Operațiile cu limite de șiruri permit calcularea limitei unui șir obținut prin combinarea a două șiruri mai simple prin sumă, diferență, produs sau cât.
Ideea fundamentală este următoarea: dacă două șiruri \((a_n)\) și \((b_n)\) au limită finită, atunci, în ipoteze potrivite, și șirurile obținute prin operațiile algebrice dintre \(a_n\) și \(b_n\) au limită, iar această limită se calculează operând asupra limitelor.
În acest articol considerăm cazul în care
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{și}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
cu \(A,B\in\mathbb{R}\). Vom studia, așadar, operațiile cu limite finite ale șirurilor reale convergente.
Este important să precizăm de la bun început că regulile algebrice referitoare la limite nu pot fi aplicate automat în prezența formelor nedeterminate, precum \(+\infty-\infty\), \(0\cdot\infty\), \(\frac{0}{0}\) sau \(\frac{\infty}{\infty}\). În aceste cazuri este necesar un studiu aparte.
Cuprins
- Operații cu limite de șiruri
- Limita sumei
- Limita diferenței
- Limita produsului
- Limita câtului
- Observații asupra formelor nedeterminate
- Exemple privind operațiile cu limite
Operații cu limite de șiruri
Fie \((a_n)\) și \((b_n)\) două șiruri reale convergente, adică astfel încât
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A, \qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
cu \(A,B\in\mathbb{R}\).
În aceste ipoteze sunt valabile următoarele reguli:
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B, \]
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B, \]
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
În plus, dacă \(B\neq0\), atunci \(b_n\neq0\) de la un rang încolo și are loc, de asemenea,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
Condiția \(B\neq0\) în limita câtului este esențială. Într-adevăr, dacă limita numitorului ar fi \(0\), nu s-ar putea conchide, în general, că respectivul cât are limită finită.
Secțiunile următoare demonstrează riguros aceste proprietăți, folosind definiția limitei unui șir.
Limita sumei
Fie \((a_n)\) și \((b_n)\) două șiruri reale astfel încât
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{și}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
cu \(A,B\in\mathbb{R}\). Atunci
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Demonstrație. Vrem să demonstrăm că, pentru orice \(\varepsilon>0\), există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N\), să avem
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)|<\varepsilon. \]
Observăm că
\[ (a_n+b_n)-(A+B)=(a_n-A)+(b_n-B). \]
Aplicând inegalitatea triunghiului, obținem
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| = |(a_n-A)+(b_n-B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B|. \]
Deoarece \(a_n\to A\), pentru \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) există \(N_1\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Deoarece \(b_n\to B\), pentru \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) există \(N_2\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Notăm
\[ N=\max\{N_1,N_2\}. \]
Atunci, pentru orice \(n\geq N\), ambele inegalități precedente sunt satisfăcute. În consecință
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Conform definiției limitei,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Limita diferenței
Fie \((a_n)\) și \((b_n)\) două șiruri reale astfel încât
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{și}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
cu \(A,B\in\mathbb{R}\). Atunci
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B. \]
Acest rezultat decurge direct din limita sumei, observând că
\[ a_n-b_n=a_n+(-b_n). \]
Deoarece \(b_n\to B\), avem
\[ -b_n\to -B. \]
Așadar, aplicând limita sumei,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n) = \lim_{n\to+\infty}\bigl(a_n+(-b_n)\bigr) = A+(-B) = A-B. \]
În mod echivalent, se poate demonstra direct folosind definiția limitei. Într-adevăr:
\[ |(a_n-b_n)-(A-B)| = |(a_n-A)-(b_n-B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B|. \]
Concluzia se obține exact ca în cazul sumei.
Limita produsului
Fie \((a_n)\) și \((b_n)\) două șiruri reale astfel încât
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{și}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
cu \(A,B\in\mathbb{R}\). Atunci
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Demonstrație. Vrem să demonstrăm că, pentru orice \(\varepsilon>0\), există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N\), să avem
\[ |a_n b_n-AB|<\varepsilon. \]
Scriem diferența sub o formă convenabilă:
\[ a_n b_n-AB = a_n b_n-A b_n+A b_n-AB. \]
Astfel
\[ a_n b_n-AB = (a_n-A)b_n+A(b_n-B). \]
Aplicând inegalitatea triunghiului, obținem
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B|. \]
Folosim acum un fapt fundamental: orice șir convergent este mărginit. Deoarece \(b_n\to B\), există o constantă reală pozitivă \(C\) astfel încât
\[ |b_n|\leq C \]
pentru orice \(n\) suficient de mare.
