Regula lui Ruffini: 20 de exerciții rezolvate pas cu pas

\[ x^2 - 5x + 6 \]

Idee de rezolvare

Împărțitorul este un binom de gradul întâi de forma \(x - a\): în astfel de cazuri, regula lui Ruffini este instrumentul cel mai eficient. În loc să efectuăm împărțirea polinoamelor în forma extinsă, lucrăm exclusiv cu coeficienții deîmpărțitului, reducând considerabil numărul de operații.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x - 1\). În regula lui Ruffini se folosește valoarea care anulează împărțitorul: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Prin urmare: \[ a = 1 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 1 \quad -6 \quad 11 \quad -6 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = 1\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 1 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = 1\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ -6 + 1 = -5 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(1\) și se adună:

\[ -5 \cdot 1 = -5 \] \[ 11 + (-5) = 6 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ 6 \cdot 1 = 6 \] \[ -6 + 6 = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât: \[ x^2 - 5x + 6 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{x^2 - 5x + 6} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x - 1\) și poate fi scris ca: \[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6) \]

\[ x^2 - 5x + 4 \]

Idee de rezolvare

Recunoaștem că împărțitorul este un binom liniar de forma \(x - a\). Aceasta ne permite să aplicăm regula lui Ruffini: în loc să efectuăm împărțirea coloană cu coloană, este suficient să dispunem coeficienții deîmpărțitului într-un tabel și să executăm o succesiune alternată de înmulțiri și adunări.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x - 2\), deja scris în forma canonică \(x - a\): nu este necesară nicio rescriere. Valoarea care anulează împărțitorul se obține direct: \[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \] Prin urmare: \[ a = 2 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ x^3 - 7x^2 + 14x - 8 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 1 \quad -7 \quad 14 \quad -8 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = 2\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -7 & 14 & -8 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 1 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = 2\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 1 \cdot 2 = 2 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ -7 + 2 = -5 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(2\) și se adună:

\[ -5 \cdot 2 = -10 \] \[ 14 + (-10) = 4 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ 4 \cdot 2 = 8 \] \[ -8 + 8 = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -7 & 14 & -8 \\ & & 2 & -10 & 8 \\ \hline & 1 & -5 & 4 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât: \[ x^2 - 5x + 4 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{x^2 - 5x + 4} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x - 2\) și poate fi scris ca: \[ x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = (x - 2)(x^2 - 5x + 4) \]

\[ x^2 - x - 2 \]

Idee de rezolvare

Împărțitorul este un binom liniar. Înainte de a aplica regula lui Ruffini, trebuie acordată atenție semnului: împărțitorul nu este de forma \(x - a\) cu \(a\) pozitiv, ci \(x + 3\). Este deci necesar să identificăm corect rădăcina împărțitorului, adică valoarea lui \(x\) care îl anulează, pentru a nu comite erori de semn pe parcursul procedeului.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x + 3\). Deoarece regula lui Ruffini necesită forma \(x - a\), rescriem împărțitorul scoțând în evidență semnul: \[ x + 3 = x - (-3) \] Valoarea care anulează împărțitorul este deci: \[ x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \] Prin urmare: \[ a = -3 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 1 \quad 2 \quad -5 \quad -6 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = -3\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & 2 & -5 & -6 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 1 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = -3\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 1 \cdot (-3) = -3 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ 2 + (-3) = -1 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(-3\) și se adună:

\[ -1 \cdot (-3) = 3 \] \[ -5 + 3 = -2 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ -2 \cdot (-3) = 6 \] \[ -6 + 6 = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & 2 & -5 & -6 \\ & & -3 & 3 & 6 \\ \hline & 1 & -1 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât: \[ x^2 - x - 2 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{x^2 - x - 2} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x + 3\) și poate fi scris ca: \[ x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 3)(x^2 - x - 2) \]

\[ x^2 - 4x + 3 \]

