O colecție de exerciții complet rezolvate, concepută pentru a te ajuta să simplifici radicali, să scoți factori din semn de radical și să raționalizezi numitorii.
Vei găsi și rezolvări pas cu pas pentru manipulări mai complexe și ecuații iraționale, cu explicații gândite să te ajute să stăpânești conceptele fundamentale.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{75} \]
Rezultat
\[ 5\sqrt{3} \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se descompune radicandul scoțând cel mai mare pătrat perfect.
Descompunerea radicandului
\[ 75 = 25 \cdot 3 \]
Aplicarea proprietății
\[ \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25}\cdot\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \]
Rezultat
\[ \boxed{5\sqrt{3}} \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{48} \]
Rezultat
\[ 4\sqrt{3} \]
Rezolvare
Descompunerea radicandului
\[ 48 = 16 \cdot 3 \]
Aplicarea proprietății
\[ \sqrt{48} = \sqrt{16}\cdot\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \]
Rezultat
\[ \boxed{4\sqrt{3}} \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{\dfrac{25}{4}} \]
Rezultat
\[ \dfrac{5}{2} \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Rădăcina unei fracții este câtul rădăcinilor numărătorului și numitorului.
Aplicarea proprietății
\[ \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2} \]
Rezultat
\[ \boxed{\dfrac{5}{2}} \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \]
Rezultat
\[ 7\sqrt{3} \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Radicalii cu același radicand se adună ca termeni asemenea.
Scoaterea factorului comun
\[ (2+5)\sqrt{3} = 7\sqrt{3} \]
Rezultat
\[ \boxed{7\sqrt{3}} \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
\[ \sqrt{12} + \sqrt{27} \]
Rezultat
\[ 5\sqrt{3} \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se simplifică fiecare radical, apoi se adună termenii asemenea.
Simplificări
\[ \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3} \qquad \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3} \]
Sumă
\[ 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3} \]
Rezultat
\[ \boxed{5\sqrt{3}} \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
\[ \sqrt{50} - \sqrt{18} \]
Rezultat
\[ 2\sqrt{2} \]
Rezolvare
Simplificări
\[ \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2} \qquad \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2} \]
Diferență
\[ 5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2} \]
Rezultat
\[ \boxed{2\sqrt{2}} \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8} \]
Rezultat
\[ 4 \]
Rezolvare
Aplicarea proprietății
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4 \]
Rezultat
\[ \boxed{4} \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
\[ \sqrt{6}\cdot\sqrt{24} \]
Rezultat
\[ 12 \]
Rezolvare
Aplicarea proprietății
\[ \sqrt{6}\cdot\sqrt{24}=\sqrt{144}=12 \]
Rezultat
\[ \boxed{12} \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
\[ (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) \]
Rezultat
\[ 2 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Produsul are forma \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) cu \(a=\sqrt{5}\) și \(b=\sqrt{3}\).
Aplicarea formulei diferenței de pătrate
\[ (\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2 \]
Rezultat
\[ \boxed{2} \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
\[ (2\sqrt{3})^2 \]
Rezultat
\[ 12 \]
Rezolvare
Calcul
\[ (2\sqrt{3})^2=4\cdot3=12 \]
Rezultat
\[ \boxed{12} \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt{72}+\sqrt{32}-\sqrt{8} \]
Rezultat
\[ 8\sqrt{2} \]
Rezolvare
Simplificarea fiecărui radical
\[ \sqrt{72}=6\sqrt{2} \qquad \sqrt{32}=4\sqrt{2} \qquad \sqrt{8}=2\sqrt{2} \]
Sumă algebrică
\[ 6\sqrt{2}+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=8\sqrt{2} \]
Rezultat
\[ \boxed{8\sqrt{2}} \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
\[ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \]
Rezultat
\[ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]
Rezolvare
Raționalizare
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Rezultat
\[ \boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
\[ \dfrac{3}{\sqrt{5}} \]
Rezultat
\[ \dfrac{3\sqrt{5}}{5} \]
Rezolvare
Raționalizare
\[ \frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5} \]
Rezultat
\[ \boxed{\dfrac{3\sqrt{5}}{5}} \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
\[ (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 \]
Rezultat
\[ 5+2\sqrt{6} \]
Rezolvare
Aplicarea formulei \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\[ (\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{6}+2=5+2\sqrt{6} \]
Rezultat
\[ \boxed{5+2\sqrt{6}} \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
\[ \dfrac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} \]
Rezultat
\[ \sqrt{7}+\sqrt{2} \]
Rezolvare
Înmulțire cu conjugatul
\[ \frac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}=\frac{5(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{7-2}=\frac{5(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{5}=\sqrt{7}+\sqrt{2} \]
Rezultat
\[ \boxed{\sqrt{7}+\sqrt{2}} \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{27} \]
Rezultat
\[ 5 \]
Rezolvare
Calculul rădăcinilor cubice
\[ \sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2 \qquad \sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3 \]
Sumă
\[ 2+3=5 \]
Rezultat
\[ \boxed{5} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
\[ \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{10}}{\sqrt{2}} \]
Rezultat
\[ \sqrt{3}+\sqrt{5} \]
Rezolvare
Distribuirea împărțirii
\[ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{6}{2}}+\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{5} \]
Rezultat
\[ \boxed{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{5+2\sqrt{6}} \]
Rezultat
\[ \sqrt{3}+\sqrt{2} \]
Rezolvare
Identificarea lui \(a\) și \(b\)
Se caută \(a,b\) cu \(a^2+b^2=5\) și \(ab=\sqrt{6}\): se găsesc \(a=\sqrt{3},\,b=\sqrt{2}\).
