Această culegere propune 20 de exerciții rezolvate despre limita la stânga și limita la dreapta, ordonate în ordinea crescătoare a dificultății. Primele exerciții se referă la calculul celor mai simple limite laterale; ulterior sunt abordate definițiile formale, funcțiile definite pe ramuri, limitele laterale infinite, rolul domeniului de definiție și continuitatea la stânga și la dreapta.
În fiecare rezolvare se precizează explicit din ce parte se apropie \(x\) de punct, ce expresie a funcției trebuie folosită și de ce limitele laterale obținute conduc sau nu la existența limitei în punctul respectiv.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Să se calculeze următoarea limită la dreapta:
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1). \]
Rezultat
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Rezolvare
Scrierea \(x\to 2^+\) arată că \(x\) tinde către \(2\) luând numai valori mai mari decât \(2\).
Funcția
\[ f(x)=3x-1 \]
este o funcție afină și nu prezintă nicio neregularitate în punctul \(x=2\). Putem, prin urmare, să calculăm limita prin înlocuire directă cu \(x=2\):
\[ 3\cdot 2-1=6-1=5. \]
Așadar,
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Faptul că apropierea se face dinspre dreapta nu schimbă rezultatul, deoarece aceeași expresie \(3x-1\) este definită și se comportă regulat atât la dreapta, cât și la stânga lui \(2\).
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Să se calculeze următoarea limită la stânga:
\[ \lim_{x\to -1^-}(x^2+2x). \]
Rezultat
\[ \lim_{x\to -1^-}(x^2+2x)=-1. \]
Rezolvare
Notația \(x\to -1^-\) înseamnă că \(x\) tinde către \(-1\) prin valori mai mici decât \(-1\).
Funcția
\[ f(x)=x^2+2x \]
este o funcție polinomială și poate fi evaluată direct în punctul \(x=-1\). Obținem:
\[ (-1)^2+2(-1)=1-2=-1. \]
În consecință,
\[ \lim_{x\to -1^-}(x^2+2x)=-1. \]
Și în acest caz partea din care se face apropierea nu modifică valoarea limitei, întrucât polinomul este dat de aceeași expresie pe o întreagă vecinătate a lui \(-1\).
Exercițiul 3 — nivel ★★☆☆☆
Să se demonstreze, cu ajutorul definiției \(\varepsilon\)-\(\delta\), că
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Rezultat
Definiția este verificată alegând
\[ \delta=\frac{\varepsilon}{3}. \]
Rezolvare
Trebuie să arătăm că, oricare ar fi \(\varepsilon>0\), există \(\delta>0\) astfel încât
\[ 2<x<2+\delta \implies |(3x-1)-5|<\varepsilon. \]
Pornim de la expresia care trebuie făcută mai mică decât \(\varepsilon\):
\[ |(3x-1)-5|. \]
Efectuând calculele sub semnul modulului, obținem
\[ |3x-6|=|3(x-2)|=3|x-2|. \]
Dorim, prin urmare, ca
\[ 3|x-2|<\varepsilon. \]
Este suficient să impunem
\[ |x-2|<\frac{\varepsilon}{3}. \]
Alegem, așadar,
\[ \delta=\frac{\varepsilon}{3}. \]
Dacă \(2<x<2+\delta\), atunci
\[ 0<x-2<\delta, \]
deci
\[ |x-2|<\delta. \]
Rezultă că
\[ |(3x-1)-5| =3|x-2| <3\delta =3\cdot\frac{\varepsilon}{3} =\varepsilon. \]
Definiția limitei la dreapta este deci satisfăcută și putem conchide că
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Să se demonstreze, cu ajutorul definiției \(\varepsilon\)-\(\delta\), că
\[ \lim_{x\to 1^-}x^2=1. \]
Rezultat
Definiția este verificată alegând
\[ \delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2}\right\}. \]
Rezolvare
Trebuie să arătăm că, oricare ar fi \(\varepsilon>0\), există \(\delta>0\) astfel încât
\[ 1-\delta<x<1 \implies |x^2-1|<\varepsilon. \]
Descompunem diferența de pătrate:
\[ |x^2-1|=|(x-1)(x+1)|=|x-1||x+1|. \]
Factorul \(|x-1|\) poate fi controlat direct prin \(\delta\). Rămâne, în schimb, să găsim o majorare simplă pentru \(|x+1|\).