Idee de rezolvare

Și în acest caz împărțitorul este liniar cu semn pozitiv înaintea constantei, exact ca în exercițiul precedent. Reamintim că regula lui Ruffini impune introducerea în schemă nu a termenului liber al împărțitorului, ci a rădăcinii împărțitorului, adică valoarea lui \(x\) care îl anulează: o eroare de semn în această etapă s-ar propaga la toți pașii următori.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x + 2\). Rescriem în forma \(x - a\): \[ x + 2 = x - (-2) \] Valoarea care anulează împărțitorul este: \[ x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -2 \] Prin urmare: \[ a = -2 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 1 \quad -2 \quad -5 \quad 6 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = -2\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -2 & -5 & 6 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 1 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = -2\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 1 \cdot (-2) = -2 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ -2 + (-2) = -4 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(-2\) și se adună:

\[ -4 \cdot (-2) = 8 \] \[ -5 + 8 = 3 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ 3 \cdot (-2) = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -2 & -5 & 6 \\ & & -2 & 8 & -6 \\ \hline & 1 & -4 & 3 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât: \[ x^2 - 4x + 3 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{x^2 - 4x + 3} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x + 2\) și poate fi scris ca: \[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x + 2)(x^2 - 4x + 3) \]

\[ 2x^2 + x - 6 \]

Idee de rezolvare

Împărțitorul este de forma \(x - a\), deci se poate aplica regula lui Ruffini. Merită observat că coeficientul principal al deîmpărțitului este \(2\) și nu \(1\): aceasta nu constituie niciun obstacol, deoarece regula operează asupra coeficienților așa cum sunt, indiferent de valoarea lor. Va fi suficient să îi trecem pe toți corect în schemă.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x - 1\), deja în forma canonică \(x - a\). Valoarea care anulează împărțitorul este: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Prin urmare: \[ a = 1 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ 2x^3 - x^2 - 7x + 6 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 2 \quad -1 \quad -7 \quad 6 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = 1\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 2 & -1 & -7 & 6 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 2 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = 1\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 2 \cdot 1 = 2 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ -1 + 2 = 1 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(1\) și se adună:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \] \[ -7 + 1 = -6 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ -6 \cdot 1 = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 2 & -1 & -7 & 6 \\ & & 2 & 1 & -6 \\ \hline & 2 & 1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât. Deoarece deîmpărțitul era de gradul 3 cu coeficientul principal \(2\), câtul este de gradul 2 cu coeficientul principal \(2\): \[ 2x^2 + x - 6 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{2x^2 + x - 6} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x - 1\) și poate fi scris ca: \[ 2x^3 - x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(2x^2 + x - 6) \]

\[ x^2 - 6x + 8 \]

Idee de rezolvare

Împărțitorul este de forma \(x - a\), deci se aplică regula lui Ruffini. Este util să reamintim că gradul polinomului cât este întotdeauna cu exact unu mai mic decât gradul deîmpărțitului: împărțind un polinom de gradul 3 printr-un binom de gradul 1, ne așteptăm la un cât de gradul 2. Aceasta ne permite să verificăm dintr-o privire că rezultatul este plauzibil.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x - 3\), deja în forma canonică \(x - a\). Valoarea care anulează împărțitorul este: \[ x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \] Prin urmare: \[ a = 3 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ x^3 - 9x^2 + 26x - 24 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 1 \quad -9 \quad 26 \quad -24 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = 3\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -9 & 26 & -24 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 1 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = 3\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 1 \cdot 3 = 3 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ -9 + 3 = -6 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(3\) și se adună:

\[ -6 \cdot 3 = -18 \] \[ 26 + (-18) = 8 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ 8 \cdot 3 = 24 \] \[ -24 + 24 = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -9 & 26 & -24 \\ & & 3 & -18 & 24 \\ \hline & 1 & -6 & 8 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât: \[ x^2 - 6x + 8 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{x^2 - 6x + 8} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x - 3\) și poate fi scris ca: \[ x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = (x - 3)(x^2 - 6x + 8) \]

\[ x^2 + 3x - 4 \]

Idee de rezolvare

Împărțitorul este \(x + 1\), un caz particular în care rădăcina este \(-1\). În regula lui Ruffini, aceasta înseamnă că la fiecare pas se înmulțește cu \(-1\), adică se schimbă pur și simplu semnul valorii curente înainte de a o aduna la coeficientul următor. Este un caz convenabil din punct de vedere al calculului, dar impune totuși atenție: alternanța semnelor poate genera erori dacă se procedează în grabă.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x + 1 = x - (-1)\). Valoarea care anulează împărțitorul este: \[ x + 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = -1 \] Prin urmare: \[ a = -1 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ x^3 + 4x^2 - x - 4 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 1 \quad 4 \quad -1 \quad -4 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = -1\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & 4 & -1 & -4 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 1 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = -1\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 1 \cdot (-1) = -1 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ 4 + (-1) = 3 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(-1\) și se adună:

