O culegere accesibilă pentru a învăța să recunoști și să dezvolți pătrate ale unui binom, produse ale sumei cu diferența și cuburi. Vei găsi pași ghidați și mici indicații pentru a nu confunda semnele, ajutându-te să te familiarizezi treptat cu aceste calcule.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
\[ (x + 3)^2 \]
Rezultat
\[ x^2 + 6x + 9 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Expresia este pătratul unui binom de forma \((a + b)^2\). Se aplică direct formula pătratului unui binom sumă, evitând înmulțirea binomului cu el însuși.
Formula utilizată
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Identificarea lui \(a\) și \(b\)
Comparând \((x + 3)^2\) cu modelul \((a + b)^2\): \[ a = x \qquad b = 3 \]
Aplicarea formulei
Se înlocuiesc \(a = x\) și \(b = 3\) în formulă:
\[ (x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 \]
Calculul fiecărui termen
Primul termen: \(x^2\)
Termenul din mijloc: \(2 \cdot x \cdot 3 = 6x\)
Ultimul termen: \(3^2 = 9\)
Rezultat
\[ \boxed{x^2 + 6x + 9} \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
\[ (x - 4)^2 \]
Rezultat
\[ x^2 - 8x + 16 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se recunoaște pătratul unui binom diferență \((a - b)^2\). Formula este analogă celei a sumei, dar termenul din mijloc își schimbă semnul.
Formula utilizată
\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
Identificarea lui \(a\) și \(b\)
\[ a = x \qquad b = 4 \]
Aplicarea formulei
\[ (x - 4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 \]
Calculul fiecărui termen
Primul termen: \(x^2\)
Termenul din mijloc: \(2 \cdot x \cdot 4 = 8x\), cu semn negativ: \(-8x\)
Ultimul termen: \(4^2 = 16\)
Rezultat
\[ \boxed{x^2 - 8x + 16} \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
\[ (x + 5)(x - 5) \]
Rezultat
\[ x^2 - 25 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Produsul este de forma \((a + b)(a - b)\): o sumă înmulțită cu diferența corespunzătoare. Se aplică formula diferenței pătratelor, care produce un rezultat format din doar doi termeni.
Formula utilizată
\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Identificarea lui \(a\) și \(b\)
\[ a = x \qquad b = 5 \]
Aplicarea formulei
\[ (x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 \]
Calcul
\[ x^2 - 25 \]
Rezultat
\[ \boxed{x^2 - 25} \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ (2x + 1)^2 \]
Rezultat
\[ 4x^2 + 4x + 1 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Structura este tot \((a + b)^2\), însă acum \(a = 2x\) conține un coeficient. Trebuie acordată atenție calculului lui \(a^2 = (2x)^2\), care nu este \(2x^2\), ci \(4x^2\).
Formula utilizată
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Identificarea lui \(a\) și \(b\)
\[ a = 2x \qquad b = 1 \]
Aplicarea formulei
\[ (2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 \]
Calculul fiecărui termen
Primul termen: \((2x)^2 = 4x^2\)
Termenul din mijloc: \(2 \cdot 2x \cdot 1 = 4x\)
Ultimul termen: \(1^2 = 1\)
Rezultat
\[ \boxed{4x^2 + 4x + 1} \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
\[ (3x - 5)^2 \]
Rezultat
\[ 9x^2 - 30x + 25 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Este pătratul unui binom diferență cu coeficient în fața lui \(x\). Se aplică \((a - b)^2\) cu \(a = 3x\).
Formula utilizată
\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
Identificarea lui \(a\) și \(b\)
\[ a = 3x \qquad b = 5 \]
Aplicarea formulei
\[ (3x - 5)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 5 + 5^2 \]
Calculul fiecărui termen
Primul termen: \((3x)^2 = 9x^2\)
Termenul din mijloc: \(2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x\), cu semn negativ: \(-30x\)
Ultimul termen: \(5^2 = 25\)
Rezultat
\[ \boxed{9x^2 - 30x + 25} \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
\[ (4x + 3)(4x - 3) \]
Rezultat
\[ 16x^2 - 9 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Este o diferență de pătrate cu coeficient. Formula se aplică direct, identificând corect \(a = 4x\).