Rescriere
\[ 5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 \]
Calcul
\[ \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{2} \]
Rezultat
\[ \boxed{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
\[ \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \]
Rezultat
\[ \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} \]
Rezolvare
Înmulțire cu conjugatul \((\sqrt{5}-\sqrt{3})\)
\[ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} \]
Rezultat
\[ \boxed{\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}} \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{8+2\sqrt{15}} \]
Rezultat
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3} \]
Rezolvare
Identificarea lui \(a\) și \(b\)
Se caută \(a,b\) cu \(a^2+b^2=8\) și \(ab=\sqrt{15}\): se găsesc \(a=\sqrt{5},\,b=\sqrt{3}\).
Rescriere
\[ 8+2\sqrt{15}=(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 \]
Calcul
\[ \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}=\sqrt{5}+\sqrt{3} \]
Rezultat
\[ \boxed{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \]
Exercițiul 21 — nivel ★★☆☆☆
\[ \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \]
Rezultat
\[ 2+\sqrt{3} \]
Rezolvare
Înmulțire cu conjugatul
\[ \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3} \]
Rezultat
\[ \boxed{2+\sqrt{3}} \]
Exercițiul 22 — nivel ★★☆☆☆
\[ \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \]
Rezultat
\[ \dfrac{7-2\sqrt{10}}{3} \]
Rezolvare
Înmulțire cu conjugatul
\[ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2}{5-2}=\frac{7-2\sqrt{10}}{3} \]
Dezvoltarea numărătorului
\[ (\sqrt{5}-\sqrt{2})^2=5-2\sqrt{10}+2=7-2\sqrt{10} \]
Rezultat
\[ \boxed{\dfrac{7-2\sqrt{10}}{3}} \]
Exercițiul 23 — nivel ★★★☆☆
\[ \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \]
Rezultat
\[ 4 \]
Rezolvare
Prima fracție
\[ \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3} \]
A doua fracție
\[ \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3} \]
Sumă
\[ (2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4 \]
Rezultat
\[ \boxed{4} \]
Exercițiul 24 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt{3+\sqrt{5}}\cdot\sqrt{3-\sqrt{5}} \]
Rezultat
\[ 2 \]
Rezolvare
Produs sub radical
\[ \sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=\sqrt{9-5}=\sqrt{4}=2 \]
Rezultat
\[ \boxed{2} \]
Exercițiul 25 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{2} \]
Rezultat
\[ 2\sqrt[3]{2} \]
Rezolvare
Simplificări
\[ \sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2} \qquad \sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2} \]
Sumă algebrică
\[ 3\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2}=(3-2+1)\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2} \]
Rezultat
\[ \boxed{2\sqrt[3]{2}} \]
Exercițiul 26 — nivel ★★★☆☆
\[ \dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{2}-1} \]
Rezultat
\[ 2\sqrt{2} \]
Rezolvare
Raționalizarea celor doi termeni
\[ \frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1 \qquad \frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1 \]
Sumă
\[ (\sqrt{2}-1)+(\sqrt{2}+1)=2\sqrt{2} \]
Rezultat
\[ \boxed{2\sqrt{2}} \]
Exercițiul 27 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt{7+4\sqrt{3}} \]
Rezultat
\[ 2+\sqrt{3} \]
Rezolvare
Identificarea lui \(a\) și \(b\)
Se caută \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2=7+4\sqrt{3}\). Cu \(a=2,\,b=\sqrt{3}\): \(a^2+b^2=7\) și \(2ab=4\sqrt{3}\).
