Un șir numeric real este o listă ordonată de numere reale, notate de obicei prin
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots \]
unde \(a_n\) reprezintă termenul general al șirului, adică termenul care ocupă poziția \(n\). A studia un șir înseamnă a înțelege cum se comportă termenii săi pe măsură ce indicele \(n\) crește.
Conceptul central este acela de limită a unui șir. Atunci când \(n\to+\infty\), termenii \(a_n\) se pot apropia de un număr real, pot crește nelimitat, pot descrește nelimitat sau pot să nu aibă niciun comportament-limită. Din acest motiv se disting șirurile convergente, divergente și oscilante.
Introducem definițiile fundamentale referitoare la limitele șirurilor, explicând în mod riguros semnificația convergenței, a divergenței și a oscilației.
Cuprins
- Ce este un șir numeric
- Limita unui șir
- Șiruri convergente
- Șiruri divergente
- Șiruri oscilante
- Exemple de șiruri convergente, divergente și oscilante
Ce este un șir numeric
Un șir numeric este o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale pozitive și cu valori într-o mulțime numerică. În cazul șirurilor reale, este vorba despre o funcție
\[ a:\mathbb{N}_{\ge 1}\to\mathbb{R}. \]
Fiecărui număr natural pozitiv \(n\) i se asociază un unic număr real \(a(n)\). În loc de a scrie \(a(n)\), pentru șiruri se folosește aproape întotdeauna notația
\[ a_n. \]
Numărul \(a_n\) se numește termenul de rang \(n\) sau termenul general al șirului. Șirul se notează atunci prin una dintre următoarele notații:
\[ (a_n)_{n\in\mathbb{N}_{\ge 1}},\qquad (a_n),\qquad a_n. \]
De exemplu, formula
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
definește șirul
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots \]
În acest caz, primul termen este \(a_1=1\), al doilea termen este \(a_2=\displaystyle \frac{1}{2}\), al treilea termen este \(a_3=\displaystyle \frac{1}{3}\) și așa mai departe.
Aspectul fundamental este că un șir nu este doar o mulțime de numere, ci o mulțime de valori așezate într-o ordine bine determinată. De exemplu, șirurile
\[ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ \ldots \]
și
\[ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ \ldots \]
iau aceleași valori, dar într-o ordine diferită. De aceea ele trebuie considerate șiruri diferite.
Limita unui șir
Limita unui șir descrie comportamentul termenilor \(a_n\) atunci când indicele \(n\) devine arbitrar de mare, adică atunci când
\[ n\to+\infty. \]
Acest aspect este important: într-un șir, indicele \(n\) parcurge numerele naturale, astfel încât nu se studiază comportamentul pentru \(n\to-\infty\), ci numai pentru \(n\to+\infty\).
Un șir poate avea comportamente diferite. Se poate apropia de un număr real, poate crește nelimitat, poate descrește nelimitat sau poate să nu aibă niciun comportament-limită. Din acest motiv se disting trei cazuri fundamentale:
- șirurile convergente, atunci când termenii se apropie de un număr real;
- șirurile divergente, atunci când termenii tind către \(+\infty\) sau către \(-\infty\);
- șirurile oscilante, atunci când nu există nici limită finită, nici limită infinită.
A scrie
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \]
înseamnă că, pe măsură ce \(n\) crește, termenii \(a_n\) se apropie oricât de mult de numărul real \(L\). Numărul \(L\), dacă există, se numește limita șirului.
De exemplu, considerând șirul
\[ a_n=\frac{1}{n}, \]
termenii sunt
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots \]
și devin din ce în ce mai apropiați de \(0\). În acest caz se scrie
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Limita nu trebuie însă înțeleasă ca o valoare neapărat atinsă de șir. În exemplul anterior, niciun termen al șirului nu este egal cu \(0\), deoarece
\[ \frac{1}{n}\neq 0 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\). Cu toate acestea, termenii se apropie de \(0\) oricât de mult dorim, cu condiția ca \(n\) să fie suficient de mare.
