Șirurile permit studierea, într-o formă ordonată și riguroasă, a comportării unor mărimi care depind de un indice natural.
În termeni intuitivi, un șir este o listă infinită de numere:
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots \]
Totuși, în matematică, un șir nu este doar o listă scrisă într-o anumită ordine. Este o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale, adică o lege care asociază fiecărui indice natural \(n\) un număr real \(a_n\).
Această observație este esențială: a studia un șir înseamnă a studia cum variază termenul \(a_n\) pe măsură ce \(n\) crește și, mai ales, a înțelege dacă termenii săi se apropie de o anumită valoare, dacă rămân mărginiți, dacă oscilează, dacă cresc nelimitat sau dacă nu prezintă niciun comportament regulat.
Șirurile stau la baza unor concepte centrale ale analizei, precum limita, convergența, divergența, completitudinea numerelor reale, seriile numerice și multe proprietăți fundamentale ale funcțiilor.
În secțiunile care urmează vom introduce șirurile în mod riguros, pornind de la definiția formală și ajungând la principalele proprietăți și exemple. Scopul este de a construi o bază solidă pentru studiul ulterior al limitelor de șiruri și al rezultatelor fundamentale ale analizei matematice.
Cuprins
- Definiția șirului
- Notația unui șir
- Termenul general al unui șir
- Șiruri definite explicit
- Șiruri definite prin recurență
- Exemple fundamentale de șiruri
- Șiruri constante
- Șiruri crescătoare și descrescătoare
- Șiruri monotone
- Șiruri mărginite superior și inferior
- Șiruri mărginite
- Șiruri pozitive, negative și alternante
- Șiruri aritmetice
- Șiruri geometrice
- Reprezentarea grafică a unui șir
- Diferența dintre un șir și o funcție reală de variabilă reală
- Subșiruri
- Primele proprietăți ale șirurilor
- Greșeli frecvente privind șirurile
Definiția șirului
Un șir este o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale.
Mai precis, un șir de numere reale este o funcție
\[ a:\mathbb N\to\mathbb R. \]
Aceasta înseamnă că fiecărui număr natural \(n\in\mathbb N\) funcția \(a\) îi asociază unul și un singur număr real, notat cu
\[ a(n). \]
În studiul șirurilor se folosește însă aproape întotdeauna notația cu indice. În locul scrierii \(a(n)\), se scrie
\[ a_n. \]
Numărul \(a_n\) se numește termenul de rang \(n\) al șirului.
Așadar, un șir de numere reale poate fi privit ca o listă infinită și ordonată de numere reale:
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots \]
Trebuie totuși să fim atenți: această listă nu este o simplă mulțime de numere. Ordinea termenilor este parte esențială a șirului.
De exemplu, cele două șiruri
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
și
\[ 2,\ 1,\ 4,\ 3,\ldots \]
nu sunt același șir, chiar dacă pot conține aceleași valori. Într-adevăr, primul termen al primului șir este \(1\), în timp ce primul termen al celui de-al doilea șir este \(2\).
În general, prin urmare, un șir nu este determinat doar de valorile pe care le ia, ci și de modul în care aceste valori sunt asociate indicilor naturali.
Dacă \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) este un șir, acesta se notează adesea printr-una dintre următoarele notații:
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}, \qquad (a_n), \qquad \{a_n\}_{n\in\mathbb N}. \]
Vom folosi cu precădere notația
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}. \]
Această notație pune în evidență faptul că șirul este obiectul în întregime, format din toți termenii \(a_n\), atunci când \(n\) parcurge numerele naturale.
Este important să distingem între șir și termenul său general. Șirul este funcția în întregime
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}, \]
în timp ce \(a_n\) este doar termenul care corespunde indicelui \(n\).
De exemplu, dacă
\[ a_n=\frac1n, \]
atunci șirul este
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
iar termenul general este
\[ a_n=\frac1n. \]
În concluzie, un șir de numere reale este o funcție care asociază fiecărui indice natural un număr real. Scrierea cu indici permite studierea comportării termenilor pe măsură ce \(n\) crește, ceea ce constituie punctul de plecare al teoriei limitelor de șiruri.
Notația unui șir
După ce am definit un șir ca funcție pe numerele naturale, este important să fixăm câteva convenții de notație.
Un șir se notează de obicei cu
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}. \]
Această scriere înseamnă că luăm în considerare toți termenii \(a_n\), atunci când indicele \(n\) parcurge mulțimea \(\mathbb N\).
În multe manuale, însă, mulțimea numerelor naturale poate fi definită în două moduri diferite:
\[ \mathbb N=\{0,1,2,3,\ldots\} \]
sau
\[ \mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}. \]
Din acest motiv, atunci când lucrăm cu șiruri, este adesea necesar să precizăm de la ce indice pornește șirul.
Dacă șirul pornește de la \(0\), se scrie
\[ (a_n)_{n\ge 0}. \]
În acest caz, termenii sunt
\[ a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots \]
Dacă, în schimb, șirul pornește de la \(1\), se scrie
\[ (a_n)_{n\ge 1}. \]
În acest caz, termenii sunt
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots \]
Ambele convenții sunt corecte. Alegerea indicelui inițial nu schimbă natura șirului, dar poate schimba scrierea termenilor săi.
De exemplu, șirul
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
nu poate fi considerat pentru \(n=0\), deoarece \(\displaystyle \frac{1}{0}\) nu este definit. În acest caz, este firesc să scriem
\[ (a_n)_{n\ge 1}. \]
În schimb, șirul
\[ b_n=\frac{1}{n+1} \]
poate fi considerat pentru \(n\ge 0\). În acest caz se obține
\[ b_0=1,\qquad b_1=\frac12,\qquad b_2=\frac13,\qquad b_3=\frac14,\ldots \]
Cele două șiruri
\[ (a_n)_{n\ge 1}, \qquad (b_n)_{n\ge 0} \]
au aceleași valori în aceeași ordine, dar sunt indexate în mod diferit.
În general, când nu există ambiguități, se poate scrie pur și simplu
\[ (a_n). \]
Totuși, în definiții și în demonstrații, indicarea clară a mulțimii indicilor evită erorile și ambiguitățile.
Vom folosi cu precădere șiruri indexate cu \(n\ge 1\), dacă nu se precizează altfel.
Termenul general al unui șir
Termenul general al unui șir este expresia care descrie termenul \(a_n\) în funcție de indicele \(n\).
De exemplu, dacă
\[ a_n=\frac{n+1}{n}, \]
atunci termenul general al șirului este
\[ \frac{n+1}{n}. \]
Înlocuind pe \(n\) cu valorile \(1,2,3,4,\ldots\), se obțin termenii șirului:
\[ a_1=2,\qquad a_2=\frac32,\qquad a_3=\frac43,\qquad a_4=\frac54,\ldots \]
Așadar, șirul este
\[ 2,\ \frac32,\ \frac43,\ \frac54,\ldots \]
Termenul general permite calcularea oricărui termen al șirului, cu condiția ca indicele considerat să aparțină mulțimii indicilor pe care este definit șirul.
Această precizare este importantă. Nu este suficient să scriem o formulă: trebuie de asemenea să stabilim pentru ce valori ale lui \(n\) acea formulă are sens.
De exemplu, expresia
\[ a_n=\frac{1}{n-3} \]
nu definește un șir pentru toți indicii \(n\ge 1\), deoarece pentru \(n=3\) numitorul se anulează.
Pentru a obține un șir de numere reale, trebuie deci să restrângem mulțimea indicilor, de exemplu punând
\[ n\ge 4. \]
În acest caz se obține șirul
\[ a_4=1,\qquad a_5=\frac12,\qquad a_6=\frac13,\qquad a_7=\frac14,\ldots \]
O greșeală frecventă constă în confundarea termenului general cu șirul însuși. Termenul general \(a_n\) este un singur termen, variabil cu \(n\); în schimb, șirul \((a_n)\) este obiectul în întregime, format din toți termenii.
De exemplu, în șirul
\[ a_n=n^2+1, \]
termenul general este \(n^2+1\), în timp ce primii termeni sunt
\[ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ 26,\ldots \]
Cunoașterea termenului general este adesea modul cel mai simplu de a studia proprietățile șirului: monotonia, mărginirea, semnul termenilor și comportarea pentru valori mari ale indicelui.
