Pe această pagină vom studia șirurile mărginite, adică șiruri ai căror termeni nu pot crește sau scădea nelimitat, ci rămân cuprinși între anumite limite numerice. Vom vedea diferența dintre șirurile mărginite superior, mărginite inferior și mărginite, lămurind semnificația matematică a fiecărei definiții.
Conceptul de mărginire este fundamental în studiul șirurilor numerice, deoarece permite descrierea comportamentului global al termenilor unui șir, indiferent dacă acesta este convergent sau divergent.
Pe parcursul întregii pagini vom considera șiruri reale, adică șiruri de forma
\[ a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}, \]
iar termenii lor îi vom nota cu \(a_n\), pentru \(n\in\mathbb{N}\).
În tot textul presupunem că \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\).
Cuprins
- Șiruri mărginite superior
- Șiruri mărginite inferior
- Șiruri mărginite
- Interpretarea grafică a mărginirii
- Exemple de șiruri mărginite și nemărginite
- Primele proprietăți ale șirurilor mărginite
- Șiruri convergente și șiruri mărginite
Șiruri mărginite superior
Un șir real \((a_n)\) se numește mărginit superior dacă există un număr real \(M\) astfel încât toți termenii șirului să fie mai mici sau egali cu \(M\).
În simboluri:
\[ \exists M\in\mathbb{R}:\forall n\in\mathbb{N},\quad a_n\le M. \]
Numărul \(M\) poartă numele de majorant al șirului. A spune că \((a_n)\) este mărginit superior înseamnă, așadar, a spune că mulțimea termenilor săi
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
este o submulțime a lui \(\mathbb{R}\) mărginită superior.
Este important de observat că majorantul nu trebuie să fie neapărat un termen al șirului. Trebuie doar să fie un număr real situat deasupra tuturor termenilor șirului.
Exemplu. Să considerăm șirul
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Deoarece \(n\in\mathbb{N}\), avem \(n+1\ge 1\). În consecință:
\[ 0<\frac{1}{n+1}\le 1. \]
Așadar, pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), rezultă
\[ a_n\le 1. \]
Prin urmare, șirul este mărginit superior. De exemplu, \(M=1\) este un majorant.
Totuși, \(1\) nu este singurul majorant. De asemenea, \(2\), \(10\) și, mai general, orice număr real \(M\ge 1\) este un majorant al șirului.
Atenție. Pentru a demonstra că un șir este mărginit superior nu este necesar să se găsească cel mai mic majorant. Este suficient să se găsească cel puțin un număr real \(M\) astfel încât
\[ a_n\le M \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Dimpotrivă, pentru a demonstra că un șir nu este mărginit superior, trebuie să se arate că niciun număr real nu poate fi un majorant. În simboluri:
\[ \forall M\in\mathbb{R},\exists n\in\mathbb{N}: a_n>M. \]
Această condiție înseamnă că, oricare ar fi numărul real \(M\) ales, există cel puțin un termen al șirului care îl depășește.
Exemplu de șir nemărginit superior
Să considerăm șirul
\[ a_n=n. \]
Acesta nu este mărginit superior. Într-adevăr, fixat un \(M\in\mathbb{R}\) oarecare, putem alege un indice \(n\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ n>M. \]
Pentru un astfel de indice avem
\[ a_n=n>M. \]
Așadar, niciun număr real \(M\) nu poate fi un majorant al șirului \((n)\).
Șiruri mărginite inferior
Un șir real \((a_n)\) se numește mărginit inferior dacă există un număr real \(m\) astfel încât toți termenii șirului să fie mai mari sau egali cu \(m\).
În simboluri:
\[ \exists m\in\mathbb{R}:\forall n\in\mathbb{N},\quad a_n\ge m. \]
Numărul \(m\) poartă numele de minorant al șirului. A spune că \((a_n)\) este mărginit inferior înseamnă, așadar, a spune că mulțimea termenilor săi
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
este o submulțime a lui \(\mathbb{R}\) mărginită inferior.
Și în acest caz, minorantul nu trebuie să fie neapărat un termen al șirului. Trebuie doar să fie un număr real situat sub toți termenii șirului.
Exemplu. Să considerăm șirul
\[ a_n=n^2+1, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Deoarece \(n^2\ge 0\) pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), avem
\[ n^2+1\ge 1. \]
Așadar, pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), rezultă
\[ a_n\ge 1. \]
Prin urmare, șirul este mărginit inferior. De exemplu, \(m=1\) este un minorant.
În mod firesc, și orice număr real \(m\le 1\) este un minorant al șirului. Într-adevăr, dacă toți termenii sunt mai mari sau egali cu \(1\), atunci ei sunt cu siguranță mai mari sau egali cu orice număr mai mic decât \(1\).
Observație. Pentru a demonstra că un șir este mărginit inferior nu este necesar să se găsească cel mai mare minorant. Este suficient să se găsească cel puțin un număr real \(m\) astfel încât
\[ a_n\ge m \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
În schimb, pentru a demonstra că un șir nu este mărginit inferior, trebuie să se arate că niciun număr real nu poate fi un minorant. În simboluri:
\[ \forall m\in\mathbb{R},\exists n\in\mathbb{N}: a_n<m. \]
Această condiție înseamnă că, oricare ar fi numărul real \(m\) ales, există cel puțin un termen al șirului care coboară sub \(m\).
Exemplu de șir nemărginit inferior
Să considerăm șirul
\[ a_n=-n. \]
Acesta nu este mărginit inferior. Într-adevăr, fixat un \(m\in\mathbb{R}\) oarecare, putem alege un indice \(n\in\mathbb{N}\) astfel încât
\[ n>|m|+1. \]
Atunci \(n>-m\) și, prin urmare, înmulțind cu \(-1\), obținem
\[ -n<m. \]
Deoarece \(a_n=-n\), rezultă că
\[ a_n<m. \]
Așadar, niciun număr real \(m\) nu poate fi un minorant al șirului \((-n)\).
Șiruri mărginite
Un șir real \((a_n)\) se numește mărginit dacă este mărginit atât superior, cât și inferior.
Cu alte cuvinte, \((a_n)\) este mărginit dacă există două numere reale \(m\) și \(M\) astfel încât
\[ m\le a_n\le M \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
În simboluri:
\[ \exists m,M\in\mathbb{R}:\forall n\in\mathbb{N},\quad m\le a_n\le M. \]
Numărul \(m\) este un minorant, în timp ce numărul \(M\) este un majorant. Șirul este, prin urmare, cuprins, termen cu termen, în intervalul închis \([m,M]\).
Exemplu. Să considerăm șirul
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n+1}, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), avem
\[ |(-1)^n|=1 \]
și, prin urmare,
\[ |a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n+1}\right|=\frac{1}{n+1}. \]
Deoarece \(n+1\ge 1\), rezultă că
\[ \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Prin urmare,
\[ |a_n|\le 1. \]
Din inegalitatea \(|a_n|\le 1\) rezultă
\[ -1\le a_n\le 1. \]
Așadar, șirul este mărginit.
Caracterizare cu ajutorul valorii absolute
Un șir real \((a_n)\) este mărginit dacă și numai dacă există un număr real \(K>0\) astfel încât
\[ |a_n|\le K \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Demonstrație. Să presupunem mai întâi că șirul \((a_n)\) este mărginit. Atunci există \(m,M\in\mathbb{R}\) astfel încât
\[ m\le a_n\le M \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Să considerăm
\[ K=\max\{1,|m|,|M|\}. \]
Deoarece \(m\le a_n\le M\), fiecare termen \(a_n\) aparține intervalului \([m,M]\). În consecință, valoarea sa absolută este mai mică sau egală cu cel mai mare dintre \(|m|\) și \(|M|\) și, prin urmare, și mai mică sau egală cu \(K\). Așadar,
\[ |a_n|\le K \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Reciproc, să presupunem că există \(K>0\) astfel încât
\[ |a_n|\le K \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Prin definiția valorii absolute, această inegalitate este echivalentă cu
\[ -K\le a_n\le K. \]
Prin urmare, \(-K\) este un minorant și \(K\) este un majorant al șirului. Așadar, șirul este mărginit.