Șiruri convergente
Un șir real \((a_n)\) se numește convergent dacă există un număr real \(L\) astfel încât
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
În acest caz se spune că șirul converge către \(L\), sau că \(L\) este limita finită a șirului.
Definiția riguroasă este următoarea:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \iff \forall \varepsilon>0\ \exists n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq n_\varepsilon \,\, , \,\ |a_n-L|<\varepsilon. \]
Această definiție trebuie citită cu atenție. Numărul \(\varepsilon>0\) reprezintă o distanță arbitrar de mică față de limita \(L\). A spune că
\[ |a_n-L|<\varepsilon \]
înseamnă, de fapt, că termenul \(a_n\) se află la o distanță față de \(L\) mai mică decât \(\varepsilon\).
Definiția afirmă, așadar, că, oricât de mică ar fi o distanță pozitivă \(\varepsilon\) aleasă, există un rang \(n_\varepsilon\) astfel încât toți termenii șirului de rang \(n\geq n_\varepsilon\) se află la o distanță față de \(L\) mai mică decât \(\varepsilon\).
Din punct de vedere geometric, fixând un interval deschis centrat în \(L\),
\[ (L-\varepsilon,L+\varepsilon), \]
există un rang \(n_\varepsilon\) astfel încât toți termenii următori ai șirului aparțin acestui interval.
În simboluri:
\[ n\geq n_\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad a_n\in(L-\varepsilon,L+\varepsilon). \]
Este important de observat că definiția nu cere ca toți termenii șirului să fie apropiați de \(L\). Primii termeni pot fi chiar foarte îndepărtați de limită. Ceea ce contează este ca, începând de la un anumit rang, toți termenii să rămână arbitrar de apropiați de \(L\).
De exemplu, șirul
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
converge către \(1\), deoarece termenii săi
\[ \frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{5},\ \ldots \]
se apropie tot mai mult de \(1\).
Într-adevăr:
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Cantitatea scăzută din \(1\), adică \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\), devine din ce în ce mai mică pe măsură ce \(n\) crește. De aceea
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Șirurile convergente au întotdeauna o limită reală finită. Din acest motiv se mai spune că un șir convergent este un șir care admite limită finită.
Șiruri divergente
Un șir real \((a_n)\) se numește divergent dacă termenii săi nu se apropie de niciun număr real finit, ci devin arbitrar de mari sau arbitrar de mici.
Mai precis, un șir poate diverge în două moduri:
- poate diverge către \(+\infty\), dacă termenii săi devin mai mari decât orice prag pozitiv fixat dinainte;
- poate diverge către \(-\infty\), dacă termenii săi devin mai mici decât orice prag negativ fixat dinainte.
În ambele cazuri, simbolul \(+\infty\) sau \(-\infty\) nu reprezintă un număr real. A spune că un șir tinde către \(+\infty\) sau către \(-\infty\) înseamnă a descrie un comportament al termenilor săi, nu a indica o valoare atinsă de șir.
Șiruri divergente către \(+\infty\)
Un șir real \((a_n)\) se numește divergent către \(+\infty\) dacă, pentru orice număr pozitiv \(M\) fixat, există un rang \(n_M\) astfel încât toți termenii următori ai șirului sunt mai mari decât \(M\).
Formal:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty \iff \forall M>0\ \exists n_M\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq n_M \,\, , \,\ a_n>M. \]
Definiția arată că, oricare ar fi pragul pozitiv \(M\), oricât de mare, începând de la un anumit rang toți termenii șirului depășesc acel prag.
De exemplu, șirul
\[ a_n=n^2 \]
diverge către \(+\infty\), deoarece termenii săi
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots \]
devin arbitrar de mari.