Rescriere
\[ 7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^2 \implies \sqrt{7+4\sqrt{3}}=2+\sqrt{3} \]
Rezultat
\[ \boxed{2+\sqrt{3}} \]
Exercițiul 28 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{5-2\sqrt{6}} \]
Rezultat
\[ 2\sqrt{2} \]
Rezolvare
Descompunerea radicalilor dubli
\[ \sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2} \qquad \sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\quad(\sqrt{3}>\sqrt{2}) \]
Diferență
\[ (\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{2} \]
Rezultat
\[ \boxed{2\sqrt{2}} \]
Exercițiul 29 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{2x+1}=x-1 \]
Rezultat
\[ x=4 \]
Rezolvare
Condiții de existență
\(2x+1\geq0\) și \(x-1\geq0\), deci \(x\geq1\).
Ridicare la pătrat
\[ 2x+1=(x-1)^2=x^2-2x+1 \implies x^2-4x=0 \implies x(x-4)=0 \]
Verificare și eliminare
\(x=0\) eliminat (\(x\geq1\)). \(x=4\): \(\sqrt{9}=3=4-1\) — valabil.
Rezultat
\[ \boxed{x=4} \]
Exercițiul 30 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}=2 \]
Rezultat
\[ x=4 \]
Rezolvare
Condiții de existență
\(x\geq3\).
Strategie: sistem sumă–diferență
Notăm \(u=\sqrt{x+5}\), \(v=\sqrt{x-3}\), cu \(u-v=2\) și \(u^2-v^2=8\).
\[ (u+v)\cdot2=8 \implies u+v=4 \]
Sistem: \(u=3,\,v=1\). Din \(u^2=x+5\): \(x=4\).
Verificare
\[ \sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2 \]
Rezultat
\[ \boxed{x=4} \]
Exercițiul 31 — nivel ★★★★☆
\[ (\sqrt{3}+\sqrt{2})^4 \]
Rezultat
\[ 49+20\sqrt{6} \]
Rezolvare
Primul pătrat
\[ (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{6}+2=5+2\sqrt{6} \]
Al doilea pătrat
\[ (5+2\sqrt{6})^2=25+20\sqrt{6}+24=49+20\sqrt{6} \]
Rezultat
\[ \boxed{49+20\sqrt{6}} \]
Exercițiul 32 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt[4]{48}\cdot\sqrt[4]{3} \]
Rezultat
\[ 2\sqrt{3} \]
Rezolvare
Produs sub radical
\[ \sqrt[4]{48\cdot3}=\sqrt[4]{144}=\sqrt[4]{16\cdot9}=\sqrt[4]{16}\cdot\sqrt[4]{9}=2\cdot\sqrt[4]{9} \]
Simplificarea lui \(\sqrt[4]{9}\)
\[ \sqrt[4]{9}=9^{1/4}=(3^2)^{1/4}=3^{1/2}=\sqrt{3} \]
Rezultat
\[ \boxed{2\sqrt{3}} \]
Exercițiul 33 — nivel ★★★★☆
\[ \dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}}+\sqrt[3]{16}-\dfrac{2}{\sqrt[3]{4}} \]
Rezultat
\[ 2\sqrt[3]{2} \]
Rezolvare
Simplificarea fiecărui termen
\[ \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{2} \qquad \sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2} \qquad \frac{2}{\sqrt[3]{4}}=\frac{2\sqrt[3]{2}}{2}=\sqrt[3]{2} \]
Sumă algebrică
\[ \sqrt[3]{2}+2\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2} \]
Rezultat
\[ \boxed{2\sqrt[3]{2}} \]
Exercițiul 34 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} \]
Rezultat
\[ -1 \]
Rezolvare
Produs sub radicalul cubic
\[ \sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}=\sqrt[3]{4-5}=\sqrt[3]{-1} \]
Calcul final
În reale, \(\sqrt[3]{-1}=-1\) deoarece \((-1)^3=-1\).