\[ 3 \cdot (-1) = -3 \] \[ -1 + (-3) = -4 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ -4 \cdot (-1) = 4 \] \[ -4 + 4 = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & 4 & -1 & -4 \\ & & -1 & -3 & 4 \\ \hline & 1 & 3 & -4 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât: \[ x^2 + 3x - 4 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{x^2 + 3x - 4} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x + 1\) și poate fi scris ca: \[ x^3 + 4x^2 - x - 4 = (x + 1)(x^2 + 3x - 4) \]

\[ x^2 - x - 6 \]

Idee de rezolvare

Prezența unui binom liniar ca împărțitor sugerează utilizarea regulii lui Ruffini. Merită să o comparăm mental cu împărțirea lungă a polinoamelor: aceasta din urmă ar necesita rescrierea repetată a termenilor deîmpărțitului și scăderea unor polinoame întregi, în timp ce Ruffini reduce totul la un rând de înmulțiri și adunări scalare. Compactitatea schemei este deosebit de avantajoasă atunci când coeficienții sunt numeric mari.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x - 4\), deja în forma canonică \(x - a\). Valoarea care anulează împărțitorul este: \[ x - 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = 4 \] Prin urmare: \[ a = 4 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ x^3 - 5x^2 - 2x + 24 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 1 \quad -5 \quad -2 \quad 24 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = 4\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 4 & 1 & -5 & -2 & 24 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 1 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = 4\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 1 \cdot 4 = 4 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ -5 + 4 = -1 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(4\) și se adună:

\[ -1 \cdot 4 = -4 \] \[ -2 + (-4) = -6 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ -6 \cdot 4 = -24 \] \[ 24 + (-24) = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} 4 & 1 & -5 & -2 & 24 \\ & & 4 & -4 & -24 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât: \[ x^2 - x - 6 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{x^2 - x - 6} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x - 4\) și poate fi scris ca: \[ x^3 - 5x^2 - 2x + 24 = (x - 4)(x^2 - x - 6) \]

\[ x^2 - x - 6 \]

Idee de rezolvare

Împărțitorul \(x + 4\) are semn pozitiv înaintea constantei, ca în cazurile \(x + 3\) și \(x + 2\) deja întâlnite. Regula lui Ruffini se aplică identic, dar este oportun să reiterăm raționamentul: nu se introduce \(+4\) în schemă, ci rădăcina împărțitorului, adică valoarea \(x = -4\) care îl anulează. Confundarea termenului liber al împărțitorului cu rădăcina sa este cea mai frecventă eroare în aplicarea acestei tehnici.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x + 4 = x - (-4)\). Valoarea care anulează împărțitorul este: \[ x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = -4 \] Prin urmare: \[ a = -4 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ x^3 + 3x^2 - 10x - 24 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 1 \quad 3 \quad -10 \quad -24 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = -4\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 3 & -10 & -24 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 1 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = -4\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 1 \cdot (-4) = -4 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ 3 + (-4) = -1 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(-4\) și se adună:

\[ -1 \cdot (-4) = 4 \] \[ -10 + 4 = -6 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ -6 \cdot (-4) = 24 \] \[ -24 + 24 = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 3 & -10 & -24 \\ & & -4 & 4 & 24 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât: \[ x^2 - x - 6 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{x^2 - x - 6} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x + 4\) și poate fi scris ca: \[ x^3 + 3x^2 - 10x - 24 = (x + 4)(x^2 - x - 6) \]

\[ 2x^2 + 7x + 3 \]

Idee de rezolvare

Împărțitorul este de forma \(x - a\), deci se poate aplica regula lui Ruffini. Deîmpărțitul are coeficientul principal \(2\): merită observat că această valoare se transferă neschimbată ca prim element al rândului inferior al schemei și determină coeficientul principal al câtului. Cu alte cuvinte, câtul unui polinom cu coeficientul principal \(k\) împărțit printr-un binom monic va avea și el coeficientul principal \(k\).