Impunem mai întâi \(\delta\le 1\). Din condiția
\[ 1-\delta<x<1 \]
rezultă atunci
\[ 0<x<1. \]
Prin urmare,
\[ 1<x+1<2, \]
și, în particular,
\[ |x+1|<2. \]
În consecință,
\[ |x^2-1|=|x-1||x+1|<2|x-1|. \]
Pentru ca această ultimă cantitate să fie mai mică decât \(\varepsilon\), este suficient să cerem
\[ |x-1|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Putem deci alege
\[ \delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2}\right\}. \]
Dacă \(1-\delta<x<1\), atunci \(|x-1|<\delta\), de unde
\[ |x^2-1| <2|x-1| <2\delta \le\varepsilon. \]
Definiția limitei la stânga este așadar verificată:
\[ \lim_{x\to 1^-}x^2=1. \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine limita la dreapta a funcției
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
în punctul \(x_0=0\). Să se stabilească, în plus, dacă limita la stânga are sens.
Rezultat
\[ \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0. \]
Limita la stânga în \(0\) nu are sens în domeniul real de definiție al funcției.
Rezolvare
Funcția
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
este definită, în mulțimea numerelor reale, numai atunci când
\[ x\ge 0. \]
Domeniul ei de definiție este, prin urmare,
\[ D=[0,+\infty). \]
În domeniul de definiție există puncte oricât de apropiate de \(0\) și mai mari decât \(0\). Limita la dreapta are, deci, sens.
Când \(x\) tinde către \(0\) dinspre dreapta, și \(\sqrt{x}\) tinde către \(0\). Așadar,
\[ \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0. \]
În schimb, nu există puncte ale domeniului mai mici decât \(0\) și oricât de apropiate de \(0\). Din acest motiv, limita la stânga
\[ \lim_{x\to 0^-}\sqrt{x} \]
nu are sens ca limită reală a funcției considerate.
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine limita la stânga a funcției
\[ f(x)=\sqrt{4-x} \]
în punctul \(x_0=4\). Să se stabilească, în plus, dacă limita la dreapta are sens.
Rezultat
\[ \lim_{x\to 4^-}\sqrt{4-x}=0. \]
Limita la dreapta în \(4\) nu are sens în domeniul real de definiție al funcției.
Rezolvare
Pentru ca radicalul de ordinul al doilea să fie definit, expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau nulă:
\[ 4-x\ge 0. \]
Rezolvând această inecuație, obținem
\[ x\le 4. \]
Domeniul de definiție al funcției este, prin urmare,
\[ D=(-\infty,4]. \]
În domeniul de definiție există puncte oricât de apropiate de \(4\) și mai mici decât \(4\). Putem, deci, să calculăm limita la stânga.
Când \(x\to 4^-\), cantitatea \(4-x\) este pozitivă și tinde la \(0\). În consecință,
\[ \sqrt{4-x}\to 0. \]
Așadar,
\[ \lim_{x\to 4^-}\sqrt{4-x}=0. \]
În schimb, nu există puncte ale domeniului mai mari decât \(4\). Limita la dreapta în \(4\) nu are, deci, sens în raport cu domeniul de definiție al funcției.
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Să se calculeze cele două limite laterale și să se stabilească dacă există limita:
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}. \]
Rezultat
\[ \lim_{x\to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1} =2. \]
Așadar,
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]
Rezolvare
Prin înlocuire directă cu \(x=1\), se obține
\[ \frac{1^2-1}{1-1}=\frac{0}{0}, \]
adică un caz de nedeterminare. Trebuie, prin urmare, să transformăm expresia.
Numărătorul este o diferență de pătrate:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Pentru orice \(x\neq 1\), putem simplifica prin factorul \(x-1\):
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]
La calculul unei limite pentru \(x\to 1\) se consideră valori ale lui \(x\) apropiate de \(1\), dar diferite de \(1\). Simplificarea este, deci, permisă atât la stânga, cât și la dreapta punctului.
