Pentru a înțelege în profunzime proprietățile logaritmilor, vom porni de la definiția lor. Pe această bază, vom demonstra pas cu pas principalele proprietăți care permit simplificarea și manipularea expresiilor logaritmice. Fiecare proprietate va fi însoțită de un exercițiu rezolvat, pentru a pune în practică cele învățate.
Definiție. Fie \( x > 0 \) un număr real pozitiv și \( b > 0 \) cu \( b \neq 1 \) o bază; logaritmul lui \( x \) în baza \( b \), notat \( \log_b(x) \), este exponentul \( y \) cu proprietatea că \( b^y = x \). Formal:
\[ \log_b(x) = y \iff b^y = x \]
Cuprins
Identitatea fundamentală
Identitatea fundamentală a logaritmilor afirmă că \( b^{\log_b(a)} = a \). Această proprietate este esențială în rezolvarea ecuațiilor logaritmice și exponențiale.
\[ b^{\log_b(a)} = a \quad \text{cu} \quad a > 0 \]
Aceasta este o consecință directă a definiției logaritmului. Într-adevăr, \( \log_b(a) \) este tocmai acel exponent la care, ridicând baza \( b \), se obține \( a \).
Exercițiu. Calculați \( 3^{\log_3(81)} \).
Soluție. Aplicând proprietatea \( b^{\log_b(a)} = a \), obținem:
\[ 3^{\log_3(81)} = 81 \]
Rezultat: \( 81 \).
Regula puterii
Regula puterii ne permite să calculăm logaritmul unei puteri. Prin această regulă, logaritmul unei puteri se transformă în produsul dintre exponent și logaritmul bazei puterii.
\[\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \quad \text{cu} \quad x > 0 \]
Demonstrație. Fie \( k = \log_b(x) \). Prin definiția logaritmului, \( b^k = x \). Atunci:
\[ \log_b(x^n) = \log_b((b^k)^n) = \log_b(b^{kn}) = kn = n \cdot \log_b(x) \]
Exercițiu. Simplificați \( \log_2(32^3) \).
Soluție. Aplicăm regula \( \log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \):
\[ \log_2(32^3) = 3 \cdot \log_2(32) \]
Deoarece \( 32 = 2^5 \), avem:
\[ \log_2(32) = 5 \]
Prin urmare:
\[ \log_2(32^3) = 3 \cdot 5 = 15 \]
Rezultat: \( 15 \).
Regula produsului
Regula produsului afirmă că logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor factorilor. Această regulă este fundamentală pentru simplificarea expresiilor ce conțin produse.
\[\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y) \quad \text{cu} \quad x, y > 0 \]
Demonstrație. Fie \( k = \log_b(x) \) și \( h = \log_b(y) \). Prin definiția logaritmului: \( b^k = x \) și \( b^h = y \). Atunci:
\[ x \cdot y = b^k \cdot b^h = b^{k+h} \]
\[ \log_b(x \cdot y) = \log_b(b^{k+h}) = k + h = \log_b(x) + \log_b(y) \]
Exercițiu. Calculați \( \log_5(25) + \log_5(5) \) și comparați cu \( \log_5(125) \).
Soluție. Aplicăm regula produsului:
\[ \log_5(25) + \log_5(5) = \log_5(25 \cdot 5) \]
Deoarece \( 25 \cdot 5 = 125 \), obținem:
\[ \log_5(25) + \log_5(5) = \log_5(125) \]
Întrucât \( 125 = 5^3 \), rezultă că:
\[ \log_5(125) = 3 \]
Rezultat: \( 3 \).
Regula câtului
Regula câtului afirmă că logaritmul unui cât este egal cu diferența logaritmilor. Această regulă este utilă pentru simplificarea expresiilor ce conțin fracții.
\[\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(x) - \log_b(y) \quad \text{cu} \quad x, y > 0 \]
Demonstrație. Fie \( k = \log_b(x) \) și \( h = \log_b(y) \). Prin definiția logaritmului: \( b^k = x \) și \( b^h = y \). Atunci:
\[ \frac{x}{y} = \frac{b^k}{b^h} = b^{k-h} \]
\[ \log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(b^{k-h}) = k - h = \log_b(x) - \log_b(y) \]
Exercițiu. Simplificați \( \log_3(81) - \log_3(9) \).
Soluție. Aplicăm regula câtului:
\[ \log_3(81) - \log_3(9) = \log_3\left(\frac{81}{9}\right) \]
Deoarece \( \displaystyle\frac{81}{9} = 9 \), avem:
\[ \log_3(81) - \log_3(9) = \log_3(9) \]
Întrucât \( 9 = 3^2 \), rezultă că:
\[ \log_3(9) = 2 \]
Rezultat: \( 2 \).
Schimbarea bazei
Formula schimbării bazei ne permite să exprimăm un logaritm într-o bază oarecare folosind logaritmi într-o altă bază. Este deosebit de utilă atunci când dorim să folosim calculatorul, care dispune de obicei doar de tastele \( \ln \) și \( \log_{10} \).
\[\log_b(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)} \quad \text{cu} \quad x, b > 0 \quad , \quad b \neq 1 \quad , \quad c > 0 \quad ,\quad c \neq 1 \]
Exercițiu. Scrieți \( \log_2(40) \) folosind logaritmul natural (\( \ln \)).
Soluție. Aplicăm formula schimbării bazei:
\[ \log_2(40) = \frac{\ln(40)}{\ln(2)} \]
Rezultat: \( \displaystyle \frac{\ln(40)}{\ln(2)} \).