Exercițiile care urmează permit consolidarea noțiunilor fundamentale despre șiruri: definiție, notație, termen general, recurență, monotonie, mărginire, progresii aritmetice și geometrice, reprezentare grafică și noțiuni introductive despre subșiruri.
În fiecare exercițiu vom folosi definițiile în mod explicit, pentru a clarifica nu numai rezultatul final, ci și procedeul corect de urmat.
Exercițiul 1 — nivelul ★☆☆☆☆
Să se scrie primii cinci termeni ai șirului definit prin
\[ a_n=2n-1,\qquad n\ge 1. \]
Rezultat
Primii cinci termeni sunt
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9. \]
Rezolvare
Șirul este definit prin termenul general
\[ a_n=2n-1. \]
Pentru a găsi primii cinci termeni trebuie să înlocuim pe \(n\) cu valorile \(1,2,3,4,5\).
Pentru \(n=1\) obținem
\[ a_1=2\cdot 1-1=1. \]
Pentru \(n=2\) obținem
\[ a_2=2\cdot 2-1=3. \]
Pentru \(n=3\) obținem
\[ a_3=2\cdot 3-1=5. \]
Analog,
\[ a_4=2\cdot 4-1=7, \qquad a_5=2\cdot 5-1=9. \]
Așadar, primii cinci termeni ai șirului sunt
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9. \]
Observăm că acestea sunt primele numere naturale impare. Totuși, șirul nu este pur și simplu mulțimea numerelor impare: este o listă ordonată, în care primul termen este \(1\), al doilea este \(3\), al treilea este \(5\) și așa mai departe.
Exercițiul 2 — nivelul ★☆☆☆☆
Să se determine primii patru termeni ai șirului
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \]
în următoarele două cazuri:
- \(n\ge 0\);
- \(n\ge 1\).
Rezultat
Dacă \(n\ge 0\), primii patru termeni sunt
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14. \]
Dacă \(n\ge 1\), primii patru termeni sunt
\[ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \frac15. \]
Rezolvare
Formula termenului general este aceeași în ambele cazuri:
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Se schimbă însă indicele inițial al șirului.
Dacă \(n\ge 0\), primul indice este \(0\). Așadar, primii patru termeni corespund valorilor \(n=0,1,2,3\).
Calculăm:
\[ a_0=\frac{1}{0+1}=1, \]
\[ a_1=\frac{1}{1+1}=\frac12, \]
\[ a_2=\frac{1}{2+1}=\frac13, \]
\[ a_3=\frac{1}{3+1}=\frac14. \]
Așadar, dacă \(n\ge 0\), șirul începe cu
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Dacă, în schimb, \(n\ge 1\), primul indice este \(1\). Primii patru termeni corespund atunci valorilor \(n=1,2,3,4\).
Calculăm:
\[ a_1=\frac12,\qquad a_2=\frac13,\qquad a_3=\frac14,\qquad a_4=\frac15. \]
Așadar, dacă \(n\ge 1\), șirul începe cu
\[ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \frac15,\ldots \]
Acest exercițiu arată că una și aceeași formulă poate genera șiruri diferite dacă se schimbă mulțimea indicilor.
Exercițiul 3 — nivelul ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă formula
\[ a_n=\frac{1}{n-2} \]
definește un șir real pentru orice \(n\ge 1\). În caz contrar, să se indice de la ce indice poate fi considerat.
Rezultat
Formula nu definește un șir real pentru orice \(n\ge 1\), deoarece pentru \(n=2\) numitorul se anulează. Poate fi considerată, de exemplu, pentru \(n\ge 3\).
Rezolvare
Pentru a defini un șir real, termenul \(a_n\) trebuie să fie un număr real pentru orice indice admis.
Formula este
\[ a_n=\frac{1}{n-2}. \]
Numitorul este
\[ n-2. \]
Acest numitor se anulează când
\[ n-2=0. \]
Deci
\[ n=2. \]
Pentru \(n=2\) am avea
\[ a_2=\frac{1}{2-2}=\frac10, \]
care nu este definit.