Pentru limita la stânga:
\[ \lim_{x\to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1^-}(x+1) =2. \]
Pentru limita la dreapta:
\[ \lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1^+}(x+1) =2. \]
Cele două limite laterale există și coincid. În consecință,
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Se consideră funcția
\[ f(x)= \begin{cases} x+2, & x<1,\\ 5, & x=1,\\ 3x, & x>1. \end{cases} \]
Să se calculeze limitele laterale în \(x_0=1\), să se stabilească dacă există limita pentru \(x\to 1\) și să se verifice dacă funcția este continuă în \(1\).
Rezultat
\[ \lim_{x\to 1^-}f(x)=3, \qquad \lim_{x\to 1^+}f(x)=3. \]
Așadar,
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=3. \]
Funcția nu este continuă în \(1\), deoarece \(f(1)=5\neq 3\).
Rezolvare
Funcția este dată prin expresii diferite la stânga lui \(1\), în punctul \(1\) și la dreapta lui \(1\).
Pentru calculul limitei la stânga trebuie să folosim ramura valabilă pentru \(x<1\):
\[ f(x)=x+2. \]
Așadar,
\[ \lim_{x\to 1^-}f(x) = \lim_{x\to 1^-}(x+2) = 1+2 = 3. \]
Pentru calculul limitei la dreapta trebuie să folosim, în schimb, ramura valabilă pentru \(x>1\):
\[ f(x)=3x. \]
Obținem deci
\[ \lim_{x\to 1^+}f(x) = \lim_{x\to 1^+}3x = 3. \]
Cele două limite laterale există și coincid. Prin urmare, limita există:
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=3. \]
Pentru studiul continuității trebuie să comparăm limita cu valoarea funcției în punct. Din definiția pe ramuri rezultă
\[ f(1)=5. \]
Deoarece
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=3\neq 5=f(1), \]
funcția nu este continuă în \(1\).
Acest exemplu arată că limita poate exista chiar și atunci când valoarea atribuită funcției în punct este diferită de limită.
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Se consideră funcția
\[ f(x)= \begin{cases} 2x+1, & x<0,\\ x^2+2, & x\ge 0. \end{cases} \]
Să se calculeze limitele laterale în \(0\), să se stabilească dacă există limita pentru \(x\to 0\) și să se determine dacă funcția este continuă la dreapta sau la stânga.
Rezultat
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to 0^+}f(x)=2. \]
Limita pentru \(x\to 0\) nu există. Funcția este continuă la dreapta, dar nu și la stânga.
Rezolvare
Pentru limita la stânga trebuie să folosim ramura valabilă atunci când \(x<0\):
\[ f(x)=2x+1. \]
Așadar,
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to 0^-}(2x+1) = 1. \]
Pentru limita la dreapta trebuie să folosim ramura valabilă atunci când \(x\ge 0\). La calculul limitei la dreapta se consideră valori \(x>0\), deci expresia care trebuie folosită este
\[ f(x)=x^2+2. \]
Rezultă că
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}(x^2+2) = 2. \]
Cele două limite laterale sunt diferite:
\[ 1\neq 2. \]
În consecință, limita pentru \(x\to 0\) nu există.
Să calculăm acum valoarea funcției în punct. Întrucât a doua ramură cuprinde și \(x=0\),
\[ f(0)=0^2+2=2. \]
Limita la dreapta coincide cu valoarea funcției:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2=f(0). \]
Funcția este, prin urmare, continuă la dreapta în \(0\).
Limita la stânga este, în schimb, egală cu \(1\), astfel încât
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)\neq f(0). \]
Funcția nu este continuă la stânga.
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
Să se calculeze limitele laterale ale funcției
\[ f(x)=\frac{x}{|x|} \]
în punctul \(x_0=0\) și să se stabilească dacă există limita pentru \(x\to 0\).
Rezultat
\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}=-1, \qquad \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=1. \]
Limita pentru \(x\to 0\) nu există.