Atenție. Un șir poate fi mărginit superior fără a fi mărginit inferior sau mărginit inferior fără a fi mărginit superior.
De exemplu, șirul
\[ a_n=-n \]
este mărginit superior, deoarece
\[ -n\le 0 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), dar nu este mărginit inferior.
În mod analog, șirul
\[ b_n=n \]
este mărginit inferior, deoarece
\[ n\ge 0 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), dar nu este mărginit superior.
Așadar, pentru a fi mărginit, un șir trebuie să fie controlat atât de sus, cât și de jos.
Interpretarea grafică a mărginirii
Din punct de vedere grafic, un șir real \((a_n)\) poate fi reprezentat prin punctele
\[ (n,a_n), \qquad n\in\mathbb{N}. \]
În această reprezentare, indicele \(n\) se așază pe axa absciselor, în timp ce termenul \(a_n\) se așază pe axa ordonatelor.
A spune că un șir este mărginit superior înseamnă că toate punctele sale se află pe o anumită dreaptă orizontală sau sub ea.
Într-adevăr, dacă există \(M\in\mathbb{R}\) astfel încât
\[ a_n\le M \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), atunci toate punctele \((n,a_n)\) se află pe dreapta orizontală de ecuație
\[ y=M \]
sau sub aceasta.
\[ y=M. \]
În mod analog, a spune că un șir este mărginit inferior înseamnă că toate punctele sale se află pe o anumită dreaptă orizontală sau deasupra ei.
Într-adevăr, dacă există \(m\in\mathbb{R}\) astfel încât
\[ a_n\ge m \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), atunci toate punctele \((n,a_n)\) se află pe dreapta orizontală de ecuație
\[ y=m \]
sau deasupra acesteia.
\[ y=m. \]
În sfârșit, a spune că un șir este mărginit înseamnă că toate punctele sale sunt cuprinse între două drepte orizontale.
Mai precis, dacă există \(m,M\in\mathbb{R}\) astfel încât
\[ m\le a_n\le M \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), atunci toate punctele \((n,a_n)\) sunt conținute în banda orizontală cuprinsă între dreptele
\[ y=m \qquad \text{și} \qquad y=M. \]
Această interpretare este utilă deoarece permite vizualizarea imediată a semnificației mărginirii: un șir mărginit nu poate nici să urce nelimitat către \(+\infty\), nici să coboare nelimitat către \(-\infty\).
Exemple de șiruri mărginite și nemărginite
Să vedem acum câteva exemple fundamentale, utile pentru a distinge corect diferitele forme de mărginire.
Șir mărginit
Să considerăm șirul
\[ a_n=(-1)^n. \]
Termenii săi iau doar valorile \(1\) și \(-1\). Într-adevăr, pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), avem
\[ (-1)^n\in\{-1,1\}. \]
În consecință,
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Așadar, șirul \(((-1)^n)\) este mărginit.
Șir mărginit superior, dar nu inferior
Să considerăm șirul
\[ a_n=-n^2. \]
Deoarece \(n^2\ge 0\) pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), avem
\[ -n^2\le 0. \]
Așadar, \(0\) este un majorant al șirului și, prin urmare, \((a_n)\) este mărginit superior.
Totuși, șirul nu este mărginit inferior. Într-adevăr, fixat un \(m\in\mathbb{R}\) oarecare, putem alege \(n\in\mathbb{N}\) suficient de mare astfel încât
\[ n^2>|m|+1. \]
Atunci \(n^2>-m\) și, prin urmare, înmulțind cu \(-1\), obținem
\[ -n^2<m. \]
Prin urmare, există un termen al șirului mai mic decât \(m\). Deoarece acest lucru este valabil pentru orice \(m\in\mathbb{R}\), șirul nu este mărginit inferior.
Șir mărginit inferior, dar nu superior
Să considerăm șirul
\[ a_n=n^2. \]
Deoarece
\[ n^2\ge 0 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), șirul este mărginit inferior. De exemplu, \(0\) este un minorant.
