O colecție progresivă de 20 de exerciții concepută pentru a învăța cum se elimină radicalii din numitorul fracțiilor.
Exercițiile arată pas cu pas cum se utilizează conjugatul, cum se simplifică expresiile cu radicali și cum se determină restricțiile atunci când apar parametri.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Rezultat
\[ \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Rezolvare
Înmulțim numărătorul și numitorul cu \(\sqrt{2}\):
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \frac{3}{\sqrt{5}} \]
Rezultat
\[ \frac{3\sqrt{5}}{5} \]
Rezolvare
Înmulțim numărătorul și numitorul cu \(\sqrt{5}\):
\[ \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \]
Exercițiul 3 — nivel ★★☆☆☆
\[ \frac{2}{3\sqrt{7}} \]
Rezultat
\[ \frac{2\sqrt{7}}{21} \]
Rezolvare
Înmulțim numărătorul și numitorul cu \(\sqrt{7}\):
\[ \frac{2}{3\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{3 \cdot 7} = \frac{2\sqrt{7}}{21} \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ \frac{1}{\sqrt{2}+1} \]
Rezultat
\[ \sqrt{2}-1 \]
Rezolvare
Înmulțim numărătorul și numitorul cu conjugatul \(\sqrt{2}-1\):
\[ \frac{1}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1 \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
\[ \frac{1}{\sqrt{5}-2} \]
Rezultat
\[ \sqrt{5}+2 \]
Rezolvare
Înmulțim cu conjugatul \(\sqrt{5}+2\):
\[ \frac{1}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2 \]
Exercițiul 6 — nivel ★★★☆☆
\[ \frac{2}{\sqrt{3}-1} \]
Rezultat
\[ \sqrt{3}+1 \]
Rezolvare
Înmulțim cu conjugatul \(\sqrt{3}+1\):
\[ \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \sqrt{3}+1 \]
Exercițiul 7 — nivel ★★★☆☆
\[ \frac{4}{2+\sqrt{3}} \]
Rezultat
\[ 8-4\sqrt{3} \]
Rezolvare
Înmulțim cu conjugatul \(2-\sqrt{3}\):
\[ \frac{4(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{8-4\sqrt{3}}{4-3} = 8-4\sqrt{3} \]
Exercițiul 8 — nivel ★★★☆☆
\[ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}} \]
Rezultat
\[ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3} \]
Rezolvare
Înmulțim cu conjugatul \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\):
\[ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3} \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
\[ \frac{2}{\sqrt{7}+3} \]
Rezultat
\[ 3-\sqrt{7} \]
Rezolvare
Înmulțim cu conjugatul \(\sqrt{7}-3\):
\[ \frac{2(\sqrt{7}-3)}{(\sqrt{7}+3)(\sqrt{7}-3)} = \frac{2(\sqrt{7}-3)}{7-9} = 3-\sqrt{7} \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
\[ \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}} \]
Rezultat
\[ \frac{2+\sqrt{2}}{2} \]
Rezolvare
Înmulțim numărătorul și numitorul cu \(\sqrt{2}\):
\[ \frac{(\sqrt{2}+1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{2} \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★★☆
\[ \frac{3}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \]
Rezultat
\[ -3(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \]
Rezolvare
Înmulțim cu conjugatul \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\):
\[ \frac{3(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{3(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2-3} = -3(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★★☆
\[ \frac{5}{2-\sqrt{5}} \]
Rezultat
\[ -10-5\sqrt{5} \]
Rezolvare
Înmulțim cu conjugatul \(2+\sqrt{5}\):
\[ \frac{5(2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} = \frac{10+5\sqrt{5}}{4-5} = -10-5\sqrt{5} \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★★☆
\[ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1} \]
Rezultat
\[ \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}-2}{2} \]
Rezolvare
Mai întâi raționalizăm față de grupul \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\), înmulțind cu \(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1\):
\[ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}\cdot\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-1}{4+2\sqrt{6}} \]
Apoi raționalizăm noul numitor înmulțind cu conjugatul \(4-2\sqrt{6}\). După efectuarea și simplificarea produselor, obținem:
\[ \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)(4-2\sqrt{6})}{(4+2\sqrt{6})(4-2\sqrt{6})}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}-2}{2} \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★★
\[ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}} \]
Rezultat
\[ \frac{-3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{30}}{12} \]
Rezolvare
Înmulțim cu conjugatul parțial \(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}\):
\[ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{6+2\sqrt{15}} \]
Acum raționalizăm noul numitor înmulțind cu \(6-2\sqrt{15}\). După efectuarea și simplificarea produselor, obținem:
\[ \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})(6-2\sqrt{15})}{(6+2\sqrt{15})(6-2\sqrt{15})}=\frac{-3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{30}}{12} \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
\[ \frac{2}{\sqrt{x}+1} \]
Rezultat
\[ \frac{2(\sqrt{x}-1)}{x-1} \]
Rezolvare
Condiții: expresia inițială este definită pentru \(x\geq 0\). Forma raționalizată obținută este echivalentă pentru \(x\geq0,\ x\neq1\); pentru \(x=1\) expresia inițială are valoarea \(1\).
Înmulțim cu conjugatul \(\sqrt{x}-1\):
\[ \frac{2(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} = \frac{2(\sqrt{x}-1)}{x-1} \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
\[ \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2} \]
Rezultat
\[ \frac{x+4\sqrt{x}+4}{x-4} \]
Rezolvare
Condiții: expresia este definită pentru \(x\geq0,\ x\neq4\).
Înmulțim numărătorul și numitorul cu conjugatul \(\sqrt{x}+2\):
\[ \frac{(\sqrt{x}+2)^2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{x+4\sqrt{x}+4}{x-4} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
\[ \frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}} \]
Rezultat
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x} \]
Rezolvare
Condiții: expresia este definită pentru \(x\geq0\).
Înmulțim cu conjugatul \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\):
\[ \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} = \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{(x+1)-x} = \sqrt{x+1}+\sqrt{x} \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
\[ \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}} \]
Rezultat
\[ \sqrt{x+2}-\sqrt{x+1} \]
Rezolvare
Condiții: expresia este definită pentru \(x\geq-1\).
Înmulțim cu conjugatul \(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}\):
\[ \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}}{(\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1})(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1})} = \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}}{(x+2)-(x+1)} = \sqrt{x+2}-\sqrt{x+1} \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
\[ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}} \]
Rezultat
\[ \frac{x+2-2\sqrt{2x}}{x-2} \]
Rezolvare
Condiții: expresia inițială este definită pentru \(x\geq0\). Forma raționalizată obținută este echivalentă pentru \(x\geq0,\ x\neq2\); pentru \(x=2\) expresia inițială are valoarea \(0\).
Înmulțim numărătorul și numitorul cu conjugatul \(\sqrt{x}-\sqrt{2}\):
\[ \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{x}+\sqrt{2})(\sqrt{x}-\sqrt{2})} = \frac{x-2\sqrt{2x}+2}{x-2} \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
\[ \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}} \]
Rezultat
\[ \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \]
Rezolvare
Condiții: expresia este definită pentru \(x\geq1\).
Înmulțim cu conjugatul \(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\):
\[ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}{(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})(\sqrt{x}+\sqrt{x-1})} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}{x-(x-1)} = \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \]