{0}{0} \]

înseamnă că numărătorul tinde la zero și, în același timp, numitorul tinde la zero. Din aceste informații nu rezultă nicio valoare precisă pentru cât.

Cazul de nedeterminare \(\displaystyle\frac{0}{0}\)

Considerăm limitele

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x}{x^2}. \]

În toate cele trei cazuri, numărătorul și numitorul tind la zero. Totuși,

\[ \frac{x}{x}=1, \qquad \frac{x^2}{x}=x, \qquad \frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}, \]

pentru \(x\neq 0\). Prin urmare, prima limită este egală cu \(1\), iar a doua este egală cu \(0\). În al treilea caz,

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]

Deoarece limita la dreapta și limita la stânga sunt diferite, limita pentru \(x\to 0\) nu există.

Cazul \(\displaystyle\frac{0}{0}\) poate deci conduce la un număr real nenul, la zero, la o limită infinită sau la inexistența limitei.

Cazul de nedeterminare \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\)

Considerăm acum

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x}, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2}, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x}. \]

În fiecare cât, numărătorul și numitorul tind la \(+\infty\), dar

\[ \frac{x}{x}=1, \qquad \frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}, \qquad \frac{x^2}{x}=x. \]

Limitele respective sunt deci

\[ 1, \qquad 0, \qquad +\infty. \]

Rezultatul depinde de viteza cu care cresc numărătorul și numitorul, nu doar de faptul că amândoi tind la infinit.

Cazul de nedeterminare \(0\cdot\infty\)

Într-un produs dintre o funcție care tinde la zero și o funcție care tinde în valoare absolută la infinit, cei doi factori exercită efecte opuse: primul tinde să facă produsul mic, în timp ce al doilea tinde să-i mărească valoarea absolută.

De exemplu, pentru \(x\to+\infty\),

\[ \frac{1}{x}\cdot x=1, \qquad \frac{1}{x^2}\cdot x=\frac{1}{x}, \qquad \frac{1}{x}\cdot x^2=x. \]

În toate cele trei cazuri primul factor tinde la zero, iar al doilea tinde la \(+\infty\), dar produsele tind, respectiv, la \(1\), la \(0\) și la \(+\infty\).

Cazul \(0\cdot\infty\) este adesea transformat într-un caz de tip cât. Deoarece o funcție care tinde în valoare absolută la infinit este, în cele din urmă, diferită de zero, putem scrie

\[ f(x)g(x) = \frac{f(x)}{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}. \]

În punctele în care și \(f(x)\neq 0\), este posibil să folosim, alternativ,

\[ f(x)g(x) = \frac{g(x)}{\displaystyle\frac{1}{f(x)}}. \]

Alegerea transformării depinde de structura expresiei.

Cazul de nedeterminare \(\infty-\infty\)

Atunci când două funcții tind la același infinit, diferența lor depinde de modul în care acestea se compară.

Pentru \(x\to+\infty\), considerăm

\[ (x+1)-x, \qquad x-x, \qquad x-2x. \]

În fiecare caz cei doi termeni tind la \(+\infty\), dar diferențele sunt, respectiv,

\[ 1, \qquad 0, \qquad -x. \]

Limitele obținute sunt deci \(1\), \(0\) și \(-\infty\).

Pentru a elimina acest caz se încearcă, în general, scoaterea unui factor comun, aducerea la același numitor, raționalizarea sau rescrierea expresiei într-o formă echivalentă mai potrivită pentru comparație.

Cazuri de nedeterminare exponențiale

Atunci când atât baza, cât și exponentul depind de \(x\), pot apărea și cazurile

\[ 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]

Cazul \(1^\infty\) apare atunci când baza tinde la \(1\), iar exponentul tinde la \(+\infty\) sau la \(-\infty\). Faptul că baza se apropie de \(1\) nu este suficient pentru a determina limita puterii.

De exemplu, pentru \(x\to+\infty\),

\[ \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^x\to 1, \qquad \left(1+\frac{1}{x}\right)^x\to e, \qquad \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^x\to+\infty. \]

În toate cele trei cazuri baza tinde la \(1\), iar exponentul tinde la \(+\infty\), dar limitele sunt diferite.

Și cazul \(0^0\) poate produce comportamente diferite. Pentru \(x\to 0^+\), considerăm

\[ x^x\to 1, \qquad x^{\frac{1}{|\ln(x)|}}\to e^{-1}, \qquad x^{\frac{1}{\sqrt{|\ln(x)|}}}\to 0. \]

În toate cele trei cazuri baza tinde la \(0^+\), iar exponentul tinde la zero. Limitele sunt totuși diferite, deoarece comportamentul puterii depinde de produsul dintre exponent și logaritmul natural al bazei.