Pentru a fi expliciți, alegând \(1>0\), din convergența \(b_n\to B\) rezultă că există \(N_0\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<1. \]
De unde
\[ |b_n| = |b_n-B+B| \leq |b_n-B|+|B| < |B|+1. \]
Așadar, de la un rang încolo,
\[ |b_n|<|B|+1. \]
Fixăm acum \(\varepsilon>0\). Deoarece \(a_n\to A\), există \(N_1\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}. \]
Deoarece \(b_n\to B\), există \(N_2\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Notăm
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Atunci, pentru orice \(n\geq N\), avem
\[ |b_n|<|B|+1, \qquad |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)} \]
și
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Prin urmare
\[ |a_n-A|\,|b_n| < \frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}(|B|+1) = \frac{\varepsilon}{2}. \]
În plus
\[ |A|\,|b_n-B| \leq (|A|+1)|b_n-B| < (|A|+1)\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)} = \frac{\varepsilon}{2}. \]
În consecință
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Conform definiției limitei,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Limita câtului
Fie \((a_n)\) și \((b_n)\) două șiruri reale astfel încât
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{și}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
cu \(A,B\in\mathbb{R}\) și \(B\neq0\). Atunci \(b_n\neq0\) de la un rang încolo și are loc
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
Demonstrație. Deoarece \(b_n\to B\) și \(B\neq0\), putem alege distanța pozitivă
\[ \frac{|B|}{2}>0. \]
Din convergența șirului \((b_n)\) către \(B\), există \(N_0\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<\frac{|B|}{2}. \]
Din inegalitatea triunghiului rezultă că
\[ |B| = |B-b_n+b_n| \leq |B-b_n|+|b_n|. \]
Deci
\[ |b_n| \geq |B|-|B-b_n| = |B|-|b_n-B|. \]
Deci, pentru orice \(n\geq N_0\),
\[ |b_n| > |B|-\frac{|B|}{2} = \frac{|B|}{2}. \]
În particular, pentru orice \(n\geq N_0\) avem \(b_n\neq0\). Aceasta arată că respectivul cât \(\frac{a_n}{b_n}\) este bine definit de la un rang încolo.
Estimăm acum diferența dintre cât și limita așteptată:
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right|. \]
Aducând la același numitor, obținem
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| = \left|\frac{B a_n-A b_n}{B b_n}\right|. \]
Adunăm și scădem \(AB\) la numărător:
\[ B a_n-A b_n = B a_n-AB+AB-A b_n. \]
Deci
\[ B a_n-A b_n = B(a_n-A)+A(B-b_n). \]
Aplicând inegalitatea triunghiului,
\[ |B a_n-A b_n| \leq |B|\,|a_n-A|+|A|\,|B-b_n|. \]
Deoarece
\[ |B-b_n|=|b_n-B|, \]
obținem
\[ |B a_n-A b_n| \leq |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|. \]
În consecință
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \leq \frac{|B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|}{|B|\,|b_n|}. \]
Pentru \(n\geq N_0\), știm că
\[ |b_n|>\frac{|B|}{2}. \]
Prin urmare
\[ |B|\,|b_n| > |B|\cdot\frac{|B|}{2} = \frac{|B|^2}{2}. \]
Deci, pentru orice \(n\geq N_0\),
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \leq \frac{2}{|B|^2} \left( |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| \right). \]
Fixăm acum \(\varepsilon>0\). Deoarece \(a_n\to A\), există \(N_1\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon |B|}{4}. \]
Deoarece \(b_n\to B\), există \(N_2\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)}. \]
Notăm
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Atunci, pentru orice \(n\geq N\), sunt valabile toate estimările precedente. În particular,
\[ |B|\,|a_n-A| < |B|\cdot\frac{\varepsilon |B|}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
În plus
\[ |A|\,|b_n-B| \leq (|A|+1)|b_n-B| < (|A|+1)\frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)} = \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
Adunând,
\[ |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon |B|^2}{4} + \frac{\varepsilon |B|^2}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{2}. \]
Prin urmare
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| < \frac{2}{|B|^2}\cdot\frac{\varepsilon |B|^2}{2} = \varepsilon. \]
Conform definiției limitei,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
Observații asupra formelor nedeterminate
Regulile precedente au fost demonstrate în cazul în care șirurile \((a_n)\) și \((b_n)\) au limite reale finite. În acest context, operațiile se comportă în mod natural:
\[ a_n\to A,\quad b_n\to B \quad\Longrightarrow\quad a_n+b_n\to A+B, \]
\[ a_n b_n\to AB, \]
și, dacă \(B\neq0\),
\[ \frac{a_n}{b_n}\to\frac{A}{B}. \]
Trebuie însă să fim atenți atunci când apar limite infinite sau numitori care tind către zero. În aceste cazuri nu este întotdeauna posibil să aplicăm direct regulile algebrice.
