Când două funcții tind amândouă către \(+\infty\), faptul de a ști că sunt infinite nu este suficient pentru a le descrie comportarea. Ele pot, într-adevăr, să crească cu viteze foarte diferite: un logaritm crește mai lent decât o putere, o putere mai lent decât o exponențială, iar o exponențială mai lent decât funcții precum \(x^x\).
Ierarhia infiniților mari permite ordonarea funcțiilor după viteza lor de creștere. Comparația se realizează studiind limita raportului lor: în acest fel se poate stabili dacă o funcție este neglijabilă în raport cu alta, dacă cele două au același ordin de creștere sau dacă una crește mai rapid decât cealaltă.
În această pagină vom dezvolta, în mod riguros, dar accesibil, principalele criterii de comparare a infiniților mari și vom construi scările asimptotice fundamentale. Termenul „ierarhie” nu se referă aici la diferitele cardinalități ale mulțimilor infinite, ci exclusiv la ordinele de creștere ale funcțiilor.
Cuprins
- Cum se compară doi infiniți mari
- Infiniți mari de ordin superior, inferior și de același ordin
- Infiniți mari echivalenți
- Ierarhia fundamentală a infiniților mari
- Aplicații și exemple de comparare
Cum se compară doi infiniți mari
A spune că două funcții tind amândouă către infinit nu înseamnă că ele cresc cu aceeași rapiditate. Pentru a le compara comportarea, este necesar să le considerăm în cadrul aceluiași proces de trecere la limită și să stabilim cum variază fiecare în raport cu cealaltă.
Fie \(f\) și \(g\) două funcții astfel încât
\[ |f(x)|\to+\infty \qquad\text{și}\qquad |g(x)|\to+\infty \]
când \(x\to x_0\), unde \(x_0\) poate fi un punct real sau \(+\infty\) ori \(-\infty\). Pentru a compara ordinele lor de creștere, se studiază, atunci când există, limita raportului modulelor lor:
\[ L=\lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}. \]
Acest raport compară modulele lui \(f(x)\) și \(g(x)\). Dacă tinde către \(0\), modulul lui \(f(x)\) devine neglijabil în raport cu modulul lui \(g(x)\); dacă tinde către un număr real pozitiv, cele două module sunt asimptotic comparabile; dacă tinde către \(+\infty\), modulul lui \(f(x)\) domină modulul lui \(g(x)\).
Atunci când cele două funcții au același semn pentru \(x\) suficient de apropiat de \(x_0\), în sensul procesului de trecere la limită considerat, valorile absolute pot fi omise și se poate studia direct
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. \]
De exemplu, când \(x\to+\infty\),
\[ \frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}\to 0. \]
Astfel, deși \(x^2\) și \(x^3\) tind amândouă către \(+\infty\), funcția \(x^2\) crește mai lent decât \(x^3\).
Limita raportului nu există în mod necesar. În acest caz, acest criteriu, luat singur, nu permite stabilirea imediată a uneia dintre relațiile care vor fi definite în secțiunea următoare.
Infiniți mari de ordin superior, inferior și de același ordin
Fie \(f\) și \(g\) două funcții infinit mari când \(x\to x_0\). Limita raportului modulelor lor permite determinarea ordinului lor relativ de creștere.
Dacă
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}=0, \]
atunci \(f\) este un infinit mare de ordin inferior față de \(g\), în timp ce \(g\) este un infinit mare de ordin superior față de \(f\). Se scrie
\[ f(x)=o\bigl(g(x)\bigr) \qquad\text{când }x\to x_0. \]
Această relație înseamnă că, deși ambele sunt infinite, mărimea lui \(f(x)\) devine neglijabilă în raport cu cea a lui \(g(x)\).
Dacă, dimpotrivă,
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}=L, \qquad 0<L<+\infty, \]
atunci \(f\) și \(g\) sunt infiniți mari de același ordin. Raportul modulelor lor nu tinde nici către \(0\), nici către \(+\infty\): cele două funcții au, prin urmare, mărimi asimptotic comparabile.
În sfârșit, dacă
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}=+\infty, \]
atunci \(f\) este un infinit mare de ordin superior față de \(g\). Această situație este echivalentă cu
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|g(x)|}{|f(x)|}=0. \]
De exemplu, când \(x\to+\infty\),
\[ \frac{3x^2}{5x^2}=\frac{3}{5}. \]
Deoarece raportul tinde către un număr pozitiv și finit, \(3x^2\) și \(5x^2\) sunt infiniți mari de același ordin. Ei nu sunt însă echivalenți, întrucât limita raportului lor nu este egală cu \(1\): această distincție va fi precizată în secțiunea următoare.
Infiniți mari echivalenți
Fie \(f\) și \(g\) două funcții infinit mari când \(x\to x_0\). Se spune că sunt infiniți mari echivalenți dacă
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1. \]
În acest caz se scrie
\[ f(x)\sim g(x) \qquad\text{când }x\to x_0. \]
Echivalența înseamnă că raportul celor două funcții tinde către \(1\): fiecare dintre ele descrie, așadar, la primul ordin, comportarea asimptotică a celeilalte.
Doi infiniți mari echivalenți sunt în mod necesar de același ordin, dar reciproca nu este întotdeauna adevărată. De exemplu, \(3x^2\) și \(5x^2\) sunt de același ordin când \(x\to+\infty\), dar nu sunt echivalenți, întrucât
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{5x^2}=\frac{3}{5}\neq 1. \]
Dacă, mai general,
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=L, \qquad L\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, \]
atunci \(f\) și \(g\) sunt de același ordin și avem
\[ f(x)\sim Lg(x). \]
De exemplu, când \(x\to+\infty\),
\[ \frac{x^2+3x}{x^2}=1+\frac{3}{x}\to 1. \]
Prin urmare,
\[ x^2+3x\sim x^2. \]
Echivalența asimptotică nu este o egalitate: ea descrie doar comportarea relativă a funcțiilor în procesul de trecere la limită considerat. Din acest motiv, înlocuirea unei funcții cu un echivalent al ei trebuie efectuată cu prudență, mai ales în sume și în diferențe, unde se pot produce anulări.