Așadar, formula nu definește un șir real pentru toți indicii \(n\ge 1\).
Pentru a evita problema, putem considera șirul începând de la \(n=3\). În acest caz obținem
\[ a_3=1,\qquad a_4=\frac12,\qquad a_5=\frac13,\qquad a_6=\frac14,\ldots \]
Prin urmare, formula definește corect un șir real dacă punem, de exemplu,
\[ n\ge 3. \]
Exercițiul 4 — nivelul ★★☆☆☆
Fiind dat șirul
\[ a_n=\frac{n+1}{n}, \qquad n\ge 1, \]
să se scrie primii patru termeni și să se rescrie termenul general sub forma \(1+\displaystyle \frac1n\).
Rezultat
Primii patru termeni sunt
\[ 2,\ \frac32,\ \frac43,\ \frac54. \]
În plus,
\[ a_n=1+\frac1n. \]
Rezolvare
Calculăm primii termeni înlocuind \(n=1,2,3,4\).
Pentru \(n=1\),
\[ a_1=\frac{1+1}{1}=2. \]
Pentru \(n=2\),
\[ a_2=\frac{2+1}{2}=\frac32. \]
Pentru \(n=3\),
\[ a_3=\frac{3+1}{3}=\frac43. \]
Pentru \(n=4\),
\[ a_4=\frac{4+1}{4}=\frac54. \]
Așadar, primii patru termeni sunt
\[ 2,\ \frac32,\ \frac43,\ \frac54. \]
Acum rescriem termenul general:
\[ \frac{n+1}{n}=\frac{n}{n}+\frac{1}{n}. \]
Deoarece
\[ \frac{n}{n}=1, \]
obținem
\[ a_n=1+\frac1n. \]
Această formă este adesea mai semnificativă decât forma inițială, deoarece arată că fiecare termen se obține adăugând la \(1\) cantitatea \(\displaystyle \frac1n\).
Exercițiul 5 — nivelul ★★☆☆☆
Să se considere șirul definit prin recurență:
\[ a_1=4,\qquad a_{n+1}=a_n+5\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Să se scrie primii cinci termeni și să se găsească o formulă explicită pentru \(a_n\).
Rezultat
Primii cinci termeni sunt
\[ 4,\ 9,\ 14,\ 19,\ 24. \]
Formula explicită este
\[ a_n=4+5(n-1). \]
În mod echivalent,
\[ a_n=5n-1. \]
Rezolvare
Șirul este definit prin recurență. Aceasta înseamnă că fiecare termen se obține din cel precedent.
Știm că
\[ a_1=4. \]
În plus,
\[ a_{n+1}=a_n+5. \]
Deci fiecare termen următor se obține adăugând \(5\) la termenul precedent.
Calculăm:
\[ a_2=a_1+5=4+5=9, \]
\[ a_3=a_2+5=9+5=14, \]
\[ a_4=a_3+5=14+5=19, \]
\[ a_5=a_4+5=19+5=24. \]
Primii cinci termeni sunt așadar
\[ 4,\ 9,\ 14,\ 19,\ 24. \]
Pentru a găsi formula explicită, observăm că, pentru a trece de la \(a_1\) la \(a_n\), adăugăm \(5\) exact de \(n-1\) ori.
Prin urmare,
\[ a_n=4+5(n-1). \]
Dezvoltând,
\[ a_n=4+5n-5=5n-1. \]
Așadar, o formulă explicită a șirului este
\[ a_n=5n-1. \]
Exercițiul 6 — nivelul ★★☆☆☆
Să se considere șirul definit prin
\[ b_1=3,\qquad b_{n+1}=2b_n\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Să se scrie primii cinci termeni și să se recunoască tipul șirului.
Rezultat
Primii cinci termeni sunt
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48. \]
Este vorba despre o progresie geometrică cu primul termen \(3\) și rația \(2\).