Rezultat
\[ \boxed{-1} \]
Exercițiul 35 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{3x+1}-\sqrt{x+4}=1 \]
Rezultat
\[ x=5 \]
Rezolvare
Condiții de existență
\(x\geq-\tfrac{1}{3}\).
Izolarea unui radical
\[ \sqrt{3x+1}=1+\sqrt{x+4} \]
Prima ridicare la pătrat
\[ 3x+1=1+2\sqrt{x+4}+(x+4)=x+5+2\sqrt{x+4} \]
\[ 2x-4=2\sqrt{x+4} \implies x-2=\sqrt{x+4}\quad(x\geq2) \]
A doua ridicare la pătrat
\[ (x-2)^2=x+4 \implies x^2-5x=0 \implies x(x-5)=0 \]
Verificare și eliminare
\(x=0\) eliminat. \(x=5\): \(\sqrt{16}-\sqrt{9}=4-3=1\) — valabil.
Rezultat
\[ \boxed{x=5} \]
Exercițiul 36 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{x+\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2} \]
Rezultat
\[ x=1 \]
Rezolvare
Condiții de existență
\(x\geq\tfrac{1}{2}\).
Prima ridicare la pătrat
\[ x+\sqrt{2x-1}=2 \implies \sqrt{2x-1}=2-x\quad(x\leq2) \]
A doua ridicare la pătrat
\[ 2x-1=(2-x)^2=4-4x+x^2 \implies x^2-6x+5=0 \implies (x-1)(x-5)=0 \]
Verificare și eliminare
\(x=5\) eliminat (\(x\leq2\)). \(x=1\): \(\sqrt{1+\sqrt{1}}=\sqrt{2}\) — valabil.
Rezultat
\[ \boxed{x=1} \]
Exercițiul 37 — nivel ★★★★★
\[ \dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} \]
Rezultat
\[ 1 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare — sumă telescopică
Termenul generic raționalizat devine \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\):
\[ \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\cdot\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \]
Aplicare la cei trei termeni
\[ (\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2-\sqrt{3}) \]
Simplificare telescopică
\[ =2-1=1 \]
Rezultat
\[ \boxed{1} \]
Exercițiul 38 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{6+\sqrt{11}}-\sqrt{6-\sqrt{11}} \]
Rezultat
\[ \sqrt{2} \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
În loc să descompunem separat cei doi radicali dubli, este mai eficient să calculăm pătratul diferenței.: se calculează pătratul diferenței.
Calculul pătratului
\[ \left(\sqrt{6+\sqrt{11}}-\sqrt{6-\sqrt{11}}\right)^2=(6+\sqrt{11})+(6-\sqrt{11})-2\sqrt{(6+\sqrt{11})(6-\sqrt{11})} \]
\[ =12-2\sqrt{36-11}=12-2\sqrt{25}=12-10=2 \]
Extragerea rădăcinii
Diferența este pozitivă (primul radical este mai mare decât al doilea), deci:
\[ \sqrt{6+\sqrt{11}}-\sqrt{6-\sqrt{11}}=\sqrt{2} \]
Rezultat
\[ \boxed{\sqrt{2}} \]
Exercițiul 39 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{9-4\sqrt{5}} \]
Rezultat
\[ \sqrt{5}-2 \]
Rezolvare
Identificarea lui \(a\) și \(b\)
Se caută \(a,b\) cu \(a^2+b^2=9\) și \(ab=2\sqrt{5}\): se găsesc \(a=\sqrt{5},\,b=2\).
Rescriere
\[ 9-4\sqrt{5}=5-4\sqrt{5}+4=(\sqrt{5}-2)^2 \]
Extragerea rădăcinii
Deoarece \(\sqrt{5}>2\):
\[ \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2}=\sqrt{5}-2 \]
Rezultat
\[ \boxed{\sqrt{5}-2} \]
Exercițiul 40 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}} \]
Rezultat
\[ 2 \]
Rezolvare
Simplificarea lui \(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\)
\[ 3+2\sqrt{2}=1+2\sqrt{2}+2=(1+\sqrt{2})^2 \implies \sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2} \]
Simplificarea lui \(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\)
\[ 3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^2 \implies \sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\quad(\sqrt{2}>1) \]
Diferență
\[ (1+\sqrt{2})-(\sqrt{2}-1)=2 \]
Rezultat
\[ \boxed{2} \]