Pentru cazul \(\infty^0\), pentru \(x\to+\infty\), se pot considera

\[ x^{1/x}\to 1, \qquad x^{1/\ln(x)}\to e, \qquad x^{1/\sqrt{\ln(x)}}\to+\infty. \]

În toate cele trei cazuri baza tinde la \(+\infty\), iar exponentul tinde la zero, dar limitele sunt diferite.

Cazurile exponențiale sunt studiate, în mod obișnuit, aplicând logaritmul natural. Dacă

\[ y(x)=\bigl(f(x)\bigr)^{g(x)} \]

și \(f(x)>0\) în punctele considerate, atunci

\[ \ln\bigl(y(x)\bigr)=g(x)\ln\bigl(f(x)\bigr). \]

Problema se reduce astfel la studiul produsului \(g(x)\ln\bigl(f(x)\bigr)\).

Tabel recapitulativ

Principalele cazuri de nedeterminare sunt

\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \infty-\infty, \qquad 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]

Recunoașterea unui caz de nedeterminare nu încheie calculul limitei: ea marchează punctul în care regulile imediate nu mai sunt suficiente. Din acel moment este necesar să transformăm expresia sau să comparăm mai atent funcțiile implicate.

Limite de polinoame și funcții raționale

Teoremele referitoare la operații permit calcularea directă a limitelor polinoamelor și, atunci când numitorul nu tinde la zero, a limitelor funcțiilor raționale.

Limita unui polinom într-un punct finit

Fie

\[ P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \]

un polinom cu coeficienți reali. Deoarece

\[ \lim_{x\to x_0}x=x_0, \]

din teoremele referitoare la sumă, la produsul cu o constantă și la puteri rezultă

\[ \lim_{x\to x_0}P(x) = a_0+a_1x_0+\cdots+a_nx_0^n = P(x_0). \]

Limita unui polinom într-un punct real se calculează deci înlocuind direct \(x\) cu valoarea \(x_0\).

Acest rezultat exprimă continuitatea polinoamelor pe tot \(\mathbb{R}\).

Limita unei funcții raționale într-un punct finit

Fie \(P\) și \(Q\) două polinoame, cu \(Q\) nenul, și considerăm funcția rațională

\[ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}. \]

Dacă

\[ Q(x_0)\neq 0, \]

atunci teorema câtului dă

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}. \]

Și în acest caz limita se obține prin substituție directă.

Dacă însă \(Q(x_0)=0\), teorema câtului nu mai poate fi aplicată. Comportamentul depinde de numărător și de structura algebrică a fracției.

Dacă

\[ P(x_0)\neq 0 \qquad\text{și}\qquad Q(x)\to 0, \]

valoarea absolută a câtului crește nemărginit, dar pentru a-i determina semnul trebuie studiat semnul numărătorului și al numitorului în vecinătatea lui \(x_0\).

Dacă însă

\[ P(x_0)=Q(x_0)=0, \]

apare cazul de nedeterminare \(\displaystyle\frac{0}{0}\). În acest caz este posibil să descompunem polinoamele și să simplificăm factorii comuni.

Dacă \(P\) este polinomul nul, funcția rațională este egală cu \(0\) în orice punct al domeniului său, iar limita este egală cu \(0\). Să presupunem deci că \(P\) și \(Q\) nu sunt polinoame nule și să notăm cu \(r,s\geq 1\) multiplicitățile lui \(x_0\) ca rădăcină a lui \(P\), respectiv a lui \(Q\). Putem atunci scrie

\[ P(x)=(x-x_0)^rP_1(x), \qquad Q(x)=(x-x_0)^sQ_1(x), \]

cu

\[ P_1(x_0)\neq 0, \qquad Q_1(x_0)\neq 0. \]

Pentru \(x\neq x_0\) avem

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = (x-x_0)^{r-s}\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}. \]

Dacă \(r>s\), atunci

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)}=0. \]

Dacă \(r=s\), atunci

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P_1(x_0)}{Q_1(x_0)}. \]

Dacă \(r<s\), în sfârșit,

\[ \left|\frac{P(x)}{Q(x)}\right|\to+\infty. \]

În acest ultim caz, pentru a stabili dacă limita este \(+\infty\), \(-\infty\) sau dacă limita la dreapta și limita la stânga sunt diferite, este necesar să analizăm semnul expresiei.