Formula utilizată
\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Identificarea lui \(a\) și \(b\)
\[ a = 4x \qquad b = 3 \]
Aplicarea formulei
\[ (4x + 3)(4x - 3) = (4x)^2 - 3^2 \]
Calcul
\[ (4x)^2 = 16x^2 \qquad 3^2 = 9 \]
Rezultat
\[ \boxed{16x^2 - 9} \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
\[ (x + 2)^3 \]
Rezultat
\[ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Expresia este cubul unui binom sumă \((a + b)^3\). Formula produce patru termeni cu coeficienții binomiali \(1, 3, 3, 1\).
Formula utilizată
\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
Identificarea lui \(a\) și \(b\)
\[ a = x \qquad b = 2 \]
Aplicarea formulei
\[ (x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 \]
Calculul fiecărui termen
Primul termen: \(x^3\)
Al doilea termen: \(3 \cdot x^2 \cdot 2 = 6x^2\)
Al treilea termen: \(3 \cdot x \cdot 4 = 12x\)
Al patrulea termen: \(2^3 = 8\)
Rezultat
\[ \boxed{x^3 + 6x^2 + 12x + 8} \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
\[ (x - 1)^3 \]
Rezultat
\[ x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se aplică formula cubului unui binom diferență \((a - b)^3\). Semnele alternează: \(+, -, +, -\).
Formula utilizată
\[ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]
Identificarea lui \(a\) și \(b\)
\[ a = x \qquad b = 1 \]
Aplicarea formulei
\[ (x - 1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 \]
Calculul fiecărui termen
Orice putere a lui \(1\) este egală cu \(1\), deci coeficienții numerici rămân nemodificați:
Primul termen: \(x^3\)
Al doilea termen: \(-3x^2\)
Al treilea termen: \(+3x\)
Al patrulea termen: \(-1\)
Rezultat
\[ \boxed{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
\[ (2x + 3)^3 \]
Rezultat
\[ 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se aplică \((a + b)^3\) cu \(a = 2x\). Atenția trebuie îndreptată asupra calculului lui \((2x)^3\) și \((2x)^2\), care implică cubul și respectiv pătratul coeficientului \(2\).
Formula utilizată
\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
Identificarea lui \(a\) și \(b\)
\[ a = 2x \qquad b = 3 \]
Aplicarea formulei
\[ (2x + 3)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2x) \cdot 3^2 + 3^3 \]
Calculul fiecărui termen
Primul termen: \((2x)^3 = 8x^3\)
Al doilea termen: \(3 \cdot 4x^2 \cdot 3 = 36x^2\)
Al treilea termen: \(3 \cdot 2x \cdot 9 = 54x\)
Al patrulea termen: \(3^3 = 27\)
Rezultat
\[ \boxed{8x^3 + 36x^2 + 54x + 27} \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
\[ (x^2 + y)^2 \]
Rezultat
\[ x^4 + 2x^2 y + y^2 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se aplică \((a + b)^2\) unde unul dintre termeni este deja o putere: \(a = x^2\). Trebuie reținut că \((x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4\).
Formula utilizată
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Identificarea lui \(a\) și \(b\)
\[ a = x^2 \qquad b = y \]
Aplicarea formulei
\[ (x^2 + y)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot y + y^2 \]
Calculul fiecărui termen
Primul termen: \((x^2)^2 = x^4\) (se înmulțesc exponenții)
Termenul din mijloc: \(2x^2 y\)
Ultimul termen: \(y^2\)
Rezultat
\[ \boxed{x^4 + 2x^2 y + y^2} \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
\[ (x + 1)(x^2 - x + 1) \]
Rezultat
\[ x^3 + 1 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se recunoaște formula sumei cuburilor: al doilea factor \(x^2 - x + 1\) este exact complementul lui \((x + 1)\) prevăzut de formulă. Recunoașterea acestei structuri evită o dezvoltare algebrică îndelungată.