Rezolvare
Șirul este definit prin recurență:
\[ b_1=3, \qquad b_{n+1}=2b_n. \]
Aceasta înseamnă că fiecare termen următor se obține înmulțind termenul precedent cu \(2\).
Calculăm:
\[ b_2=2b_1=2\cdot 3=6, \]
\[ b_3=2b_2=2\cdot 6=12, \]
\[ b_4=2b_3=2\cdot 12=24, \]
\[ b_5=2b_4=2\cdot 24=48. \]
Așadar, primii cinci termeni sunt
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48. \]
Deoarece fiecare termen se obține din cel precedent înmulțind mereu cu același număr, șirul este o progresie geometrică.
Primul termen este
\[ b_1=3, \]
iar rația este
\[ q=2. \]
Formula explicită este deci
\[ b_n=3\cdot 2^{n-1}. \]
Exercițiul 7 — nivelul ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă șirul
\[ a_n=7,\qquad n\ge 1, \]
este crescător, descrescător și mărginit.
Rezultat
Șirul este constant. Prin urmare, este crescător și descrescător în sens larg. În plus, este mărginit.
Rezolvare
Șirul este
\[ a_n=7\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Aceasta înseamnă că toți termenii săi sunt egali cu \(7\):
\[ 7,\ 7,\ 7,\ 7,\ldots \]
Pentru a verifica dacă este crescător, trebuie să verificăm dacă
\[ a_n\le a_{n+1}\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În acest caz
\[ a_n=7 \qquad \text{și} \qquad a_{n+1}=7. \]
Deci
\[ a_n=a_{n+1}. \]
În particular,
\[ a_n\le a_{n+1}. \]
Așadar, șirul este crescător în sens larg.
Analog, deoarece
\[ a_n=a_{n+1}, \]
are loc și
\[ a_n\ge a_{n+1}. \]
Deci șirul este și descrescător în sens larg.
În fine, șirul este mărginit, deoarece toți termenii săi coincid cu \(7\). De exemplu, putem scrie
\[ 6\le a_n\le 8\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
De fapt, mulțimea valorilor luate de șir este pur și simplu
\[ \{7\}. \]
Acest lucru este suficient pentru a concluziona că șirul este mărginit: într-adevăr, toți termenii săi rămân mereu egali cu \(7\).
Exercițiul 8 — nivelul ★★☆☆☆
Să se demonstreze că șirul
\[ a_n=n^2+1, \qquad n\ge 1, \]
este strict crescător.
Rezultat
Șirul este strict crescător.
Rezolvare
Pentru a demonstra că un șir este strict crescător, trebuie să arătăm că
\[ a_n<a_{n+1}\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În mod echivalent, putem demonstra că
\[ a_{n+1}-a_n>0\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În cazul nostru
\[ a_n=n^2+1. \]
Calculăm termenul următor:
\[ a_{n+1}=(n+1)^2+1. \]
Deci
\[ a_{n+1}-a_n=\bigl((n+1)^2+1\bigr)-(n^2+1). \]
Dezvoltăm:
\[ (n+1)^2+1=n^2+2n+1+1=n^2+2n+2. \]
Atunci
\[ a_{n+1}-a_n=(n^2+2n+2)-(n^2+1)=2n+1. \]
Deoarece \(n\ge 1\), avem
\[ 2n+1>0. \]
Prin urmare,
\[ a_{n+1}-a_n>0\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În consecință,
\[ a_n<a_{n+1}\quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
iar șirul este strict crescător.
Exercițiul 9 — nivelul ★★☆☆☆
Să se demonstreze că șirul
\[ a_n=\frac1n, \qquad n\ge 1, \]
este strict descrescător.
Rezultat
Șirul este strict descrescător.
