Teorema lui Weierstrass afirmă că o funcție continuă definită pe un interval închis și mărginit admite în mod necesar un maxim și un minim.
Cuprins
Teorema lui Weierstrass
Fie \( f : [a, b] \to \mathbb{R} \) o funcție continuă pe un interval închis și mărginit \( [a,b] \subseteq \mathbb{R} \). Atunci \( f \) este mărginită și admite maxim și minim absolute pe \( [a,b] \).
Demonstrație. Considerăm mulțimea valorilor asumate de funcția \( f \) pe \( [a,b] \), pe care o notăm cu \( f([a,b]) \). Deoarece \( [a,b] \) este închis și mărginit, acesta este compact. În plus, imaginea continuă a unui compact este compactă. Prin urmare, \( f([a,b]) \) este o mulțime compactă din \( \mathbb{R} \), deci este închisă și mărginită.
Definim:
\[ M = \sup f([a,b]) \quad \text{și} \quad m = \inf f([a,b]). \]
Obiectivul nostru este să arătăm că există puncte \( x_M, x_m \in [a,b] \) astfel încât: \[ f(x_M) = M \quad \text{și} \quad f(x_m) = m. \]
Existența maximului
Prin definiția lui \( M \) ca margine superioară, există un șir de valori \( \{ y_n \} \subseteq f([a,b]) \) astfel încât \( y_n \to M \). Aceasta implică existența unui șir de puncte \( \{ x_n \} \subseteq [a,b] \) pentru care: \[ f(x_n) = y_n \to M. \] Șirul \( \{ x_n \} \) este conținut în intervalul compact \( [a,b] \); prin urmare, conform teoremei lui Bolzano-Weierstrass, admite un subșir \( \{ x_{n_k} \} \) convergent către un punct \( x \in [a,b] \).
Din continuitatea lui \( f \), rezultă: \[ f(x_{n_k}) \to f(x). \] Dar, deoarece \( f(x_{n_k}) \to M \), rezultă că: \[ f(x) = M. \] Așadar, există cel puțin un punct \( x_M \in [a,b] \) astfel încât \( f(x_M) = M \).
Existența minimului
Demonstrăm acum existența minimului prin același procedeu. Prin definiția lui \( m \) ca margine inferioară, există un șir \( \{ z_n \} \subseteq f([a,b]) \) astfel încât \( z_n \to m \). Prin urmare, există un șir de puncte \( \{ w_n \} \subseteq [a,b] \) pentru care: \[ f(w_n) = z_n \to m. \] Și în acest caz, șirul \( \{ w_n \} \) este conținut în \( [a,b] \). Aplicând din nou teorema lui Bolzano-Weierstrass, există un subșir \( \{ w_{n_k} \} \) care converge către un punct \( x' \in [a,b] \).
Din continuitatea lui \( f \), obținem: \[ f(w_{n_k}) \to f(x'). \] Deoarece \( f(w_{n_k}) \to m \), rezultă că: \[ f(x') = m. \] În consecință, există un punct \( x_m \in [a,b] \) astfel încât \( f(x_m) = m \).
Am demonstrat că funcția continuă \( f \), definită pe un interval închis și mărginit \( [a,b] \), este mărginită și își atinge valorile maximă și minimă în cel puțin un punct din \( [a,b] \).