Formula utilizată
\[ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 \]
Identificarea lui \(a\) și \(b\)
\[ a = x \qquad b = 1 \]
Verificarea celui de-al doilea factor
Al doilea factor trebuie să corespundă lui \(a^2 - ab + b^2\):
\[ x^2 - x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - x + 1 \checkmark \]
Aplicarea formulei
\[ (x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1 \]
Rezultat
\[ \boxed{x^3 + 1} \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
\[ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \]
Rezultat
\[ x^3 - 8 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se recunoaște formula diferenței cuburilor: al doilea factor \(x^2 + 2x + 4\) este complementul asociat lui \((x - 2)\).
Formula utilizată
\[ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 \]
Identificarea lui \(a\) și \(b\)
\[ a = x \qquad b = 2 \]
Verificarea celui de-al doilea factor
\[ a^2 + ab + b^2 = x^2 + 2x + 4 \checkmark \]
Aplicarea formulei
\[ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8 \]
Rezultat
\[ \boxed{x^3 - 8} \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
\[ (x + 1)^2 + (x - 1)^2 \]
Rezultat
\[ 2x^2 + 2 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se dezvoltă separat cele două pătrate de binom, apoi se adună polinoamele obținute, adunând termenele asemenea.
Dezvoltarea lui \((x+1)^2\)
\[ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \]
Dezvoltarea lui \((x-1)^2\)
\[ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \]
Suma celor două dezvoltări
\[ (x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 2x + 1) \]
Adunarea termenelor asemenea
Termenele în \(x\) se anulează: \(+2x - 2x = 0\).
\[ x^2 + x^2 + 2x - 2x + 1 + 1 = 2x^2 + 2 \]
Rezultat
\[ \boxed{2x^2 + 2} \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
\[ (x + 3)^2 - (x - 3)^2 \]
Rezultat
\[ 12x \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se dezvoltă ambele pătrate de binom, apoi se scade. Alternativ, se poate folosi diferența pătratelor: dacă \(A = (x+3)\) și \(B = (x-3)\), atunci \(A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)\).
Metoda directă — dezvoltare
\[ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \]
\[ (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 \]
Scădere
\[ (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) \]
Distribuind semnul minus:
\[ x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 \]
Adunarea termenelor asemenea
\(x^2\) și \(9\) se anulează câte două:
\[ 6x + 6x = 12x \]
Rezultat
\[ \boxed{12x} \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
\[ (x + y)^2 - (x - y)^2 \]
Rezultat
\[ 4xy \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se pot dezvolta cele două pătrate și se scade, sau — mai elegant — se aplică diferența pătratelor punând \(A = x+y\) și \(B = x-y\), obținând \((A+B)(A-B)\).
Metoda cu diferența pătratelor
Fie \(A = x+y\) și \(B = x-y\). Atunci:
\[ A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) \]
\[ A + B = (x+y) + (x-y) = 2x \]
\[ A - B = (x+y) - (x-y) = 2y \]
Produs
\[ (2x)(2y) = 4xy \]
Rezultat
\[ \boxed{4xy} \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
\[ \left[(x + y) + 2\right]^2 \]
Rezultat
\[ x^2 + 2xy + y^2 + 4x + 4y + 4 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se tratează cantitatea \((x+y)\) ca o singură entitate și se aplică \((a + b)^2\) cu \(a = x+y\) și \(b = 2\). Abia ulterior se dezvoltă \((x+y)^2\).
Pasul 1: aplicarea formulei cu \(a = x+y,\ b = 2\)
\[ \left[(x+y)+2\right]^2 = (x+y)^2 + 2 \cdot (x+y) \cdot 2 + 2^2 \]
Pasul 2: dezvoltarea lui \((x+y)^2\)
\[ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \]
Pasul 3: dezvoltarea termenului din mijloc
\[ 2 \cdot (x+y) \cdot 2 = 4(x+y) = 4x + 4y \]
Adunare finală
\[ x^2 + 2xy + y^2 + 4x + 4y + 4 \]
Rezultat
\[ \boxed{x^2 + 2xy + y^2 + 4x + 4y + 4} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
\[ (x + 1)^2 \cdot (x - 1)^2 \]
Rezultat
\[ x^4 - 2x^2 + 1 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
În loc să se dezvolte separat cele două pătrate și să se înmulțească ulterior, este mai eficient să se grupeze folosind proprietățile puterilor: \((x+1)^2 \cdot (x-1)^2 = \left[(x+1)(x-1)\right]^2\).
