Exerciții rezolvate cu operații între mulțimi: o colecție progresivă de 20 de exerciții prin care poți învăța să calculezi corect reuniunea, intersecția, diferența și complementara. Fiecare exercițiu este rezolvat pas cu pas, cu explicații menite să clarifice sensul logic al fiecărei operații.
Să reamintim definițiile fundamentale:
\[ A \cup B=\{x \mid x \in A \ \text{sau} \ x \in B\} \]
\[ A \cap B=\{x \mid x \in A \ \text{și} \ x \in B\} \]
\[ A \setminus B=\{x \mid x \in A \ \text{și} \ x \notin B\} \]
\[ A^c=U \setminus A \]
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Se dau mulțimile:
\[ A=\{1,2,3\}, \qquad B=\{3,4,5\} \]
Să se calculeze:
\[ A \cup B \]
Rezultat
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5\} \]
Rezolvare
Operația cerută este reuniunea. Reuniunea \(A \cup B\) conține toate elementele care aparțin cel puțin uneia dintre cele două mulțimi.
Pornim de la elementele mulțimii \(A\):
\[ A=\{1,2,3\} \]
Adăugăm apoi elementele mulțimii \(B\):
\[ B=\{3,4,5\} \]
Elementul \(3\) apare atât în \(A\), cât și în \(B\), însă într-o mulțime elementele nu se repetă. De aceea, îl scriem o singură dată.
Așadar:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5\} \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Se dau mulțimile:
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Să se calculeze:
\[ A \cap B \]
Rezultat
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Rezolvare
Operația cerută este intersecția. Intersecția \(A \cap B\) conține numai elementele care aparțin simultan ambelor mulțimi, \(A\) și \(B\).
Avem:
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
și:
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
Elementele \(1\) și \(2\) aparțin numai lui \(A\), deci nu fac parte din intersecție. Elementele \(5\) și \(6\) aparțin numai lui \(B\), deci nici ele nu fac parte din intersecție.
Singurele elemente prezente în ambele mulțimi sunt \(3\) și \(4\).
Prin urmare:
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Se dau mulțimile:
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{2,4,6\} \]
Să se calculeze:
\[ A \setminus B \]
Rezultat
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Rezolvare
Operația cerută este diferența dintre mulțimi. Diferența \(A \setminus B\) conține elementele care aparțin lui \(A\), dar nu aparțin lui \(B\).
Pornim de la mulțimea:
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
Trebuie să eliminăm din \(A\) toate elementele care apar și în \(B\). Cum:
\[ B=\{2,4,6\} \]
elementele din \(A\) care apar și în \(B\) sunt \(2\) și \(4\).
Eliminând aceste elemente din \(A\), rămân:
\[ 1,3,5 \]
Deci:
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Exercițiul 4 — nivel ★☆☆☆☆
Se dau mulțimile:
\[ A=\{a,b,c,d\}, \qquad B=\{b,d,e\} \]
Să se calculeze:
\[ B \setminus A \]
Rezultat
\[ B \setminus A=\{e\} \]
Rezolvare
Diferența \(B \setminus A\) conține elementele care aparțin lui \(B\), dar nu aparțin lui \(A\).
De data aceasta, mulțimea de plecare este \(B\):
\[ B=\{b,d,e\} \]
Trebuie să eliminăm din \(B\) elementele care apar și în \(A\). Deoarece:
\[ A=\{a,b,c,d\} \]
elementele \(b\) și \(d\) sunt prezente atât în \(B\), cât și în \(A\), deci trebuie eliminate.
Singurul element din \(B\) care nu aparține lui \(A\) este \(e\).
Prin urmare:
\[ B \setminus A=\{e\} \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Fie mulțimea universală:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
și mulțimea:
\[ A=\{2,4,6,8\} \]
Să se calculeze:
\[ A^c \]
Rezultat
\[ A^c=\{1,3,5,7\} \]
Rezolvare
Operația cerută este complementara lui \(A\) față de mulțimea universală \(U\). Complementara \(A^c\) conține toate elementele universului \(U\) care nu aparțin lui \(A\).
Prin definiție:
\[ A^c=U \setminus A \]
Avem:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
și:
\[ A=\{2,4,6,8\} \]
Trebuie deci să eliminăm din \(U\) elementele \(2,4,6,8\). Rămân elementele:
\[ 1,3,5,7 \]
Deci:
\[ A^c=\{1,3,5,7\} \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Se dau mulțimile:
\[ A=\{x \in \mathbb{N} \mid 1 \le x \le 6\} \]
și:
\[ B=\{2,4,6,8\} \]
Să se calculeze:
\[ A \cap B \]
Rezultat
\[ A \cap B=\{2,4,6\} \]
Rezolvare
Înainte de a efectua operația, este util să scriem explicit mulțimea \(A\), care este definită printr-o proprietate caracteristică.
