O colecție progresivă de 20 de exerciții rezolvate despre produsul cartezian, elaborate cu rigoare teoretică și cu atenție la înțelegerea conceptuală. Exercițiile conduc treptat de la construirea perechilor ordonate până la studiul submulțimilor, al relațiilor și al interpretărilor geometrice în plan.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Fie \( A = \{1,2\} \) și \( B = \{a,b\} \). Să se determine produsul cartezian \( A \times B \).
Rezultat
\[ A \times B = \{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\} \]
Rezolvare
Definiție formală
\[ A \times B = \{(x,y) \mid x \in A,\ y \in B\} \]
Interpretare
Fiecare element al lui \(A\) se asociază cu toate elementele lui \(B\). Procesul este complet atunci când au fost construite toate combinațiile posibile.
Construire
Cu \(1\):
\[(1,a),(1,b)\]
Cu \(2\):
\[(2,a),(2,b)\]
Concluzie
Mulțimea finală este formată din toate perechile construite.
Observație
Ordinea este esențială: \((1,a)\neq(a,1)\).
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Fie \( A = \{0,1\} \) și \( B = \{2,3,4\} \). Să se determine \( A \times B \) și cardinalitatea sa.
Rezultat
\[ A \times B = \{(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4)\} \]
\[ |A \times B| = 6 \]
Rezolvare
Structura problemei
Fiecare element al lui \(A\) generează un „bloc” de perechi cu toate elementele lui \(B\).
Construire
Cu \(0\):
\[(0,2),(0,3),(0,4)\]
Cu \(1\):
\[(1,2),(1,3),(1,4)\]
Cardinalitate
\[ |A \times B| = |A|\cdot|B| = 2\cdot3 = 6 \]
Interpretare
Produsul cartezian creează o structură de tip „grilă”: fiecare alegere a primei coordonate este independentă de alegerea celei de-a doua.
Exercițiul 3 — nivel ★★☆☆☆
Fie \( A = \{-1,1\} \) și \( B = \{0,2\} \). Să se determine \( A \times B \) și să se interpreteze rezultatul în planul cartezian.
Rezultat
\[ A \times B = \{(-1,0),(-1,2),(1,0),(1,2)\} \]
Rezolvare
Construire
Cu \(-1\):
\[(-1,0),(-1,2)\]
Cu \(1\):
\[(1,0),(1,2)\]
Interpretare geometrică
Perechile reprezintă puncte în plan. Mulțimea obținută formează vârfurile unui dreptunghi.
Observație fundamentală
\[ A \times B \neq B \times A \]
Schimbând ordinea mulțimilor, se obțin puncte diferite.
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Fie \( A = \{1,2,3\} \) și \( B = \{x\} \). Să se determine \( A \times B \).
Rezultat
\[ A \times B = \{(1,x),(2,x),(3,x)\} \]
Rezolvare
Analiză
Mulțimea \(B\) conține un singur element: acest lucru fixează a doua coordonată.
Construire
\[ (1,x),(2,x),(3,x) \]
Interpretare
Toate perechile au aceeași a doua coordonată.
Cardinalitate
\[ |A \times B| = 3 \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Fie \( A = \{a,b\} \) și \( B = \varnothing \). Să se determine \( A \times B \).
Rezultat
\[ A \times B = \varnothing \]
Rezolvare
Definiție
Pentru a construi o pereche, este necesar un element \(y \in B\).
Observație
Mulțimea \(B\) este vidă, deci nu există nicio alegere posibilă pentru a doua coordonată.
Concluzie
Nu există perechi:
\[ A \times B = \varnothing \]
Proprietate generală
\[ A \times \varnothing = \varnothing \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Fie \( A = \{1,2,3\} \) și \( B = \{a,b\} \). Să se determine submulțimea lui \( A \times B \) definită prin:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x > 1\} \]
Rezultat
\[ S = \{(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\} \]
Rezolvare
Înțelegerea condiției
Condiția \(x > 1\) selectează doar anumite elemente din \(A\).
Selectare
\[ A = \{1,2,3\} \Rightarrow x > 1 \Rightarrow x \in \{2,3\} \]
Construire
Cu \(2\):
\[(2,a),(2,b)\]
Cu \(3\):
\[(3,a),(3,b)\]
Interpretare
Condiția acționează numai asupra primei coordonate; prin urmare, sunt selectate „coloane” întregi.
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Fie \( A = \{1,2,3\} \) și \( B = \{1,2\} \). Să se determine:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x = y\} \]
Rezultat
\[ S = \{(1,1),(2,2)\} \]
Rezolvare
Semnificația condiției
Relația \(x = y\) impune ca cele două coordonate să coincidă.
Verificare element cu element
Perechile posibile sunt:
\((1,1)\) ✔
\((1,2)\) ✘
\((2,1)\) ✘
\((2,2)\) ✔
\((3,1)\) ✘
\((3,2)\) ✘
Concluzie
\[ S = \{(1,1),(2,2)\} \]
Observație
Perechea \((3,3)\) nu apare, deoarece \(3 \notin B\).
Exercițiul 8 — nivel ★★★☆☆
Fie \( A = \{1,2,3\} \). Să se determine:
\[ A \times A \]
Rezultat
\[ A \times A = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\} \]
Rezolvare
Structură
Este produsul cartezian al unei mulțimi cu ea însăși.
Construire
Cu \(1\):
\[(1,1),(1,2),(1,3)\]
Cu \(2\):
\[(2,1),(2,2),(2,3)\]
Cu \(3\):
\[(3,1),(3,2),(3,3)\]
Cardinalitate
\[ |A \times A| = |A|^2 = 3^2 = 9 \]
Interpretare
Se obține o grilă pătrată: fiecare element este combinat inclusiv cu el însuși.
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
Fie \( A = \{1,2,3\} \) și \( B = \{1,2,3\} \). Să se determine:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x < y\} \]
Rezultat
\[ S = \{(1,2),(1,3),(2,3)\} \]
Rezolvare
Semnificația condiției
Relația \(x < y\) selectează numai perechile în care prima coordonată este mai mică decât a doua.
Analiză sistematică
Verificăm:
\((1,2)\) ✔
\((1,3)\) ✔
\((2,3)\) ✔
toate celelalte perechi ✘
Interpretare geometrică
Punctele selectate se află deasupra diagonalei \(x=y\).
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
Fie \( A = \{1,2\} \), \( B = \{a,b\} \), \( C = \{0,1\} \). Să se determine:
\[ A \times B \times C \]
Rezultat
\[ \begin{aligned} A \times B \times C = \{ & (1,a,0),(1,a,1),(1,b,0),(1,b,1), \\ & (2,a,0),(2,a,1),(2,b,0),(2,b,1) \} \end{aligned} \]
Rezolvare
Definiție
\[ A \times B \times C = \{(x,y,z) \mid x \in A,\ y \in B,\ z \in C\} \]
Strategie
Construim mai întâi \(A \times B\), apoi adăugăm a treia coordonată.
Construire
Fiecare pereche din \(A \times B\) generează două triplete, una cu \(0\) și una cu \(1\).
Cardinalitate
\[ |A \times B \times C| = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \]
Interpretare
Este un produs cartezian cu trei factori: fiecare element este un triplet ordonat.
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Fie \( A = \{1,2,3\} \) și \( B = \{1,2,3\} \). Să se determine:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x \ge y\} \]
Rezultat
\[ S = \{(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3)\} \]
Rezolvare
Interpretarea condiției
Relația \(x \ge y\) selectează toate perechile în care prima coordonată este mai mare sau egală cu a doua.
Analiză sistematică
\((1,1)\) ✔
\((2,1)\), \((2,2)\) ✔
\((3,1)\), \((3,2)\), \((3,3)\) ✔
Interpretare geometrică
Se obține partea planului aflată sub diagonala \(x=y\), diagonala fiind inclusă.
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Fie \( A = \{1,2,3,4\} \) și \( B = \{1,2,3\} \). Să se determine:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x + y = 4\} \]
Rezultat
\[ S = \{(1,3),(2,2),(3,1)\} \]
Rezolvare
Semnificația condiției
Relația impune o condiție între cele două coordonate: suma lor trebuie să fie egală cu \(4\).
Verificare
\((1,3)\) ✔
\((2,2)\) ✔
\((3,1)\) ✔
toate celelalte perechi ✘
Interpretare geometrică
Punctele selectate se află pe dreapta discretă definită de ecuația \(x+y=4\).
Exercițiul 13 — nivel ★★★★☆
Fie \( A = \{1,2,3\} \). Să se determine:
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid x \neq y\} \]
Rezultat
\[ S = \{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\} \]
Rezolvare
Interpretare
Condiția elimină toate perechile ale căror coordonate sunt egale.
Construire
Pornim de la \(A \times A\), care are \(9\) elemente, și eliminăm perechile:
\[ (1,1),(2,2),(3,3) \]
Concluzie
Rămân \(6\) perechi.
Observație
\[ |S| = |A|^2 - |A| = 3^2 - 3 = 6 \]
Acest tip de mulțime este fundamental în studiul relațiilor.
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
Fie \( A = \mathbb{N} \) și \( B = \mathbb{N} \). Să se determine:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid y = 2x\} \]
Rezultat
\[ S = \{(x,2x) \mid x \in \mathbb{N}\} \]
Rezolvare
Analiză
Mulțimea este infinită: ea conține toate perechile care satisfac condiția \(y=2x\).
Construire
Pentru fiecare \(x \in \mathbb{N}\), există un unic \(y=2x\).
Interpretare
Mulțimea reprezintă o dreaptă discretă în planul cartezian.