Șiruri definite explicit
Un șir se numește definit explicit atunci când termenul său general este dat direct printr-o formulă în funcție de indicele \(n\).
Cu alte cuvinte, un șir este definit explicit atunci când putem scrie
\[ a_n=f(n), \]
unde \(f\) este o anumită expresie care depinde de \(n\).
De exemplu, șirul
\[ a_n=2n+1 \]
este definit explicit. Într-adevăr, înlocuind pe \(n\) cu valorile \(1,2,3,\ldots\), obținem direct termenii săi:
\[ a_1=3,\qquad a_2=5,\qquad a_3=7,\qquad a_4=9,\ldots \]
Așadar, șirul este
\[ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ldots \]
Și șirul
\[ b_n=\frac{n}{n+1} \]
este definit explicit. Primii săi termeni sunt
\[ b_1=\frac12,\qquad b_2=\frac23,\qquad b_3=\frac34,\qquad b_4=\frac45,\ldots \]
În acest caz, formula permite calcularea imediată a oricărui termen al șirului.
De exemplu, al o sutălea termen este
\[ b_{100}=\frac{100}{101}. \]
Aceasta este o caracteristică importantă a șirurilor definite explicit: pentru a găsi un termen nu este necesar să cunoaștem termenii precedenți.
Să considerăm acum șirul
\[ c_n=(-1)^n. \]
Dacă \(n\ge 1\), primii termeni sunt
\[ c_1=-1,\qquad c_2=1,\qquad c_3=-1,\qquad c_4=1,\ldots \]
Așadar, șirul este
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Acest exemplu arată că o formulă explicită poate descrie și șiruri care nu sunt nici crescătoare, nici descrescătoare, ci oscilante.
În general, șirurile definite explicit sunt deosebit de comode, deoarece permit studierea proprietăților șirului direct din formula termenului general.
De exemplu, din formula
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
se vede că termenii sunt pozitivi și devin din ce în ce mai mici pe măsură ce \(n\) crește:
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
În schimb, din formula
\[ a_n=n^2 \]
se vede că termenii cresc nelimitat:
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ldots \]
Trebuie totuși să reținem că o formulă explicită definește un șir de numere reale numai dacă are sens pentru toți indicii considerați.
De exemplu, formula
\[ a_n=\sqrt{n-5} \]
nu definește un șir de numere reale pentru toți indicii \(n\ge 1\), deoarece pentru \(n=1,2,3,4\) cantitatea \(n-5\) este negativă.
Pentru a obține un șir de numere reale, îl putem considera începând de la \(n=5\):
\[ (a_n)_{n\ge 5}, \qquad a_n=\sqrt{n-5}. \]
În acest fel, toți termenii sunt numere reale:
\[ a_5=0,\qquad a_6=1,\qquad a_7=\sqrt2,\qquad a_8=\sqrt3,\ldots \]
Așadar, când un șir este definit explicit, trebuie verificate întotdeauna două aspecte:
- formula termenului general;
- mulțimea indicilor pentru care formula este definită.
Odată fixate aceste două elemente, șirul este complet determinat.
Șiruri definite prin recurență
Un șir se numește definit prin recurență atunci când termenii săi nu sunt dați direct printr-o formulă explicită în funcție de \(n\), ci sunt determinați pornind de la unul sau mai mulți termeni precedenți.
În acest caz, pentru a defini șirul, nu este suficient să indicăm o relație între termeni: trebuie de asemenea să precizăm cel puțin un termen inițial.
De exemplu, să considerăm șirul definit prin
\[ a_1=2, \qquad a_{n+1}=a_n+3 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Primul termen este \(a_1=2\). Relația de recurență spune că fiecare termen următor se obține adunând \(3\) la termenul precedent.
Obținem așadar
\[ a_2=a_1+3=5, \]
\[ a_3=a_2+3=8, \]
\[ a_4=a_3+3=11. \]
Așadar, șirul este
\[ 2,\ 5,\ 8,\ 11,\ldots \]
Într-un șir definit prin recurență, pentru a calcula un termen este adesea necesar să cunoaștem termenii care îl preced.
Să considerăm un al doilea exemplu:
\[ b_1=1, \qquad b_{n+1}=2b_n \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În acest caz, fiecare termen următor se obține înmulțind cu \(2\) termenul precedent:
\[ b_2=2b_1=2, \]
\[ b_3=2b_2=4, \]
\[ b_4=2b_3=8. \]
Așadar, șirul este
\[ 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ldots \]
O relație de recurență poate depinde și de mai mulți termeni precedenți. Un exemplu fundamental este șirul lui Fibonacci:
\[ F_1=1,\qquad F_2=1, \]
\[ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În acest caz, fiecare termen, începând cu al treilea, este suma celor doi termeni precedenți.
Într-adevăr:
\[ F_3=F_2+F_1=2, \]
\[ F_4=F_3+F_2=3, \]
\[ F_5=F_4+F_3=5, \]
\[ F_6=F_5+F_4=8. \]
Primii termeni sunt așadar
\[ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ldots \]
Acest exemplu arată că, atunci când relația de recurență implică doi termeni precedenți, este necesar să precizăm doi termeni inițiali. Mai general, o recurență care depinde de \(k\) termeni precedenți necesită \(k\) condiții inițiale.
Este important de observat că o definiție recursivă nu este în mod automat echivalentă cu o formulă explicită simplă. Uneori este posibil să găsim o formulă închisă pentru \(a_n\); alteori, descrierea recursivă este modul cel mai firesc de a defini șirul.
De exemplu, șirul
\[ a_1=2, \qquad a_{n+1}=a_n+3 \]
poate fi descris și explicit prin
\[ a_n=2+3(n-1). \]
Într-adevăr, pornind de la \(2\), se adună \(3\) pentru a trece de la un termen la următorul; după \(n-1\) pași, s-a adunat \(3\) exact de \(n-1\) ori.
În concluzie, un șir definit prin recurență este determinat de:
- unul sau mai mulți termeni inițiali;
- o regulă care permite construirea termenilor următori.
Fără condițiile inițiale, relația de recurență nu determină un șir unic.
Exemple fundamentale de șiruri
După ce am introdus șirurile definite explicit și pe cele definite prin recurență, este util să examinăm câteva exemple fundamentale. Aceste exemple apar frecvent în studiul analizei matematice și ajută la recunoașterea celor mai comune comportări ale șirurilor.
Șirul numerelor naturale
Șirul
\[ a_n=n \]
are drept termeni
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
Este un șir crescător, iar termenii săi devin oricât de mari pe măsură ce \(n\) crește.
Șirul inverselor
Șirul
\[ a_n=\frac1n \]
are drept termeni
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Termenii săi sunt pozitivi și devin din ce în ce mai mici. Acest șir este unul dintre exemplele fundamentale de șir care se apropie de \(0\).
Șirul pătratelor
Șirul
\[ a_n=n^2 \]
are drept termeni
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ldots \]
Este un șir crescător, iar termenii săi cresc mai rapid decât cei ai șirului \(a_n=n\).
Șirul alternant
Șirul
\[ a_n=(-1)^n \]
are drept termeni, pentru \(n\ge 1\),
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Termenii nu se apropie de o valoare unică, ci oscilează neîncetat între \(-1\) și \(1\).
Șirul armonic
Șirul
\[ a_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n \]
este șirul sumelor parțiale ale seriei armonice.
Primii termeni sunt
\[ a_1=1, \qquad a_2=1+\frac12=\frac32, \]
\[ a_3=1+\frac12+\frac13=\frac{11}{6}, \qquad a_4=1+\frac12+\frac13+\frac14=\frac{25}{12}. \]
Acest șir este crescător. Deși fiecare termen \(\frac1n\) devine din ce în ce mai mic, sumele parțiale continuă să crească.
Șir geometric elementar
Șirul
\[ a_n=2^n \]
are drept termeni, pentru \(n\ge 1\),
\[ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ldots \]
Fiecare termen se obține din cel precedent prin înmulțire cu \(2\). Din acest motiv, este un exemplu de șir geometric.
Șir geometric descrescător
Șirul
\[ a_n=\left(\frac12\right)^n \]
are drept termeni, pentru \(n\ge 1\),
\[ \frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \frac1{16},\ldots \]
Fiecare termen se obține din cel precedent prin înmulțire cu \(\frac12\). Termenii sunt pozitivi și se apropie treptat de \(0\).
Șir definit printr-un raport
Șirul
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
are drept termeni
\[ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots \]
Termenii sunt toți mai mici decât \(1\), dar devin din ce în ce mai apropiați de \(1\).
Într-adevăr, putem scrie
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Această formă arată clar că distanța dintre \(a_n\) și \(1\) este egală cu \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\), care devine din ce în ce mai mică pe măsură ce \(n\) crește.
Șir alternant cu amplitudine descrescătoare
Șirul
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n} \]
are drept termeni
\[ -1,\ \frac12,\ -\frac13,\ \frac14,\ldots \]
Termenii își schimbă semnul la fiecare pas, dar amplitudinea lor devine din ce în ce mai mică.
În particular, termenii pozitivi și cei negativi se apropie amândoi de \(0\).
Aceste exemple arată că șirurile pot avea comportări foarte diverse: pot crește, pot descrește, pot oscila, pot rămâne mărginite, se pot apropia de un număr sau pot deveni oricât de mari.
Șiruri constante
Un șir se numește constant dacă toți termenii săi sunt egali cu același număr real.
Mai precis, un șir de numere reale \((a_n)_{n\ge 1}\) este constant dacă există un număr real \(c\) astfel încât
\[ a_n=c \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În acest caz, șirul este
\[ c,\ c,\ c,\ c,\ldots \]
De exemplu, șirul definit prin
\[ a_n=5 \quad \text{pentru orice } n\ge 1 \]
este constant, deoarece fiecare termen al său este egal cu \(5\):
\[ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ldots \]
Și șirul
\[ b_n=-2 \quad \text{pentru orice } n\ge 1 \]
este constant:
\[ -2,\ -2,\ -2,\ -2,\ldots \]
Șirurile constante sunt cele mai simple exemple de șiruri. Ele nu cresc, nu descresc în sens strict și nu oscilează: toți termenii coincid.
Din punctul de vedere al monotoniei, un șir constant este în același timp crescător și descrescător, dacă folosim definițiile în sens larg:
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
și
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Într-adevăr, dacă \(a_n=c\) pentru orice \(n\), atunci
\[ a_n=a_{n+1}=c. \]
Așadar, au loc în același timp atât \(a_n\le a_{n+1}\), cât și \(a_n\ge a_{n+1}\).
Un șir constant este de asemenea mărginit. Într-adevăr, dacă \(a_n=c\) pentru orice \(n\), atunci toți termenii săi coincid cu \(c\), deci sunt cu siguranță cuprinși, de exemplu, între \(c-1\) și \(c+1\):
\[ c-1\le a_n\le c+1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În realitate, cel mai mic majorant al mulțimii valorilor luate de șir este \(c\), iar cel mai mare minorant este de asemenea \(c\). Într-adevăr, mulțimea valorilor luate este pur și simplu
\[ \{c\}. \]
Prin urmare,
\[ \sup\{a_n:n\ge 1\}=c, \qquad \inf\{a_n:n\ge 1\}=c. \]
Șirurile constante sunt importante și pentru că reprezintă cel mai simplu model de șir care rămâne mereu egal cu o valoare fixată.
Șiruri crescătoare și descrescătoare
Un șir poate fi studiat comparând fiecare termen cu termenul următor. Aceasta permite să înțelegem dacă termenii cresc, descresc sau nu urmează o evoluție regulată.
Un șir de numere reale \((a_n)_{n\ge 1}\) se numește crescător dacă
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Cu alte cuvinte, fiecare termen este mai mic sau egal cu termenul următor.
Se numește, în schimb, strict crescător dacă
\[ a_n<a_{n+1} \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În acest caz, fiecare termen este strict mai mic decât termenul următor.
De exemplu, șirul
\[ a_n=n \]
este strict crescător, deoarece
\[ a_{n+1}=n+1>n=a_n \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Așadar, termenii săi sunt
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
și cresc la fiecare pas.
Un șir de numere reale \((a_n)_{n\ge 1}\) se numește descrescător dacă
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Cu alte cuvinte, fiecare termen este mai mare sau egal cu termenul următor.
Se numește, în schimb, strict descrescător dacă
\[ a_n>a_{n+1} \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
De exemplu, șirul
\[ b_n=\frac1n \]
este strict descrescător, deoarece
\[ b_{n+1}=\frac{1}{n+1}<\frac1n=b_n \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Într-adevăr, termenii săi sunt
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
și devin din ce în ce mai mici.
Nu toate șirurile sunt crescătoare sau descrescătoare. De exemplu, șirul
\[ c_n=(-1)^n \]
are termenii
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
și, prin urmare, nu este nici crescător, nici descrescător.
Într-adevăr, de la \(c_1=-1\) la \(c_2=1\) șirul crește, în timp ce de la \(c_2=1\) la \(c_3=-1\) descrește.
Pentru a verifica dacă un șir este crescător sau descrescător, o metodă foarte folosită constă în studierea semnului diferenței
\[ a_{n+1}-a_n. \]
Dacă
\[ a_{n+1}-a_n\ge 0 \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
atunci șirul este crescător.
Dacă, în schimb,
\[ a_{n+1}-a_n\le 0 \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
atunci șirul este descrescător.
De exemplu, să considerăm
\[ a_n=n^2. \]
Calculăm:
\[ a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-n^2. \]
Dezvoltând,
\[ (n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1. \]
Deoarece
\[ 2n+1>0 \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
șirul \((n^2)_{n\ge 1}\) este strict crescător.
O altă metodă, utilă când termenii sunt pozitivi, constă în studierea raportului
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}. \]
Dacă \(a_n>0\) pentru orice \(n\) și
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
atunci șirul este crescător.
Dacă, în schimb, \(a_n>0\) pentru orice \(n\) și
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
atunci șirul este descrescător.
De exemplu, să considerăm
\[ a_n=\left(\frac12\right)^n. \]
Deoarece \(a_n>0\) pentru orice \(n\ge 1\), putem studia raportul:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left(\frac12\right)^{n+1}}{\left(\frac12\right)^n} = \frac12. \]
Întrucât
\[ \frac12<1, \]
șirul este strict descrescător.
Este important să reținem că un șir crescător nu trebuie neapărat să crească nelimitat. De exemplu,
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
este crescător, dar toți termenii săi sunt mai mici decât \(1\):
\[ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots \]
În mod analog, un șir descrescător nu trebuie neapărat să devină oricât de negativ. De exemplu,
\[ b_n=\frac1n \]
este descrescător, dar toți termenii săi sunt pozitivi.
Șiruri monotone
Un șir se numește monoton dacă păstrează mereu același sens de variație: fie nu descrește niciodată, fie nu crește niciodată.
Mai precis, un șir de numere reale \((a_n)_{n\ge 1}\) se numește monoton dacă este crescător sau descrescător.
Așadar, un șir este monoton dacă are loc una dintre cele două condiții următoare:
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
sau
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În primul caz, șirul este crescător; în al doilea caz, este descrescător.
Dacă, în schimb, are loc
\[ a_n<a_{n+1} \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
șirul este strict crescător. Dacă are loc
\[ a_n>a_{n+1} \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
șirul este strict descrescător.
Un șir strict crescător sau strict descrescător se numește strict monoton.
De exemplu, șirul
\[ a_n=3n+1 \]
este strict crescător, deoarece
\[ a_{n+1}=3(n+1)+1=3n+4 \]
și, prin urmare,
\[ a_{n+1}-a_n=(3n+4)-(3n+1)=3>0 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Așadar,
\[ a_n<a_{n+1} \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
iar șirul este strict crescător.
Să considerăm, în schimb, șirul
\[ b_n=\frac{1}{n+2}. \]
Primii săi termeni sunt
\[ \frac13,\ \frac14,\ \frac15,\ \frac16,\ldots \]
Deoarece, pe măsură ce \(n\) crește, numitorul crește, termenii devin mai mici.