Rezolvare
Pentru a demonstra că un șir este strict descrescător, trebuie să arătăm că
\[ a_{n+1}<a_n\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În cazul nostru
\[ a_n=\frac1n. \]
Termenul următor este
\[ a_{n+1}=\frac{1}{n+1}. \]
Deoarece
\[ n+1>n \]
și deoarece \(n\) și \(n+1\) sunt pozitive, trecând la inverse sensul inegalității se schimbă:
\[ \frac{1}{n+1}<\frac1n. \]
Adică
\[ a_{n+1}<a_n\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Așadar, șirul
\[ \left(\frac1n\right)_{n\ge 1} \]
este strict descrescător.
Acest exemplu este important deoarece arată că un șir descrescător nu trebuie neapărat să devină negativ: într-adevăr, toți termenii șirului sunt pozitivi.
Exercițiul 10 — nivelul ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă șirul
\[ a_n=(-1)^n, \qquad n\ge 1, \]
este crescător, descrescător sau monoton.
Rezultat
Șirul nu este nici crescător, nici descrescător. În consecință, nu este monoton.
Rezolvare
Calculăm primii termeni ai șirului:
\[ a_1=(-1)^1=-1, \]
\[ a_2=(-1)^2=1, \]
\[ a_3=(-1)^3=-1, \]
\[ a_4=(-1)^4=1. \]
Așadar, șirul este
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Pentru a fi crescător ar trebui să aibă loc
\[ a_n\le a_{n+1}\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Totuși, pentru \(n=2\) avem
\[ a_2=1 \qquad \text{și} \qquad a_3=-1. \]
Deci
\[ a_2>a_3. \]
Acest lucru este suficient pentru a concluziona că șirul nu este crescător.
Pentru a fi descrescător ar trebui să aibă loc
\[ a_n\ge a_{n+1}\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Totuși, pentru \(n=1\) avem
\[ a_1=-1 \qquad \text{și} \qquad a_2=1. \]
Deci
\[ a_1<a_2. \]
Acest lucru este suficient pentru a concluziona că șirul nu este descrescător.
Deoarece un șir monoton este un șir crescător sau descrescător, șirul dat nu este monoton.
Exercițiul 11 — nivelul ★★★☆☆
Să se studieze mărginirea șirului
\[ a_n=\frac{n}{n+1}, \qquad n\ge 1. \]
Să se determine un minorant, un majorant, marginea inferioară și marginea superioară ale mulțimii valorilor luate.
Rezultat
Șirul este mărginit. Avem
\[ 0<a_n<1\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Un minorant este \(0\), un majorant este \(1\). În plus,
\[ \inf\{a_n:n\ge 1\}=\frac12, \qquad \sup\{a_n:n\ge 1\}=1. \]
Rezolvare
Considerăm șirul
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Deoarece \(n\ge 1\), atât \(n\), cât și \(n+1\) sunt pozitive. Deci
\[ \frac{n}{n+1}>0. \]
Așadar, \(0\) este un minorant al șirului.
În plus, deoarece
\[ n<n+1, \]
împărțind prin \(n+1>0\) obținem
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Așadar, \(1\) este un majorant al șirului.
Avem deci
\[ 0<a_n<1\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În particular, șirul este mărginit.
Acum determinăm marginea inferioară și marginea superioară ale mulțimii valorilor luate.
Calculăm primii termeni:
\[ a_1=\frac12,\qquad a_2=\frac23,\qquad a_3=\frac34,\qquad a_4=\frac45. \]
Șirul este crescător, deoarece
\[ a_n=1-\frac{1}{n+1}. \]
Pe măsură ce \(n\) crește, cantitatea \(\frac{1}{n+1}\) descrește; deci \(1-\frac{1}{n+1}\) crește.
Primul termen este
\[ a_1=\frac12. \]
Deoarece șirul este crescător, cea mai mică valoare luată este \(\displaystyle \frac12\). Prin urmare,
\[ \inf\{a_n:n\ge 1\}=\frac12. \]
Pe de altă parte, toți termenii sunt mai mici decât \(1\), dar devin din ce în ce mai apropiați de \(1\). Deci \(1\) este cel mai mic dintre toți majoranții.