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x - 2\), deja în forma canonică \(x - a\). Valoarea care anulează împărțitorul este: \[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \] Prin urmare: \[ a = 2 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 2 \quad 3 \quad -11 \quad -6 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = 2\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & 3 & -11 & -6 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 2 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = 2\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 2 \cdot 2 = 4 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ 3 + 4 = 7 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(2\) și se adună:

\[ 7 \cdot 2 = 14 \] \[ -11 + 14 = 3 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ 3 \cdot 2 = 6 \] \[ -6 + 6 = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & 3 & -11 & -6 \\ & & 4 & 14 & 6 \\ \hline & 2 & 7 & 3 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât. Coeficientul principal \(2\) al deîmpărțitului apare neschimbat ca prim coeficient al câtului: \[ 2x^2 + 7x + 3 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{2x^2 + 7x + 3} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x - 2\) și poate fi scris ca: \[ 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (x - 2)(2x^2 + 7x + 3) \]

\[ x^2 + 2x - 8 \]

Idee de rezolvare

Înainte de a aplica regula lui Ruffini, este util să amintim teorema pe care aceasta se întemeiază: teorema restului afirmă că restul împărțirii unui polinom \(p(x)\) prin \((x - a)\) este egal cu \(p(a)\). În particular, dacă \(p(a) = 0\), atunci restul este nul și \((x - a)\) este un împărțitor exact. Ruffini nu face altceva decât să mecanizeze și să compacteze calculul câtului și al restului pe care această teoremă îl garantează.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x - 3\), deja în forma canonică \(x - a\). Valoarea care anulează împărțitorul este: \[ x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \] Prin urmare: \[ a = 3 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ x^3 - x^2 - 14x + 24 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 1 \quad -1 \quad -14 \quad 24 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = 3\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -1 & -14 & 24 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 1 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = 3\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 1 \cdot 3 = 3 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ -1 + 3 = 2 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(3\) și se adună:

\[ 2 \cdot 3 = 6 \] \[ -14 + 6 = -8 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ -8 \cdot 3 = -24 \] \[ 24 + (-24) = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -1 & -14 & 24 \\ & & 3 & 6 & -24 \\ \hline & 1 & 2 & -8 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât: \[ x^2 + 2x - 8 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{x^2 + 2x - 8} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x - 3\) și poate fi scris ca: \[ x^3 - x^2 - 14x + 24 = (x - 3)(x^2 + 2x - 8) \]

\[ x^2 - 6x + 5 \]

Idee de rezolvare

Aplicăm regula lui Ruffini și, la final, vom verifica rezultatul în modul cel mai direct posibil: dezvoltând produsul \((x + 2)(x^2 - 6x + 5)\) și controlând că se obține polinomul de plecare. Acest obicei de verificare — rapid de executat — permite identificarea imediată a eventualelor erori de calcul comise în timpul schemei.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x + 2 = x - (-2)\). Valoarea care anulează împărțitorul este: \[ x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -2 \] Prin urmare: \[ a = -2 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ x^3 - 4x^2 - 7x + 10 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 1 \quad -4 \quad -7 \quad 10 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = -2\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -4 & -7 & 10 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 1 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = -2\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 1 \cdot (-2) = -2 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ -4 + (-2) = -6 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(-2\) și se adună:

\[ -6 \cdot (-2) = 12 \] \[ -7 + 12 = 5 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ 5 \cdot (-2) = -10 \] \[ 10 + (-10) = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -4 & -7 & 10 \\ & & -2 & 12 & -10 \\ \hline & 1 & -6 & 5 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât: \[ x^2 - 6x + 5 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{x^2 - 6x + 5} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x + 2\) și poate fi scris ca: \[ x^3 - 4x^2 - 7x + 10 = (x + 2)(x^2 - 6x + 5) \]

\[ 3x^2 + x - 2 \]