Într-adevăr,
\[ b_{n+1}=\frac{1}{n+3} \]
și, deoarece
\[ n+3>n+2 \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
avem
\[ \frac{1}{n+3}<\frac{1}{n+2}. \]
Prin urmare,
\[ b_{n+1}<b_n \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
adică șirul este strict descrescător.
Nu orice șir este monoton. De exemplu, șirul
\[ c_n=(-1)^n \]
nu este monoton, deoarece termenii săi sunt
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
și, prin urmare, șirul mai întâi crește, apoi descrește, apoi crește din nou.
Într-adevăr,
\[ c_1=-1<1=c_2, \]
dar
\[ c_2=1>-1=c_3. \]
Așadar, nu este nici crescător, nici descrescător.
Monotonia este o proprietate importantă, deoarece impune o ordine globală termenilor șirului. Dacă un șir este crescător, niciun termen următor nu poate coborî sub cei precedenți; dacă este descrescător, niciun termen următor nu poate urca peste cei precedenți.
De exemplu, dacă \((a_n)\) este crescător, atunci
\[ a_1\le a_2\le a_3\le \cdots \le a_n\le a_{n+1}\le \cdots. \]
Dacă, în schimb, \((a_n)\) este descrescător, atunci
\[ a_1\ge a_2\ge a_3\ge \cdots \ge a_n\ge a_{n+1}\ge \cdots. \]
Această structură ordonată face ca șirurile monotone să fie deosebit de importante în studiul limitelor. Într-adevăr, un șir monoton și mărginit are întotdeauna limită reală: acest rezultat, cunoscut sub numele de teorema de convergență a șirurilor monotone, va fi unul dintre punctele centrale în studiul ulterior al șirurilor.
Șiruri mărginite superior și inferior
Un șir poate fi studiat și din punctul de vedere al valorilor pe care le pot lua termenii săi. În particular, este important să înțelegem dacă termenii rămân mereu sub un anumit număr sau mereu peste un anumit număr.
Fie \((a_n)_{n\ge 1}\) un șir de numere reale. Se spune că \((a_n)\) este mărginit superior dacă există un număr real \(M\) astfel încât
\[ a_n\le M \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Numărul \(M\) se numește majorant al șirului.
În mod analog, se spune că \((a_n)\) este mărginit inferior dacă există un număr real \(m\) astfel încât
\[ m\le a_n \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Numărul \(m\) se numește minorant al șirului.
De exemplu, șirul
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
este mărginit superior. Într-adevăr,
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Așadar, \(1\) este un majorant al șirului.
Să observăm însă că \(1\) nu este singurul majorant. Și \(2\), \(10\), \(100\) sunt majoranți, deoarece toți termenii șirului sunt mai mici decât \(1\) și, prin urmare, sunt cu siguranță mai mici și decât \(2\), \(10\), \(100\).
În general, dacă \(M\) este un majorant al unui șir, atunci orice număr mai mare decât \(M\) este de asemenea un majorant.
Același șir este de asemenea mărginit inferior. Într-adevăr, pentru orice \(n\ge 1\),
\[ \frac{n}{n+1}>0. \]
Așadar, \(0\) este un minorant al șirului.
Și în acest caz, minorantul nu este unic: orice număr mai mic sau egal cu \(0\) este un minorant.
Să considerăm acum șirul
\[ b_n=n. \]
El este mărginit inferior, deoarece
\[ 1\le n \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Așadar, \(1\) este un minorant.
Totuși, șirul nu este mărginit superior. Într-adevăr, nu există niciun număr real \(M\) astfel încât
\[ n\le M \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Oricare ar fi numărul real \(M\) ales, există întotdeauna un indice natural \(n\) astfel încât
\[ n>M. \]
Așadar, termenii șirului depășesc orice prag fixat.
Să considerăm, în schimb, șirul
\[ c_n=-n. \]
El este mărginit superior, deoarece
\[ -n\le -1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Așadar, \(-1\) este un majorant.
Totuși, nu este mărginit inferior: într-adevăr, termenii săi devin din ce în ce mai negativi și coboară sub orice număr real fixat.
În simboluri, pentru orice \(m\in\mathbb R\) există un indice natural \(n\) astfel încât
\[ -n<m. \]
Așadar, nu există un minorant real pentru șirul \((-n)_{n\ge 1}\).
Este important să distingem între faptul că un șir este mărginit superior sau inferior și faptul că este crescător sau descrescător.
De exemplu, șirul
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
este crescător, dar este mărginit superior de \(1\). Așadar, un șir crescător nu trebuie neapărat să crească fără limită.
În mod analog, șirul
\[ b_n=\frac1n \]
este descrescător, dar este mărginit inferior de \(0\). Așadar, un șir descrescător nu trebuie neapărat să devină oricât de negativ.
Din punct de vedere al teoriei mulțimilor, a spune că un șir este mărginit superior înseamnă a spune că mulțimea valorilor sale
\[ \{a_n:n\ge 1\} \]
este o submulțime a lui \(\mathbb R\) mărginită superior.
În mod analog, a spune că un șir este mărginit inferior înseamnă a spune că mulțimea
\[ \{a_n:n\ge 1\} \]
este mărginită inferior.
Această observație permite legarea studiului șirurilor de teoria marginii superioare și a marginii inferioare ale unei mulțimi.
Dacă un șir este mărginit superior, mulțimea valorilor sale admite margine superioară:
\[ \sup\{a_n:n\ge 1\}. \]
Dacă un șir este mărginit inferior, mulțimea valorilor sale admite margine inferioară:
\[ \inf\{a_n:n\ge 1\}. \]
De exemplu, pentru șirul
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
mulțimea valorilor este
\[ \left\{\frac12,\frac23,\frac34,\frac45,\ldots\right\}. \]
Ea este mărginită superior, iar marginea sa superioară este \(1\), chiar dacă \(1\) nu este un termen al șirului.
Într-adevăr,
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
dar termenii se apropie din ce în ce mai mult de \(1\).
Șiruri mărginite
Un șir se numește mărginit dacă este mărginit atât superior, cât și inferior.
Mai precis, un șir de numere reale \((a_n)_{n\ge 1}\) este mărginit dacă există două numere reale \(m\) și \(M\) astfel încât
\[ m\le a_n\le M \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Numărul \(m\) este un minorant al șirului, iar \(M\) este un majorant.
În mod echivalent, un șir este mărginit dacă toți termenii săi rămân cuprinși într-un interval închis și mărginit:
\[ a_n\in [m,M] \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
De exemplu, șirul
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
este mărginit. Într-adevăr, pentru orice \(n\ge 1\), avem
\[ 0<\frac1n\le 1. \]
Așadar, toți termenii șirului sunt cuprinși între \(0\) și \(1\):
\[ 0\le a_n\le 1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Să observăm că \(0\) este un minorant, dar nu este un termen al șirului. Într-adevăr, nu există niciun \(n\ge 1\) astfel încât
\[ \frac1n=0. \]
Aceasta arată că un minorant sau un majorant nu trebuie neapărat să fie luat de șir.
Și șirul
\[ b_n=(-1)^n \]
este mărginit. Într-adevăr, termenii săi sunt doar \(-1\) și \(1\):
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Așadar,
\[ -1\le b_n\le 1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În acest caz, atât minorantul \(-1\), cât și majorantul \(1\) sunt totodată valori luate efectiv de șir.
În schimb, șirul
\[ c_n=n \]
nu este mărginit. Într-adevăr, este mărginit inferior, deoarece
\[ 1\le n \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
dar nu este mărginit superior.
Pentru orice \(M\in\mathbb R\), este posibil să alegem un indice natural \(n\) astfel încât
\[ n>M. \]
Așadar, nu există un număr real \(M\) capabil să majoreze toți termenii șirului.
În mod analog, șirul
\[ d_n=-n \]
nu este mărginit, deoarece este mărginit superior, dar nu și inferior.
O altă caracterizare foarte folosită a mărginirii este cea prin valoarea absolută.
Un șir de numere reale \((a_n)_{n\ge 1}\) este mărginit dacă și numai dacă există un număr real \(K>0\) astfel încât
\[ |a_n|\le K \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Această condiție înseamnă că toți termenii șirului aparțin intervalului
\[ [-K,K]. \]
Într-adevăr, din inegalitatea
\[ |a_n|\le K \]
rezultă că
\[ -K\le a_n\le K \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Reciproc, dacă există \(m,M\in\mathbb R\) astfel încât
\[ m\le a_n\le M \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
atunci este suficient să alegem
\[ K=\max\{|m|,|M|\}. \]
În acest fel se obține
\[ |a_n|\le K \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Această formă este adesea mai comodă în demonstrații, deoarece cuprinde într-o singură inegalitate controlul superior și inferior al termenilor.