Notația:
\[ A=\{x \in \mathbb{N} \mid 1 \le x \le 6\} \]
înseamnă că \(A\) este mulțimea numerelor naturale \(x\) cuprinse între \(1\) și \(6\), inclusiv.
Prin enumerarea elementelor, obținem:
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Mulțimea \(B\) este deja dată prin enumerare:
\[ B=\{2,4,6,8\} \]
Calculăm intersecția \(A \cap B\), adică mulțimea elementelor care aparțin atât lui \(A\), cât și lui \(B\).
- \(2 \in A\) și \(2 \in B\), deci \(2\) aparține intersecției;
- \(4 \in A\) și \(4 \in B\), deci \(4\) aparține intersecției;
- \(6 \in A\) și \(6 \in B\), deci \(6\) aparține intersecției;
- \(8 \in B\), dar \(8 \notin A\), deoarece \(8>6\), deci \(8\) nu aparține intersecției.
Prin urmare:
\[ A \cap B=\{2,4,6\} \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Se dau mulțimile:
\[ A=\{1,3,5,7\}, \qquad B=\{2,3,5,8\} \]
Să se calculeze:
\[ A \cup B \]
Rezultat
\[ A \cup B=\{1,2,3,5,7,8\} \]
Rezolvare
Operația cerută este reuniunea dintre mulțimile \(A\) și \(B\). Reuniunea conține toate elementele care aparțin cel puțin uneia dintre cele două mulțimi.
Pornim de la:
\[ A=\{1,3,5,7\} \]
și observăm apoi elementele lui \(B\):
\[ B=\{2,3,5,8\} \]
Elementele \(3\) și \(5\) apar deja în \(A\), deci nu trebuie repetate. Elementele noi aduse de \(B\) sunt \(2\) și \(8\).
Reunind toate elementele fără repetiții, obținem:
\[ A \cup B=\{1,2,3,5,7,8\} \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Se dau mulțimile:
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Să se calculeze:
\[ (A \cup B) \setminus A \]
Rezultat
\[ (A \cup B) \setminus A=\{6,7\} \]
Rezolvare
Expresia conține două operații. Respectăm ordinea indicată de paranteze și calculăm mai întâi reuniunea:
\[ A \cup B \]
Reuniunea celor două mulțimi este:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\} \]
Acum trebuie să calculăm:
\[ (A \cup B)\setminus A \]
Aceasta înseamnă că pornim de la mulțimea \(A \cup B\) și eliminăm toate elementele care aparțin lui \(A\).
Deoarece:
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
eliminând aceste elemente din \(\{1,2,3,4,5,6,7\}\), rămân:
\[ 6,7 \]
Prin urmare:
\[ (A \cup B)\setminus A=\{6,7\} \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
Se dau mulțimile:
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Să se calculeze:
\[ (A \cap B)\cup\{7\} \]
Rezultat
\[ (A \cap B)\cup\{7\}=\{3,4,7\} \]
Rezolvare
Calculăm mai întâi intersecția:
\[ A \cap B \]
Intersecția conține elementele comune mulțimilor \(A\) și \(B\).
Avem:
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
și:
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
Elementele comune sunt \(3\) și \(4\). Așadar:
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Acum reunim această mulțime cu \(\{7\}\):
\[ \{3,4\}\cup\{7\} \]
Elementul \(7\) nu este prezent în prima mulțime, deci se adaugă.
Prin urmare:
\[ (A \cap B)\cup\{7\}=\{3,4,7\} \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
Se dau mulțimile:
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\}, \qquad B=\{2,4,6\} \]
Să se calculeze:
\[ A\setminus B \]
Rezultat
\[ A\setminus B=\{1,3,5\} \]
Rezolvare
Diferența \(A\setminus B\) conține elementele lui \(A\) care nu aparțin lui \(B\).
Avem:
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\} \]
și:
\[ B=\{2,4,6\} \]
Elementele \(2\), \(4\) și \(6\) aparțin ambelor mulțimi, deci trebuie eliminate din \(A\).
Rămân elementele:
\[ 1,3,5 \]
Prin urmare:
\[ A\setminus B=\{1,3,5\} \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Fie mulțimea universală:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
și mulțimile:
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Să se calculeze:
\[ (A\cup B)^c \]
Rezultat
\[ (A\cup B)^c=\{8,9,10\} \]
Rezolvare
Mai întâi calculăm reuniunea:
\[ A\cup B \]
Obținem:
\[ A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\} \]
Acum trebuie să determinăm complementara acestei mulțimi față de universul \(U\).
