O inecuație de gradul al doilea este o expresie algebrică ce stabilește o relație de ordine între doi termeni care conține o variabilă de gradul al doilea. Ea poate fi scrisă sub forma:
\[ a x^2 + bx + c \leq 0 \quad \text{sau} \quad a x^2 + bx + c \geq 0 \]
unde \( a \) și \( b \) sunt coeficienți reali cu \( a \neq 0 \), iar \( x \) este variabila necunoscută. Vorbim despre inecuație în sens strict atunci când avem:
\[ a x^2 + bx + c < 0 \quad \text{sau} \quad a x^2 + bx + c > 0 \]
Cuprins
- Ce sunt inecuațiile de gradul al doilea
- Principii de echivalență pentru inecuații
- Cum se rezolvă inecuațiile de gradul al doilea
Ce sunt inecuațiile de gradul al doilea
O inecuație de gradul al doilea stabilește o relație de ordine între două expresii algebrice, iar soluția este reprezentată printr-un interval de valori care verifică inegalitatea. Cu alte cuvinte, mulțimea soluțiilor unei inecuații de gradul al doilea nu constă în două valori izolate, ci într-un interval sau o reuniune de intervale de numere reale.
Principii de echivalență pentru inecuațiile de gradul al doilea
Rezolvarea unei inecuații de gradul al doilea se întemeiază pe două principii fundamentale:
Primul principiu de echivalență
Primul principiu de echivalență pentru inecuații afirmă că, dacă se adaugă sau se scade același număr din ambii membri ai unei inecuații, relația de ordine rămâne nemodificată. De exemplu:
Dacă \( a x^2 + b x + c \leq 0 \), putem adăuga \( d \) la ambii membri și obținem:
\[ (a x^2 + b x + c) + d \leq 0 + d \]
Al doilea principiu de echivalență
Al doilea principiu de echivalență afirmă că, dacă se înmulțesc sau se împart ambii membri ai unei inecuații cu un număr pozitiv, relația de ordine rămâne nemodificată. În schimb, dacă se înmulțesc sau se împart cu un număr negativ, sensul inecuației se inversează. Iată câteva exemple:
Dacă \( a x^2 + b x + c \leq 0 \) și înmulțim ambii membri cu un număr pozitiv \( k \), obținem:
\[ k(a x^2 + b x + c) \leq k \cdot 0 \]
Dacă, în schimb, înmulțim cu un număr negativ \( k \), inecuația devine:
\[ k(a x^2 + b x + c) \geq k \cdot 0 \]
Ori de câte ori înmulțim sau împărțim ambii membri ai unei inecuații de gradul al doilea cu un număr negativ, trebuie să inversăm sensul inecuației. De exemplu:
Dacă \( -2 x^2 + 4 x \leq 6 \), împărțind ambii membri prin \( -2 \), trebuie să inversăm semnul inecuației:
\[ x^2 - 2 x \geq -3 \]
Cum se rezolvă inecuațiile de gradul al doilea
Primul pas constă în rescrierea inecuației în formă canonică, aducând toți termenii în membrul stâng:
\[ ax^2+bx+c \leq 0 \quad \text{sau} \quad ax^2+bx+c \geq 0 \]
\[ ax^2+bx+c < 0 \quad \text{sau} \quad ax^2+bx+c > 0 \]
după cum este vorba despre o inegalitate în sens larg sau în sens strict.
În continuare, calculăm rădăcinile (sau soluțiile) ecuației asociate, folosind formula de rezolvare a ecuațiilor de gradul al doilea:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \text{cu} \quad \Delta = b^2 - 4ac \]
Soluțiile obținute ne permit să determinăm intervalele în care inecuația este verificată, adică valorile lui \(x\) pentru care inegalitatea este satisfăcută, fie în interiorul, fie în exteriorul acestor intervale.
Semnul discriminantului \( \Delta \) ne indică natura soluțiilor: dacă \( \Delta > 0 \), ecuația are două rădăcini reale distincte; dacă \( \Delta = 0 \), are două rădăcini reale egale; dacă \( \Delta < 0 \), nu există rădăcini reale.
Rezolvarea inecuației:
Dacă coeficientul termenului de gradul al doilea din ecuația asociată este mai mare decât zero, soluțiile vor fi:
- \( (x_1, x_2) \) dacă inecuația de studiat este
\[ ax^2+bx+c < 0 \quad , \quad a > 0 \]
- \( (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) \) dacă inecuația de studiat este
\[ ax^2+bx+c > 0 \quad , \quad a > 0 \]
- \( [x_1, x_2] \) dacă inecuația de studiat este
\[ ax^2+bx+c \leq 0 \quad , \quad a > 0 \]
- \( (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty) \) dacă inecuația de studiat este
\[ ax^2+bx+c \geq 0 \quad , \quad a > 0 \]
În cazul în care coeficientul termenului de gradul al doilea este negativ (\(a < 0\)), intervalele de soluții se inversează:
- \( (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) \) dacă inecuația de studiat este
\[ ax^2+bx+c < 0 \quad , \quad a < 0 \]
- \( (x_1, x_2) \) dacă inecuația de studiat este
\[ ax^2+bx+c > 0 \quad , \quad a < 0 \]
- \( (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty) \) dacă inecuația de studiat este
\[ ax^2+bx+c \leq 0 \quad , \quad a < 0 \]
- \( [x_1, x_2] \) dacă inecuația de studiat este
\[ ax^2+bx+c \geq 0 \quad , \quad a < 0 \]
După cum vom vedea în secțiunea dedicată reprezentării grafice, nu va fi necesar să memorezi aceste reguli.