Șirul, în schimb, nu este mărginit superior. Într-adevăr, fixat un \(M\in\mathbb{R}\) oarecare, putem alege \(n\in\mathbb{N}\) suficient de mare astfel încât
\[ n^2>M. \]
Așadar, niciun număr real \(M\) nu poate fi un majorant al șirului.
Șir nemărginit nici superior, nici inferior
Să considerăm șirul
\[ a_n=(-1)^n n. \]
Termenii șirului își schimbă semnul în funcție de paritatea lui \(n\). Pentru indicii pari se obțin valori pozitive din ce în ce mai mari, în timp ce pentru indicii impari se obțin valori negative din ce în ce mai mici.
Șirul nu este mărginit superior. Într-adevăr, ales un \(M\in\mathbb{R}\) oarecare, putem lua un indice par \(n\) suficient de mare astfel încât
\[ n>M. \]
Pentru un astfel de indice, \(n\) fiind par, avem \((-1)^n=1\), așadar
\[ a_n=(-1)^n n=n>M. \]
Așadar, niciun număr real \(M\) nu poate fi un majorant.
În plus, șirul nu este mărginit inferior. Într-adevăr, ales un \(m\in\mathbb{R}\) oarecare, putem lua un indice impar \(n\) suficient de mare astfel încât
\[ -n<m. \]
Pentru un astfel de indice, \(n\) fiind impar, avem \((-1)^n=-1\), așadar
\[ a_n=(-1)^n n=-n<m. \]
Așadar, niciun număr real \(m\) nu poate fi un minorant.
Prin urmare, șirul \(((-1)^n n)\) nu este mărginit nici superior, nici inferior.
Primele proprietăți ale șirurilor mărginite
Șirurile mărginite se bucură de câteva proprietăți fundamentale, utile în studiul operațiilor cu șiruri și în calculul limitelor.
În această secțiune considerăm șiruri reale definite pe \(\mathbb{N}\).
Suma șirurilor mărginite
Dacă \((a_n)\) și \((b_n)\) sunt două șiruri mărginite, atunci și șirul sumă
\[ (a_n+b_n) \]
este mărginit.
Într-adevăr, deoarece \((a_n)\) este mărginit, există \(A>0\) astfel încât
\[ |a_n|\le A \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\). În mod analog, deoarece \((b_n)\) este mărginit, există \(B>0\) astfel încât
\[ |b_n|\le B \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Folosind inegalitatea triunghiului, obținem
\[ |a_n+b_n|\le |a_n|+|b_n|. \]
Deoarece \(|a_n|\le A\) și \(|b_n|\le B\), rezultă că
\[ |a_n+b_n|\le A+B. \]
Așadar, șirul \((a_n+b_n)\) este mărginit.
Produsul șirurilor mărginite
Dacă \((a_n)\) și \((b_n)\) sunt două șiruri mărginite, atunci și șirul produs
\[ (a_n b_n) \]
este mărginit.
Într-adevăr, deoarece \((a_n)\) este mărginit, există \(A>0\) astfel încât
\[ |a_n|\le A \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\). Deoarece \((b_n)\) este mărginit, există \(B>0\) astfel încât
\[ |b_n|\le B \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Atunci, pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), avem
\[ |a_n b_n|=|a_n||b_n|\le AB. \]
Așadar, șirul \((a_n b_n)\) este mărginit.
Produsul dintre un șir mărginit și o constantă
Dacă \((a_n)\) este un șir mărginit și \(c\in\mathbb{R}\), atunci și șirul
\[ (c a_n) \]
este mărginit.
Într-adevăr, deoarece \((a_n)\) este mărginit, există \(A>0\) astfel încât
\[ |a_n|\le A \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Dacă \(c=0\), atunci \(c a_n=0\) pentru orice \(n\in\mathbb{N}\), și prin urmare șirul \((c a_n)\) este mărginit.
Dacă, în schimb, \(c\ne 0\), avem
\[ |c a_n|=|c||a_n|\le |c|A. \]
Și în acest caz șirul \((c a_n)\) este mărginit.