Idee de rezolvare

Și în acest caz împărțitorul este de forma \(x - a\) și se aplică regula lui Ruffini. Coeficientul principal al deîmpărțitului este \(3\): la pașii intermediari, produsele vor fi multipli ai lui \(3\), ceea ce nu mărește dificultatea metodei, dar impune să nu neglijăm niciun factor. Este o bună practică, în cazul coeficienților neunitari, să revedem fiecare înmulțire înainte de a trece la pasul următor.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x - 2\), deja în forma canonică \(x - a\). Valoarea care anulează împărțitorul este: \[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \] Prin urmare: \[ a = 2 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ 3x^3 - 5x^2 - 4x + 4 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 3 \quad -5 \quad -4 \quad 4 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = 2\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 3 & -5 & -4 & 4 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 3 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = 2\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 3 \cdot 2 = 6 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ -5 + 6 = 1 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(2\) și se adună:

\[ 1 \cdot 2 = 2 \] \[ -4 + 2 = -2 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ -2 \cdot 2 = -4 \] \[ 4 + (-4) = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 3 & -5 & -4 & 4 \\ & & 6 & 2 & -4 \\ \hline & 3 & 1 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât. Coeficientul principal \(3\) al deîmpărțitului se regăsește neschimbat ca prim coeficient al câtului: \[ 3x^2 + x - 2 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{3x^2 + x - 2} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x - 2\) și poate fi scris ca: \[ 3x^3 - 5x^2 - 4x + 4 = (x - 2)(3x^2 + x - 2) \]

\[ x^2 + x - 2 \]

Idee de rezolvare

Împărțitorul este \(x + 4\), cu termenul liber de valoare absolută mai mare față de cazurile precedente. În regula lui Ruffini, aceasta se traduce prin produse intermediare mai mari: este oportun să executăm fiecare înmulțire cu atenție, deoarece o eroare asupra unei valori ridicate produce abateri mai evidente în rândul final. Din punct de vedere procedural nu se schimbă nimic: se determină rădăcina \(a = -4\) și se procedează ca de obicei.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x + 4 = x - (-4)\). Valoarea care anulează împărțitorul este: \[ x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = -4 \] Prin urmare: \[ a = -4 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ x^3 + 5x^2 + 2x - 8 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 1 \quad 5 \quad 2 \quad -8 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = -4\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 5 & 2 & -8 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 1 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = -4\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 1 \cdot (-4) = -4 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ 5 + (-4) = 1 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(-4\) și se adună:

\[ 1 \cdot (-4) = -4 \] \[ 2 + (-4) = -2 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ -2 \cdot (-4) = 8 \] \[ -8 + 8 = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 5 & 2 & -8 \\ & & -4 & -4 & 8 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât: \[ x^2 + x - 2 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{x^2 + x - 2} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x + 4\) și poate fi scris ca: \[ x^3 + 5x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x^2 + x - 2) \]

\[ 2x^2 - 3x - 2 \]

Idee de rezolvare

Pe lângă furnizarea câtului și a restului, regula lui Ruffini este un instrument de factorizare: ori de câte ori restul este nul, polinomul se scrie ca produs al împărțitorului cu câtul. Dacă și câtul obținut este factorizabil în continuare — de exemplu prin formula de gradul al doilea — se obține descompunerea completă în factori ireductibili a polinomului de plecare. În acest exercițiu, câtul \(2x^2 - 3x - 2\) este un trinom care poate fi factorizat ulterior, dar aceasta depășește obiectivul curent.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x - 3\), deja în forma canonică \(x - a\). Valoarea care anulează împărțitorul este: \[ x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \] Prin urmare: \[ a = 3 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 2 \quad -9 \quad 7 \quad 6 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = 3\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 2 & -9 & 7 & 6 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 2 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = 3\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 2 \cdot 3 = 6 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ -9 + 6 = -3 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(3\) și se adună:

\[ -3 \cdot 3 = -9 \] \[ 7 + (-9) = -2 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ -2 \cdot 3 = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 2 & -9 & 7 & 6 \\ & & 6 & -9 & -6 \\ \hline & 2 & -3 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât: \[ 2x^2 - 3x - 2 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{2x^2 - 3x - 2} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x - 3\) și poate fi scris ca: \[ 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6 = (x - 3)(2x^2 - 3x - 2) \]

\[ x^2 + x - 6 \]

