Proprietățile Puterilor: 30 de Exerciții Rezolvate Pas cu Pas

\[ 128 \]

Idee de rezolvare

Cele două puteri au aceeași bază \(2\). Se aplică proprietatea produsului puterilor cu aceeași bază: se adună exponenții și baza rămâne neschimbată.

Proprietate utilizată

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Identificarea lui \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 2 \qquad m = 3 \qquad n = 4 \]

Aplicarea proprietății

\[ 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \]

Calcul numeric

\[ 2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128 \]

Rezultat

\[ \boxed{128} \]

\[ 25 \]

Idee de rezolvare

Cele două puteri au aceeași bază \(5\). Se aplică proprietatea împărțirii puterilor cu aceeași bază: se scade exponentul de la numitor din exponentul de la numărător.

Proprietate utilizată

\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a \neq 0) \]

Identificarea lui \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 5 \qquad m = 6 \qquad n = 4 \]

Aplicarea proprietății

\[ \frac{5^6}{5^4} = 5^{6-4} = 5^2 \]

Calcul numeric

\[ 5^2 = 25 \]

Rezultat

\[ \boxed{25} \]

\[ 729 \]

Idee de rezolvare

Avem o putere ridicată la rândul ei la un exponent: se aplică proprietatea puterii unei puteri, înmulțind cei doi exponenți.

Proprietate utilizată

\[ \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} \]

Identificarea lui \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 3 \qquad m = 2 \qquad n = 3 \]

Aplicarea proprietății

\[ \left(3^2\right)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 \]

Calcul numeric

\[ 3^6 = 729 \]

Rezultat

\[ \boxed{729} \]

\[ 1000 \]

Idee de rezolvare

Avem un produs a doi factori ridicat la un exponent. Proprietatea puterii unui produs permite distribuirea exponentului asupra fiecărui factor.

Proprietate utilizată

\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]

Identificarea lui \(a\), \(b\), \(n\)

\[ a = 2 \qquad b = 5 \qquad n = 3 \]

Aplicarea proprietății

\[ (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 \]

Calcul numeric

\[ 2^3 = 8 \qquad 5^3 = 125 \]

\[ 8 \cdot 125 = 1000 \]

Rezultat

\[ \boxed{1000} \]

\[ 16 \]

Idee de rezolvare

Avem un raport ridicat la un exponent. Se poate aplica proprietatea puterii unui cât sau se poate simplifica mai întâi fracția.

Metoda 1 — simplificare directă

\[ \frac{6}{3} = 2 \qquad \Rightarrow \qquad \left(\frac{6}{3}\right)^4 = 2^4 = 16 \]

Metoda 2 — proprietatea puterii unui cât

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4 = \frac{6^4}{3^4} = \frac{1296}{81} = 16 \]

Rezultat

\[ \boxed{16} \]

\[ x^9 \]

Idee de rezolvare

Ca la exercițiul 1, dar cu baza literală \(x\). Se adună exponenții.

Proprietate utilizată

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Aplicare

\[ x^4 \cdot x^5 = x^{4+5} = x^9 \]

Rezultat

\[ \boxed{x^9} \]

\[ x^5 \]

Proprietate utilizată

\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (x \neq 0) \]

Aplicare

\[ \frac{x^9}{x^4} = x^{9-4} = x^5 \]

Rezultat

\[ \boxed{x^5} \]

\[ x^{15} \]

Proprietate utilizată

\[ \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} \]

Aplicare

\[ \left(x^3\right)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15} \]

Rezultat

\[ \boxed{x^{15}} \]

\[ 27x^3 \]

Idee de rezolvare

Se aplică proprietatea puterii unui produs cu \(a = 3\) și \(b = x\). Atenție: exponentul se distribuie și asupra coeficientului numeric, nu numai asupra variabilei.

