O ecuație este de gradul al doilea dacă și numai dacă poate fi scrisă în forma:
\[ a x ^ 2 + b x + c = 0 \quad , \quad a \neq 0 \]
numită formă canonică. Numerele reale \( a , b \) și \( c \) se numesc coeficientul pătratic, coeficientul liniar și, respectiv, termenul liber.
Se poate presupune întotdeauna că coeficientul pătratic este pozitiv. Într-adevăr, dacă \( a < 0 \), este suficient să înmulțim ambii membri cu \( -1 \) pentru a ne reduce la cazul \( a > 0 \).
Cuprins
- Completarea Pătratului
- Formula Redusă
- Ecuații de Gradul al Doilea Monome
- Ecuații de Gradul al Doilea Pure
- Ecuații de Gradul al Doilea Spurii
- Relația dintre Suma și Produsul Rădăcinilor
- Exerciții Rezolvate
- Semnificație Geometrică
Completarea Pătratului
În această secțiune vom deduce formula generală pentru rezolvarea oricărei ecuații de gradul al doilea. Pornim de la forma canonică:
\[ ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0 \]
Pentru a simplifica calculele, împărțim totul prin \( a \), astfel încât coeficientul termenului pătratic să devină egal cu 1:
\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \]
Acum, izolăm termenul liber, trecându-l în membrul drept:
\[ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \]
În acest moment, aplicăm metoda completării pătratului. Ideea constă în a adăuga de ambele părți un termen potrivit, astfel încât membrul stâng să devină un pătrat perfect. Termenul care lipsește este:
\[ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]
Îl adăugăm în ambii membri:
\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]
Membrul stâng este acum pătratul unui binom, deci îl putem scrie ca:
\[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} \]
Rescriem membrul drept cu numitor comun:
\[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \]
Acum putem extrage rădăcina pătrată din ambii membri, amintind că \( \sqrt{x^2} = |x| \):
\[ \left| x + \frac{b}{2a} \right| = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
De aici obținem direct \( x \):
\[ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
În final, izolăm \( x \) și obținem celebra formulă de rezolvare:
\[ x_{1,2} = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Expresia de sub radical, cunoscută sub numele de discriminant și notată cu \( \Delta \), este definită astfel:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
Ce reprezintă discriminantul? El ne permite să determinăm dintr-o privire natura soluțiilor ecuației. Analizăm cele trei cazuri posibile:
- \( \Delta > 0 \): discriminantul este pozitiv, deci rădăcina pătrată este un număr real. Aceasta înseamnă că ecuația are două soluții reale și distincte.
- \( \Delta = 0 \): rădăcina pătrată a lui zero este zero, deci formula ne dă o singură soluție repetată. Cu alte cuvinte, ecuația are două soluții coincidente (sau o soluție dublă).
- \( \Delta < 0 \): rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este un număr real, prin urmare ecuația nu are soluții reale, ci două soluții complexe cu parte imaginară nenulă.
Astfel, cunoscând doar valoarea lui \( \Delta \), putem anticipa natura soluțiilor fără a rezolva efectiv ecuația.
Formula Redusă
Formula redusă este o versiune simplificată a formulei de rezolvare a ecuațiilor de gradul al doilea, utilă atunci când coeficientul \( b \) este par.
Considerăm o ecuație de gradul al doilea în formă canonică:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
Dacă coeficientul \( b \) este par, îl scriem ca:
\[ b = 2k \]
Substituind în ecuație, obținem:
\[ ax^2 + 2kx + c = 0 \]
Formula clasică de rezolvare este:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Substituind \( b = 2k \):
\[ x = \frac{-2k \pm \sqrt{(2k)^2 - 4ac}}{2a} \]
\[ x = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a} \]
\[ x = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a} \]
Împărțind numărătorul și numitorul prin 2:
\[ x = \displaystyle \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a} \]
În concluzie, formula redusă este:
\[ x = \frac{-\displaystyle \frac{b}{2} \pm \sqrt{\displaystyle\left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac}}{a} \]
Discriminantul redus este definit prin:
\[ \Delta' = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac \]
Să îl comparăm acum cu discriminantul formulei complete:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
Substituind \( b = 2k \), obținem:
\[ \Delta = (2k)^2 - 4ac \]
\[ \Delta = 4k^2 - 4ac \]
Împărțind totul prin 4:
\[ \frac{\Delta}{4} = k^2 - ac \]
Deoarece \( k = \displaystyle \frac{b}{2} \), putem rescrie:
\[ \frac{\Delta}{4} = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac \]
ceea ce corespunde exact definiției lui \( \Delta' \).
Prin urmare, putem concluziona că:
\[ \Delta' = \frac{\Delta}{4} \]
Ecuații de Gradul al Doilea Monome
O ecuație se numește monomă dacă se reduce la un singur termen pătratic, adică are forma:
\[ ax^2 = 0 \]
Pentru a o rezolva, împărțim ambii membri prin \( a \) (presupunând \( a \neq 0 \)):
\[ x^2 = 0 \]
Extragând rădăcina pătrată, obținem soluția:
\[ x = 0 \]
Deși valoarea este unică, din punct de vedere matematic se consideră două soluții coincidente: \( x_1 = x_2 = 0 \).