Ierarhia fundamentală a infiniților mari
Când \(x\to+\infty\), principalele funcții infinit mari pot fi ordonate după viteza lor de creștere. Familiile fundamentale sunt funcțiile logaritmice, funcțiile putere și funcțiile exponențiale.
În cadrul familiei puterilor, dacă \(0<\alpha<\beta\), atunci
\[ x^\alpha=o\bigl(x^\beta\bigr). \]
O putere cu exponent mai mare este, așadar, un infinit mare de ordin superior față de o putere cu exponent mai mic.
În mod analog, între două funcții exponențiale de bază mai mare decât \(1\), dacă \(1<a<b\), avem
\[ a^x=o\bigl(b^x\bigr). \]
Pentru logaritmi, dimpotrivă, schimbarea bazei introduce doar un factor constant. Dacă \(a>1\), atunci
\[ \log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}. \]
În consecință, toate funcțiile logaritmice de bază mai mare decât \(1\) sunt infiniți mari de același ordin. Pentru a studia ierarhia este, prin urmare, suficient să fixăm o bază; în cele ce urmează vom utiliza logaritmul natural, notat cu \(\ln(x)\).
Compararea între familii diferite conduce la relațiile fundamentale
\[ \bigl(\ln(x)\bigr)^p=o\bigl(x^q\bigr) \qquad\text{și}\qquad x^q=o\bigl(a^x\bigr), \]
valabile pentru orice \(p>0\), \(q>0\) și \(a>1\). Astfel, orice putere pozitivă a logaritmului natural crește mai lent decât orice putere pozitivă a lui \(x\), în timp ce orice putere pozitivă a lui \(x\) crește mai lent decât orice exponențială de bază mai mare decât \(1\).
Ierarhia poate fi extinsă incluzând logaritmul iterat și funcția \(x^x\):
\[ \ln\bigl(\ln(x)\bigr)=o\bigl(\bigl(\ln(x)\bigr)^p\bigr), \qquad \bigl(\ln(x)\bigr)^p=o\bigl(x^q\bigr), \qquad x^q=o\bigl(a^x\bigr), \qquad a^x=o\bigl(x^x\bigr). \]
Acest lanț nu compară valorile funcțiilor pentru orice \(x\), ci descrie exclusiv comportarea lor asimptotică atunci când \(x\to+\infty\). Fiecare funcție situată mai la dreapta domină asimptotic toate funcțiile care o preced.
Aplicații și exemple de comparare
Odată stabilită ierarhia fundamentală, multe comparații pot fi rezolvate recunoscând familiile cărora le aparțin funcțiile, fără a fi nevoie să calculăm de fiecare dată limita prin procedee mai lungi.
Să considerăm, de exemplu,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^4}{x^{1/3}}. \]
Orice putere pozitivă a logaritmului natural crește mai lent decât orice putere pozitivă a lui \(x\). Prin urmare,
\[ \bigl(\ln(x)\bigr)^4=o\bigl(x^{1/3}\bigr) \]
și, în consecință,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^4}{x^{1/3}}=0. \]
În mod analog, în limita
\[ \lim_{x\to+\infty}x^5e^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^5}{e^x}, \]
funcția exponențială domină puterea. Deoarece
\[ x^5=o\bigl(e^x\bigr), \]
se obține
\[ \lim_{x\to+\infty}x^5e^{-x}=0. \]
Ierarhia permite, de asemenea, compararea funcțiilor care aparțin aceleiași familii. De exemplu,
\[ \frac{2^x}{5^x}=\left(\frac{2}{5}\right)^x\to 0, \]
astfel încât
\[ 2^x=o\bigl(5^x\bigr) \qquad\text{când }x\to+\infty. \]
O altă aplicație importantă constă în identificarea termenului dominant al unei sume. Să considerăm
\[ f(x)=3e^x+7x^4-\bigl(\ln(x)\bigr)^2. \]
Împărțind la \(3e^x\), avem
\[ \frac{f(x)}{3e^x}=1+\frac{7x^4}{3e^x}-\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^2}{3e^x}. \]
Deoarece atât \(x^4\), cât și \(\bigl(\ln(x)\bigr)^2\) sunt de ordin inferior față de \(e^x\), ultimii doi termeni tind către \(0\). Rezultă că
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{3e^x}=1, \]
și, prin urmare,
\[ 3e^x+7x^4-\bigl(\ln(x)\bigr)^2\sim 3e^x. \]
Echivalența asimptotică se conservă în produse și în câturi: dacă \(f\sim g\) și \(h\sim k\) în același proces de trecere la limită, atunci \(fh\sim gk\) și, cu condiția ca \(h\) și \(k\) să fie, de la un moment încolo, nenule, \(\displaystyle\frac{f}{h}\sim\frac{g}{k}\). În sume și în diferențe, dimpotrivă, o funcție nu poate fi înlocuită în mod nediscriminat cu un echivalent al ei. De exemplu,
\[ x^2+x\sim x^2, \]
dar în diferența
\[ (x^2+x)-x^2=x, \]
termenii dominanți se anulează. Înlocuirea lui \(x^2+x\) cu echivalentul său \(x^2\) ar elimina, prin urmare, tocmai termenul care determină rezultatul.