Proprietate utilizată

\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]

Aplicare

\[ (3x)^3 = 3^3 \cdot x^3 \]

Calcul

\[ 3^3 = 27 \]

Rezultat

\[ \boxed{27x^3} \]

\[ \dfrac{x^4}{16} \]

Proprietate utilizată

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

Aplicare

\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4 = \frac{x^4}{2^4} = \frac{x^4}{16} \]

Rezultat

\[ \boxed{\dfrac{x^4}{16}} \]

\[ 49 \]

Idee de rezolvare

Orice bază nenulă ridicată la \(0\) dă \(1\). Această proprietate are loc deoarece \(a^m \div a^m = a^{m-m} = a^0\), dar și \(a^m \div a^m = 1\).

Proprietate utilizată

\[ a^0 = 1 \qquad (a \neq 0) \]

Aplicare

\[ 4^0 \cdot 7^2 = 1 \cdot 49 = 49 \]

Rezultat

\[ \boxed{49} \]

\[ \dfrac{1}{9} \]

Idee de rezolvare

Un exponent negativ indică inversul puterii cu exponent pozitiv. Nu produce un rezultat negativ, ci o fracție.

Proprietate utilizată

\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad (a \neq 0) \]

Aplicare

\[ 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \]

Rezultat

\[ \boxed{\dfrac{1}{9}} \]

\[ x^4 \]

Idee de rezolvare

Se aplică proprietatea produsului puterilor cu aceeași bază chiar și atunci când unul dintre exponenți este negativ: regula este identică, exponenții se adună algebric.

Proprietate utilizată

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Aplicare

\[ x^{-3} \cdot x^7 = x^{-3+7} = x^4 \]

Rezultat

\[ \boxed{x^4} \]

\[ x^8\, y^{12} \]

Idee de rezolvare

Produsul \(x^2 y^3\) este ridicat la puterea a patra. Se distribuie exponentul asupra fiecărui factor, apoi se aplică puterea unei puteri pentru fiecare dintre ei.

Proprietăți utilizate

\[ (ab)^n = a^n b^n \qquad \text{și} \qquad (a^m)^n = a^{mn} \]

Aplicare

\[ \left(x^2 y^3\right)^4 = \left(x^2\right)^4 \cdot \left(y^3\right)^4 = x^{2 \cdot 4} \cdot y^{3 \cdot 4} = x^8 y^{12} \]

Rezultat

\[ \boxed{x^8\, y^{12}} \]

\[ \dfrac{x^3}{8} \]

Idee de rezolvare

Un raport cu exponent negativ este egal cu inversul aceluiași raport cu exponent pozitiv. Se inversează numărătorul cu numitorul, apoi se ridică ambii la \(3\).

Proprietăți utilizate

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} \]

Aplicare

\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3} = \left(\frac{x}{2}\right)^{3} = \frac{x^3}{2^3} = \frac{x^3}{8} \]

Rezultat

\[ \boxed{\dfrac{x^3}{8}} \]

\[ 5 \]

Idee de rezolvare

Un exponent de forma \(\tfrac{1}{q}\) desemnează radicalul de ordin \(q\). În particular, \(a^{1/2} = \sqrt{a}\).

Proprietate utilizată

\[ a^{1/q} = \sqrt[q]{a} \]

Aplicare

\[ 25^{1/2} = \sqrt{25} = 5 \]

Verificare

\[ 5^2 = 25 \checkmark \]

Rezultat

\[ \boxed{5} \]

\[ 2 \]

Proprietate utilizată

\[ a^{1/3} = \sqrt[3]{a} \]

Aplicare

\[ 8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2 \]

Verificare

\[ 2^3 = 8 \checkmark \]

Rezultat

\[ \boxed{2} \]

\[ x \]

Idee de rezolvare

Proprietatea produsului puterilor cu aceeași bază este valabilă și pentru exponenți fracționari. Se adună fracțiile cu același numitor.

Proprietate utilizată

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Suma exponenților

\[ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]

Rezultat

\[ x^{2/3} \cdot x^{1/3} = x^1 = x \]

\[ \boxed{x} \]

\[ 9 \]

Idee de rezolvare

Un exponent \(\tfrac{p}{q}\) desemnează radicalul de ordin \(q\) al bazei ridicate la \(p\). Este preferabil să se extragă mai întâi radicalul, apoi să se ridice la putere: numerele rămân mai mici și mai ușor de manevrat.