De exemplu, șirul
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n} \]
este mărginit, deoarece
\[ |a_n| = \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac1n \le 1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Așadar, putem alege \(K=1\) și putem conchide că
\[ |a_n|\le 1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Mărginirea este o proprietate esențială în studiul șirurilor. Singură, ea nu garantează existența limitei: de exemplu, \((-1)^n\) este mărginit, dar nu se apropie de o valoare unică.
Totuși, combinată cu alte proprietăți, precum monotonia, devine extrem de puternică. În particular, orice șir monoton și mărginit converge către un număr real.
Șiruri pozitive, negative și alternante
Un alt aspect important în studiul unui șir este semnul termenilor săi. În particular, poate fi util să stabilim dacă termenii sunt mereu pozitivi, mereu negativi sau dacă își schimbă semnul atunci când indicele variază.
Un șir de numere reale \((a_n)_{n\ge 1}\) se numește pozitiv dacă
\[ a_n\ge 0 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Dacă, în schimb,
\[ a_n>0 \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
se spune că șirul este strict pozitiv.
De exemplu, șirul
\[ a_n=\frac1n \]
este strict pozitiv, deoarece
\[ \frac1n>0 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Un șir de numere reale \((a_n)_{n\ge 1}\) se numește negativ dacă
\[ a_n\le 0 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Dacă, în schimb,
\[ a_n<0 \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
se spune că șirul este strict negativ.
De exemplu, șirul
\[ b_n=-n \]
este strict negativ, deoarece
\[ -n<0 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Un șir poate conține atât termeni pozitivi, cât și termeni negativi. Un caz deosebit de important este cel al șirurilor alternante.
Un șir se numește alternant atunci când termenii săi își schimbă semnul la fiecare pas, trecând de la pozitiv la negativ sau de la negativ la pozitiv.
Exemplul fundamental este
\[ a_n=(-1)^n. \]
Pentru \(n\ge 1\), termenii săi sunt
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Într-adevăr, când \(n\) este impar, \((-1)^n=-1\); când \(n\) este par, \((-1)^n=1\).
Dacă, în schimb, considerăm șirul
\[ b_n=(-1)^{n+1}, \]
termenii sunt
\[ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ldots \]
În acest caz, primul termen este pozitiv, deoarece
\[ b_1=(-1)^2=1. \]
Puterile lui \(-1\) sunt așadar un instrument standard pentru a construi șiruri alternante.
De exemplu, șirul
\[ c_n=\frac{(-1)^n}{n} \]
are termenii
\[ -1,\ \frac12,\ -\frac13,\ \frac14,\ldots \]
El își schimbă semnul la fiecare pas, dar amplitudinea termenilor descrește.
Într-adevăr,
\[ |c_n| = \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac1n. \]
Studiul semnului este util, deoarece multe proprietăți ale șirurilor depind de faptul că termenii sunt pozitivi, negativi sau alternanți.
De exemplu, când un șir are termeni pozitivi, este adesea posibil să studiem monotonia prin raportul
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}. \]
Această metodă necesită atenție: raportul este deosebit de eficient când termenii sunt strict pozitivi, deoarece în acest caz semnul nu modifică sensul inegalităților.
În schimb, în șirurile alternante, studiul monotoniei trebuie făcut cu mai multă prudență. De exemplu, șirul
\[ \frac{(-1)^n}{n} \]
nu este monoton, deoarece termenii săi trec neîncetat de la negativi la pozitivi.
Totuși, șirul valorilor absolute
\[ \left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac1n \]
este strict descrescător.
Acest exemplu pune în evidență o distincție importantă: un șir poate să nu fie monoton, însă șirul valorilor sale absolute poate fi.
Șiruri aritmetice
Un șir aritmetic (sau progresie aritmetică) este un șir în care diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă.
Mai precis, un șir de numere reale \((a_n)_{n\ge 1}\) este aritmetic dacă există un număr real \(d\) astfel încât
\[ a_{n+1}-a_n=d \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Numărul \(d\) se numește rație a șirului aritmetic.
În mod echivalent, un șir aritmetic poate fi definit prin recurență punând
\[ a_{n+1}=a_n+d \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Aceasta înseamnă că fiecare termen se obține din cel precedent adunând mereu același număr \(d\).
De exemplu, șirul
\[ 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots \]
este aritmetic, deoarece diferența dintre doi termeni consecutivi este mereu \(4\):
\[ 7-3=4,\qquad 11-7=4,\qquad 15-11=4. \]
În acest caz, rația este
\[ d=4. \]
Dacă primul termen este \(a_1\) și rația este \(d\), atunci termenul general al șirului aritmetic este
\[ a_n=a_1+(n-1)d. \]
Într-adevăr, pentru a trece de la \(a_1\) la \(a_n\), trebuie să adunăm \(d\) exact de \(n-1\) ori:
\[ a_2=a_1+d, \]
\[ a_3=a_1+2d, \]
\[ a_4=a_1+3d, \]
și, în general,
\[ a_n=a_1+(n-1)d. \]
De exemplu, în șirul
\[ 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots \]
avem \(a_1=3\) și \(d=4\). Prin urmare,
\[ a_n=3+(n-1)4. \]
Simplificând,
\[ a_n=4n-1. \]
Într-adevăr:
\[ a_1=4\cdot 1-1=3, \]
\[ a_2=4\cdot 2-1=7, \]
\[ a_3=4\cdot 3-1=11. \]
Semnul rației determină evoluția șirului.
- Dacă \(d>0\), șirul este strict crescător.
- Dacă \(d=0\), șirul este constant.
- Dacă \(d<0\), șirul este strict descrescător.
De exemplu, șirul
\[ a_n=2+5(n-1) \]
este strict crescător, deoarece rația sa este \(d=5>0\).
Șirul
\[ b_n=6 \]
este aritmetic cu rația \(d=0\), deci este constant.
Șirul
\[ c_n=10-3(n-1) \]
este strict descrescător, deoarece rația sa este \(d=-3<0\).
Șirurile aritmetice sunt așadar cel mai simplu model de șiruri cu creștere sau descreștere liniară: la fiecare pas, variația este mereu aceeași.
Șiruri geometrice
Un șir geometric (sau progresie geometrică) este un șir în care fiecare termen se obține din cel precedent prin înmulțire cu același număr.
Mai precis, un șir de numere reale \((a_n)_{n\ge 1}\) este geometric dacă există un număr real \(q\) astfel încât
\[ a_{n+1}=q\,a_n \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Numărul \(q\) se numește rație a șirului geometric.
Dacă \(a_n\neq 0\) pentru orice \(n\ge 1\), rația poate fi obținută din raportul a doi termeni consecutivi:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}=q \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
De exemplu, șirul
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ldots \]
este geometric, deoarece fiecare termen se obține din cel precedent prin înmulțire cu \(2\):
\[ 6=2\cdot 3, \qquad 12=2\cdot 6, \qquad 24=2\cdot 12. \]
În acest caz, rația este
\[ q=2. \]
Dacă primul termen este \(a_1\) și rația este \(q\), atunci termenul general al șirului geometric este
\[ a_n=a_1 q^{\,n-1}. \]
Într-adevăr:
\[ a_2=a_1q, \]
\[ a_3=a_2q=a_1q^2, \]
\[ a_4=a_3q=a_1q^3, \]
și, în general,
\[ a_n=a_1q^{\,n-1}. \]
De exemplu, în șirul
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ldots \]
avem \(a_1=3\) și \(q=2\). Prin urmare,
\[ a_n=3\cdot 2^{n-1}. \]
Într-adevăr:
\[ a_1=3\cdot 2^0=3, \]
\[ a_2=3\cdot 2^1=6, \]
\[ a_3=3\cdot 2^2=12. \]
Să considerăm acum șirul
\[ b_n=\left(\frac12\right)^{n-1}. \]
Primii săi termeni sunt
\[ 1,\ \frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ldots \]
Și acesta este un șir geometric, cu primul termen \(b_1=1\) și rația
\[ q=\frac12. \]
Într-adevăr, fiecare termen se obține din cel precedent prin înmulțire cu \(\displaystyle \frac12\).