Prin urmare,
\[ \sup\{a_n:n\ge 1\}=1. \]
Observăm că marginea superioară nu este un termen al șirului, deoarece nu există niciun \(n\ge 1\) astfel încât
\[ \frac{n}{n+1}=1. \]
Exercițiul 12 — nivelul ★★★☆☆
Să se demonstreze că șirul
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}, \qquad n\ge 1, \]
este mărginit.
Rezultat
Șirul este mărginit. Într-adevăr,
\[ |a_n|\le 1\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Rezolvare
Pentru a demonstra că un șir este mărginit, putem folosi criteriul cu ajutorul modulului.
Un șir \((a_n)\) este mărginit dacă există un număr real \(K>0\) astfel încât
\[ |a_n|\le K\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În cazul nostru
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Calculăm modulul:
\[ |a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|. \]
Deoarece
\[ |(-1)^n|=1 \]
pentru orice \(n\ge 1\), obținem
\[ |a_n|=\frac1n. \]
Deoarece \(n\ge 1\), avem
\[ \frac1n\le 1. \]
Așadar,
\[ |a_n|\le 1\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Alegând \(K=1\), concluzionăm că șirul este mărginit.
Primii termeni sunt
\[ -1,\ \frac12,\ -\frac13,\ \frac14,\ldots \]
Aceștia își schimbă semnul, dar rămân toți cuprinși între \(-1\) și \(1\).
Exercițiul 13 — nivelul ★★★☆☆
Să se stabilească dacă șirul
\[ a_n=n^2-3n, \qquad n\ge 1, \]
este mărginit superior, mărginit inferior sau mărginit.
Rezultat
Șirul este mărginit inferior, dar nu este mărginit superior. În consecință, nu este mărginit.
Rezolvare
Considerăm
\[ a_n=n^2-3n. \]
Calculăm câțiva termeni:
\[ a_1=1-3=-2, \]
\[ a_2=4-6=-2, \]
\[ a_3=9-9=0, \]
\[ a_4=16-12=4. \]
Termenii încep așadar astfel:
\[ -2,\ -2,\ 0,\ 4,\ldots \]
Pentru a studia mărginirea, rescriem termenul general completând pătratul:
\[ n^2-3n=\left(n-\frac32\right)^2-\frac94. \]
Deoarece un pătrat este întotdeauna nenegativ, avem
\[ \left(n-\frac32\right)^2\ge 0. \]
Deci
\[ a_n=\left(n-\frac32\right)^2-\frac94\ge -\frac94. \]
Acest lucru arată că șirul este mărginit inferior.
De fapt, deoarece \(n\) este natural, cea mai mică valoare luată este \(-2\), obținută pentru \(n=1\) și \(n=2\). Într-adevăr,
\[ a_1=a_2=-2. \]
Acum să ne întrebăm dacă șirul este mărginit superior.
Pentru valori mari ale lui \(n\), termenul dominant este \(n^2\). Termenul \(-3n\) crește în modul mult mai lent decât \(n^2\).
Putem face acest lucru riguros observând că, pentru \(n\ge 6\), avem
\[ 3n\le \frac{n^2}{2}. \]
Într-adevăr, această inegalitate este echivalentă cu
\[ 6n\le n^2, \]
adică
\[ 6\le n. \]
Așadar, pentru \(n\ge 6\),
\[ a_n=n^2-3n\ge n^2-\frac{n^2}{2}=\frac{n^2}{2}. \]
Cantitatea \(\displaystyle \frac{n^2}{2}\) depășește orice număr real fixat, alegând \(n\) suficient de mare.
Prin urmare, șirul nu este mărginit superior.
Concluzionăm că șirul este mărginit inferior, dar nu superior. Deci nu este mărginit.