Idee de rezolvare

Deîmpărțitul \(x^3 - 7x + 6\) nu conține termenul în \(x^2\): este vorba despre un polinom cu un termen lipsă. Înainte de a aplica regula lui Ruffini, este indispensabil să facem explicit coeficientul nul corespunzător, inserând \(0\) în poziția lui \(x^2\) în cadrul schemei. Omiterea acestui pas ar conduce la asocierea fiecărui coeficient cu puterea greșită, invalidând întregul calcul.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x - 1\), deja în forma canonică \(x - a\). Valoarea care anulează împărțitorul este: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Prin urmare: \[ a = 1 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul scris în formă completă, cu termenul lipsă făcut explicit, este: \[ x^3 + 0x^2 - 7x + 6 \] Coeficienții asociați, în ordine, sunt: \[ 1 \quad 0 \quad -7 \quad 6 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = 1\) în stânga și se trec toți cei patru coeficienți — inclusiv zero — pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 0 & -7 & 6 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 1 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = 1\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ 0 + 1 = 1 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(1\) și se adună:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \] \[ -7 + 1 = -6 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ -6 \cdot 1 = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 0 & -7 & 6 \\ & & 1 & 1 & -6 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât: \[ x^2 + x - 6 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{x^2 + x - 6} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x - 1\) și poate fi scris ca: \[ x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x^2 + x - 6) \]

\[ x^2 - 5x + 6 \]

Idee de rezolvare

Înainte de a porni schema, este indicat să verificăm rapid că \(x + 3\) este într-adevăr un împărțitor exact, calculând \(p(-3)\) mental: \((-3)^3 - 2(-3)^2 - 9(-3) + 18 = -27 - 18 + 27 + 18 = 0\). Această pre-verificare, posibilă prin teorema restului, necesită câteva secunde și ne asigură că schema lui Ruffini va produce rest nul. Dacă dimpotrivă rezultatul ar fi diferit de zero, am ști deja că împărțirea nu este exactă, fără a fi nevoie să completăm întreaga schemă.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x + 3 = x - (-3)\). Valoarea care anulează împărțitorul este: \[ x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \] Prin urmare: \[ a = -3 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ x^3 - 2x^2 - 9x + 18 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 1 \quad -2 \quad -9 \quad 18 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = -3\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & -2 & -9 & 18 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 1 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = -3\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 1 \cdot (-3) = -3 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ -2 + (-3) = -5 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(-3\) și se adună:

\[ -5 \cdot (-3) = 15 \] \[ -9 + 15 = 6 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ 6 \cdot (-3) = -18 \] \[ 18 + (-18) = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & -2 & -9 & 18 \\ & & -3 & 15 & -18 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât: \[ x^2 - 5x + 6 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă, așa cum anticipase pre-verificarea.

Rezultat

\[ \boxed{x^2 - 5x + 6} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x + 3\) și poate fi scris ca: \[ x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = (x + 3)(x^2 - 5x + 6) \]

\[ 2x^2 - 5x + 2 \]

Idee de rezolvare

Acest exercițiu combină două elemente deja întâlnite separat: un împărțitor de forma \(x + k\) cu \(k > 0\) — care impune obținerea unei rădăcini negative — și un coeficient principal al deîmpărțitului diferit de \(1\). Regula lui Ruffini gestionează ambele situații fără modificări ale procedeului; ceea ce se schimbă este doar atenția sporită necesară în executarea produselor ce implică simultan numere negative și coeficienți întregi mai mari ca unu.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x + 3 = x - (-3)\). Valoarea care anulează împărțitorul este: \[ x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \] Prin urmare: \[ a = -3 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ 2x^3 + x^2 - 13x + 6 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 2 \quad 1 \quad -13 \quad 6 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = -3\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 2 & 1 & -13 & 6 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 2 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = -3\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 2 \cdot (-3) = -6 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ 1 + (-6) = -5 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(-3\) și se adună:

\[ -5 \cdot (-3) = 15 \] \[ -13 + 15 = 2 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ 2 \cdot (-3) = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 2 & 1 & -13 & 6 \\ & & -6 & 15 & -6 \\ \hline & 2 & -5 & 2 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât. Coeficientul principal \(2\) al deîmpărțitului se regăsește ca prim coeficient al câtului: \[ 2x^2 - 5x + 2 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{2x^2 - 5x + 2} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x + 3\) și poate fi scris ca: \[ 2x^3 + x^2 - 13x + 6 = (x + 3)(2x^2 - 5x + 2) \]

\[ x^2 + 2x - 3 \]