Limita unui polinom la infinit

Considerăm un polinom de grad \(n\geq 1\):

\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq 0. \]

Scoțând în factor comun puterea de grad maxim, obținem

\[ P(x) = x^n \left( a_n+\frac{a_{n-1}}{x} +\cdots+ \frac{a_1}{x^{n-1}} +\frac{a_0}{x^n} \right). \]

Pentru \(x\to+\infty\) sau pentru \(x\to-\infty\), toți termenii care conțin o putere pozitivă a lui \(x\) la numitor tind la zero. În consecință,

\[ a_n+\frac{a_{n-1}}{x} +\cdots+ \frac{a_0}{x^n} \to a_n. \]

Comportamentul polinomului este deci determinat de termenul de grad maxim:

\[ P(x)\sim a_nx^n \qquad \text{pentru }x\to\pm\infty. \]

Simbolul \(\sim\) indică faptul că raportul dintre cele două expresii tinde la \(1\):

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{a_nx^n}=1. \]

Pentru \(x\to+\infty\), semnul limitei coincide cu cel al coeficientului dominant \(a_n\):

\[ \lim_{x\to+\infty}P(x) = \begin{cases} +\infty, & a_n>0,\\ -\infty, & a_n<0. \end{cases} \]

Pentru \(x\to-\infty\), intervine și paritatea gradului:

\[ \lim_{x\to-\infty}P(x) = \begin{cases} +\infty, & n\text{ par și }a_n>0,\\ -\infty, & n\text{ par și }a_n<0,\\ -\infty, & n\text{ impar și }a_n>0,\\ +\infty, & n\text{ impar și }a_n<0. \end{cases} \]

Limita unei funcții raționale la infinit

Fie

\[ P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0, \qquad Q(x)=b_mx^m+\cdots+b_0, \]

cu \(a_n\neq 0\) și \(b_m\neq 0\). Pentru a studia

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}, \]

scoatem în factor comun \(x^n\) la numărător și \(x^m\) la numitor:

\[ \begin{aligned} \frac{P(x)}{Q(x)} &= \frac{ x^n\left( a_n+\displaystyle\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{a_0}{x^n} \right) }{ x^m\left( b_m+\displaystyle\frac{b_{m-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{b_0}{x^m} \right) }\\ &= x^{n-m} \frac{ a_n+\displaystyle\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{a_0}{x^n} }{ b_m+\displaystyle\frac{b_{m-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{b_0}{x^m} }. \end{aligned} \]

Ultima fracție tinde la

\[ \frac{a_n}{b_m}. \]

Rezultatul depinde deci de compararea gradelor \(n\) și \(m\).

Dacă \(n<m\), atunci \(x^{n-m}\to 0\) și

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=0. \]

Dacă \(n=m\), atunci

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_n}{b_m}. \]

Dacă \(n>m\), valoarea absolută a câtului tinde la \(+\infty\):

\[ \left|\frac{P(x)}{Q(x)}\right|\to+\infty. \]

Semnul limitei se determină studiind

\[ \frac{a_n}{b_m}x^{n-m}. \]

În particular, pentru \(x\to+\infty\), semnul coincide cu cel al raportului \(\displaystyle\frac{a_n}{b_m}\). Pentru \(x\to-\infty\), trebuie considerată și paritatea diferenței \(n-m\).

Principiul termenului dominant

Rezultatele precedente pot fi sintetizate observând că, la infinit, termenii de grad inferior devin neglijabili în raport cu cei de grad maxim:

\[ P(x)\sim a_nx^n, \qquad Q(x)\sim b_mx^m. \]

În consecință,

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \sim \frac{a_n}{b_m}x^{n-m}. \]

Această relație nu înlocuiește demonstrația, ci îi sintetizează conținutul: comportamentul asimptotic al unei funcții raționale este guvernat de termenii de grad maxim ai numărătorului și numitorului.

Exemple recapitulative și greșeli de evitat

În calculul unei limite, primul pas constă în identificarea limitelor componentelor expresiei. Numai după această verificare este posibil să stabilim dacă teoremele referitoare la operații conduc direct la rezultat sau dacă apare un caz de nedeterminare.

Sumă, produs și puteri

Considerăm

\[ \lim_{x\to 2}\left(3x^2-5x+4\right). \]

Deoarece funcția este un polinom, limita se obține prin substituție directă:

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to 2}\left(3x^2-5x+4\right) &=3\cdot 2^2-5\cdot 2+4\\ &=12-10+4\\ &=6. \end{aligned} \]

Substituția este permisă deoarece rezultatul provine din teoremele referitoare la sumă, la produs și la puteri.