Proprietate utilizată

\[ a^{p/q} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p = \sqrt[q]{a^p} \]

Aplicare — metoda radical apoi putere

\[ 27^{2/3} = \left(27^{1/3}\right)^2 = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9 \]

Verificare — metoda alternativă

\[ 27^{2/3} = \left(27^2\right)^{1/3} = 729^{1/3} = \sqrt[3]{729} = 9 \checkmark \]

Rezultat

\[ \boxed{9} \]

\[ x^3 \]

Idee de rezolvare

Se procedează în două etape: mai întâi se simplifică puterea unei puteri, apoi se înmulțește folosind proprietatea produsului cu aceeași bază.

Etapa 1 — puterea unei puteri

\[ \left(x^{-2}\right)^3 = x^{(-2)\cdot 3} = x^{-6} \]

Etapa 2 — produsul cu aceeași bază

\[ x^{-6} \cdot x^9 = x^{-6+9} = x^3 \]

Rezultat

\[ \boxed{x^3} \]

\[ 2 \]

Idee de rezolvare

Se dezvoltă separat numărătorul și numitorul distribuind exponentul exterior, apoi se simplifică câtul.

Dezvoltarea numărătorului

\[ (4x^3)^2 = 4^2 \cdot (x^3)^2 = 16x^6 \]

Dezvoltarea numitorului

\[ (2x^2)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 = 8x^6 \]

Câtul

\[ \frac{16x^6}{8x^6} = \frac{16}{8} \cdot \frac{x^6}{x^6} = 2 \cdot 1 = 2 \]

Rezultat

\[ \boxed{2} \]

\[ a^3\, b^5 \]

Dezvoltarea numărătorului

\[ \left(a^2 b^3\right)^4 = a^{2 \cdot 4} \cdot b^{3 \cdot 4} = a^8 b^{12} \]

Câtul — se scad exponenții pentru fiecare bază

\[ \frac{a^8 b^{12}}{a^5 b^7} = a^{8-5} \cdot b^{12-7} = a^3 b^5 \]

Rezultat

\[ \boxed{a^3\, b^5} \]

\[ \dfrac{x^6}{4} \]

Dezvoltarea numărătorului

\[ (2x^3)^4 = 2^4 \cdot x^{12} = 16x^{12} \]

Dezvoltarea numitorului

\[ (4x^2)^3 = 4^3 \cdot x^6 = 64x^6 \]

Câtul

\[ \frac{16x^{12}}{64x^6} = \frac{16}{64} \cdot x^{12-6} = \frac{1}{4}\, x^6 = \frac{x^6}{4} \]

Rezultat

\[ \boxed{\dfrac{x^6}{4}} \]

\[ a^3\, b^2 \]

Proprietăți utilizate

\[ (AB)^n = A^n B^n \qquad \text{și} \qquad (a^m)^n = a^{mn} \]

Distribuirea exponentului 6

\[ \left(a^{1/2} \cdot b^{1/3}\right)^6 = \left(a^{1/2}\right)^6 \cdot \left(b^{1/3}\right)^6 \]

Puterea unei puteri

\[ \left(a^{1/2}\right)^6 = a^{\,\frac{1}{2} \cdot 6} = a^3 \]

\[ \left(b^{1/3}\right)^6 = b^{\,\frac{1}{3} \cdot 6} = b^2 \]

Rezultat

\[ \boxed{a^3\, b^2} \]

\[ \dfrac{y^6}{x^4} \]

Idee de rezolvare

Un cât cu exponent negativ se transformă în câtul inversat cu exponent pozitiv. Apoi se aplică proprietatea puterii unui cât.

Inversare pentru exponentul negativ

\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} = \left(\frac{y^3}{x^2}\right)^{2} \]

Puterea unui cât

\[ \left(\frac{y^3}{x^2}\right)^{2} = \frac{(y^3)^2}{(x^2)^2} = \frac{y^6}{x^4} \]

Rezultat

\[ \boxed{\dfrac{y^6}{x^4}} \]

\[ 1 \]

Idee de rezolvare

Toate bazele (\(2\), \(4\), \(8\)) sunt puteri ale lui \(2\). Se rescrie totul în baza \(2\), apoi se aplică proprietățile produselor și câturilor.