Idee de rezolvare

Aplicarea regulii lui Ruffini nu se limitează la găsirea câtului și a restului: atunci când restul este nul, \(a\) este o rădăcină a polinomului deîmpărțit. În acest exercițiu vom obține câtul \(x^2 + 2x - 3\), factorizabil la rândul său ca \((x - 1)(x + 3)\). Aceasta înseamnă că \(x = 1\) este o rădăcină dublă și \(x = -3\) este o rădăcină suplimentară, iar descompunerea completă a polinomului de plecare este \((x-1)^2(x+3)\). Ruffini este deci primul pas al unui lanț de factorizări.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x - 1\), deja în forma canonică \(x - a\). Valoarea care anulează împărțitorul este: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Prin urmare: \[ a = 1 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ x^3 + x^2 - 5x + 3 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 1 \quad 1 \quad -5 \quad 3 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = 1\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 1 & -5 & 3 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 1 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = 1\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 1 \cdot 1 = 1 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ 1 + 1 = 2 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(1\) și se adună:

\[ 2 \cdot 1 = 2 \] \[ -5 + 2 = -3 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ -3 \cdot 1 = -3 \] \[ 3 + (-3) = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 1 & -5 & 3 \\ & & 1 & 2 & -3 \\ \hline & 1 & 2 & -3 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât: \[ x^2 + 2x - 3 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{x^2 + 2x - 3} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x - 1\) și poate fi scris ca: \[ x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x - 1)(x^2 + 2x - 3) \] Factorizând în continuare câtul, se obține descompunerea completă: \[ x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x - 1)^2(x + 3) \]

\[ 3x^2 + 5x - 2 \]

Idee de rezolvare

Ajunși la al douăzecilea exercițiu, putem face un bilanț al metodei. Regula lui Ruffini s-a dovedit aplicabilă în mod uniform, indiferent de semnul rădăcinii, de valoarea absolută a coeficienților sau de coeficientul principal al deîmpărțitului. Singura condiție necesară rămâne ca împărțitorul să fie un binom monic de gradul întâi \(x - a\): atunci când această condiție este satisfăcută, schema cu trei rânduri furnizează întotdeauna câtul și restul într-un mod rapid și verificabil.

Determinarea valorii de utilizat

Împărțitorul este \(x - 1\), deja în forma canonică \(x - a\). Valoarea care anulează împărțitorul este: \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Prin urmare: \[ a = 1 \]

Scrierea coeficienților

Polinomul este deja ordonat în puteri descrescătoare: \[ 3x^3 + 2x^2 - 7x + 2 \] Coeficienții asociați sunt: \[ 3 \quad 2 \quad -7 \quad 2 \]

Construirea schemei lui Ruffini

Se plasează valoarea \(a = 1\) în stânga și se trec coeficienții pe rândul superior:

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 3 & 2 & -7 & 2 \end{array} \]

Aplicarea pas cu pas a regulii

Pasul 1: se coboară primul coeficient în rândul inferior fără a-l modifica.

\[ 3 \]

Pasul 2: se înmulțește valoarea tocmai scrisă cu \(a = 1\) și se plasează rezultatul sub coeficientul următor:

\[ 3 \cdot 1 = 3 \]

Pasul 3: se adună valorile din coloană:

\[ 2 + 3 = 5 \]

Pasul 4: se repetă procedeul: se înmulțește valoarea obținută cu \(1\) și se adună:

\[ 5 \cdot 1 = 5 \] \[ -7 + 5 = -2 \]

Pasul 5: se execută ultimul pas:

\[ -2 \cdot 1 = -2 \] \[ 2 + (-2) = 0 \]

Schema completă

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 3 & 2 & -7 & 2 \\ & & 3 & 5 & -2 \\ \hline & 3 & 5 & -2 & 0 \end{array} \]

Interpretarea rezultatului

Valorile obținute în rândul inferior, cu excepția ultimei, reprezintă coeficienții polinomului cât. Coeficientul principal \(3\) al deîmpărțitului apare neschimbat ca prim coeficient al câtului: \[ 3x^2 + 5x - 2 \]

Ultima valoare este restul împărțirii: \[ r = 0 \] Deoarece restul este nul, împărțirea este exactă.

Rezultat

\[ \boxed{3x^2 + 5x - 2} \]

Concluzie

Restul fiind nul, polinomul inițial este divizibil cu \(x - 1\) și poate fi scris ca: \[ 3x^3 + 2x^2 - 7x + 2 = (x - 1)(3x^2 + 5x - 2) \]