Rezolvare
Comportarea modulului depinde de semnul lui \(x\).
Când \(x<0\), avem
\[ |x|=-x. \]
Prin urmare, pentru \(x<0\),
\[ \frac{x}{|x|} = \frac{x}{-x} = -1. \]
În consecință,
\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}=-1. \]
Când, în schimb, \(x>0\), avem
\[ |x|=x. \]
Așadar,
\[ \frac{x}{|x|} = \frac{x}{x} = 1. \]
Rezultă că
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=1. \]
Deoarece
\[ -1\neq 1, \]
cele două limite laterale nu coincid. Limita pentru \(x\to 0\) nu există.
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Să se calculeze limitele laterale ale funcției
\[ f(x)=\frac{1}{x-3} \]
în punctul \(x_0=3\).
Rezultat
\[ \lim_{x\to 3^-}\frac{1}{x-3}=-\infty, \qquad \lim_{x\to 3^+}\frac{1}{x-3}=+\infty. \]
Limita pentru \(x\to 3\) nu există.
Rezolvare
Când \(x\to 3\), numitorul \(x-3\) tinde la \(0\). Pentru a determina comportarea câtului este indispensabil să studiem semnul numitorului de fiecare parte.
Dacă \(x\to 3^-\), atunci \(x<3\). În consecință,
\[ x-3<0. \]
Numitorul este negativ, iar modulul său devine tot mai mic. Inversul ia, prin urmare, valori negative al căror modul crește nemărginit:
\[ \lim_{x\to 3^-}\frac{1}{x-3}=-\infty. \]
Dacă, în schimb, \(x\to 3^+\), atunci \(x>3\), deci
\[ x-3>0. \]
Numitorul este pozitiv și tinde la \(0\). Inversul ia, prin urmare, valori pozitive oricât de mari:
\[ \lim_{x\to 3^+}\frac{1}{x-3}=+\infty. \]
Cele două limite laterale descriu comportări opuse. Așadar, limita pentru \(x\to 3\) nu există.
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Să se calculeze limitele laterale ale funcției
\[ f(x)=-\frac{2}{x+1} \]
în punctul \(x_0=-1\).
Rezultat
\[ \lim_{x\to -1^-}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=+\infty, \qquad \lim_{x\to -1^+}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=-\infty. \]
Rezolvare
Numărătorul este constant egal cu \(-2\). Semnul funcției depinde, prin urmare, de semnul numitorului \(x+1\).
Când \(x\to -1^-\), avem \(x<-1\), deci
\[ x+1<0. \]
Numărătorul și numitorul sunt amândoi negativi, prin urmare câtul este pozitiv. În plus, numitorul tinde la \(0\) prin valori negative, astfel încât valoarea câtului crește nemărginit:
\[ \lim_{x\to -1^-}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=+\infty. \]
Când, în schimb, \(x\to -1^+\), avem \(x>-1\), deci
\[ x+1>0. \]
Numărătorul este negativ, iar numitorul pozitiv. Câtul este, așadar, negativ. Deoarece numitorul tinde la \(0\), modulul câtului crește nemărginit:
\[ \lim_{x\to -1^+}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=-\infty. \]
Și în acest caz cele două comportări laterale sunt incompatibile, iar limita nu există.
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Să se calculeze limitele laterale și limita:
\[ \lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^2}. \]
Rezultat
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{1}{(x-2)^2} = \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{(x-2)^2} =+\infty. \]
Așadar,
\[ \lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Rezolvare
Când \(x\to 2\), diferența \(x-2\) tinde la \(0\).