Într-adevăr, fixând \(M>0\), dorim să avem
\[ n^2>M. \]
Deoarece \(n\) este pozitiv, această inegalitate este verificată atunci când
\[ n>\sqrt{M}. \]
Alegând \(n_M\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ n_M>\sqrt{M}, \]
pentru orice \(n\geq n_M\) avem
\[ n^2>M. \]
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty. \]
Șiruri divergente către \(-\infty\)
Un șir real \((a_n)\) se numește divergent către \(-\infty\) dacă, pentru orice număr pozitiv \(M\) fixat, există un rang \(n_M\) astfel încât toți termenii următori ai șirului sunt mai mici decât \(-M\).
Formal:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty \iff \forall M>0\ \exists n_M\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq n_M \,\, , \,\ a_n<-M. \]
Definiția arată că termenii șirului coboară sub orice prag negativ. Și în acest caz, \(-\infty\) nu este o valoare atinsă de șir, ci descrie faptul că termenii devin arbitrar de mici.
De exemplu, șirul
\[ a_n=-n \]
diverge către \(-\infty\), deoarece termenii săi
\[ -1,\ -2,\ -3,\ -4,\ \ldots \]
devin din ce în ce mai mici.
Într-adevăr, fixând \(M>0\), dorim să avem
\[ -n<-M. \]
Înmulțind ambii membri cu \(-1\), sensul inegalității se schimbă:
\[ n>M. \]
Alegând \(n_M\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ n_M>M, \]
pentru orice \(n\geq n_M\) avem
\[ n>M \]
și, prin urmare,
\[ -n<-M. \]
Așadar
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Șirurile divergente nu sunt convergente, deoarece nu admit o limită reală finită. Totuși, ele au un comportament-limită bine determinat: tind către \(+\infty\) sau către \(-\infty\).
Șiruri oscilante
Un șir real \((a_n)\) se numește oscilant dacă nu admite limită, nici finită, nici infinită.
Cu alte cuvinte, un șir este oscilant dacă nu este convergent și nu diverge nici către \(+\infty\), nici către \(-\infty\). Așadar, un șir oscilant nu se apropie de niciun număr real, nu crește nelimitat și nu descrește nelimitat.
Cazul cel mai simplu este acela al unui șir care oscilează nelimitat între valori diferite. De exemplu, șirul
\[ a_n=(-1)^n \]
ia alternativ valorile
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots \]
și, prin urmare, nu se apropie de o singură valoare-limită.
Într-adevăr, considerând numai indicii pari, obținem
\[ a_{2k}=(-1)^{2k}=1. \]
Așadar
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1. \]
Considerând, în schimb, indicii impari, obținem
\[ a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1. \]
Așadar
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
Același șir posedă, prin urmare, două subșiruri convergente către limite diferite. Din acest motiv, șirul \(((-1)^n)\) nu poate fi convergent.
În plus, este mărginit, deoarece pentru orice \(n\in\mathbb{N}\) avem
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
Fiind mărginit, nu poate diverge nici către \(+\infty\), nici către \(-\infty\). În consecință, este un șir oscilant.
Acest exemplu arată că un șir mărginit nu este neapărat convergent. Mărginirea împiedică divergența către \(+\infty\) sau către \(-\infty\), dar nu garantează existența unei limite finite.
Mai general, un șir poate fi oscilant fie pentru că oscilează între valori diferite, fie pentru că prezintă comportamente diferite de-a lungul unor subșiruri diferite, fie pentru că nu tinde în mod stabil către nicio valoare, finită sau infinită.
Exemple de șiruri convergente, divergente și oscilante
Să vedem acum câteva exemple fundamentale, utile pentru a recunoaște principalele comportamente-limită ale unui șir.
Exemplul 1. (Șir convergent către \(0\)). Considerăm șirul
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Termenii săi sunt
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots \]
Pe măsură ce \(n\) crește, numitorul devine din ce în ce mai mare, în timp ce numărătorul rămâne egal cu \(1\). În consecință, termenii șirului devin din ce în ce mai mici și se apropie de \(0\).