Exercițiul 14 — nivelul ★★☆☆☆
Să se verifice că șirul
\[ 5,\ 8,\ 11,\ 14,\ldots \]
este o progresie aritmetică și să se determine termenul său general.
Rezultat
Șirul este o progresie aritmetică cu primul termen \(a_1=5\) și rația \(r=3\). Termenul general este
\[ a_n=5+3(n-1). \]
În mod echivalent,
\[ a_n=3n+2. \]
Rezolvare
Un șir este o progresie aritmetică dacă diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă.
Calculăm diferențele:
\[ 8-5=3, \]
\[ 11-8=3, \]
\[ 14-11=3. \]
Diferența dintre termeni consecutivi este mereu \(3\). Deci șirul este o progresie aritmetică.
Primul termen este
\[ a_1=5, \]
iar rația este
\[ r=3. \]
Termenul general al unei progresii aritmetice este
\[ a_n=a_1+(n-1)r. \]
Înlocuind \(a_1=5\) și \(r=3\), obținem
\[ a_n=5+3(n-1). \]
Dezvoltând,
\[ a_n=5+3n-3=3n+2. \]
Așadar,
\[ a_n=3n+2. \]
Exercițiul 15 — nivelul ★★☆☆☆
Să se verifice că șirul
\[ 2,\ 6,\ 18,\ 54,\ldots \]
este o progresie geometrică și să se determine termenul său general.
Rezultat
Șirul este o progresie geometrică cu primul termen \(a_1=2\) și rația \(q=3\). Termenul general este
\[ a_n=2\cdot 3^{n-1}. \]
Rezolvare
Un șir este o progresie geometrică dacă fiecare termen se obține din cel precedent înmulțind mereu cu același număr.
Calculăm rapoartele dintre termeni consecutivi:
\[ \frac62=3, \]
\[ \frac{18}{6}=3, \]
\[ \frac{54}{18}=3. \]
Raportul este constant și egal cu \(3\). Deci șirul este o progresie geometrică.
Primul termen este
\[ a_1=2, \]
iar rația este
\[ q=3. \]
Termenul general al unei progresii geometrice este
\[ a_n=a_1q^{n-1}. \]
Înlocuind \(a_1=2\) și \(q=3\), obținem
\[ a_n=2\cdot 3^{n-1}. \]
Verificăm pe primii termeni:
\[ a_1=2\cdot 3^0=2, \]
\[ a_2=2\cdot 3^1=6, \]
\[ a_3=2\cdot 3^2=18. \]
Formula este deci în concordanță cu termenii dați.
Exercițiul 16 — nivelul ★★★☆☆
Să se studieze semnul șirului
\[ a_n=(-1)^{n+1}\frac{n}{n+1}, \qquad n\ge 1. \]
Să se stabilească dacă este pozitiv, negativ sau cu semn alternant.
Rezultat
Șirul are semn alternant. Termenii de indice impar sunt pozitivi, în timp ce termenii de indice par sunt negativi.
Rezolvare
Șirul este
\[ a_n=(-1)^{n+1}\frac{n}{n+1}. \]
Factorul
\[ \frac{n}{n+1} \]
este întotdeauna pozitiv, deoarece \(n\ge 1\) și \(n+1>0\). Deci semnul lui \(a_n\) depinde numai de factorul
\[ (-1)^{n+1}. \]
Dacă \(n\) este impar, atunci \(n+1\) este par. Prin urmare,
\[ (-1)^{n+1}=1. \]
În acest caz
\[ a_n=\frac{n}{n+1}>0. \]
Dacă, în schimb, \(n\) este par, atunci \(n+1\) este impar. Prin urmare,
\[ (-1)^{n+1}=-1. \]
În acest caz
\[ a_n=-\frac{n}{n+1}<0. \]
Calculăm primii termeni:
\[ a_1=\frac12, \]
\[ a_2=-\frac23, \]
\[ a_3=\frac34, \]
\[ a_4=-\frac45. \]
Așadar, șirul este
\[ \frac12,\ -\frac23,\ \frac34,\ -\frac45,\ldots \]
Termenii își schimbă semnul la fiecare pas. În consecință, șirul are semn alternant.