Observație
Nu este întregul produs \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \), ci doar o „linie” din interiorul acestuia.
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
Să se determine submulțimea lui \( \mathbb{R}^2 \) definită prin:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = x^2\} \]
Rezultat
\[ S = \text{mulțimea punctelor parabolei } y = x^2 \]
Rezolvare
Interpretare
Mulțimea conține toate perechile reale care satisfac relația \(y=x^2\).
Structură
Nu este o mulțime discretă, ci una continuă.
Semnificație geometrică
Ea reprezintă o parabolă în planul cartezian.
Observație fundamentală
Produsul cartezian \( \mathbb{R}^2 \) este întregul plan, în timp ce \(S\) este doar o curbă din interiorul acestuia.
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Fie \( A = \{1,2,3\} \). Să se determine:
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid x + y \text{ este par}\} \]
Rezultat
\[ S = \{(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3)\} \]
Rezolvare
Analiza condiției
Suma este pară în două situații:
- număr par + număr par;
- număr impar + număr impar.
Clasificare
Numerele \(1\) și \(3\) sunt impare, iar \(2\) este par.
Construire
\[ (1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2) \]
Interpretare
Se obține o structură regulată, asemănătoare unei table de șah, importantă în studiul relațiilor.
Exercițiul 17 — nivel ★★★★★
Fie \( A = \{1,2,3\} \). Să se determine dacă relația:
\[ R = \{(x,y) \in A \times A \mid x \le y\} \]
este reflexivă, simetrică și tranzitivă.
Rezultat
Reflexivă ✔ — Simetrică ✘ — Tranzitivă ✔
Rezolvare
Reflexivitate
O relație este reflexivă dacă fiecare element este în relație cu el însuși.
Avem:
\[ (1,1),(2,2),(3,3) \in R \]
deoarece:
\[ 1\le1,\qquad 2\le2,\qquad 3\le3 \]
Prin urmare, relația este reflexivă.
Simetrie
O relație este simetrică dacă din:
\[ (x,y)\in R \]
rezultă întotdeauna:
\[ (y,x)\in R \]
Observăm însă că:
\[ (1,2)\in R \]
deoarece:
\[ 1\le2 \]
Dar:
\[ (2,1)\notin R \]
fiindcă:
\[ 2\le1 \]
este fals.
Prin urmare, relația nu este simetrică.
Tranzitivitate
O relație este tranzitivă dacă:
\[ (x,y)\in R \quad \text{și} \quad (y,z)\in R \]
implică:
\[ (x,z)\in R \]
În cazul nostru:
\[ x\le y \quad \text{și} \quad y\le z \]
implică întotdeauna:
\[ x\le z \]
ceea ce este o proprietate fundamentală a ordinii numerelor reale și naturale.
Prin urmare, relația este tranzitivă.
Interpretare
Relația studiată este relația de ordine naturală restrânsă la mulțimea \(A\).
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
Să se determine submulțimea lui \( \mathbb{R}^2 \) definită prin:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy = 1\} \]
Rezultat
\[ S = \text{hiperbola } xy = 1 \]
Rezolvare
Analiză
Relația leagă cele două variabile într-un mod neliniar.
Transformare
Din condiția:
\[ xy=1 \]
obținem:
\[ y=\frac1x, \qquad x\neq0 \]
Interpretare geometrică
Mulțimea descrie o hiperbolă cu două ramuri.
Observație
Produsul cartezian \( \mathbb{R}^2 \) reprezintă întregul plan, însă această relație selectează doar o curbă din interiorul lui.
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
Fie \( A = \{1,2,3\} \). Să se determine:
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid |x-y| = 1\} \]
Rezultat
\[ S = \{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\} \]
Rezolvare
Interpretare
Condiția selectează perechile ale căror componente diferă cu exact \(1\).
Construire
\((1,2)\), \((2,1)\)
\((2,3)\), \((3,2)\)
Observație
Relația este simetrică: dacă o pereche aparține mulțimii, atunci și perechea obținută prin schimbarea coordonatelor aparține mulțimii.
Interpretare geometrică
Punctele obținute se află pe două diagonale paralele cu diagonala principală \(x=y\).
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Să se determine submulțimea lui \( \mathbb{R}^2 \) definită prin:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \ge x^2\} \]
Rezultat
\[ S = \text{regiunea situată deasupra parabolei } y=x^2 \text{, inclusiv parabola} \]
Rezolvare
Interpretare
Relația nu selectează doar o curbă, ci o întreagă regiune a planului.
Structură
Condiția:
\[ y\ge x^2 \]
include toate punctele aflate deasupra parabolei, precum și punctele parabolei însăși.
Semnificație geometrică
Se obține o regiune infinită și continuă a planului cartezian.
Observație finală
Acest exemplu arată că o submulțime a lui \( \mathbb{R}^2 \) poate fi:
- discretă;
- o curbă;
- o regiune.