Numitorul este însă pătratul acestei diferențe:
\[ (x-2)^2. \]
Pentru orice \(x\neq 2\), acest pătrat este strict pozitiv:
\[ (x-2)^2>0. \]
Dacă \(x\to 2^-\), cantitatea \(x-2\) este negativă, dar pătratul ei este pozitiv și tinde la \(0\). În consecință,
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Dacă \(x\to 2^+\), cantitatea \(x-2\) este pozitivă, iar pătratul ei tinde tot la \(0\) prin valori pozitive. Așadar,
\[ \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Cele două limite laterale coincid și sunt amândouă egale cu \(+\infty\). Putem, prin urmare, să scriem
\[ \lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
Să se demonstreze, cu ajutorul definiției \(M\)-\(\delta\), că
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Rezultat
Definiția este verificată alegând
\[ \delta=\frac{1}{M}. \]
Rezolvare
Pentru a demonstra că
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty, \]
trebuie să verificăm că, oricare ar fi \(M>0\), există \(\delta>0\) astfel încât
\[ 0<x<\delta \implies \frac{1}{x}>M. \]
Pornim de la inegalitatea pe care dorim să o obținem:
\[ \frac{1}{x}>M. \]
Deoarece considerăm \(x>0\) și \(M>0\), putem înmulți ambii membri cu \(x\) fără a schimba sensul inegalității:
\[ 1>Mx. \]
Împărțind prin \(M>0\), obținem
\[ x<\frac{1}{M}. \]
Este, prin urmare, firesc să alegem
\[ \delta=\frac{1}{M}. \]
Dacă
\[ 0<x<\delta=\frac{1}{M}, \]
atunci, trecând la inversele unor cantități pozitive, sensul inegalității se schimbă:
\[ \frac{1}{x}>M. \]
Definiția limitei infinite la dreapta este, așadar, verificată. Prin urmare,
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
Fiind dată funcția
\[ f(x)=\sqrt{2-x}, \]
să se stabilească ce limite laterale au sens în punctul \(x_0=2\) și să se calculeze cele care există.
Rezultat
\[ \lim_{x\to 2^-}\sqrt{2-x}=0. \]
Limita la dreapta în \(2\) nu are sens în domeniul real de definiție al funcției.
Rezolvare
Pentru a determina domeniul de definiție, impunem ca expresia de sub radical să fie pozitivă sau nulă:
\[ 2-x\ge 0. \]
Rezolvând, obținem
\[ x\le 2. \]
Domeniul de definiție este, așadar,
\[ D=(-\infty,2]. \]
În domeniul de definiție există puncte oricât de apropiate de \(2\) și mai mici decât \(2\). Limita la stânga are, prin urmare, sens.
Când \(x\to 2^-\), diferența \(2-x\) este pozitivă și tinde la \(0\). Așadar,
\[ \lim_{x\to 2^-}\sqrt{2-x}=0. \]
În schimb, nu există puncte ale domeniului mai mari decât \(2\). În particular, nu putem găsi valori \(x\in D\) astfel încât
\[ 2<x<2+\delta. \]
Limita la dreapta în \(2\) nu are, prin urmare, sens în raport cu domeniul de definiție al funcției.
Exercițiul 16 — nivel ★★★☆☆
Fie
\[ f:[0,4]\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x^2. \]
Să se verifice că \(f\) este continuă la dreapta în \(0\) și continuă la stânga în \(4\).
Rezultat
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)=0, \qquad \lim_{x\to 4^-}f(x)=f(4)=16. \]
Rezolvare
Domeniul de definiție al funcției este intervalul închis \([0,4]\).
În punctul \(0\) există puncte ale domeniului oricât de apropiate numai dinspre dreapta. Condiția firească de continuitate în raport cu domeniul este, prin urmare, continuitatea la dreapta.
Calculăm:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}x^2 = 0. \]
Valoarea funcției în punct este
\[ f(0)=0^2=0. \]
Deoarece
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0), \]
funcția este continuă la dreapta în \(0\).
În punctul \(4\) există, în schimb, puncte ale domeniului oricât de apropiate numai dinspre stânga. Calculăm:
\[ \lim_{x\to 4^-}f(x) = \lim_{x\to 4^-}x^2 = 16. \]
În plus,
\[ f(4)=4^2=16. \]
Așadar,
\[ \lim_{x\to 4^-}f(x)=f(4), \]
iar funcția este continuă la stânga în \(4\).