De exemplu, expresii de forma
\[ +\infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \frac{0}{0}, \qquad \frac{+\infty}{+\infty} \]
se numesc forme nedeterminate. Termenul „nedeterminată” înseamnă că simpla cunoaștere a limitelor fiecărei părți nu este suficientă pentru a determina limita expresiei în ansamblu.
De exemplu, dacă \(a_n\to+\infty\) și \(b_n\to+\infty\), limita lui \(a_n-b_n\) nu este determinată în mod automat. Ea poate fi un număr real, poate fi \(+\infty\), poate fi \(-\infty\) sau poate să nu existe.
În același mod, dacă \(a_n\to0\) și \(b_n\to0\), câtul
\[ \frac{a_n}{b_n} \]
poate avea comportamente diferite, în funcție de șirurile considerate.
De exemplu,
\[ \frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=1 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}_{\ge 1}\), deci limita este \(1\). În schimb,
\[ \frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=n, \]
și, prin urmare, limita este \(+\infty\).
Aceasta arată că simpla informație „numărător care tinde către \(0\)” și „numitor care tinde către \(0\)” nu este suficientă pentru a determina limita câtului.
Din acest motiv, regulile privind operațiile cu limite trebuie aplicate numai atunci când ipotezele teoremelor sunt îndeplinite.
Exemple privind operațiile cu limite
Exemplul 1 (limita unei sume). Considerăm șirul
\[ c_n=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}. \]
Știm că
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0 \]
și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Conform limitei sumei,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{1}{n}+\frac{n}{n+1} \right) = 0+1 = 1. \]
Exemplul 2 (limita unei diferențe). Considerăm șirul
\[ c_n=\frac{n}{n+1}-\frac{1}{n}. \]
Deoarece
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1 \]
și
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
conform limitei diferenței, obținem
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{n}{n+1}-\frac{1}{n} \right) = 1-0 = 1. \]
Exemplul 3 (limita unui produs). Considerăm șirul
\[ c_n= \left(2+\frac{1}{n}\right) \left(3-\frac{1}{n}\right). \]
Avem
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2 \]
și
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)=3. \]
Conform limitei produsului,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left(2+\frac{1}{n}\right) \left(3-\frac{1}{n}\right) = 2\cdot3 = 6. \]
Exemplul 4 (limita unui cât). Considerăm șirul
\[ c_n= \frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{3-\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Numărătorul tinde către \(2\); într-adevăr,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2. \]
Numitorul tinde către \(3\); într-adevăr,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)=3. \]
Deoarece limita numitorului este diferită de zero, putem aplica limita câtului:
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{3-\displaystyle \frac{1}{n}} = \frac{2}{3}. \]
Exemplul 5 (atenție la câtul cu numitor care tinde către zero). Considerăm șirul
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Atât numărătorul, cât și numitorul tind către \(0\):
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Totuși, nu putem aplica direct teorema referitoare la limita câtului, deoarece limita numitorului este \(0\).
În acest caz, simplificând, obținem
\[ c_n=1 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}_{\ge 1}\), deci
\[ \lim_{n\to+\infty}c_n=1. \]
Acest exemplu arată că o formă de tipul \(\displaystyle \frac{0}{0}\) trebuie studiată separat: limita sa nu poate fi determinată aplicând automat regula câtului, deoarece limita numitorului este egală cu \(0\).
În concluzie, operațiile cu limite permit calcularea multor limite de șiruri în mod simplu și riguros, cu condiția ca ipotezele teoremelor să fie respectate. În particular, pentru limita câtului este indispensabil ca limita numitorului să fie diferită de zero.