Rescriere în baza 2

\[ 4^n = (2^2)^n = 2^{2n} \qquad 8^n = (2^3)^n = 2^{3n} \]

Înlocuire

\[ \frac{2^n \cdot 2^{2n}}{2^{3n}} = \frac{2^{n + 2n}}{2^{3n}} = \frac{2^{3n}}{2^{3n}} = 2^0 = 1 \]

Rezultat

\[ \boxed{1} \]

\[ 3 \]

Dezvoltarea numărătorului — primul factor

\[ (3x^2)^3 = 27x^6 \]

Dezvoltarea numărătorului — al doilea factor

\[ (2x)^2 = 4x^2 \]

Produsul din numărător

\[ 27x^6 \cdot 4x^2 = 108\, x^8 \]

Dezvoltarea numitorului

\[ (6x^4)^2 = 36x^8 \]

Câtul final

\[ \frac{108\, x^8}{36\, x^8} = \frac{108}{36} \cdot x^0 = 3 \cdot 1 = 3 \]

Rezultat

\[ \boxed{3} \]

\[ 1 \]

Idee de rezolvare

Numărătorul și numitorul se reduc la aceeași putere a lui \(a\) prin intermediul proprietăților produsului, puterii unei puteri și câtului. Identitatea este valabilă pentru orice valori ale lui \(m\) și \(n\).

Simplificarea numărătorului

\[ a^{m+n} \cdot a^{m-n} = a^{(m+n)+(m-n)} = a^{2m} \]

Simplificarea numitorului

\[ \left(a^m\right)^2 = a^{2m} \]

Câtul

\[ \frac{a^{2m}}{a^{2m}} = a^{2m - 2m} = a^0 = 1 \]

Rezultat

\[ \boxed{1} \]

\[ 3 \]

Idee de rezolvare

La numărător se află două puteri ale lui \(3\) cu exponenți parametrici consecutivi. Se scoate factorul comun \(3^n\) la numărător, apoi se simplifică cu numitorul.

Rescriere exponenților din numărător

\[ 3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^n \]

\[ 3^{n+1} = 3^n \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^n \]

Scoaterea factorului comun \(3^n\)

\[ 3^{n+2} - 3^{n+1} = 9 \cdot 3^n - 3 \cdot 3^n = 3^n(9 - 3) = 6 \cdot 3^n \]

Câtul

\[ \frac{6 \cdot 3^n}{2 \cdot 3^n} = \frac{6}{2} = 3 \]

Rezultat

\[ \boxed{3} \]

\[ 1 \]

Idee de rezolvare

Atât numărătorul, cât și numitorul se reduc la o singură putere a lui \(x\) cu exponentul exprimat în termenii lui \(a\), \(b\), \(c\). Identitatea este valabilă pentru orice alegere a valorilor reale \(a\), \(b\), \(c\) (cu \(x \neq 0\)).

Simplificarea numărătorului

Se aplică proprietatea produsului puterilor cu aceeași bază, adunând toți exponenții:

\[ x^{a+b} \cdot x^{b+c} \cdot x^{c+a} = x^{(a+b)+(b+c)+(c+a)} \]

Suma exponenților:

\[ (a+b)+(b+c)+(c+a) = 2a + 2b + 2c = 2(a+b+c) \]

Prin urmare, numărătorul este egal cu \(x^{2(a+b+c)}\).

Simplificarea numitorului

Se reduce mai întâi produsul interior, apoi se ridică la pătrat:

\[ x^a \cdot x^b \cdot x^c = x^{a+b+c} \]

\[ \left(x^{a+b+c}\right)^2 = x^{2(a+b+c)} \]

Câtul

\[ \frac{x^{2(a+b+c)}}{x^{2(a+b+c)}} = x^0 = 1 \]

Rezultat

\[ \boxed{1} \]