O funcție este o corespondență între două mulțimi care asociază fiecărui element al primei mulțimi (domeniu) un singur element al celei de-a doua mulțimi (codomeniu).
În acest articol vom studia definiția formală a funcției, semnificația noțiunilor de domeniu, codomeniu și imagine, precum și proprietățile fundamentale de injectivitate, surjectivitate, bijectivitate, funcție inversă și restricție.
Cuprins
- Definiția funcției
- Domeniu, codomeniu și imagine
- Funcții injective
- Exerciții despre funcții injective
- Funcții surjective
- Exerciții despre funcții surjective
- Funcții bijective
- Funcția inversă
- Exerciții despre funcții bijective
- Restricția unei funcții
- Exerciții despre restricția funcțiilor
Definiția funcției
O funcție (sau aplicație) este o regulă care asociază fiecărui element al unei mulțimi \(X\) un singur element al unei mulțimi \(Y\).
Se notează:
\[ f:X\to Y, \]
unde \(X\) este domeniul, iar \(Y\) este codomeniul.
Dacă \(x\in X\), valoarea asociată lui \(x\) prin funcție se notează cu \(f(x)\) și se numește imaginea lui \(x\).
Notația:
\[ x\mapsto f(x) \]
descrie în mod explicit corespondența definită de funcție.
Proprietatea esențială a unei funcții este unicitatea imaginii: fiecărui element din domeniu îi corespunde unul și numai unul element din codomeniu.
De exemplu:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2 \]
definește o funcție, deoarece oricărui număr real îi asociază un unic număr real.
Domeniu, codomeniu și imagine
Fie funcția:
\[ f:X\to Y. \]
Mulțimea \(X\) se numește domeniu, iar \(Y\) se numește codomeniu. Mulțimea valorilor efectiv atinse de funcție se numește imaginea funcției.
În simboluri:
\[ \operatorname{Im}(f)=f(X)=\{y\in Y \mid \exists x\in X:\ f(x)=y\}. \]
Are loc întotdeauna:
\[ \operatorname{Im}(f)\subseteq Y, \]
adică imaginea este o submulțime a codomeniului.
Considerăm:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Domeniul și codomeniul coincid cu \(\mathbb{R}\), însă:
\[ \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty), \]
deoarece pătratul unui număr real nu poate fi negativ.
Funcții injective
O funcție:
\[ f:X\to Y \]
se numește injectivă dacă elemente distincte ale domeniului au imagini distincte:
\[ x_1\neq x_2 \quad \Longrightarrow \quad f(x_1)\neq f(x_2). \]
Echivalent:
\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
Intuitiv, o funcție injectivă nu „identifică" elemente distincte ale domeniului.
Considerăm:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=2x+1. \]
Presupunem că:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Atunci:
\[ 2x_1+1=2x_2+1 \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
Funcția este deci injectivă.
Funcția:
\[ f(x)=x^2 \]
nu este injectivă, deoarece:
\[ f(1)=f(-1)=1 \]
deși:
\[ 1\neq -1. \]
Din punct de vedere grafic, o funcție este injectivă dacă orice dreaptă orizontală intersectează graficul în cel mult un punct. Acest criteriu poartă denumirea de testul dreptei orizontale.
Exerciții despre funcții injective
Exercițiul 1. Stabiliți dacă:
\[ f(x)=2x+3 \]
este injectivă pe \(\mathbb{R}\).
Soluție. Presupunem că:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Obținem:
\[ 2x_1+3=2x_2+3 \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
Funcția este deci injectivă.
Exercițiul 2. Stabiliți dacă:
\[ f(x)=x^2 \]
este injectivă pe \(\mathbb{R}\).
Soluție. Avem:
\[ f(2)=4 \qquad \text{și} \qquad f(-2)=4, \]
deși:
\[ 2\neq -2. \]
Funcția nu este deci injectivă.
Funcții surjective
O funcție:
\[ f:X\to Y \]
se numește surjectivă dacă orice element al codomeniului este imaginea cel puțin unui element al domeniului:
\[ \forall y\in Y, \quad \exists x\in X \quad \text{astfel încât} \quad f(x)=y. \]
Echivalent:
\[ \operatorname{Im}(f)=Y. \]
Intuitiv, o funcție surjectivă „acoperă" întregul codomeniu.
Considerăm:
\[ f(x)=2x+1. \]
Fie:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Rezolvând ecuația:
\[ 2x+1=y, \]
obținem:
\[ x=\frac{y-1}{2}\in\mathbb{R}. \]
Funcția este deci surjectivă.
Funcția:
\[ f(x)=x^2 \]
nu este surjectivă de la \(\mathbb{R}\) la \(\mathbb{R}\), deoarece:
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
Exerciții despre funcții surjective
Exercițiul 1. Stabiliți dacă:
\[ f(x)=2x+3 \]
este surjectivă de la \(\mathbb{R}\) la \(\mathbb{R}\).
Soluție. Fie:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Rezolvând ecuația:
\[ 2x+3=y, \]
obținem:
\[ x=\frac{y-3}{2}\in\mathbb{R}. \]
Funcția este deci surjectivă.