Ecuații de Gradul al Doilea Pure
O ecuație se numește pură dacă, în forma generală \( ax^2 + bx + c = 0 \), coeficientul \( b \) este nul, reducându-se la:
\[ ax^2 + c = 0 \]
Pentru a o rezolva, trecem termenul liber \( c \) în membrul drept:
\[ ax^2 = -c \]
Împărțim ambii membri prin \( a \neq 0 \):
\[ x^2 = -\frac{c}{a} \]
Soluțiile există doar dacă \( \displaystyle -\frac{c}{a} \geq 0 \); în caz contrar, ecuația nu are soluții reale. Dacă expresia de sub radical este pozitivă, obținem:
\[ x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \]
Ecuații de Gradul al Doilea Spurii
O ecuație se numește spurie dacă termenul liber este nul, adică:
\[ ax^2 + bx = 0 \]
În acest caz, o putem rezolva scoțând \( x \) factor comun:
\[ x (ax + b) = 0 \]
Aplicând proprietatea produsului nul, obținem cele două soluții:
\[ x = 0 \quad \text{sau} \quad x = -\frac{b}{a} \]
Relația dintre Suma și Produsul Rădăcinilor
Considerăm ecuația de gradul al doilea \( ax^2 + bx + c = 0 \), unde \( a \), \( b \) și \( c \) sunt coeficienți reali, și fie \( x_1 \), \( x_2 \) rădăcinile sale. Dorim să scriem ecuația în funcție de rădăcini. O ecuație de gradul al doilea poate fi exprimată ca produsul factorilor \( (x - x_1) \) și \( (x - x_2) \), deci:
\[ a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \]
Dezvoltând produsul din membrul stâng, obținem:
\[ a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = 0 \]
Aplicând proprietatea distributivă, obținem:
\[ ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0 \]
Comparând această expresie cu forma canonică \( ax^2 + bx + c = 0 \), coeficienții trebuie să fie egali. Identificând coeficientul termenului liniar, obținem:
\[ -a(x_1 + x_2) = b \]
Rezolvând în raport cu \( x_1 + x_2 \):
\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]
Similar, identificând termenul liber, obținem:
\[ ax_1x_2 = c \]
Rezolvând în raport cu produsul rădăcinilor:
\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]
Pe scurt, rădăcinile \( x_1 \) și \( x_2 \) sunt legate de coeficienții \( a \), \( b \) și \( c \) prin aceste două relații simple: suma rădăcinilor este \( \displaystyle -\frac{b}{a} \), iar produsul rădăcinilor este \( \displaystyle \frac{c}{a} \). Aceste proprietăți, cunoscute drept relațiile lui Viète, sunt fundamentale și ne permit să deducem informații importante despre rădăcini fără a le calcula efectiv.
Exerciții Rezolvate
Exercițiul 1. Să se rezolve ecuația de gradul al doilea \( x^2 - 3x - 5 = 0 \).
Soluție. Aplicăm formula de rezolvare:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Coeficienții sunt \( a = 1 \), \( b = -3 \) și \( c = -5 \). Substituind:
\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2} \]
Soluțiile sunt:
\[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{29}}{2} \quad , \quad x_2 = \frac{3 - \sqrt{29}}{2} \]
Exercițiul 2 (formă redusă). Să se determine soluțiile ecuației \( x^2 + 6x = 0 \).
Soluție. Scoatem \( x \) factor comun:
\[ x(x + 6) = 0 \]
Soluțiile sunt: \( x_1 = 0 \) și \( x_2 = -6 \).
Exercițiul 3 (ecuație pură). Să se determine soluțiile ecuației \( x^2 = 16 \).
Soluție. Extragem rădăcina pătrată din ambii membri:
\[ x = \pm \sqrt{16} = \pm 4 \]
Soluțiile sunt: \( x_1 = 4 \) și \( x_2 = -4 \).
Exercițiul 4 (ecuație pură). Să se determine soluțiile ecuației \( x^2 + 9 = 0 \).
Soluție. Izolăm \( x^2 \):
\[ x^2 = -9 \]
Deoarece nu există niciun număr real care să satisfacă această ecuație, ecuația nu admite soluții reale.
Exercițiul 5. Să se determine soluțiile ecuației \( x^2 - 4 = 0 \).
Soluție. Izolăm \( x^2 \):
\[ x^2 = 4 \]
Extragem rădăcina pătrată din ambii membri:
\[ x = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \]
Soluțiile sunt:
\[ x_1 = 2 \quad , \quad x_2 = -2 \]
Semnificație Geometrică
Din punct de vedere geometric, rezolvarea unei ecuații de gradul al doilea înseamnă determinarea valorilor reale (dacă există) pentru care parabola de ecuație \( y = ax^2 + bx + c \) intersectează axa absciselor \( x \), adică dreapta \( y = 0 \).