Exercițiul 17 — nivelul ★★☆☆☆
Să se considere șirul
\[ a_n=\frac1n, \qquad n\ge 1. \]
Să se indice ce puncte apar în reprezentarea sa grafică și să se explice de ce graficul unui șir nu este o curbă continuă.
Rezultat
Primele puncte ale graficului sunt
\[ \left(1,1\right),\ \left(2,\frac12\right),\ \left(3,\frac13\right),\ \left(4,\frac14\right),\ldots \]
Graficul nu este o curbă continuă deoarece șirul este definit numai pentru valori naturale ale indicelui.
Rezolvare
Un șir real este o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale.
În cazul nostru
\[ a_n=\frac1n. \]
Pentru a-l reprezenta grafic, asociem fiecărui indice \(n\) punctul din plan
\[ (n,a_n). \]
Pentru \(n=1\) obținem
\[ a_1=1, \]
deci primul punct este
\[ (1,1). \]
Pentru \(n=2\) obținem
\[ a_2=\frac12, \]
deci al doilea punct este
\[ \left(2,\frac12\right). \]
Pentru \(n=3\) obținem
\[ a_3=\frac13, \]
deci al treilea punct este
\[ \left(3,\frac13\right). \]
Analog, pentru \(n=4\) obținem
\[ \left(4,\frac14\right). \]
Așadar, primele puncte ale graficului sunt
\[ \left(1,1\right),\ \left(2,\frac12\right),\ \left(3,\frac13\right),\ \left(4,\frac14\right),\ldots \]
Graficul unui șir nu este o curbă continuă, deoarece indicele \(n\) nu ia toate valorile reale, ci numai valori naturale.
Astfel, între punctul corespunzător lui \(n=1\) și cel corespunzător lui \(n=2\) nu există puncte ale șirului. Reprezentarea grafică este formată din puncte izolate, nu dintr-o linie continuă.
Exercițiul 18 — nivelul ★★★☆☆
Fie
\[ a_n=(-1)^n, \qquad n\ge 1. \]
Să se scrie subșirul format din termenii de indice par și subșirul format din termenii de indice impar.
Rezultat
Subșirul corespunzător indicilor pari este
\[ a_{2k}=1,\qquad k\ge 1. \]
Subșirul corespunzător indicilor impari este
\[ a_{2k-1}=-1,\qquad k\ge 1. \]
Rezolvare
Șirul este
\[ a_n=(-1)^n. \]
Primii săi termeni sunt
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Considerăm mai întâi indicii pari. Un indice par poate fi scris sub forma
\[ n=2k, \qquad k\ge 1. \]
Subșirul corespunzător este
\[ a_{2k}=(-1)^{2k}. \]
Deoarece \(2k\) este par, avem
\[ (-1)^{2k}=1. \]
Deci
\[ a_{2k}=1\quad \text{pentru orice } k\ge 1. \]
Subșirul indicilor pari este așadar
\[ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ldots \]
Considerăm acum indicii impari. Un indice impar poate fi scris sub forma
\[ n=2k-1, \qquad k\ge 1. \]
Subșirul corespunzător este
\[ a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}. \]
Deoarece \(2k-1\) este impar, avem
\[ (-1)^{2k-1}=-1. \]
Deci
\[ a_{2k-1}=-1\quad \text{pentru orice } k\ge 1. \]
Subșirul indicilor impari este așadar
\[ -1,\ -1,\ -1,\ -1,\ldots \]
Acest exercițiu arată că un șir neconstant poate conține subșiruri constante.
Exercițiul 19 — nivelul ★★★☆☆
Fie
\[ a_n=n, \qquad n\ge 1. \]
Să se stabilească dacă lista
\[ a_3,\ a_5,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
poate fi un subșir. Apoi să se stabilească dacă lista
\[ a_5,\ a_3,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
poate fi un subșir.