Exercițiul 17 — nivel ★★★☆☆
Se consideră funcția
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 2, & x=0,\\ x+2, & x>0. \end{cases} \]
Să se stabilească dacă funcția este continuă la dreapta sau la stânga în punctul \(x_0=0\).
Rezultat
Funcția este continuă la dreapta în \(0\), dar nu este continuă la stânga.
Rezolvare
Valoarea funcției în punct este dată direct:
\[ f(0)=2. \]
Pentru calculul limitei la stânga trebuie să folosim ramura valabilă pentru \(x<0\):
\[ f(x)=1. \]
Așadar,
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1. \]
Deoarece
\[ 1\neq 2=f(0), \]
funcția nu este continuă la stânga în \(0\).
Pentru limita la dreapta trebuie să folosim, în schimb, ramura valabilă pentru \(x>0\):
\[ f(x)=x+2. \]
Calculăm:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}(x+2) = 2. \]
Limita la dreapta coincide cu valoarea funcției:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2=f(0). \]
Funcția este, prin urmare, continuă la dreapta în \(0\).
Întrucât limita la stânga și limita la dreapta sunt diferite, funcția nu este continuă în \(0\).
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Să se determine valoarea parametrului real \(a\) pentru care există limita funcției în punctul \(x_0=2\):
\[ f_a(x)= \begin{cases} ax+1, & x<2,\\ x^2-a, & x>2. \end{cases} \]
Să se calculeze, de asemenea, valoarea limitei.
Rezultat
Limita există dacă și numai dacă
\[ a=1. \]
Pentru \(a=1\),
\[ \lim_{x\to 2}f_a(x)=3. \]
Rezolvare
Pentru ca limita pentru \(x\to 2\) să existe, limita la stânga și limita la dreapta trebuie să existe și să coincidă.
Pentru \(x<2\), funcția este dată de
\[ f_a(x)=ax+1. \]
Limita la stânga este, prin urmare,
\[ \lim_{x\to 2^-}f_a(x) = \lim_{x\to 2^-}(ax+1) = 2a+1. \]
Pentru \(x>2\), funcția este dată de
\[ f_a(x)=x^2-a. \]
Limita la dreapta este
\[ \lim_{x\to 2^+}f_a(x) = \lim_{x\to 2^+}(x^2-a) = 4-a. \]
Pentru ca cele două limite să coincidă, trebuie ca
\[ 2a+1=4-a. \]
Rezolvăm ecuația:
\[ 2a+a=4-1, \]
deci
\[ 3a=3 \]
și, în final,
\[ a=1. \]
Înlocuind \(a=1\) în una dintre cele două limite laterale, obținem
\[ 2a+1=2\cdot 1+1=3. \]
Și limita la dreapta este egală cu
\[ 4-a=4-1=3. \]
Așadar, pentru \(a=1\),
\[ \lim_{x\to 2}f_a(x)=3. \]
Funcția nu este definită în punctul \(x=2\), însă acest lucru nu împiedică existența limitei, deoarece limita depinde de comportarea funcției în punctele vecine lui \(2\), și nu de valoarea luată în punct.
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
Să se determine toate valorile parametrilor reali \(a\) și \(b\) pentru care funcția
\[ f_{a,b}(x)= \begin{cases} ax+b, & x<1,\\ 5, & x=1,\\ 2x+3, & x>1 \end{cases} \]
este continuă în punctul \(x_0=1\).