Mulțimea universală este:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
Elementele lui \(U\) care nu aparțin reuniunii sunt:
\[ 8,9,10 \]
Prin urmare:
\[ (A\cup B)^c=\{8,9,10\} \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Fie mulțimea universală:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
și mulțimile:
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Să se calculeze:
\[ A^c \cap B^c \]
Rezultat
\[ A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Rezolvare
Calculăm mai întâi complementarele lui \(A\) și \(B\).
Complementara lui \(A\) este:
\[ A^c=U\setminus A \]
Deoarece:
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
obținem:
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
În mod analog:
\[ B^c=U\setminus B \]
iar:
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
deci:
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
Acum calculăm intersecția:
\[ \{5,6,7,8\}\cap\{1,2,7,8\} \]
Elementele comune sunt \(7\) și \(8\).
Prin urmare:
\[ A^c\cap B^c=\{7,8\} \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★★☆
Fie mulțimea universală:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
și mulțimile:
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Să se verifice identitatea:
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c \]
Rezultat
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Rezolvare
Pentru a verifica identitatea, calculăm separat membrul stâng și membrul drept al egalității.
Începem cu:
\[ (A \cup B)^c \]
Calculăm mai întâi reuniunea:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Complementara acestei mulțimi față de \(U\) este:
\[ (A \cup B)^c=U\setminus\{1,2,3,4,5,6\} \]
Prin urmare:
\[ (A \cup B)^c=\{7,8\} \]
Calculăm acum membrul drept:
\[ A^c \cap B^c \]
Avem:
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
și:
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
Intersecția acestor două mulțimi este:
\[ \{5,6,7,8\}\cap\{1,2,7,8\}=\{7,8\} \]
Cele două rezultate coincid, deci:
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c \]
Identitatea este verificată. Aceasta reprezintă prima lege a lui De Morgan.
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
Fie mulțimea universală:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
și mulțimile:
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Să se verifice identitatea:
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c \]
Rezultat
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c=\{1,2,5,6,7,8\} \]
Rezolvare
Calculăm separat cele două membre ale egalității.
Începem cu membrul stâng:
\[ (A \cap B)^c \]
Intersecția dintre \(A\) și \(B\) este:
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Complementara acestei mulțimi față de \(U\) conține toate elementele lui \(U\) diferite de \(3\) și \(4\):
\[ (A \cap B)^c=\{1,2,5,6,7,8\} \]
Calculăm acum membrul drept:
\[ A^c \cup B^c \]
Avem:
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
și:
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
Reuniunea celor două complementare este:
\[ \{5,6,7,8\}\cup\{1,2,7,8\}=\{1,2,5,6,7,8\} \]
Cele două rezultate coincid, deci:
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c \]
Identitatea este verificată. Aceasta reprezintă a doua lege a lui De Morgan.
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
Se dau mulțimile:
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Să se calculeze:
\[ (A\setminus B)\cup(B\setminus A) \]
Rezultat
\[ (A\setminus B)\cup(B\setminus A)=\{1,2,3,6,7\} \]
Rezolvare
Expresia conține două diferențe urmate de o reuniune.
Calculăm mai întâi:
\[ A\setminus B \]
Diferența conține elementele lui \(A\) care nu aparțin lui \(B\).
Deoarece \(4\) și \(5\) apar și în \(B\), acestea trebuie eliminate.
Obținem:
\[ A\setminus B=\{1,2,3\} \]
Calculăm acum:
\[ B\setminus A \]
În acest caz păstrăm elementele lui \(B\) care nu aparțin lui \(A\).
Elementele \(4\) și \(5\) se află și în \(A\), deci sunt eliminate.
Rămân:
\[ B\setminus A=\{6,7\} \]
Acum efectuăm reuniunea:
\[ \{1,2,3\}\cup\{6,7\} \]
Prin urmare:
\[ (A\setminus B)\cup(B\setminus A)=\{1,2,3,6,7\} \]
Această operație poartă numele de diferență simetrică.
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Se dau mulțimile:
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\}, \qquad B=\{2,4,6\}, \qquad C=\{1,2,7\} \]
Să se calculeze:
\[ (A\cap B)\cup C \]
Rezultat
\[ (A\cap B)\cup C=\{1,2,4,6,7\} \]
Rezolvare
Calculăm mai întâi intersecția:
\[ A\cap B \]
Intersecția conține elementele comune celor două mulțimi.
Deoarece:
\[ B=\{2,4,6\} \]
iar toate aceste elemente aparțin și lui \(A\), rezultă:
\[ A\cap B=\{2,4,6\} \]
Acum efectuăm reuniunea cu mulțimea \(C\):
\[ \{2,4,6\}\cup\{1,2,7\} \]
Elementul \(2\) apare în ambele mulțimi, deci îl scriem o singură dată.