Comportarea unui șir geometric depinde în mod esențial de rația \(q\).
Să presupunem, pentru simplitate, că \(a_1>0\). Atunci:
- dacă \(q>1\), șirul este strict crescător, iar termenii săi devin din ce în ce mai mari;
- dacă \(q=1\), șirul este constant;
- dacă \(0<q<1\), șirul este strict descrescător, iar termenii săi se apropie de \(0\);
- dacă \(q=0\), toți termenii începând cu al doilea sunt egali cu \(0\);
- dacă \(q<0\), termenii își schimbă semnul la fiecare pas.
De exemplu, șirul
\[ a_n=2^n \]
este geometric cu rația \(q=2\). Termenii săi sunt
\[ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ldots \]
și cresc rapid.
În schimb, șirul
\[ b_n=\left(\frac13\right)^n \]
este geometric cu rația
\[ q=\frac13. \]
Termenii săi sunt
\[ \frac13,\ \frac19,\ \frac1{27},\ \frac1{81},\ldots \]
și devin din ce în ce mai mici.
Un exemplu cu rație negativă este
\[ c_n=(-2)^n. \]
Pentru \(n\ge 1\), primii termeni sunt
\[ -2,\ 4,\ -8,\ 16,\ldots \]
Șirul este geometric cu rația \(q=-2\). Termenii își schimbă semnul la fiecare pas, iar valoarea lor absolută crește.
Să considerăm, în sfârșit, șirul
\[ d_n=\left(-\frac12\right)^n. \]
Primii săi termeni sunt
\[ -\frac12,\ \frac14,\ -\frac18,\ \frac1{16},\ldots \]
În acest caz, rația este
\[ q=-\frac12. \]
Termenii își schimbă semnul la fiecare pas, dar valoarea lor absolută devine din ce în ce mai mică.
Șirurile geometrice sunt fundamentale, deoarece descriu procese în care variația nu este constantă în valoare absolută, ci proporțională cu termenul precedent. Din acest motiv, ele apar în mod firesc în multe contexte: creștere exponențială, descreștere, dobândă compusă și studiul seriilor geometrice.
Reprezentarea grafică a unui șir
Un șir de numere reale \((a_n)_{n\ge 1}\) poate fi reprezentat grafic în planul cartezian, asociind fiecărui indice \(n\) termenul corespunzător \(a_n\).
Cu alte cuvinte, șirului \((a_n)_{n\ge 1}\) îi asociem punctele
\[ (1,a_1),\ (2,a_2),\ (3,a_3),\ldots,\ (n,a_n),\ldots \]
Graficul unui șir este așadar mulțimea punctelor
\[ \{(n,a_n):n\ge 1\}. \]
Trebuie observată o diferență importantă față de graficul unei funcții reale de variabilă reală. Un șir este definit doar pe indicii naturali, prin urmare graficul său nu este o curbă continuă, ci o mulțime discretă de puncte.
De exemplu, să considerăm șirul
\[ a_n=\frac1n. \]
Primele puncte ale graficului său sunt
\[ (1,1),\ \left(2,\frac12\right),\ \left(3,\frac13\right),\ \left(4,\frac14\right),\ldots \]
Aceste puncte coboară treptat și se apropie de axa absciselor, dar nu formează o curbă continuă.
În mod analog, pentru șirul
\[ b_n=(-1)^n \]
punctele graficului sunt
\[ (1,-1),\ (2,1),\ (3,-1),\ (4,1),\ldots \]
În acest caz, punctele oscilează între cele două drepte orizontale
\[ y=-1 \qquad \text{și} \qquad y=1. \]
Reprezentarea grafică este utilă, deoarece permite vizualizarea unor proprietăți ale șirului.
Dacă punctele urcă pe măsură ce indicele crește, șirul poate fi crescător. Dacă punctele coboară, șirul poate fi descrescător. Dacă punctele rămân cuprinse între două drepte orizontale, șirul poate fi mărginit.
De exemplu, un șir mărginit este reprezentat prin puncte care rămân toate în interiorul unei benzi orizontale a planului. Într-adevăr, dacă există \(m,M\in\mathbb R\) astfel încât
\[ m\le a_n\le M \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
atunci toate punctele \((n,a_n)\) se află între cele două drepte orizontale
\[ y=m \qquad \text{și} \qquad y=M. \]
De exemplu, șirul
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
este reprezentat prin puncte cuprinse între \(0\) și \(1\), deoarece
\[ 0<\frac{n}{n+1}<1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În plus, punctele se apropie treptat de dreapta orizontală
\[ y=1. \]
Este însă important să nu confundăm desenul cu o demonstrație. Graficul poate sugera că un șir este crescător, mărginit sau convergent, dar aceste proprietăți trebuie verificate prin definiții sau prin criterii riguroase.
De exemplu, din graficul șirului
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
se intuiește că termenii cresc și rămân sub \(1\). Totuși, pentru a demonstra aceasta, trebuie verificate inegalitățile.
Într-adevăr,
\[ a_{n+1}-a_n = \frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}. \]
Dezvoltând numărătorul, obținem
\[ (n+1)^2-n(n+2)=n^2+2n+1-n^2-2n=1. \]
Prin urmare,
\[ a_{n+1}-a_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)} >0 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Așadar, șirul este strict crescător.
În plus,
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
deci este mărginit superior de \(1\).
În concluzie, graficul unui șir este format din puncte izolate, câte unul pentru fiecare indice natural. El este un instrument util pentru a intui comportarea șirului, dar nu înlocuiește definițiile și demonstrațiile.
Diferența dintre un șir și o funcție reală de variabilă reală
Un șir de numere reale este o funcție definită pe numerele naturale:
\[ a:\mathbb N\to\mathbb R. \]
O funcție reală de variabilă reală, în schimb, este o funcție definită pe o submulțime a lui \(\mathbb R\):
\[ f:A\subseteq \mathbb R\to\mathbb R. \]
Diferența principală privește, prin urmare, domeniul de definiție. În cazul unui șir, variabila independentă ia doar valori naturale:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
În cazul unei funcții reale de variabilă reală, în schimb, variabila poate lua valori reale, de exemplu toate valorile unui interval.
De exemplu, șirul
\[ a_n=\frac1n \]
este definit doar pentru \(n\in\mathbb N\), cu \(n\ge 1\). Termenii săi sunt
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Funcția
\[ f(x)=\frac1x \]
poate, în schimb, fi definită, de exemplu, pentru orice \(x>0\). În acest caz, domeniul de definiție este intervalul
\[ (0,+\infty). \]
Șirul \((a_n)\) poate fi obținut evaluând funcția \(f(x)=\displaystyle \frac1x\) doar în indicii naturali:
\[ a_n=f(n)=\frac1n. \]
Totuși, șirul și funcția nu sunt același obiect. Funcția \(f\) este definită și în puncte care nu sunt naturale, precum
\[ x=\frac12,\qquad x=\sqrt2,\qquad x=10{,}7, \]
în timp ce șirul ia în considerare doar valorile corespunzătoare indicilor naturali.
Această diferență se reflectă și în reprezentarea grafică.
Graficul funcției
\[ f(x)=\frac1x \]
pe \((0,+\infty)\) este o curbă continuă. Graficul șirului
\[ a_n=\frac1n \]
este, în schimb, format doar din punctele
\[ \left(n,\frac1n\right), \qquad n\ge 1. \]
Așadar, șirul corespunde unei părți discrete a graficului funcției.
Multe șiruri pot fi obținute restrângând o funcție reală la indicii naturali. De exemplu, din funcția
\[ f(x)=x^2+1 \]
se obține șirul
\[ a_n=f(n)=n^2+1. \]
Primii termeni sunt
\[ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ldots \]
Nu trebuie însă să credem că orice proprietate a funcției se transferă automat șirului sau invers.
De exemplu, o funcție poate să nu fie monotonă pe tot domeniul său, însă șirul obținut prin evaluarea ei în întregii naturali poate fi monoton.