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Așadar, șirul este convergent.
Exemplul 2. (Șir convergent către \(1\)). Considerăm șirul
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Putem rescrie termenul general în modul următor:
\[ \frac{n}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = 1-\frac{1}{n+1}. \]
Deoarece
\[ \frac{1}{n+1}\to0 \]
pentru \(n\to+\infty\), obținem
\[ 1-\frac{1}{n+1}\to1. \]
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Și acest șir este convergent.
Exemplul 3. (Șir divergent către \(+\infty\)).
Considerăm șirul
\[ a_n=2n. \]
Termenii săi sunt
\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \ldots \]
și cresc nelimitat. Într-adevăr, fixând un număr oarecare \(M>0\), dorim să găsim un rang \(n_M\) astfel încât, pentru orice \(n\geq n_M\), să avem
\[ 2n>M. \]
Această inegalitate este echivalentă cu
\[ n>\frac{M}{2}. \]
Alegând \(n_M\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ n_M>\frac{M}{2}, \]
pentru orice \(n\geq n_M\) avem \(2n>M\). Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}2n=+\infty. \]
Așadar, șirul este divergent către \(+\infty\).
Exemplul 4. (Șir divergent către \(-\infty\)). Considerăm șirul
\[ a_n=-3n. \]
Termenii săi sunt
\[ -3,\ -6,\ -9,\ -12,\ \ldots \]
și devin din ce în ce mai mici. Fixând \(M>0\), dorim să avem
\[ -3n<-M. \]
Înmulțind ambii membri cu \(-1\), sensul inegalității se schimbă:
\[ 3n>M. \]
Așadar
\[ n>\frac{M}{3}. \]
Alegând \(n_M\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ n_M>\frac{M}{3}, \]
pentru orice \(n\geq n_M\) avem
\[ -3n<-M. \]
Prin urmare
\[ \lim_{n\to+\infty}(-3n)=-\infty. \]
Așadar, șirul este divergent către \(-\infty\).
Exemplul 5. (Șir oscilant). Considerăm șirul
\[ a_n=(-1)^n. \]
Termenii săi sunt
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots \]
Șirul nu se apropie de o singură valoare. Într-adevăr, de-a lungul indicilor pari avem
\[ a_{2k}=1, \]
în timp ce de-a lungul indicilor impari avem
\[ a_{2k-1}=-1. \]
Prin urmare, două subșiruri ale aceluiași șir au limite diferite:
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1, \qquad \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
În consecință, șirul nu este convergent.
În plus, este mărginit, deoarece pentru orice \(n\in\mathbb{N}\) avem
\[ -1\leq a_n\leq 1. \]
Așadar, nu diverge nici către \(+\infty\), nici către \(-\infty\). Prin urmare, șirul este oscilant.
Exemplul 6. (Șir mărginit, dar neconvergent)
Considerăm șirul
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Primii termeni sunt
\[ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ \ldots \]
Și în acest caz șirul este mărginit, deoarece termenii săi aparțin intervalului \([-1,1]\). Cu toate acestea, el nu converge, deoarece ia periodic valori diferite și nu se stabilizează în jurul unei singure limite.
De exemplu, pentru indicii de forma \(4k+1\) avem
\[ a_{4k+1}=1, \]
în timp ce pentru indicii de forma \(4k+2\) avem
\[ a_{4k+2}=0. \]
Prin urmare
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{4k+1}=1, \qquad \lim_{k\to+\infty}a_{4k+2}=0. \]
Șirul posedă două subșiruri cu limite diferite, deci nu este convergent. Fiind mărginit, nu poate diverge către \(+\infty\) sau către \(-\infty\). Așadar, este oscilant.
În concluzie, un șir poate avea trei comportamente principale: poate converge către un număr real, poate diverge către \(+\infty\) sau către \(-\infty\), ori poate fi oscilant. Această clasificare stă la baza studiului limitelor de șiruri.