Rezultat
Prima listă poate fi un subșir, deoarece indicii sunt strict crescători. A doua listă nu poate fi un subșir, deoarece indicii nu sunt strict crescători.
Rezolvare
Un subșir al lui \((a_n)\) se obține alegând un șir de indici naturali strict crescător
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots. \]
Subșirul este atunci
\[ a_{n_1},\ a_{n_2},\ a_{n_3},\ldots \]
Considerăm prima listă:
\[ a_3,\ a_5,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
Indicii sunt
\[ 3,\ 5,\ 8,\ 10,\ldots \]
Aceștia sunt strict crescători, deoarece
\[ 3<5<8<10<\cdots. \]
Deci această listă poate fi un subșir.
Considerăm acum a doua listă:
\[ a_5,\ a_3,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
Indicii sunt
\[ 5,\ 3,\ 8,\ 10,\ldots \]
Această secvență de indici nu este strict crescătoare, deoarece
\[ 5>3. \]
Așadar, a doua listă nu poate fi un subșir.
Punctul fundamental este că un subșir poate sări peste unii termeni ai șirului inițial, dar nu poate schimba ordinea în care apar termenii.
Exercițiul 20 — nivelul ★★★★☆
Să se considere șirul
\[ a_n=(-1)^n+\frac1n, \qquad n\ge 1. \]
Să se scrie primii șase termeni, să se stabilească dacă șirul este monoton și să se arate că este mărginit.
Rezultat
Primii șase termeni sunt
\[ 0,\ \frac32,\ -\frac23,\ \frac54,\ -\frac45,\ \frac76. \]
Șirul nu este monoton. În plus, este mărginit, deoarece
\[ -1\le a_n\le 2\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Rezolvare
Șirul este
\[ a_n=(-1)^n+\frac1n. \]
Calculăm primii șase termeni.
Pentru \(n=1\),
\[ a_1=(-1)^1+\frac11=-1+1=0. \]
Pentru \(n=2\),
\[ a_2=(-1)^2+\frac12=1+\frac12=\frac32. \]
Pentru \(n=3\),
\[ a_3=(-1)^3+\frac13=-1+\frac13=-\frac23. \]
Pentru \(n=4\),
\[ a_4=(-1)^4+\frac14=1+\frac14=\frac54. \]
Pentru \(n=5\),
\[ a_5=(-1)^5+\frac15=-1+\frac15=-\frac45. \]
Pentru \(n=6\),
\[ a_6=(-1)^6+\frac16=1+\frac16=\frac76. \]
Așadar, primii șase termeni sunt
\[ 0,\ \frac32,\ -\frac23,\ \frac54,\ -\frac45,\ \frac76. \]
Studiem acum monotonia. Observăm că
\[ a_1=0 \qquad \text{și} \qquad a_2=\frac32. \]
Deci
\[ a_1<a_2. \]
Totuși,
\[ a_2=\frac32 \qquad \text{și} \qquad a_3=-\frac23. \]
Deci
\[ a_2>a_3. \]
Șirul mai întâi crește și apoi descrește. Prin urmare, nu este crescător.
În plus, deoarece \(a_1<a_2\), nu este nici descrescător.
În consecință, șirul nu este monoton.
Demonstrăm în fine că este mărginit.
Știm că
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
pentru orice \(n\ge 1\). În plus,
\[ 0<\frac1n\le 1. \]
Adunând aceste informații, obținem pe de o parte
\[ (-1)^n+\frac1n\ge -1+0=-1. \]
Pe de altă parte,
\[ (-1)^n+\frac1n\le 1+1=2. \]
Deci
\[ -1\le a_n\le 2\quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Acest lucru demonstrează că șirul este mărginit.
Exercițiul este instructiv deoarece arată un șir mărginit, dar nemonoton: mărginirea și monotonia sunt proprietăți diferite și independente.