Pasul 1: grupare strategică
\[ (x+1)^2 \cdot (x-1)^2 = \left[(x+1)(x-1)\right]^2 \]
Pasul 2: diferența pătratelor în interior
\[ (x+1)(x-1) = x^2 - 1 \]
Pasul 3: pătratul rezultatului
\[ (x^2 - 1)^2 \]
Se aplică \((a - b)^2\) cu \(a = x^2,\ b = 1\):
\[ = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1 \]
Rezultat
\[ \boxed{x^4 - 2x^2 + 1} \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
\[ (x + 1)^3 - (x - 1)^3 \]
Rezultat
\[ 6x^2 + 2 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se dezvoltă separat cele două cuburi, apoi se efectuează scăderea adunând termenele asemenea. O atenție deosebită trebuie acordată distribuirii corecte a semnului minus în fața celui de-al doilea cub.
Dezvoltarea lui \((x+1)^3\)
\[ (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \]
Dezvoltarea lui \((x-1)^3\)
\[ (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \]
Scădere (distribuirea semnului minus)
\[ (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \]
\[ = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1 \]
Adunarea termenelor asemenea
\(x^3 - x^3 = 0\) \(3x - 3x = 0\) \(3x^2 + 3x^2 = 6x^2\) \(1 + 1 = 2\)
\[ = 6x^2 + 2 \]
Rezultat
\[ \boxed{6x^2 + 2} \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
\[ (a + b + c)^2 \]
Rezultat
\[ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Pătratul unui trinom nu este un produs remarcabil elementar, dar se reduce la unul grupând doi dintre cei trei termeni: se tratează \((a+b)\) ca o entitate unică și se aplică \((a+b+c)^2 = \left[(a+b)+c\right]^2\).
Pasul 1: grupare
Fie \(P = a + b\). Atunci:
\[ (a+b+c)^2 = (P + c)^2 = P^2 + 2Pc + c^2 \]
Pasul 2: dezvoltarea lui \(P^2 = (a+b)^2\)
\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Pasul 3: dezvoltarea lui \(2Pc\)
\[ 2(a+b)c = 2ac + 2bc \]
Pasul 4: adunare finală
\[ a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 \]
Reordonând după convenție:
\[ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]
Regulă mnemonică
Pătratul unui trinom este egal cu suma pătratelor celor trei termeni plus dublul tuturor produselor perechilor distincte.
Rezultat
\[ \boxed{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc} \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
\[ (x+y)^2(x-y)^2 - (x^2 - y^2)^2 + (x^2 + y^2)^2 \]
Rezultat
\[ x^4 + 2x^2y^2 + y^4 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Expresia conține trei blocuri distincte. Se simplifică mai întâi fiecare bloc folosind produsele remarcabile, apoi se combină rezultatele. Cheia constă în a observa că primul bloc se reduce exact la al doilea, permițând o anulare imediată.
Simplificarea primului bloc
Se folosește proprietatea puterilor: \(A^2 \cdot B^2 = (AB)^2\).
\[ (x+y)^2(x-y)^2 = \left[(x+y)(x-y)\right]^2 \]
Se aplică diferența pătratelor produsului interior:
\[ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \]
Prin urmare, primul bloc devine:
\[ (x^2 - y^2)^2 \]
Substituție în expresie
\[ (x^2 - y^2)^2 - (x^2 - y^2)^2 + (x^2 + y^2)^2 \]
Anulare
Primii doi termeni sunt identici și se anulează:
\[ 0 + (x^2 + y^2)^2 = (x^2 + y^2)^2 \]
Dezvoltarea termenului rămas
Se aplică \((a+b)^2\) cu \(a = x^2,\ b = y^2\):
\[ (x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 \]
Rezultat
\[ \boxed{x^4 + 2x^2y^2 + y^4} \]