Să considerăm funcția
\[ f(x)=\sin(\pi x). \]
Această funcție oscilează pe axa reală. Totuși, dacă o evaluăm în întregii naturali, obținem
\[ a_n=f(n)=\sin(\pi n)=0 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Șirul corespunzător este așadar
\[ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ldots \]
adică un șir constant.
Reciproc, cunoașterea valorilor unei funcții doar în indicii naturali nu permite, în general, reconstituirea comportării funcției pe tot domeniul său.
De exemplu, două funcții diferite pot lua aceleași valori în toți întregii naturali, dar se pot comporta diferit între un întreg și următorul.
Această observație arată că un șir păstrează doar informațiile referitoare la valorile luate în indicii naturali.
Pe scurt:
- un șir de numere reale este o funcție de la \(\mathbb N\) la \(\mathbb R\);
- o funcție reală de variabilă reală este definită pe o submulțime a lui \(\mathbb R\);
- graficul unui șir este discret;
- graficul unei funcții reale poate fi o curbă continuă;
- un șir poate fi adesea obținut prin evaluarea unei funcții reale în indicii naturali, dar rămâne un obiect distinct.
Subșiruri
Un subșir este un șir obținut prin alegerea unor termeni dintr-un șir dat, fără a-i modifica ordinea.
Fie \((a_n)_{n\ge 1}\) un șir de numere reale. Un subșir al lui \((a_n)\) este un șir de forma
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}, \]
unde \((n_k)_{k\ge 1}\) este un șir strict crescător de indici naturali, adică
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots<n_k<n_{k+1}<\cdots. \]
Condiția asupra indicilor este fundamentală: pentru a construi un subșir se pot elimina unii termeni ai șirului inițial, dar nu se poate schimba ordinea termenilor rămași.
De exemplu, să considerăm șirul
\[ a_n=n. \]
Termenii săi sunt
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ldots \]
Dacă alegem doar indicii pari,
\[ n_k=2k, \]
obținem subșirul
\[ a_{n_k}=a_{2k}=2k. \]
Termenii săi sunt
\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ldots \]
Dacă, în schimb, alegem doar indicii impari,
\[ n_k=2k-1, \]
obținem subșirul
\[ a_{n_k}=a_{2k-1}=2k-1, \]
adică
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ldots \]
Să considerăm acum șirul alternant
\[ a_n=(-1)^n. \]
Termenii săi sunt
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Alegând indicii pari \(n_k=2k\), obținem
\[ a_{n_k}=a_{2k}=(-1)^{2k}=1. \]
Așadar, subșirul indicilor pari este
\[ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ldots \]
Alegând, în schimb, indicii impari \(n_k=2k-1\), obținem
\[ a_{n_k}=a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1. \]
Așadar, subșirul indicilor impari este
\[ -1,\ -1,\ -1,\ -1,\ldots \]
Acest exemplu arată că un șir poate să nu se apropie de o valoare unică, dar să posede subșiruri cu comportări foarte regulate.
Este important să distingem între indicele \(k\) al subșirului și indicele \(n_k\) al șirului inițial.
În subșirul
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}, \]
numărul \(k\) indică poziția termenului în subșir, în timp ce \(n_k\) indică poziția termenului corespunzător în șirul inițial.
De exemplu, dacă
\[ n_k=2k, \]
atunci:
\[ n_1=2,\qquad n_2=4,\qquad n_3=6,\qquad n_4=8. \]
Subșirul \((a_{2k})_{k\ge 1}\) ia, prin urmare, al doilea, al patrulea, al șaselea, al optulea termen al șirului inițial, și așa mai departe.
Nu orice alegere de termeni produce un subșir. Indicii trebuie să fie strict crescători.
De exemplu, alegerea
\[ n_1=3,\qquad n_2=1,\qquad n_3=4 \]
nu definește un subșir, deoarece indicii nu respectă ordinea naturală:
\[ 3>1. \]
În același mod, nu se poate repeta același indice. Alegerea
\[ n_1=2,\qquad n_2=2,\qquad n_3=5 \]
nu definește un subșir, deoarece nu are loc
\[ n_1<n_2. \]
O proprietate simplă, dar importantă, este că, pentru orice subșir, avem
\[ n_k\ge k \quad \text{pentru orice } k\ge 1. \]
Într-adevăr, indicii \(n_k\) sunt naturali și strict crescători. Primul indice este cel puțin \(1\), al doilea este cel puțin \(2\), al treilea este cel puțin \(3\), și așa mai departe.
Această observație este utilă, deoarece arată că și indicii unui subșir tind să devină oricât de mari.
Subșirurile sunt fundamentale în studiul șirurilor, deoarece permit analizarea unor comportări parțiale ale șirului inițial.
De exemplu, un șir poate oscila, însă unele dintre subșirurile sale pot fi constante, crescătoare, descrescătoare sau convergente.
În cazul șirului
\[ a_n=(-1)^n, \]
șirul complet oscilează între \(-1\) și \(1\), în timp ce cele două subșiruri
\[ (a_{2k})_{k\ge 1} \qquad \text{și} \qquad (a_{2k-1})_{k\ge 1} \]
sunt amândouă constante.
În general, dacă un șir converge către o limită reală \(L\), atunci orice subșir al său converge către aceeași limită \(L\). Reciproca, în schimb, nu este adevărată în general: faptul că un subșir converge nu este suficient pentru a garanta că întregul șir converge.
De exemplu, șirul \((-1)^n\) nu converge, dar posedă subșirul indicilor pari, care converge către \(1\), și subșirul indicilor impari, care converge către \(-1\).
Subșirurile vor fi așadar un instrument decisiv în studiul limitelor, al punctelor de acumulare și al teoremei lui Bolzano-Weierstrass.
Primele proprietăți ale șirurilor
Șirurile posedă unele proprietăți generale care permit legarea între ele a monotoniei, a mărginirii, a semnului și a subșirurilor. În această secțiune adunăm primele rezultate fundamentale, fără a intra încă în teoria completă a limitelor.
Orice șir crescător este mărginit inferior
Dacă un șir \((a_n)_{n\ge 1}\) este crescător, atunci
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
De aici rezultă că fiecare termen următor este mai mare sau egal cu primul termen:
\[ a_1\le a_2\le a_3\le \cdots \le a_n\le \cdots. \]
În particular,
\[ a_1\le a_n \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Așadar, \(a_1\) este un minorant al șirului. Prin urmare, orice șir crescător este mărginit inferior.
Atenție: un șir crescător nu este neapărat mărginit superior. De exemplu,
\[ a_n=n \]
este crescător, dar nu este mărginit superior.
Orice șir descrescător este mărginit superior
Dacă un șir \((a_n)_{n\ge 1}\) este descrescător, atunci
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
De aici rezultă că
\[ a_1\ge a_2\ge a_3\ge \cdots \ge a_n\ge \cdots. \]
În particular,
\[ a_n\le a_1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Așadar, \(a_1\) este un majorant al șirului. Prin urmare, orice șir descrescător este mărginit superior.
Și în acest caz, cealaltă mărginire nu are loc în mod automat. De exemplu,
\[ a_n=-n \]
este descrescător, dar nu este mărginit inferior.
Un șir monoton poate fi mărginit sau nemărginit
Monotonia descrie ordinea termenilor, dar nu determină singură mărginirea completă a șirului.
De exemplu, șirul
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
este crescător și mărginit, deoarece
\[ 0<\frac{n}{n+1}<1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În schimb, șirul
\[ b_n=n \]
este crescător, dar nu este mărginit superior.
În mod analog, șirul
\[ c_n=\frac1n \]
este descrescător și mărginit, deoarece
\[ 0<\frac1n\le 1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În schimb, șirul
\[ d_n=-n \]
este descrescător, dar nu este mărginit inferior.
Orice subșir al unui șir mărginit este mărginit
Fie \((a_n)_{n\ge 1}\) un șir mărginit. Atunci există un număr real \(K>0\) astfel încât
\[ |a_n|\le K \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Să considerăm un subșir al său
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}. \]
Deoarece fiecare \(n_k\) este un indice natural, din inegalitatea precedentă rezultă imediat că
\[ |a_{n_k}|\le K \quad \text{pentru orice } k\ge 1. \]
Așadar, și subșirul este mărginit.