Exemple practice cu rezolvare pas cu pas
Prezentăm în cele ce urmează câteva exemple de rezolvare a unor inecuații de gradul al doilea.
Exercițiul 1. Determină valorile pentru care inecuația \( x^2 - 5x \leq -6 \) este adevărată.
Soluție. Pentru a rezolva această inecuație, urmăm pașii esențiali. Mai întâi, aducem toți termenii în membrul stâng pentru a obține forma canonică:
\[ x^2 - 5x + 6 \leq 0 \]
Calculăm acum discriminantul ecuației asociate. Pentru expresia \( x^2 - 5x + 6 \), obținem:
\[ \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \]
Discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini reale distincte. Rezolvând ecuația asociată \( x^2 - 5x + 6 = 0 \), găsim valorile:
\[ x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 \pm 1}{2} \]
deci \( x_1 = 2 \) și \( x_2 = 3 \).
Deoarece coeficientul termenului \( x^2 \) este pozitiv, parabola are concavitatea orientată în sus, iar inecuația este satisfăcută pe intervalul cuprins între cele două rădăcini.
Soluția \( 2 \leq x \leq 3 \) poate fi reprezentată grafic astfel:
De obicei, pentru a evita trasarea parabolei de fiecare dată, se preferă reprezentarea soluțiilor pe o dreaptă, marcând valorile pozitive cu o linie continuă și cele negative cu o linie întreruptă. De exemplu, soluțiile inecuației precedente sunt reprezentate astfel:
Atenție la includerea soluțiilor: Dacă studiem o inecuație în sens strict (\( < \) sau \( > \)), rădăcinile ecuației asociate trebuie excluse, ceea ce se reprezintă grafic prin cercuri goale. Dacă inecuația este în sens larg (\( \leq \) sau \( \geq \)), rădăcinile sunt incluse și se indică prin cercuri pline.
Exercițiul 2. Rezolvați inecuația de gradul al doilea \( 2x^2 - 4x - 6 > 0 \).
Soluție. Calculăm discriminantul \( \Delta = b^2 - 4ac \).
Pentru această ecuație, \( a = 2 \), \( b = -4 \) și \( c = -6 \). Înlocuind aceste valori în formulă:
\[ \Delta = (-4)^2 - 4(2)(-6) = 16 + 48 = 64 \]
Deoarece \( \Delta > 0 \), ecuația are două rădăcini reale distincte.
Formula de rezolvare a ecuației asociate este:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
Înlocuind \( b = -4 \), \( \Delta = 64 \) și \( a = 2 \) în formulă:
\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2 \times 2} = \frac{4 \pm 8}{4} \]
Prima rădăcină este \( x_1 = \displaystyle \frac{4 - 8}{4} = \displaystyle \frac{-4}{4} = -1 \), iar a doua rădăcină este \( x_2 = \displaystyle \frac{4 + 8}{4} = \displaystyle \frac{12}{4} = 3 \).
Rădăcinile ecuației sunt, prin urmare:
\[ x_1 = -1 \quad \text{și} \quad x_2 = 3 \]
Observăm că coeficientul termenului de gradul al doilea este mai mare decât zero, iar inecuația cere valorile pentru care \( ax^2+bx+c > 0 \); prin urmare, soluțiile pozitive se găsesc în „exteriorul intervalului", adică \( x < -1 \) sau \( x > 3 \), după cum arată graficul:
Sau, pe dreapta numerelor reale:
Remarcăm, în final, că cercurile nu sunt pline, întrucât punctele \( x = -1 \) și \( x = 3 \) sunt excluse din mulțimea soluțiilor.
Exercițiul 3. Rezolvați inecuația de gradul al doilea \( 2x^2+x+1 \leq 0 \).
Soluție. Inecuația se prezintă deja în formă canonică.
Calculăm discriminantul:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
Înlocuind \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( c = 1 \):
\[ \Delta = (1)^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 \]
Deoarece discriminantul este negativ, ecuația asociată \( 2x^2+x+1 = 0 \) nu are rădăcini reale.
Mai mult, întrucât coeficientul termenului de gradul al doilea este pozitiv (\( a = 2 > 0 \)), parabola are concavitatea orientată în sus, ceea ce înseamnă că valorile funcției sunt strict pozitive pentru orice valoare a lui \( x \).
Pentru o inecuație de forma \( 2x^2+x+1 \leq 0 \) cu \( a > 0 \) și discriminant negativ, inecuația nu admite soluții, deoarece funcția este întotdeauna pozitivă și nu poate fi niciodată mai mică sau egală cu zero.
Prin urmare, mulțimea soluțiilor este mulțimea vidă. Graficul funcției este:
După cum se poate observa, parabola se află în întregime deasupra axei \( x \), deci nu există nicio valoare a lui \( x \) care să satisfacă inecuația \( 2x^2+x+1 \leq 0 \).