Rezultat
Funcția este continuă în \(1\) dacă și numai dacă
\[ a+b=5. \]
În mod echivalent,
\[ b=5-a. \]
Rezolvare
Pentru ca funcția să fie continuă în \(1\), trebuie să fie îndeplinite ambele condiții
\[ \lim_{x\to 1^-}f_{a,b}(x)=f_{a,b}(1) \qquad\text{și}\qquad \lim_{x\to 1^+}f_{a,b}(x)=f_{a,b}(1). \]
Valoarea funcției în punct este
\[ f_{a,b}(1)=5. \]
La stânga lui \(1\), funcția este dată de
\[ f_{a,b}(x)=ax+b. \]
Așadar,
\[ \lim_{x\to 1^-}f_{a,b}(x) = a\cdot 1+b = a+b. \]
Pentru continuitatea la stânga trebuie, prin urmare, ca
\[ a+b=5. \]
La dreapta lui \(1\), funcția este dată de
\[ f_{a,b}(x)=2x+3. \]
Limita la dreapta este
\[ \lim_{x\to 1^+}f_{a,b}(x) = 2\cdot 1+3 = 5. \]
Ea coincide automat cu valoarea funcției în punct:
\[ \lim_{x\to 1^+}f_{a,b}(x)=5=f_{a,b}(1). \]
Singura condiție care trebuie impusă parametrilor este, prin urmare,
\[ a+b=5. \]
Nu există o singură pereche de parametri, ci o infinitate de perechi. Alegând arbitrar \(a\in\mathbb{R}\), trebuie ca
\[ b=5-a. \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Se consideră funcția
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<0,\\ 2, & x=0,\\ x^2+2, & 0<x<2,\\ 7, & x=2,\\ 5-x, & x>2. \end{cases} \]
Să se studieze complet limitele laterale și continuitatea la dreapta și la stânga în punctele \(x_0=0\) și \(x_0=2\).
Rezultat
În punctul \(x_0=0\):
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to 0^+}f(x)=2. \]
Limita pentru \(x\to 0\) nu există. Funcția este continuă la dreapta, dar nu și la stânga.
În punctul \(x_0=2\):
\[ \lim_{x\to 2^-}f(x)=6, \qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=3. \]
Limita pentru \(x\to 2\) nu există. Funcția nu este continuă nici la stânga, nici la dreapta.
Rezolvare
Începem cu studiul punctului \(x_0=0\).
Pentru \(x<0\), funcția este dată de
\[ f(x)=x+1. \]
Limita la stânga este, prin urmare,
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to 0^-}(x+1) = 1. \]
Pentru \(0<x<2\), funcția este dată, în schimb, de
\[ f(x)=x^2+2. \]
Aceasta este expresia care trebuie folosită pentru limita la dreapta în \(0\):
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}(x^2+2) = 2. \]
Cele două limite laterale sunt diferite:
\[ 1\neq 2. \]
În consecință, limita pentru \(x\to 0\) nu există.
Valoarea funcției în punct este
\[ f(0)=2. \]
Comparând valoarea funcției cu limitele laterale, observăm că
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2=f(0). \]
Funcția este, prin urmare, continuă la dreapta în \(0\).
Dimpotrivă,
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1\neq 2=f(0), \]
astfel încât funcția nu este continuă la stânga în \(0\).
Trecem acum la studiul punctului \(x_0=2\).
Pentru valorile \(x<2\) suficient de apropiate de \(2\), avem \(0<x<2\), deci funcția este dată de
\[ f(x)=x^2+2. \]
Limita la stânga este, așadar,
\[ \lim_{x\to 2^-}f(x) = \lim_{x\to 2^-}(x^2+2) = 4+2 = 6. \]
Pentru \(x>2\), funcția este dată de
\[ f(x)=5-x. \]
Limita la dreapta este, prin urmare,
\[ \lim_{x\to 2^+}f(x) = \lim_{x\to 2^+}(5-x) = 5-2 = 3. \]
Și în acest punct cele două limite laterale sunt diferite:
\[ 6\neq 3. \]
Limita pentru \(x\to 2\) nu există.
Valoarea funcției în punct este
\[ f(2)=7. \]
Pentru continuitatea la stânga ar fi necesar ca
\[ \lim_{x\to 2^-}f(x)=f(2). \]
Însă
\[ 6\neq 7. \]
Funcția nu este, prin urmare, continuă la stânga în \(2\).
Pentru continuitatea la dreapta ar fi necesar, în schimb, ca
\[ \lim_{x\to 2^+}f(x)=f(2). \]
Dar
\[ 3\neq 7. \]
Funcția nu este continuă nici la dreapta în \(2\).
Studiul complet arată, așadar, că funcția este continuă numai la dreapta în punctul \(0\), în timp ce în punctul \(2\) nu este continuă din niciuna dintre cele două părți.