Exercițiul 2. Stabiliți dacă:
\[ f(x)=x^2 \]
este surjectivă de la \(\mathbb{R}\) la \(\mathbb{R}\).
Soluție. Nu există niciun:
\[ x\in\mathbb{R} \]
pentru care:
\[ x^2=-1. \]
Funcția nu este deci surjectivă.
Funcții bijective
O funcție:
\[ f:X\to Y \]
se numește bijectivă dacă este în același timp injectivă și surjectivă.
Într-o funcție bijectivă, orice element al codomeniului este imaginea unui unic element al domeniului.
Funcțiile bijective stabilesc astfel o corespondență perfectă între domeniu și codomeniu și sunt exact funcțiile care admit funcție inversă.
Funcția:
\[ f(x)=2x+1 \]
este bijectivă de la \(\mathbb{R}\) la \(\mathbb{R}\), în timp ce:
\[ f(x)=x^2 \]
nu este bijectivă de la \(\mathbb{R}\) la \(\mathbb{R}\), deoarece nu este nici injectivă, nici surjectivă.
Funcția inversă
Fie:
\[ f:X\to Y. \]
O funcție:
\[ g:Y\to X \]
se numește funcție inversă a lui \(f\) dacă:
\[ g\circ f=\operatorname{Id}_X \qquad \text{și} \qquad f\circ g=\operatorname{Id}_Y. \]
În acest caz:
\[ g=f^{-1}. \]
Echivalent:
\[ f^{-1}(f(x))=x \qquad \forall x\in X, \]
și:
\[ f(f^{-1}(y))=y \qquad \forall y\in Y. \]
O funcție admite inversă dacă și numai dacă este bijectivă.
Inversa stângă și injectivitatea
Fie:
\[ f:X\to Y \]
o funcție injectivă cu:
\[ X\neq\varnothing. \]
Atunci există o funcție:
\[ g:Y\to X \]
astfel încât:
\[ g\circ f=\operatorname{Id}_X. \]
O astfel de funcție se numește inversă stângă.
Într-adevăr, pentru orice:
\[ y\in f(X), \]
există un unic:
\[ x\in X \]
cu proprietatea că:
\[ f(x)=y. \]
Pentru elementele din:
\[ Y\setminus f(X), \]
valoarea funcției poate fi definită în mod arbitrar.
Inversa dreaptă și surjectivitatea
Fie:
\[ f:X\to Y \]
o funcție surjectivă.
O funcție:
\[ h:Y\to X \]
cu proprietatea că:
\[ f\circ h=\operatorname{Id}_Y \]
se numește inversă dreaptă.
Pentru a construi o astfel de funcție trebuie ales, pentru fiecare:
\[ y\in Y, \]
un element:
\[ x\in X \]
astfel încât:
\[ f(x)=y. \]
În general, existența unei astfel de funcții de selecție pentru familii arbitrare este legată de Axioma Alegerii.
Cazul bijectiv
Dacă o funcție este bijectivă, atunci există o unică inversă stângă și o unică inversă dreaptă.
Mai mult, acestea coincid și definesc funcția inversă:
\[ f^{-1}:Y\to X. \]
Considerăm:
\[ f(x)=2x+1. \]
Rezolvând ecuația:
\[ y=2x+1 \]
în raport cu \(x\), obținem:
\[ x=\frac{y-1}{2}. \]
Funcția inversă este deci:
\[ f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}. \]
Exerciții despre funcții bijective
Exercițiul 1. Stabiliți dacă:
\[ f(x)=3x-4 \]
este bijectivă de la \(\mathbb{R}\) la \(\mathbb{R}\).
Soluție. Funcția este injectivă și surjectivă, deci este bijectivă.
Rezolvând ecuația:
\[ y=3x-4, \]
obținem:
\[ f^{-1}(y)=\frac{y+4}{3}. \]
Exercițiul 2. Verificați dacă:
\[ f(x)=x^2 \]
este bijectivă de la:
\[ [0,+\infty) \]
la:
\[ [0,+\infty). \]
Soluție. Pe acest interval funcția este injectivă, iar orice număr real nenegativ are o rădăcină pătrată reală nenegativă. Funcția este deci bijectivă.
Funcția inversă este:
\[ f^{-1}(y)=\sqrt{y}. \]
Restricția unei funcții
Restricția unei funcții constă în limitarea domeniului la o submulțime.
Acest procedeu este adesea util pentru a face o funcție injectivă sau bijectivă.
De exemplu:
\[ f(x)=x^2 \]
nu este injectivă pe \(\mathbb{R}\), însă restricția:
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2 \]
este bijectivă.
Atunci când se restrânge și codomeniul pentru a obține o funcție surjectivă, se vorbește mai precis de corestricție.
Exerciții despre restricția funcțiilor
Exercițiul 1. Restricționați domeniul funcției:
\[ f(x)=x^2 \]
astfel încât funcția să devină bijectivă.
Soluție. Considerăm restricția:
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
În acest caz funcția este injectivă și surjectivă, deci bijectivă.
Funcția inversă este:
\[ f^{-1}(y)=\sqrt{y}. \]