Cât cu numitor nenul

Considerăm

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x}{x+3}. \]

Numărătorul tinde la \(3\), în timp ce numitorul tinde la \(4\neq 0\). Putem deci aplica teorema câtului:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x}{x+3} = \frac{3}{4}. \]

Cazul de nedeterminare \(\displaystyle\frac{0}{0}\)

Considerăm

\[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}. \]

Substituția directă produce cazul de nedeterminare

\[ \frac{0}{0}. \]

Descompunem numărătorul:

\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]

Pentru \(x\neq 2\), putem simplifica factorul comun:

\[ \frac{x^2-4}{x-2}=x+2. \]

Deoarece limita depinde de valorile luate în vecinătatea lui \(2\), și nu de valoarea din punctul respectiv, rezultă

\[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4. \]

Cazul de nedeterminare \(\infty-\infty\)

Considerăm

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]

Ambii termeni tind la \(+\infty\), deci apare cazul de nedeterminare \(\infty-\infty\). Înmulțim și împărțim cu expresia conjugată:

\[ \begin{aligned} \sqrt{x^2+x}-x &= \frac{ \left(\sqrt{x^2+x}-x\right) \left(\sqrt{x^2+x}+x\right) }{ \sqrt{x^2+x}+x }\\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \end{aligned} \]

Deoarece \(x>0\) pentru orice \(x\) suficient de mare, putem împărți numărătorul și numitorul prin \(x\):

\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]

În acest punct limita este determinată:

\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1} = \frac{1}{2}. \]

Câtul a două polinoame la infinit

Considerăm

\[ \lim_{x\to-\infty} \frac{2x^3-x+1}{x^2+4}. \]

Gradul numărătorului este mai mare decât cel al numitorului. Comportamentul câtului este deci guvernat de raportul dintre termenii de grad maxim:

\[ \frac{2x^3}{x^2}=2x. \]

Deoarece \(2x\to-\infty\) pentru \(x\to-\infty\), obținem

\[ \lim_{x\to-\infty} \frac{2x^3-x+1}{x^2+4} = -\infty. \]

Același rezultat poate fi verificat împărțind numărătorul și numitorul prin \(x^2\):

\[ \frac{2x^3-x+1}{x^2+4} = \frac{ 2x-\displaystyle\frac{1}{x} +\displaystyle\frac{1}{x^2} }{ 1+\displaystyle\frac{4}{x^2} }. \]

Numitorul tinde la \(1\), în timp ce numărătorul tinde la \(-\infty\).

Numitor tinzând la zero

Considerăm

\[ \lim_{x\to 1}\frac{1}{x-1}. \]

Numitorul tinde la zero și ia semne opuse la dreapta și la stânga lui \(x=1\). Pentru \(x\to 1^+\),

\[ x-1\to 0^+, \]

și deci

\[ \lim_{x\to 1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]

Pentru \(x\to 1^-\), în schimb,

\[ x-1\to 0^-, \]

de unde

\[ \lim_{x\to 1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty. \]

Limita la dreapta și limita la stânga sunt diferite; prin urmare, limita pentru \(x\to 1\) nu există, nici măcar ca limită infinită.

Greșeli de evitat

Prima greșeală constă în aplicarea teoremei câtului atunci când limita numitorului este zero. Din

\[ f(x)\to L \qquad\text{și}\qquad g(x)\to 0 \]

nu rezultă o formulă generală pentru limita lui \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\). Trebuie distins cazul \(L\neq 0\) de cazul \(L=0\) și, atunci când este necesar, trebuie studiat semnul numitorului.

A doua greșeală constă în a considera cazurile de nedeterminare drept rezultate. A scrie

\[ \frac{0}{0}, \qquad \infty-\infty \qquad\text{sau}\qquad 0\cdot\infty \]

nu încheie calculul: aceasta semnalează doar că expresia trebuie transformată sau analizată mai atent.

De asemenea, simbolurile \(+\infty\) și \(-\infty\) nu trebuie tratate ca numere reale. Formule precum

\[ +\infty+M=+\infty \]

sunt prescurtări ale unor rezultate privind limitele și au sens numai în contextul ipotezelor care le justifică.

O altă greșeală frecventă constă în neglijarea domeniului. Înainte de a calcula limita unei expresii care conține un radical, un numitor, un logaritm sau o putere reală, este necesar să se verifice că expresia este definită în puncte ale domeniului său oricât de apropiate de punctul spre care tinde variabila.

În sfârșit, substituția directă nu este o regulă universală. Ea este valabilă atunci când derivă din continuitatea funcțiilor implicate și atunci când toate operațiile rămân definite la trecerea la limită. Dacă produce un caz de nedeterminare, ea nu furnizează valoarea căutată.

Operațiile cu limite permit, așadar, păstrarea, în anumite ipoteze precise, a structurii algebrice a funcțiilor. Aplicarea lor corectă necesită însă distingerea permanentă între cazurile determinate, cazurile de nedeterminare și situațiile în care limita nu există.