În analiza matematică, un șir este o lege care asociază fiecărui număr natural \( n \in \mathbb{N} \) un element \( a_n \) aparținând unei mulțimi \( X \). Cu alte cuvinte, un șir este o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale cu valori în \( X \).
Cuprins
Definiție
Formal, un șir este definit ca o funcție:
\[ a:\mathbb{N}\to X,\qquad n\mapsto a(n) \]
În această definiție, \( \mathbb{N} \) reprezintă mulțimea numerelor naturale, adică \( \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, \dots \} \). Mulțimea \( X \) reprezintă contradomeniul, care poate fi mulțimea numerelor reale \( \mathbb{R} \), a numerelor complexe \( \mathbb{C} \), a numerelor întregi \( \mathbb{Z} \) sau o altă mulțime numerică ori nenumerică.
Funcția \( a \) asociază fiecărui număr natural \( n \) un element \( a(n) \) aparținând mulțimii \( X \). Valoarea \( a(n) \) se numește termenul de rang \( n \) al șirului și se notează de obicei cu \( a_n \), adică \( a_n = a(n) \). Termenul \( a_n \) indică astfel valoarea luată de șir pentru indicele \( n \).
Un șir poate fi reprezentat explicit prin lista ordonată a termenilor săi:
\[ a_0, a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots \]
Notația cea mai utilizată pentru a reprezenta un șir este \( \{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) sau, alternativ, \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \). Ambele notații exprimă faptul că șirul este alcătuit din termenii \( a_n \) pentru fiecare \( n \in \mathbb{N} \).
În cazul în care mulțimea \( X \) este formată din numere reale \( \mathbb{R} \) sau complexe \( \mathbb{C} \), șirul se numește numeric. Mai precis, dacă \( X = \mathbb{R} \), atunci vorbim despre un șir real, iar dacă \( X = \mathbb{C} \), despre un șir complex.
De exemplu, șirul definit prin \( a_n = \displaystyle \frac{1}{n} \), cu \( n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \} \), este un șir real, deoarece fiecare termen aparține mulțimii numerelor reale.
Șirurile pot avea și valori în mulțimi nenumerice. Se pot defini șiruri de vectori, matrice sau elemente ale unui alfabet, în funcție de contextul de studiu.
Din punct de vedere grafic, șirurile numerice pot fi reprezentate asociind fiecărui indice \( n \) valoarea corespunzătoare a termenului \( a_n \). Această reprezentare permite vizualizarea comportamentului șirului.
De exemplu, șirul definit prin \( a_n = n^2 \) poate fi reprezentat grafic ca o serie de puncte ale căror valori cresc conform unei evoluții pătratice:
\[ 0, 1, 4, 9, 16, 25, \dots \]
Exemple
Șiruri Recursive
Un șir recursiv se definește prin specificarea valorilor inițiale și a unei reguli care permite calcularea fiecărui termen următor pornind de la cel precedent. De exemplu, factorialul unui număr natural \( n \) este definit prin:
\[ 0! = 1 \quad,\quad n! = n\cdot (n-1)! \]
În mod analog, și puterea lui 2 poate fi definită recursiv:
\[ 2^0 = 1 \quad , \quad 2^n = 2 \cdot 2^{n-1} \]
Mai general, pentru orice \( 0 \neq x \in \mathbb{R} \), avem:
\[ x^0 = 1 \quad , \quad x^n = x\cdot x^{n-1} \]
Un alt exemplu clasic este șirul lui Fibonacci, definit prin:
\[ F_0 = 0, \quad F_1 = 1 \quad , \quad F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \]
Șiruri Finite
Se numește șir finit un șir alcătuit dintr-un număr finit de termeni, adică atunci când există un \( N \in \mathbb{N} \) astfel încât \( a_n \) este definit doar pentru \( n \leq N \). În schimb, vorbim despre un șir infinit atunci când \( a_n \) este definit pentru orice \( n \in \mathbb{N} \).
Șirurile infinite sunt cele mai utilizate în analiza matematică și reprezintă un instrument esențial în studiul seriilor, funcțiilor și limitelor.
Șiruri Monotone
Un șir se numește monoton dacă termenii săi păstrează un comportament constant, adică sunt necrescători sau nedescrescători. Monotonia unui șir se poate manifesta sub două forme distincte.
Șir Crescător
Se numește șir crescător un șir în care fiecare termen este mai mic sau egal decât termenul următor. Formal, șirul \( \{ a_n \} \) este crescător dacă:
\[ a_n \leq a_{n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Dacă inegalitatea este strictă, adică dacă \( a_n < a_{n+1} \) pentru orice \( n \), atunci șirul se numește strict crescător.
Exemplu: Șirul \( a_n = n \) este strict crescător, deoarece:
\[ 0 < 1 < 2 < 3 < \dots \]
Șir Descrescător
Un șir se numește descrescător dacă fiecare termen este mai mare sau egal decât următorul. Formal:
\[ a_n \geq a_{n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Dacă inegalitatea este strictă, adică dacă \( a_n > a_{n+1} \) pentru orice \( n \), atunci șirul se numește strict descrescător.
Un exemplu de șir descrescător este \( a_n = \displaystyle \frac{1}{n} \), care ia valorile:
\[ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots \]
Șiruri Mărginite
Un șir \( \{ a_n \} \) se numește mărginit dacă există un număr real \( M \) astfel încât:
\[ |a_n| \leq M \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
În acest caz, \( M \) se numește majorant al șirului. Dacă, în schimb, avem:
\[ m \leq a_n \leq M \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
atunci șirul se numește mărginit superior și inferior, unde \( M \) este un majorant, iar \( m \) un minorant.
De exemplu, șirul \( a_n = (-1)^n \) este mărginit, deoarece termenii săi oscilează între \( -1 \) și \( 1 \).
Șiruri Nemărginite
Un șir se numește nemărginit dacă nu este mărginit. Formal, \( \{ a_n \} \) este nemărginit dacă:
\[ \forall M \in \mathbb{R}, \; \exists n \in \mathbb{N} \quad : \quad |a_n| > M \]
Un exemplu este șirul \( a_n = n \), care nu este mărginit superior.
Șiruri Oscilante
Se numește oscilant un șir ai cărui termeni nu tind să se stabilizeze și nici nu urmează un comportament monoton, ci își schimbă continuu valorile.
De exemplu, șirul \( a_n = (-1)^n \) oscilează între \( 1 \) și \( -1 \) fără a converge către o valoare bine determinată.
Acest șir este atât oscilant, cât și mărginit.
Șiruri Constante
Un șir constant este un caz particular de șir monoton în care toți termenii sunt egali. Formal, un șir este constant dacă:
\[ a_n = c \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Un exemplu simplu este șirul \( a_n = 5 \), care produce lista:
\[ 5, 5, 5, 5, \dots \]
Acest șir este atât crescător, cât și descrescător, și este de asemenea mărginit.
Șiruri Periodice
Un șir se numește periodic dacă există un număr natural \( T > 0 \) astfel încât:
\[ a_{n+T} = a_n \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Cea mai mică valoare a lui \( T \) pentru care această proprietate este verificată se numește perioada șirului.
Un exemplu de șir periodic este \( a_n = \sin\left(\frac{2\pi n}{3}\right) \), care are perioada 3.