Reciproca nu este adevărată: un șir poate avea un subșir mărginit fără a fi mărginit.
De exemplu, să considerăm
\[ a_n= \begin{cases} 1, & \text{dacă } n \text{ este par},\\ n, & \text{dacă } n \text{ este impar}. \end{cases} \]
Subșirul indicilor pari este constant:
\[ a_{2k}=1 \quad \text{pentru orice } k\ge 1. \]
Așadar, este mărginit. Totuși, șirul complet nu este mărginit superior, deoarece în indicii impari ia valori oricât de mari.
Orice subșir al unui șir monoton este monoton în același sens
Fie \((a_n)_{n\ge 1}\) un șir crescător și fie \((a_{n_k})_{k\ge 1}\) un subșir al său.
Deoarece indicii subșirului sunt strict crescători, avem
\[ n_k<n_{k+1} \quad \text{pentru orice } k\ge 1. \]
Deoarece \((a_n)\) este crescător, din ordinea indicilor rezultă
\[ a_{n_k}\le a_{n_{k+1}} \quad \text{pentru orice } k\ge 1. \]
Așadar, subșirul este crescător.
În același mod, dacă \((a_n)\) este descrescător, atunci orice subșir al său este descrescător. Într-adevăr, din
\[ n_k<n_{k+1} \]
rezultă
\[ a_{n_k}\ge a_{n_{k+1}}. \]
Așadar, subșirurile păstrează sensul de monotonie al șirului inițial.
Mărginirea nu implică monotonia
Un șir poate fi mărginit fără a fi monoton.
Exemplul cel mai simplu este
\[ a_n=(-1)^n. \]
Într-adevăr,
\[ -1\le a_n\le 1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
deci șirul este mărginit.
Totuși, nu este monoton, deoarece termenii săi oscilează:
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Un șir mărginit poate, prin urmare, să nu aibă nicio evoluție crescătoare sau descrescătoare.
Monotonia și mărginirea împreună sunt decisive
Deși monotonia singură nu garantează mărginirea, iar mărginirea singură nu garantează monotonia, cele două proprietăți împreună au un rol fundamental.
Într-adevăr, un rezultat central al analizei afirmă că orice șir de numere reale monoton și mărginit converge.
Mai precis:
- dacă \((a_n)\) este crescător și mărginit superior, atunci converge către marginea sa superioară;
- dacă \((a_n)\) este descrescător și mărginit inferior, atunci converge către marginea sa inferioară.
Această teoremă nu este demonstrată în această secțiune, dar explică de ce proprietățile introduse până acum sunt atât de importante. Monotonia și mărginirea se numără printre primele instrumente riguroase pentru a stabili existența unei limite.
Greșeli frecvente privind șirurile
În studiul șirurilor apar unele greșeli foarte frecvente. Recunoașterea lor este importantă, deoarece multe dificultăți ulterioare privind limitele își au originea tocmai într-o înțelegere imprecisă a definițiilor inițiale.
Confundarea șirului cu mulțimea valorilor sale
Un șir nu este pur și simplu mulțimea valorilor care apar printre termenii săi. Un șir este o funcție definită pe numerele naturale, prin urmare contează și ordinea în care sunt dispuși termenii și contează și eventuala lor repetare.
De exemplu, șirul
\[ a_n=(-1)^n \]
are drept termeni
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Mulțimea valorilor luate de șir este
\[ \{-1,1\}. \]
Totuși, șirul nu coincide cu mulțimea \(\{-1,1\}\). Șirul conține o infinitate de repetări ordonate ale valorilor \(-1\) și \(1\), în timp ce mulțimea conține doar cele două valori distincte.
Confundarea termenului general cu șirul
Simbolul \(a_n\) indică termenul șirului corespunzător indicelui \(n\). Scrierea \((a_n)_{n\ge 1}\), în schimb, indică șirul în întregime.
De exemplu, dacă
\[ a_n=\frac1n, \]
atunci \(a_n\) este termenul general, în timp ce
\[ (a_n)_{n\ge 1} \]
este șirul în întregime
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
A spune că \(a_n=\displaystyle \frac1n\) nu înseamnă a indica un singur număr fixat, ci o regulă care, pentru fiecare indice \(n\), produce termenul corespunzător.
Neprecizarea indicelui inițial
O greșeală frecventă constă în scrierea unei formule fără a indica pentru ce valori ale indicelui aceasta definește cu adevărat un șir.
De exemplu,
\[ a_n=\frac1n \]
nu poate fi considerat începând de la \(n=0\), deoarece \(\displaystyle \frac10\) nu este definit.
În acest caz trebuie să scriem, de exemplu,
\[ (a_n)_{n\ge 1}, \qquad a_n=\frac1n. \]
În mod analog, formula
\[ b_n=\sqrt{n-4} \]
definește un șir de numere reale numai pentru
\[ n\ge 4. \]
Într-adevăr, pentru \(n<4\), cantitatea \(n-4\) este negativă și, prin urmare, \(\sqrt{n-4}\) nu este un număr real.
A crede că un șir crescător este întotdeauna nemărginit
Un șir crescător nu trebuie neapărat să crească fără limită.
De exemplu, șirul
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
este crescător, dar toți termenii săi sunt mai mici decât \(1\):
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Așadar, șirul este mărginit superior.
Monotonia descrie sensul de variație al termenilor, dar nu este suficientă singură pentru a stabili dacă șirul este mărginit sau nemărginit.
A crede că un șir mărginit este întotdeauna monoton
Nici mărginirea nu implică monotonia.
Șirul
\[ a_n=(-1)^n \]
este mărginit, deoarece
\[ -1\le a_n\le 1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
Totuși, nu este monoton, deoarece termenii săi oscilează între \(-1\) și \(1\):
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Așadar, un șir poate rămâne mereu într-un interval mărginit fără a fi crescător sau descrescător.
Confundarea subșirului cu o submulțime de termeni
Un subșir nu este o alegere oarecare de termeni. Indicii trebuie să fie strict crescători.
Un subșir al lui \((a_n)_{n\ge 1}\) are forma
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}, \]
unde
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots. \]
De exemplu, dacă se aleg indicii
\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ldots, \]
se obține un subșir. Dacă, în schimb, se aleg indicii
\[ 3,\ 1,\ 5,\ldots, \]
nu se obține un subșir, deoarece ordinea indicilor nu este respectată.
A crede că un subșir descrie întotdeauna întregul șir
Un subșir descrie doar o parte a șirului inițial. Din acest motiv, comportarea unui subșir nu este suficientă, în general, pentru a determina comportarea întregului șir.
De exemplu, șirul
\[ a_n=(-1)^n \]
nu converge, deoarece oscilează între \(-1\) și \(1\).
Totuși, subșirul indicilor pari este constant:
\[ a_{2k}=1 \quad \text{pentru orice } k\ge 1, \]
în timp ce subșirul indicilor impari este de asemenea constant:
\[ a_{2k-1}=-1 \quad \text{pentru orice } k\ge 1. \]
Așadar, un șir poate avea subșiruri foarte regulate, fără a avea, în ansamblu, un comportament unic.
Folosirea graficului ca și cum ar fi o demonstrație
Graficul unui șir poate ajuta la intuirea comportării termenilor, dar nu înlocuiește o demonstrație.
De exemplu, observând graficul șirului
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
se poate intui că acesta este crescător și mărginit superior de \(1\). Totuși, pentru a demonstra aceasta, trebuie verificate inegalitățile:
\[ a_{n+1}-a_n>0 \quad \text{pentru orice } n\ge 1, \]
și
\[ a_n<1 \quad \text{pentru orice } n\ge 1. \]
În analiza matematică, desenul sugerează, dar demonstrația trebuie să se bazeze pe definiții.
Proprietățile introduse constituie baza pentru studiul limitelor de șiruri. În particular, combinarea monotoniei și a mărginirii conduce la unul dintre primele rezultate fundamentale ale analizei: orice șir de numere reale monoton și mărginit converge.
Șirurile constituie așadar o punte firească între aritmetică, algebră și analiză: pornind de la o simplă listă ordonată de numere, se ajunge la concepte profunde precum limita, convergența, completitudinea numerelor reale și comportarea la infinit.