Un șir mărginit poate să nu fie convergent
Mărginirea nu implică, prin ea însăși, convergența.
De exemplu, șirul
\[ a_n=(-1)^n \]
este mărginit, deoarece
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Cu toate acestea, el nu este convergent. Într-adevăr, termenii săi oscilează necontenit între \(1\) și \(-1\), fără a se apropia în mod definitiv de un unic număr real.
Așadar, un șir poate fi mărginit fără a admite o limită finită.
Un șir nemărginit nu poate fi convergent
Dacă un șir real nu este mărginit, atunci el nu poate converge către un număr real.
Această afirmație este contrara reciprocă a teoremei conform căreia orice șir convergent este mărginit, pe care o vom demonstra în secțiunea următoare.
Cu alte cuvinte, mărginirea este o condiție necesară pentru convergență, dar nu este o condiție suficientă.
Șiruri convergente și șiruri mărginite
Cea mai importantă legătură dintre mărginire și convergență este următoarea: orice șir real convergent este mărginit.
Teoremă. Dacă un șir real \((a_n)\) converge către un număr real \(\ell\), atunci \((a_n)\) este mărginit.
Demonstrație. Să presupunem că
\[ a_n\to \ell. \]
Prin definiția limitei finite, pentru orice \(\varepsilon>0\) există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N\),
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon. \]
Să alegem, în particular,
\[ \varepsilon=1. \]
Atunci există \(N\in\mathbb{N}\) astfel încât, pentru orice \(n\ge N\),
\[ |a_n-\ell|<1. \]
Din această inegalitate rezultă că, pentru orice \(n\ge N\),
\[ \ell-1<a_n<\ell+1. \]
Așadar, toți termenii șirului începând de la indicele \(N\) sunt cuprinși între \(\ell-1\) și \(\ell+1\).
Putem presupune, mărind \(N\) dacă este necesar, că \(N\ge 1\). Rămâne să considerăm doar termenii anteriori:
\[ a_0,a_1,\dots,a_{N-1}. \]
Aceștia sunt în număr finit. Deoarece o mulțime finită de numere reale este întotdeauna mărginită, putem defini
\[ K=\max\{1,|a_0|,|a_1|,\dots,|a_{N-1}|,|\ell|+1\}. \]
Atunci \(K>0\) și, prin construcție, avem
\[ |a_n|\le K \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Așadar, șirul \((a_n)\) este mărginit.
Observație. Teorema pe care tocmai am demonstrat-o afirmă că convergența implică mărginirea:
\[ a_n\to \ell \quad \Longrightarrow \quad (a_n)\ \text{este mărginit}. \]
Reciproca, însă, nu este adevărată în general.
Într-adevăr, după cum s-a observat deja, șirul
\[ a_n=(-1)^n \]
este mărginit, dar nu este convergent.
Putem spune, prin urmare, că mărginirea este o condiție necesară pentru convergență, dar nu o condiție suficientă.
Caz particular: șiruri monotone
Pentru șirurile monotone, în schimb, mărginirea capătă un rol și mai puternic.
Dacă un șir este crescător și mărginit superior, atunci el converge. În mod analog, dacă un șir este descrescător și mărginit inferior, atunci el converge.
Acest rezultat este cunoscut sub numele de teorema de convergență a șirurilor monotone.
Așadar, în general, un șir mărginit nu trebuie neapărat să conveargă; totuși, dacă la mărginire se adaugă și monotonia, se obține un criteriu de convergență foarte important.
Șirurile mărginite permit descrierea comportamentului global al termenilor unui șir. Un șir poate fi mărginit superior, mărginit inferior sau mărginit din ambele părți.
În particular, un șir real \((a_n)\) este mărginit dacă există \(K>0\) astfel încât
\[ |a_n|\le K \]
pentru orice \(n\in\mathbb{N}\).
Aceasta înseamnă că toți termenii șirului rămân conținuți într-un interval finit. Mărginirea este o proprietate fundamentală, deoarece orice șir convergent este mărginit, chiar dacă un șir mărginit nu este în mod necesar convergent.