Operațiile cu limite sunt fundamentale deoarece permit calcularea limitei unei sume, a unui produs sau a unui raport pornind de la limitele șirurilor individuale.
În această pagină vom studia trei rezultate esențiale:
- limita sumei;
- limita produsului;
- limita raportului.
Cuprins
Limita Sumei
Fie \((a_n)\) și \((b_n)\) două șiruri reale astfel încât:
\[ \lim_{n\to\infty}a_n=A \qquad\text{și}\qquad \lim_{n\to\infty}b_n=B. \]
Atunci:
\[ \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Demonstrație. Dorim să demonstrăm că, pentru orice \(\varepsilon>0\), există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N\),
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)|<\varepsilon. \]
Observăm că:
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| = |(a_n-A)+(b_n-B)|. \]
Prin inegalitatea triunghiului:
\[ |(a_n-A)+(b_n-B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B|. \]
Deoarece \(a_n\to A\), există \(N_1\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Deoarece \(b_n\to B\), există \(N_2\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Alegem:
\[ N=\max\{N_1,N_2\}. \]
Atunci, pentru orice \(n\geq N\), avem:
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Prin urmare:
\[ \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Limita Produsului
Fie \((a_n)\) și \((b_n)\) două șiruri reale astfel încât:
\[ \lim_{n\to\infty}a_n=A \qquad\text{și}\qquad \lim_{n\to\infty}b_n=B. \]
Atunci:
\[ \lim_{n\to\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Demonstrație. Dorim să demonstrăm că, pentru orice \(\varepsilon>0\), există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N\),
\[ |a_n b_n-AB|<\varepsilon. \]
Scriem:
\[ a_n b_n-AB = a_n b_n-A b_n+A b_n-AB. \]
Prin urmare:
\[ a_n b_n-AB = (a_n-A)b_n+A(b_n-B). \]
Aplicând inegalitatea triunghiului:
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B|. \]
Deoarece \(b_n\to B\), șirul \((b_n)\) este mărginit începând de la un anumit rang. În particular, alegând \(1>0\), există \(N_0\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<1. \]
De aici rezultă:
\[ |b_n| = |b_n-B+B| \leq |b_n-B|+|B| < |B|+1. \]
Fie acum \(\varepsilon>0\). Deoarece \(a_n\to A\), există \(N_1\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}. \]
Deoarece \(b_n\to B\), există \(N_2\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Alegem:
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Atunci, pentru orice \(n\geq N\), avem:
\[ |b_n|<|B|+1, \qquad |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)} \]
și
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Prin urmare:
\[ |a_n-A|\,|b_n| < \frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}(|B|+1) = \frac{\varepsilon}{2}. \]
În plus:
\[ |A|\,|b_n-B| \leq (|A|+1)|b_n-B| < (|A|+1)\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)} = \frac{\varepsilon}{2}. \]
Așadar:
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Prin urmare:
\[ \lim_{n\to\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Limita Raportului
Fie \((a_n)\) și \((b_n)\) două șiruri reale astfel încât:
\[ \lim_{n\to\infty}a_n=A \qquad\text{și}\qquad \lim_{n\to\infty}b_n=B, \]
cu \(B\neq 0\). Presupunem în plus că \(b_n\neq 0\) definitiv, adică pentru toți \(n\) suficient de mari.
Atunci:
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}. \]
Demonstrație. Deoarece \(b_n\to B\) și \(B\neq 0\), putem aplica teorema permanenței semnului. În particular, există \(N_0\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<\frac{|B|}{2}. \]
Din această inegalitate rezultă:
\[ |b_n| \geq |B|-|b_n-B| > |B|-\frac{|B|}{2} = \frac{|B|}{2}. \]
Prin urmare, pentru orice \(n\geq N_0\),
\[ |b_n|>\frac{|B|}{2}. \]
În special, \(b_n\neq 0\) definitiv.
Dorim acum să estimăm:
\[ \left| \frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B} \right|. \]
Rescriem diferența:
\[ \left| \frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B} \right| = \left| \frac{B a_n-A b_n}{B b_n} \right|. \]
Adăugăm și scădem \(AB\) la numărător:
\[ B a_n-A b_n = B a_n-AB+AB-A b_n. \]
Prin urmare:
\[ B a_n-A b_n = B(a_n-A)+A(B-b_n). \]
Astfel, prin inegalitatea triunghiului:
\[ |B a_n-A b_n| \leq |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|. \]
În consecință:
\[ \left| \frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B} \right| \leq \frac{|B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|} {|B|\,|b_n|}. \]
Pentru \(n\geq N_0\), deoarece \(|b_n|>|B|/2\), obținem:
\[ |B|\,|b_n| > |B|\cdot\frac{|B|}{2} = \frac{|B|^2}{2}. \]
Așadar:
\[ \left| \frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B} \right| \leq \frac{2}{|B|^2} \left( |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| \right). \]
Fie acum \(\varepsilon>0\). Deoarece \(a_n\to A\), există \(N_1\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A| < \frac{\varepsilon |B|}{4}. \]
Deoarece \(b_n\to B\), există \(N_2\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B| < \frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)}. \]
Alegem:
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Atunci, pentru orice \(n\geq N\), avem:
\[ \left| \frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B} \right| \leq \frac{2}{|B|^2} \left( |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| \right). \]
Folosind estimările anterioare:
\[ |B|\,|a_n-A| < |B|\cdot\frac{\varepsilon |B|}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
În plus:
\[ |A|\,|b_n-B| \leq (|A|+1)|b_n-B| < (|A|+1)\frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)} = \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
Prin urmare:
\[ |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon |B|^2}{4} + \frac{\varepsilon |B|^2}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{2}. \]
De unde:
\[ \left| \frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B} \right| < \frac{2}{|B|^2} \cdot \frac{\varepsilon |B|^2}{2} = \varepsilon. \]
Prin urmare:
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}. \]