Obținem:
\[ (A\cap B)\cup C=\{1,2,4,6,7\} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★★
Fie mulțimea universală:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \]
și mulțimile:
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Să se calculeze:
\[ (A\cap B)^c\cap A \]
Rezultat
\[ (A\cap B)^c\cap A=\{1,2,3\} \]
Rezolvare
Calculăm mai întâi intersecția:
\[ A\cap B \]
Elementele comune lui \(A\) și \(B\) sunt:
\[ 4,5 \]
Prin urmare:
\[ A\cap B=\{4,5\} \]
Acum determinăm complementara acestei mulțimi față de \(U\):
\[ (A\cap B)^c=U\setminus\{4,5\} \]
Deoarece:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \]
obținem:
\[ (A\cap B)^c=\{1,2,3,6,7,8,9\} \]
Acum calculăm intersecția cu \(A\):
\[ \{1,2,3,6,7,8,9\}\cap\{1,2,3,4,5\} \]
Elementele comune sunt:
\[ 1,2,3 \]
Deci:
\[ (A\cap B)^c\cap A=\{1,2,3\} \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
Fie mulțimea universală:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
și mulțimile:
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{3,4,5,6,7\} \]
Să se calculeze:
\[ (A^c\cup B^c)^c \]
Rezultat
\[ (A^c\cup B^c)^c=\{3,4,5\} \]
Rezolvare
Expresia conține complementare, o reuniune și apoi din nou o complementară. Procedăm pas cu pas.
Calculăm mai întâi complementara lui \(A\):
\[ A^c=U\setminus A \]
Deoarece:
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
rezultă:
\[ A^c=\{6,7,8,9,10\} \]
Calculăm apoi complementara lui \(B\):
\[ B^c=U\setminus B \]
Deoarece:
\[ B=\{3,4,5,6,7\} \]
obținem:
\[ B^c=\{1,2,8,9,10\} \]
Acum calculăm reuniunea celor două complementare:
\[ A^c\cup B^c=\{6,7,8,9,10\}\cup\{1,2,8,9,10\} \]
Prin urmare:
\[ A^c\cup B^c=\{1,2,6,7,8,9,10\} \]
În cele din urmă, determinăm complementara acestei mulțimi față de \(U\):
\[ (A^c\cup B^c)^c=U\setminus\{1,2,6,7,8,9,10\} \]
Elementele lui \(U\) care nu apar în această mulțime sunt:
\[ 3,4,5 \]
Așadar:
\[ (A^c\cup B^c)^c=\{3,4,5\} \]
Observăm că rezultatul coincide cu \(A\cap B\), conform legii lui De Morgan:
\[ (A^c\cup B^c)^c=A\cap B \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
Se dau mulțimile:
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}, \qquad C=\{4,6,8\} \]
Să se calculeze:
\[ (A\cup B)\cap C \]
Rezultat
\[ (A\cup B)\cap C=\{4,6\} \]
Rezolvare
Expresia cere să calculăm mai întâi reuniunea dintre \(A\) și \(B\), apoi intersecția rezultatului cu \(C\).
Calculăm reuniunea:
\[ A\cup B=\{1,2,3,4\}\cup\{3,4,5,6\} \]
În reuniune scriem toate elementele care apar în cel puțin una dintre cele două mulțimi, fără repetiții:
\[ A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Acum calculăm intersecția cu \(C\):
\[ (A\cup B)\cap C=\{1,2,3,4,5,6\}\cap\{4,6,8\} \]
Intersecția conține numai elementele comune celor două mulțimi.
Elementele comune sunt \(4\) și \(6\). Elementul \(8\) aparține lui \(C\), dar nu aparține lui \(A\cup B\), deci nu se include în rezultat.
Prin urmare:
\[ (A\cup B)\cap C=\{4,6\} \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Se dau două mulțimi oarecare \(A\) și \(B\). Să se demonstreze legea absorbției:
\[ A\cup(A\cap B)=A \]
Rezultat
\[ A\cup(A\cap B)=A \]
Rezolvare
Dorim să demonstrăm egalitatea:
\[ A\cup(A\cap B)=A \]
Considerăm mai întâi mulțimea:
\[ A\cap B \]
Prin definiție, \(A\cap B\) conține elementele care aparțin simultan lui \(A\) și lui \(B\).
În particular, orice element din \(A\cap B\) aparține lui \(A\). Prin urmare:
\[ A\cap B\subseteq A \]
Acum analizăm reuniunea:
\[ A\cup(A\cap B) \]
Această reuniune adaugă la \(A\) elementele mulțimii \(A\cap B\). Însă aceste elemente se află deja în \(A\), deoarece \(A\cap B\subseteq A\).
Așadar, reuniunea nu adaugă niciun element nou și nu modifică mulțimea \(A\).
Prin urmare:
\[ A\cup(A\cap B)=A \]
Această proprietate se numește legea absorbției.